Quelle  Contexts.thy   Sprache: Isabelle

theory Contexts
imports "HOL-Nominal.Nominal"
begin

text ‹
  
  We show here that the Plotkin-style of defining
  beta-reduction (based on congruence rules) is
  equivalent to the Felleisen-Hieb-style representation 
  (based on contexts). 
  
  The interesting point in this theory is that contexts 
  do not contain any binders. On the other hand the operation 
  of filling a term into a context produces an alpha-equivalent 
  term. 

›

atom_decl name

text ‹
  Lambda-Terms - the Lam-term constructor binds a name
›

nominal_datatype lam = 
    Var "name"
  | App "lam" "lam"
  | Lam "\name\lam" (‹Lam [_]._› [100,100] 100)

text ‹
  Contexts - the lambda case in contexts does not bind 
  a name, even if we introduce the notation [_]._ for CLam.
›

nominal_datatype ctx = 
    Hole (‹◻› 1000)  
  | CAppL "ctx" "lam"
  | CAppR "lam" "ctx" 
  | CLam "name" "ctx"  (‹CLam [_]._› [100,100] 100) 

text ‹Capture-Avoiding Substitution›

nominal_primrec
  subst :: "lam \ name \ lam \ lam"  (‹_[_::=_]› [100,100,100] 100)
where
  "(Var x)[y::=s] = (if x=y then s else (Var x))"
| "(App t\<^sub>1 t\<^sub>2)[y::=s] = App (t\<^sub>1[y::=s]) (t\<^sub>2[y::=s])"
| "x\(y,s) \ (Lam [x].t)[y::=s] = Lam [x].(t[y::=s])"
apply(finite_guess)+
apply(rule TrueI)+
apply(simp add: abs_fresh)
apply(fresh_guess)+
done

text ‹
  Filling is the operation that fills a term into a hole. 
  This operation is possibly capturing.
›

nominal_primrec
  filling :: "ctx \ lam \ lam" (‹_[_]› [100,100] 100)
where
  "\\t\ = t"
| "(CAppL E t')\t\ = App (E\t\) t'"
| "(CAppR t' E)\t\ = App t' (E\t\)"
| "(CLam [x].E)\t\ = Lam [x].(E\t\)" 
by (rule TrueI)+

text ‹
  While contexts themselves are not alpha-equivalence classes, the 
  filling operation produces an alpha-equivalent lambda-term. 
›

lemma alpha_test: 
  shows "x\y \ (CLam [x].\) \ (CLam [y].\)"
  and   "(CLam [x].\)\Var x\ = (CLam [y].\)\Var y\"
by (auto simp add: alpha ctx.inject lam.inject calc_atm fresh_atm) 

text ‹The composition of two contexts.›

nominal_primrec
 ctx_compose :: "ctx \ ctx \ ctx" (‹_ ∘ _› [100,100] 100)
where
  "\ \ E' = E'"
| "(CAppL E t') \ E' = CAppL (E \ E') t'"
| "(CAppR t' E) \ E' = CAppR t' (E \ E')"
| "(CLam [x].E) \ E' = CLam [x].(E \ E')"
by (rule TrueI)+
  
lemma ctx_compose:
  shows "(E1 \ E2)\t\ = E1\E2\t\\"
by (induct E1 rule: ctx.induct) (auto)

text ‹Beta-reduction via contexts in the Felleisen-Hieb style.›

inductive
  ctx_red :: "lam\lam\bool" (‹_ ⟶x _› [80,80] 80) 
where
  xbeta[intro]: "E\App (Lam [x].t) t'\ \x E\t[x::=t']\" 

text ‹Beta-reduction via congruence rules in the Plotkin style.›

inductive
  cong_red :: "lam\lam\bool" (‹_ ⟶o _› [80,80] 80) 
where
  obeta[intro]: "App (Lam [x].t) t' \o t[x::=t']"
| oapp1[intro]: "t \o t' \ App t t2 \o App t' t2"
| oapp2[intro]: "t \o t' \ App t2 t \o App t2 t'"
| olam[intro]:  "t \o t' \ Lam [x].t \o Lam [x].t'"

text ‹The proof that shows both relations are equal.›

lemma cong_red_in_ctx:
  assumes a: "t \o t'"
  shows "E\t\ \o E\t'\"
using a
by (induct E rule: ctx.induct) (auto)

lemma ctx_red_in_ctx:
  assumes a: "t \x t'"
  shows "E\t\ \x E\t'\"
using a
by (induct) (auto simp add: ctx_compose[symmetric])

theorem ctx_red_implies_cong_red:
  assumes a: "t \x t'"
  shows "t \o t'"
using a by (induct) (auto intro: cong_red_in_ctx)

theorem cong_red_implies_ctx_red:
  assumes a: "t \o t'"
  shows "t \x t'"
using a
proof (induct)
  case (obeta x t' t)
  have "\\App (Lam [x].t) t'\ \x \\t[x::=t']\" by (rule xbeta) 
  then show  "App (Lam [x].t) t' \x t[x::=t']" by simp
qed (metis ctx_red_in_ctx filling.simps)+ (* found by SledgeHammer *)


lemma ctx_existence:
  assumes a: "t \o t'"
  shows "\C s s'. t = C\s\ \ t' = C\s'\ \ s \o s'"
using a
by (induct) (metis cong_red.intros filling.simps)+

end