Quelle  Z2.thy   Sprache: Isabelle

(*  Title:      HOL/Library/Z2.thy
    Author:     Brian Huffman
*)

section ‹The Field of Integers mod 2›

theory Z2
imports Main
begin

text ‹
  Note that in most cases 🍋‹bool› is appropriate when a binary type is needed; the
  type provided here, for historical reasons named 🚫‹bit›, is only needed if proper
  field operations are required.
›

typedef bit = ‹UNIV :: bool set› ..

instantiation bit :: zero_neq_one
begin

definition zero_bit :: bit
  where ‹0 = Abs_bit False›

definition one_bit :: bit
  where ‹1 = Abs_bit True›

instance
  by standard (simp add: zero_bit_def one_bit_def Abs_bit_inject)

end

free_constructors case_bit for ‹0::bit› | ‹1::bit›
proof -
  fix P :: bool
  fix a :: bit
  assume ‹a = 0 ==> P› and ‹a = 1 ==> P›
  then show P
    by (cases a) (auto simp add: zero_bit_def one_bit_def Abs_bit_inject)
qed simp

lemma bit_not_zero_iff [simp]:
  ‹a ≠ 0 ⟷ a = 1› for a :: bit
  by (cases a) simp_all

lemma bit_not_one_iff [simp]:
  ‹a ≠ 1 ⟷ a = 0› for a :: bit
  by (cases a) simp_all

instantiation bit :: semidom_modulo
begin

definition plus_bit :: ‹bit ==> bit ==> bit›
  where ‹a + b = Abs_bit (Rep_bit a ≠ Rep_bit b)›

definition minus_bit :: ‹bit ==> bit ==> bit›
  where [simp]: ‹minus_bit = plus›

definition times_bit :: ‹bit ==> bit ==> bit›
  where ‹a * b = Abs_bit (Rep_bit a ∧ Rep_bit b)›

definition divide_bit :: ‹bit ==> bit ==> bit›
  where [simp]: ‹divide_bit = times›

definition modulo_bit :: ‹bit ==> bit ==> bit›
  where ‹a mod b = Abs_bit (Rep_bit a ∧ ¬ Rep_bit b)›

instance
  by standard
    (auto simp flip: Rep_bit_inject
    simp add: zero_bit_def one_bit_def plus_bit_def times_bit_def modulo_bit_def Abs_bit_inverse Rep_bit_inverse)

end

lemma bit_2_eq_0 [simp]:
  ‹2 = (0::bit)›
  by (simp flip: one_add_one add: zero_bit_def plus_bit_def)

instance bit :: semiring_parity
  apply standard
    apply (auto simp flip: Rep_bit_inject simp add: modulo_bit_def Abs_bit_inverse Rep_bit_inverse)
         apply (auto simp add: zero_bit_def one_bit_def Abs_bit_inverse Rep_bit_inverse)
  done

lemma Abs_bit_eq_of_bool [code_abbrev]:
  ‹Abs_bit = of_bool›
  by (simp add: fun_eq_iff zero_bit_def one_bit_def)

lemma Rep_bit_eq_odd:
  ‹Rep_bit = odd›
proof -
  have ‹¬ Rep_bit 0›
    by (simp only: zero_bit_def) (subst Abs_bit_inverse, auto)
  then show ?thesis
    by (auto simp flip: Rep_bit_inject simp add: fun_eq_iff)
qed

lemma Rep_bit_iff_odd [code_abbrev]:
  ‹Rep_bit b ⟷ odd b›
  by (simp add: Rep_bit_eq_odd)

lemma Not_Rep_bit_iff_even [code_abbrev]:
  ‹¬ Rep_bit b ⟷ even b›
  by (simp add: Rep_bit_eq_odd)

lemma Not_Not_Rep_bit [code_unfold]:
  ‹¬ ¬ Rep_bit b ⟷ Rep_bit b›
  by simp

code_datatype ‹0::bit› ‹1::bit›

lemma Abs_bit_code [code]:
  ‹Abs_bit False = 0›
  ‹Abs_bit True = 1›
  by (simp_all add: Abs_bit_eq_of_bool)

lemma Rep_bit_code [code]:
  ‹Rep_bit 0 ⟷ False›
  ‹Rep_bit 1 ⟷ True›
  by (simp_all add: Rep_bit_eq_odd)

context zero_neq_one
begin

abbreviation of_bit :: ‹bit ==> 'a\
  where ‹of_bit b ≡ of_bool (odd b)›

end

context
begin

qualified lemma bit_eq_iff:
  ‹a = b ⟷ (even a ⟷ even b)› for a b :: bit
  by (cases a; cases b) simp_all

end

lemma modulo_bit_unfold [simp, code]:
  ‹a mod b = of_bool (odd a ∧ even b)› for a b :: bit
  by (simp add: modulo_bit_def Abs_bit_eq_of_bool Rep_bit_eq_odd)

lemma power_bit_unfold [simp]:
  ‹a ^ n = of_bool (odd a ∨ n = 0)› for a :: bit
  by (cases a) simp_all

instantiation bit :: field
begin

definition uminus_bit :: ‹bit ==> bit›
  where [simp]: ‹uminus_bit = id›

definition inverse_bit :: ‹bit ==> bit›
  where [simp]: ‹inverse_bit = id›

instance
  apply standard
      apply simp_all
  apply (simp only: Z2.bit_eq_iff even_add even_zero refl)
  done

end

instantiation bit :: semiring_bits
begin

definition bit_bit :: ‹bit ==> nat ==> bool›
  where [simp]: ‹bit_bit b n ⟷ odd b ∧ n = 0›

instance
  by standard
    (auto intro: Abs_bit_induct simp add: Abs_bit_eq_of_bool)

end

instantiation bit :: ring_bit_operations
begin

context
  includes bit_operations_syntax
begin

definition not_bit :: ‹bit ==> bit›
  where [simp]: ‹NOT b = of_bool (even b)› for b :: bit

definition and_bit :: ‹bit ==> bit ==> bit›
  where [simp]: ‹b AND c = of_bool (odd b ∧ odd c)› for b c :: bit

definition or_bit :: ‹bit ==> bit ==> bit›
  where [simp]: ‹b OR c = of_bool (odd b ∨ odd c)› for b c :: bit

definition xor_bit :: ‹bit ==> bit ==> bit›
  where [simp]: ‹b XOR c = of_bool (odd b ≠ odd c)› for b c :: bit

definition mask_bit :: ‹nat ==> bit›
  where [simp]: ‹mask n = (of_bool (n > 0) :: bit)›

definition set_bit_bit :: ‹nat ==> bit ==> bit›
  where [simp]: ‹set_bit n b = of_bool (n = 0 ∨ odd b)› for b :: bit

definition unset_bit_bit :: ‹nat ==> bit ==> bit›
  where [simp]: ‹unset_bit n b = of_bool (n > 0 ∧ odd b)› for b :: bit

definition flip_bit_bit :: ‹nat ==> bit ==> bit›
  where [simp]: ‹flip_bit n b = of_bool ((n = 0) ≠ odd b)› for b :: bit

definition push_bit_bit :: ‹nat ==> bit ==> bit›
  where [simp]: ‹push_bit n b = of_bool (odd b ∧ n = 0)› for b :: bit

definition drop_bit_bit :: ‹nat ==> bit ==> bit›
  where [simp]: ‹drop_bit n b = of_bool (odd b ∧ n = 0)› for b :: bit

definition take_bit_bit :: ‹nat ==> bit ==> bit›
  where [simp]: ‹take_bit n b = of_bool (odd b ∧ n > 0)› for b :: bit

end

instance
  by standard auto

end

lemma add_bit_eq_xor [simp, code]:
  ‹(+) = (Bit_Operations.xor :: bit ==> _)›
  by (auto simp add: fun_eq_iff)

lemma mult_bit_eq_and [simp, code]:
  ‹(*) = (Bit_Operations.and :: bit \<Rightarrow> _)\<close>
  by (simp add: fun_eq_iff)


lemma bit_numeral_even [simp]:
  ‹numeral (Num.Bit0 n) = (0 :: bit)›
  by (simp only: Z2.bit_eq_iff even_numeral) simp

lemma bit_numeral_odd [simp]:
  ‹numeral (Num.Bit1 n) = (1 :: bit)›
  by (simp only: Z2.bit_eq_iff odd_numeral)  simp

end