Quelle  semigraph.xml   Sprache: XML

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#W  semigraph.xml
#Y  Copyright (C) 2014                                  James D. Mitchell
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##  Licensing information can be found in the README file of this package.
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<#GAPDoc Label="GraphInverseSemigroup">
<ManSection>
  <Oper Name="GraphInverseSemigroup" Arg="E"/>
  <Returns>A graph inverse semigroup.</Returns>
  <Description>
    If <A>E</A> is a digraph (i.e. it satisfies <Ref Prop="IsDigraph"
      BookName="Digraphs"/>), then <C>GraphInverseSemigroup</C> returns the
    graph inverse semigroup <M>G(<A>E</A>)</M> where, roughly speaking, elements
    correspondtopaths in the graph<>E<A> <P/>

    Let us describe <A>E</A> as a digraph
    <M><A>E</A> = (E ^ 0, E ^ 1, r, s)</M>, where <M>E^0</M> is the set of
    vertices, <M>E^1</M> is the set of edges, and <M>r</M> and <M>s</M> are
    functions <M>E^1 \to E^0</M> giving the <E>range</E> and <E>source</E> of an
    edge, respectively.
    The <E>graph inverse semigroup <M>G(<A>E</A>)</M> of <M>E</M></E> is the
    semigroup-with-zero generated by the sets <M><A>E</A> ^ 0</M> and
    <M><A>E</A> ^ 1</M>, together with a set of variables
    <M>\{e ^ {-1} \mid e \in <A>E</A> ^ 1\}</M>, satisfying the following
    relations for all <M>v, w \in <A>E</A> ^ 0</M> and
    <M>e, f \in <A>E</A> ^ 1</M>:

    <List>
      <Mark>(V)</Mark>
      <Item><M>vw = \delta_{v,w} \cdot v</M>,</Item>

      <Mark>(E1)</Mark>
      <Item><M>s(e) \cdot e=e \cdot r(e)=e</M>,</Item>

      <Mark>(E2)</Mark>
      <Item><M>r(e) \cdot e^{-1} = e^{-1} \cdot s(e) =e^{-1}</M>,</Item>

      <Mark>(CK1)</Mark>
      <Item><M>e^{-1} \cdot f = \delta_{e,f} \cdot r(e)</M>.</Item>
    </List>

    (Here <M>\delta</M> is the Kronecker delta.) We define <M>v^{-1}=v</M> for
    each <M>v \in E^0</M>, and for any path <M>y=e_1\dots e_n</M> (<M>e_1\dots
    e_n \in E^1</M>) we let <M>y^{-1} = e_n^{-1} \dots e_1^{-1}</M>. With this
    notation,#
    ########################################
    <P/>

    For a more complete description, see <Cite Key = "Mesyan2016"/>. <P/>

    <>
p>gr=Digraph2 ,8 0,2 ,4 ,6,8 ,1] [1,
>                   [3, 5, 7,   ReturnsAgraphinverse semigroup</Returns
>                    ] 1 ,9,[1 2 7 8] 3 5];
<immutable digraph with 10 vertices, 37 edges>
gap>S: (gr)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 36 out of bounds for length 36
<infinite inverse with 0vertices 7edges
gap> GeneratorsOfInverseSemigroup(S);
[ e_1, e_2, e_3, vertices<>^<M     edges <><M  <><M are
e_13 e_14,e_15,e_16 ,,e_19 e_20 ,e_22e_23
  e_24, e_25, e_26, e_27, e_28, e_29, e_30, e_31edge,.
  _5 e_36 e_37 v_1,v_2 v_3 , , ,v_7 , , v_10
 ]
>AssignGeneratorVariables)
gap * e_1^-;
e_1e_1^-
gap ^ -1;
0
gap> e_1 f \ A><A  <M:
v_2]]></Example>
  </Description>
</ManSection>
<#/GAPDoc>

<<Mark>()/ark>
<anSectionjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 12 out of bounds for length 12
  <Attr Name="Range" Arg="x" Label="
< Name"" Arg""Labelforgraph inversesemigroup">
  Returns  inversesemigroupelement.</>
  Description
    If Ax</  anelement of graph  semigroup
    (..it <efFilt=""/>),then
    <RangeC and<>ource<C> give, respectively, the start and end
    vertices of <A>x/A>whenviewedasa  inthedigraph whichthe
    semigroup is defined. <P/>

    For a fuller description, see <Ref Oper="GraphInverseSemigroup"/>. <P/>

    <    e_n \in1/>  let <>^-}=e_n{1 dotse_1^-}/> Withthis
gap  : Digraph([],[] []);
gap> S := GraphInverseSemigroup(gr);;
gap> e     <>xy^-}</M for some paths<>,y<M  <><M,bytheCK1relation
e_1Foramore description see Cite  "Mesyan2016"> P>
gap Source)
v_2
gap> Range(e);
v_1
]]></Example>
  </Description>
</ManSection>
<#/GAPDoc>

<#GAPDoc                   ,5 ,8 1],[25 ] 3 ,7 9 0,
<anSection
  <Oper Name="IsVertex" Arg="x" Label="for a graph inverse semigroup element"/>
  Returns<trueK> <Kfalse<K./Returns>
  <Description>
     an element ofagraphinversesemigroupi..it 
    <Ref e_1 ,e_3,e_4 e_5 , , , , ,e_11 e_12
    KtrueK  <><A corresponds to a vertex inthe  overwhich
    the semigroup is defined, and <K>false</K> otherwise, e_25,e_26 e_27 ,e_29 , ,e_32,e_33,e_34,
    <P/>

    For a fuller description, see <Ref Oper="GraphInverseSemigroup"/>. <P/>

    
gap> gr := Digraph([[],gap>AssignGeneratorVariables)
gap  =GraphInverseSemigroupgr);
gap> e := S.1;
e_1
gap> IsVertex()java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 17 out of bounds for length 17
false
gap> v := S.3;
v_1
gap> IsVertex(v);
true
gap> z := v * e;
0
gap> IsVertex(z)<Attr="ource" =" " agraph semigroup"/
false
]]>If Ax/> anelement ofa graphinversesemigroup
  </Description>
<ManSection
<#/GAPDoc

<semigroupis defined.<P/>
<ManSection>
  <Filt Name="IsGraphInverseSemigroup" Arg="x"/>
  <Filt Namejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
  <Returns><K>true</K> or <K>java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
  Description
    The category<>IsGraphInverseSemigroup</C>contains semigroupdefined
    overadigraph theRef=GraphInverseSemigroup operation.
    Thecategory<I</C>contains anyelement
    contained in such a semigroup. <P/>

    <java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [3, 1) out of bounds for length 3
gap  : ([] [1] 3];
gap> S := GraphInverseSemigroupKtrue/> <K.Returns
<<escription
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [30, 3) out of bounds for length 32
trueK>x to  in digraph which
gap> x := GeneratorsOfSemigroup semigroup isdefined <false/ .
e_1
gap (x);
true
]]></Example>
  </Description>
</ManSection>  : ([] [] []];
</APDoc

<#GAPDoc> IsVertexe)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 17 out of bounds for length 17
<ManSection>/ManSectionjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 13 out of bounds for length 13
  <AttrFiltName""Arg">
  Returns .<Returnsjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 31 out of bounds for length 31
  <Description>
    >S</A  agraph semigroupi..  
    <Ref FiltThe <></C>contains semigroup
    originaloveradigraphusing  < Oper""/ .
     toRef="GraphInverseSemigroup">tocreate<><A) P>

    <contained  asemigroup</java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [39, 40) out of bounds for length 39
gap :=Digraph[,[] 3];
<immutable digraph with 3 vertices, 2 edges>
gap> S := GraphInverseSemigroup(gr);;
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [28, 3) out of bounds for length 37
<immutable>IsGraphInverseSemigroupElementx)
]]></]<Example
  </Description>
</ManSection<GAPDoc
<< Label">

<#GAPDoc Label="IsGraphInverseSemigroupElementCollection">
  <ManSection>
    <  AttrName=" Arg=S/>
    <Description>
      Every collection of elements of a graph inverse   <eturnsAdigraph</>
      category <C>IsGraphInverseSemigroupElementCollection</Coriginaldigraph  <S/>was  (  the
       graphinverse belongs to
      <C>IsGraphInverseSemigroupElementCollection</C>.
    </Description>
  </>
</>

<#>GraphOfGraphInverseSemigroupS;
<ManSection>
    < Name=""
    <Description>
      CIsGraphInverseSubsemigroup/>is  for
      <C#GAPDocjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 10 out of bounds for length 10
      C>sGraphInverseSemigroupElementCollection P>

      See <Ref Filt = "IsGraphInverseSemigroupElementCollection"/> and
      <Ref Prop = "IsInverseSemigroup" BookName = "ref"/>.

<><![DATAjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 18 out of bounds for length 18
gap> gr := Digraph(/>
<immutabledigraphwith 3vertices 2>
gap  =GraphInverseSemigroup)
<finite# Label"">
gap>
[ e_1-,e_1-e_2-,0 e_1e_1e_11 e_1e_1^-1e_2-1
  <CIsGraphInverseSubsemigroupC>isa synonym
  v_3 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7
gap> T: (Elements{3 ]);
gap> IsGraphInverseSubsemigroup(< Prop=""  =""/.
true>Example
    /Description>
  <ManSection>
<#/GAPDoc>


<#GAPDoc Label="VerticesOfGraphInverseSemigroup">
<ManSection>
  <Attr Name="VerticesOfGraphInverseSemigroup" Arg="S"/>
  <Returns>A< graph inversesemigroup 3vertices,2edges
  <Description
     <A>S/A>isa  inversesemigroupi..itjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [63, 64) out of bounds for length 63
    < Filt=IsGraphInverseSemigroup/) thenthis returnsjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 75 out of bounds for length 75
    list of vertices of <A>S</A>.

    <Example<[DATA[
gap D : Digraph([[3 4], [3,4] [],[]];
<immutable digraph with 4 vertices, 5 edges>
gap> S := GraphInverseSemigroup(D);
<finite graph inverse semigroup with 4 vertices, 5 edges>
gap> VerticesOfGraphInverseSemigroup(S);
[ v_1, v_2, v_3, v_4 ]
gap> D := ChainDigraph(12);
<immutable chain digraph with 12 vertices>
gap> S := GraphInverseSemigroup(D);
<finite graph inverse semigroup with 12 vertices, 11 edges>
gap> VerticesOfGraphInverseSemigroup(S);
[ v_1, v_2, v_3, v_4, v_5, v_6,    <Ref Filt=IsGraphInverseSemigroup/>, thenthisattributereturns the
]>/>
  </Description>
</ManSection>
<#/GAPDoc>

< Example<[CDATA[
<ManSection
  AttrName="ndexOfVertexOfGraphInverseSemigroup" Arg""/java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 61 out of bounds for length 61
  <eturnsA integer</Returns
  <Description>
    If <A>v<gap VerticesOfGraphInverseSemigroup)
    <RefFilt"IsGraphInverseSemigroup"/), then this attribute returns the
    index of this vertex in <A>S</A>.<P/>

    <Example><![CDATA[
gap> D := Digraph([[3, 4], [3, 4], [4], []]);
<immutable digraph with 4 vertices, 5 edges>
gap> S := GraphInverseSemigroup(D);
<finite graph inverse semigroup with 4 vertices, 5 edges>
ap>IndexOfVertexOfGraphInverseSemigroup)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 47 out of bounds for length 47
1
gap IndexOfVertexOfGraphInverseSemigroup);
3]]></Example>
  </Description>
</ManSection>
<#/GAPDoc>