Quelle  AC18_AC19.thy   Sprache: Isabelle

(*  Title:      ZF/AC/AC18_AC19.thy
    Author:     Krzysztof Grabczewski

The proof of AC1 \<Longrightarrow> AC18 \<Longrightarrow> AC19 \<Longrightarrow> AC1
*)

theory AC18_AC19
imports AC_Equiv
begin

definition
  uu    :: "i \ i" where
    "uu(a) \ {c \ {0}. c \ a}"


(* ********************************************************************** *)
(* AC1 \<Longrightarrow> AC18                                                           *)
(* ********************************************************************** *)

lemma PROD_subsets:
     "\f \ (\b \ {P(a). a \ A}. b); \a \ A. P(a)<=Q(a)\
      ==> (λa ∈ A. f`P(a)) ∈ (∏a ∈ A. Q(a))"
by (rule lam_type, drule apply_type, auto)

lemma lemma_AC18:
     "\\A. 0 \ A \ (\f. f \ (\X \ A. X)); A \ 0\
      ==> (∩a ∈ A. ∪b ∈ B(a). X(a, b)) ⊆ 
          (∪f ∈ ∏a ∈ A. B(a). ∩a ∈ A. X(a, f`a))"
apply (rule subsetI)
apply (erule_tac x = "{{b \ B (a) . x \ X (a,b) }. a \ A}" in allE)
apply (erule impE, fast)
apply (erule exE)
apply (rule UN_I)
 apply (fast elim!: PROD_subsets)
apply (simp, fast elim!: not_emptyE dest: apply_type [OF _ RepFunI])
done

lemma AC1_AC18: "AC1 \ PROP AC18"
  unfolding AC1_def
apply (rule AC18.intro)
apply (fast elim!: lemma_AC18 apply_type intro!: equalityI INT_I UN_I)
done

(* ********************************************************************** *)
(* AC18 \<Longrightarrow> AC19                                                          *)
(* ********************************************************************** *)

theorem (in AC18) AC19
  unfolding AC19_def
apply (intro allI impI)
apply (rule AC18 [of _ "\x. x", THEN mp], blast)
done

(* ********************************************************************** *)
(* AC19 \<Longrightarrow> AC1                                                           *)
(* ********************************************************************** *)

lemma RepRep_conj: 
        "\A \ 0; 0 \ A\ \ {uu(a). a \ A} \ 0 \ 0 \ {uu(a). a \ A}"
apply (unfold uu_def, auto) 
apply (blast dest!: sym [THEN RepFun_eq_0_iff [THEN iffD1]])
done

lemma lemma1_1: "\c \ a; x = c \ {0}; x \ a\ \ x - {0} \ a"
apply clarify 
apply (rule subst_elem, assumption)
apply (fast elim: notE subst_elem)
done

lemma lemma1_2: 
        "\f`(uu(a)) \ a; f \ (\B \ {uu(a). a \ A}. B); a \ A\
                ==> f`(uu(a))-{0} ∈ a"
apply (unfold uu_def, fast elim!: lemma1_1 dest!: apply_type)
done

lemma lemma1: "\f. f \ (\B \ {uu(a). a \ A}. B) \ \f. f \ (\B \ A. B)"
apply (erule exE)
apply (rule_tac x = "\a\A. if (f` (uu(a)) \ a, f` (uu(a)), f` (uu(a))-{0})" 
       in exI)
apply (rule lam_type) 
apply (simp add: lemma1_2)
done

lemma lemma2_1: "a\0 \ 0 \ (\b \ uu(a). b)"
by (unfold uu_def, auto)

lemma lemma2: "\A\0; 0\A\ \ (\x \ {uu(a). a \ A}. \b \ x. b) \ 0"
apply (erule not_emptyE) 
apply (rule_tac a = 0 in not_emptyI)
apply (fast intro!: lemma2_1)
done

lemma AC19_AC1: "AC19 \ AC1"
apply (unfold AC19_def AC1_def, clarify)
apply (case_tac "A=0", force)
apply (erule_tac x = "{uu (a) . a \ A}" in allE)
apply (erule impE)
apply (erule RepRep_conj, assumption)
apply (rule lemma1)
apply (drule lemma2, assumption, auto) 
done

end