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definition semiconfluentp :: "('a ==> 'a ==> bool) ==> bool" where
  "semiconfluentp r ⟷ r^-1-1 OO r🪙*🪙* ≤ r🪙*🪙* OO r^-1-1🪙*🪙*"

definition confluentp :: "('a ==> 'a ==> bool) ==> bool" where
  "confluentp r ⟷ r^-1-1🪙*🪙* OO r🪙*🪙* ≤ r🪙*🪙* OO r^-1-1🪙*🪙*"

definition strong_confluentp :: "('a ==> 'a ==> bool) ==> bool" where
  "strong_confluentp r ⟷ r^-1-1 OO r ≤ r🪙*🪙* OO (r^-1-1)🪙=🪙="

lemma semiconfluentpI [intro?]:
  "semiconfluentp r" if "∧x y z. [ r x y; r🪙*🪙* x z ] ==> ∃u. r🪙*🪙* y u ∧ r🪙*🪙* z u"
  using that unfolding semiconfluentp_def rtranclp_conversep by blast

lemma semiconfluentpD: "∃u. r🪙*🪙* y u ∧ r🪙*🪙* z u" if "semiconfluentp r" "r x y" "r🪙*🪙* x z"
  using that unfolding semiconfluentp_def rtranclp_conversep by blast

lemma confluentpI:
  "confluentp r" if "∧x y z. [ r🪙*🪙* x y; r🪙*🪙* x z ] ==> ∃u. r🪙*🪙* y u ∧ r🪙*🪙* z u"
  using that unfolding confluentp_def rtranclp_conversep by blast

lemma confluentpD: "∃u. r🪙*🪙* y u ∧ r🪙*🪙* z u" if "confluentp r" "r🪙*🪙* x y" "r??*🪙* x z"
  using that unfolding confluentp_def rtranclp_conversep by blast

lemma strong_confluentpI [intro?]:
  "strong_confluentp r" if "∧x y z. [ r x y; r x z ] ==> ∃u. r🪙*🪙* y u ∧ r🪙=🪙= z u"
  using that unfolding strong_confluentp_def by blast

lemma strong_confluentpD: "∃u. r🪙*🪙* y u ∧ r🪙=🪙= z u" if "strong_confluentp r" "r x y" "r x z"
  using that unfolding strong_confluentp_def by blast

lemma semiconfluentp_imp_confluentp: "confluentp r" if r: "semiconfluentp r"
proof(rule confluentpI)
  show "∃u. r🪙*🪙* y u ∧ r🪙*🪙* z u" if "r🪙*🪙* x y" "r🪙*🪙* x z" for x y z
    using that(2,1)
    by(induction arbitrary: y rule: converse_rtranclp_induct)
      (blast intro: rtranclp_trans dest:  r[THEN semiconfluentpD])+
qed

lemma confluentp_imp_semiconfluentp: "semiconfluentp r" if "confluentp r"
  using that by(auto intro!: semiconfluentpI dest: confluentpD[OF that])

lemma confluentp_eq_semiconfluentp: "confluentp r ⟷ semiconfluentp r"
  by(blast intro: semiconfluentp_imp_confluentp confluentp_imp_semiconfluentp)

lemma confluentp_conv_strong_confluentp_rtranclp:
  "confluentp r ⟷ strong_confluentp (r🪙*🪙*)"
  by(auto simp add: confluentp_def strong_confluentp_def rtranclp_conversep)

lemma strong_confluentp_into_semiconfluentp:
  "semiconfluentp r" if r: "strong_confluentp r"
proof
  show "∃u. r🪙*🪙* y u ∧ r🪙*🪙* z u" if "r x y" "r🪙*🪙* x z" for x y z
    using that(2,1)
    apply(induction arbitrary: y rule: converse_rtranclp_induct)
    subgoal by blast
    subgoal for a b c
      by (drule (1) strong_confluentpD[OF r, of a c])(auto 10 0 intro: rtranclp_trans)
    done
qed

lemma strong_confluentp_imp_confluentp: "confluentp r" if "strong_confluentp r"
  unfolding confluentp_eq_semiconfluentp using that by(rule strong_confluentp_into_semiconfluentp)

lemma semiconfluentp_equivclp: "equivclp r = r🪙*🪙* OO r^-1-1🪙*🪙*" if r: "semiconfluentp r"
proof(rule antisym[rotated] r_OO_conversep_into_equivclp predicate2I)+
  show "(r🪙*🪙* OO r^-1-1🪙*🪙*) x y" if "equivclp r x y" for x y using that unfolding equivclp_def rtranclp_conversep
    by(induction rule: converse_rtranclp_induct)
      (blast elim!: symclpE intro: converse_rtranclp_into_rtranclp rtranclp_trans dest: semiconfluentpD[OF r])+
qed

end