Quelle  Hoare.thy   Sprache: Isabelle

(* Author: Tobias Nipkow *)

section "Hoare Logic"

subsection "Hoare Logic for Partial Correctness"

theory Hoare imports Big_Step begin

type_synonym assn = "state \ bool"

definition
hoare_valid :: "assn \ com \ assn \ bool" (‹⊨ {(1_)}/ (_)/ {(1_)}› 50) where
"\ {P}c{Q} = (\s t. P s \ (c,s) \ t \ Q t)"

abbreviation state_subst :: "state \ aexp \ vname \ state"
  (‹_[_'/_]\ [1000,0,0] 999)
where "s[a/x] == s(x := aval a s)"

inductive
  hoare :: "assn \ com \ assn \ bool" (‹⊨ ({(1_)}/ (_)/ {(1_)})› 50)
where
Skip: "\ {P} SKIP {P}"  |

Assign:  "\ {\s. P(s[a/x])} x::=a {P}"  |

Seq: "\ \ {P} c\<^sub>1 {Q}; \ {Q} c\<^sub>2 {R} \
      ==> ⊨ {P} c🚫1;;c🚫2 {R}" |

If: "\ \ {\s. P s \ bval b s} c\<^sub>1 {Q}; \ {\s. P s \ \ bval b s} c\<^sub>2 {Q} \
     ==> ⊨ {P} IF b THEN c🚫1 ELSE c🚫2 {Q}" |

While: "\ {\s. P s \ bval b s} c {P} \
        ⊨ {P} WHILE b DO c {λs. P s ∧ ¬ bval b s}" |

conseq: "\ \s. P' s \ P s; \ {P} c {Q}; \s. Q s \ Q' s \
        ==> ⊨ {P'} c {Q'}"

lemmas [simp] = hoare.Skip hoare.Assign hoare.Seq If

lemmas [intro!] = hoare.Skip hoare.Assign hoare.Seq hoare.If

lemma strengthen_pre:
  "\ \s. P' s \ P s; \ {P} c {Q} \ \ \ {P'} c {Q}"
by (blast intro: conseq)

lemma weaken_post:
  "\ \ {P} c {Q}; \s. Q s \ Q' s \ \ \ {P} c {Q'}"
by (blast intro: conseq)

text‹The assignment and While rule are awkward to use in actual proofs
because their pre and postcondition are of a very special form and the actual
goal would have to match this form exactly. Therefore we derive two variants
with arbitrary pre and postconditions.›

lemma Assign': "\s. P s \ Q(s[a/x]) \ \ {P} x ::= a {Q}"
by (simp add: strengthen_pre[OF _ Assign])

lemma While':
assumes "\ {\s. P s \ bval b s} c {P}" and "\s. P s \ \ bval b s \ Q s"
shows "\ {P} WHILE b DO c {Q}"
by(rule weaken_post[OF While[OF assms(1)] assms(2)])

end