Quelle  Sylow.thy

(*  Title:      HOL/Algebra/Sylow.thy
  Author: Florian Kammueller, with new proofs by L C Paulson
*)

theory Sylow
  imports Coset Exponent
begin

text ‹See also 🍋‹"Kammueller-Paulson:1999"›.›

text ‹The combinatorial argument is in theory ‹Exponent›.›

lemma le_extend_mult: "[0 < c; a ≤ b] ==> a ≤ b * c" for c :: nat
  using gr0_conv_Suc by fastforce

locale sylow = group +
  fixes p and a and m and calM and RelM
  assumes prime_p: "prime p"
    and order_G: "order G = (p^a) * m"
    and finite_G[iff]: "finite (carrier G)"
  defines "calM ≡ {s. s ⊆ carrier G ∧ card s = p^a}"
    and "RelM ≡ {(N1, N2). N1 ∈ calM ∧ N2 ∈ calM ∧ (∃g ∈ carrier G. N1 = N2 #> g)}"
begin

lemma RelM_subset: "RelM ⊆ calM × calM"
  by (auto simp only: RelM_def)

lemma RelM_refl_on: "refl_on calM RelM"
  by (auto simp: refl_on_def RelM_def calM_def) (blast intro!: coset_mult_one [symmetric])

lemma RelM_sym: "sym RelM"
  unfolding sym_def RelM_def calM_def
  using coset_mult_assoc coset_mult_one r_inv_ex
  by (smt (verit, best) case_prod_conv mem_Collect_eq)

lemma RelM_trans: "trans RelM"
  by (auto simp add: trans_def RelM_def calM_def coset_mult_assoc)

lemma RelM_equiv: "equiv calM RelM"
  using RelM_subset RelM_refl_on RelM_sym RelM_trans by (intro equivI)

lemma M_subset_calM_prep: "M' ∈ calM // RelM ==> M' ⊆ calM"
  unfolding RelM_def by (blast elim!: quotientE)

end

subsection ‹Main Part of the Proof›

locale sylow_central = sylow +
  fixes H and M1 and M
  assumes M_in_quot: "M ∈ calM // RelM"
    and not_dvd_M: "¬ (p ^ Suc (multiplicity p m) dvd card M)"
    and M1_in_M: "M1 ∈ M"
  defines "H ≡ {g. g ∈ carrier G ∧ M1 #> g = M1}"
begin

lemma M_subset_calM: "M ⊆ calM"
  by (simp add: M_in_quot M_subset_calM_prep)

lemma card_M1: "card M1 = p^a"
  using M1_in_M M_subset_calM calM_def by blast

lemma exists_x_in_M1: "∃x. x ∈ M1"
  using prime_p [THEN prime_gt_Suc_0_nat] card_M1 one_in_subset by fastforce

lemma M1_subset_G [simp]: "M1 ⊆ carrier G"
  using M1_in_M M_subset_calM calM_def mem_Collect_eq subsetCE by blast

lemma M1_inj_H: "∃f ∈ H→M1. inj_on f H"
proof -
  from exists_x_in_M1 obtain m1 where m1M: "m1 ∈ M1"..
  show ?thesis
  proof
    have "m1 ∈ carrier G"
      by (simp add: m1M M1_subset_G [THEN subsetD])
    then show "inj_on (λz∈H. m1 ⊗ z) H"
      by (simp add: H_def inj_on_def)
    show "restrict ((⊗) m1) H ∈ H → M1"
      using H_def m1M rcosI by auto
  qed
qed

end


subsection ‹Discharging the Assumptions of ‹sylow_central›\›

context sylow
begin

lemma EmptyNotInEquivSet: "{} ∉ calM // RelM"
  using RelM_equiv in_quotient_imp_non_empty by blast

lemma existsM1inM: "M ∈ calM // RelM ==> ∃M1. M1 ∈ M"
  using RelM_equiv equiv_Eps_in by blast

lemma zero_less_o_G: "0 < order G"
  by (simp add: order_def card_gt_0_iff carrier_not_empty)

lemma zero_less_m: "m > 0"
  using zero_less_o_G by (simp add: order_G)

lemma card_calM: "card calM = (p^a) * m choose p^a"
  by (simp add: calM_def n_subsets order_G [symmetric] order_def)

lemma zero_less_card_calM: "card calM > 0"
  by (simp add: card_calM zero_less_binomial le_extend_mult zero_less_m)

lemma max_p_div_calM: "¬ (p ^ Suc (multiplicity p m) dvd card calM)"
proof
  assume "p ^ Suc (multiplicity p m) dvd card calM"
  with zero_less_card_calM prime_p
  have "Suc (multiplicity p m) ≤ multiplicity p (card calM)"
    by (intro multiplicity_geI) auto
  then show False
    by (simp add: card_calM const_p_fac prime_p zero_less_m)
qed

lemma finite_calM: "finite calM"
  unfolding calM_def by (rule finite_subset [where B = "Pow (carrier G)"]) auto

lemma lemma_A1: "∃M ∈ calM // RelM. ¬ (p ^ Suc (multiplicity p m) dvd card M)"
  using RelM_equiv equiv_imp_dvd_card finite_calM max_p_div_calM by blast

end


subsubsection ‹Introduction and Destruct Rules for ‹H›\›

context sylow_central
begin

lemma H_I: "[g ∈ carrier G; M1 #> g = M1] ==> g ∈ H"
  by (simp add: H_def)

lemma H_into_carrier_G: "x ∈ H ==> x ∈ carrier G"
  by (simp add: H_def)

lemma in_H_imp_eq: "g ∈ H ==> M1 #> g = M1"
  by (simp add: H_def)

lemma H_m_closed: "[x ∈ H; y ∈ H] ==> x ⊗ y ∈ H"
  by (simp add: H_def coset_mult_assoc [symmetric])

lemma H_not_empty: "H ≠ {}"
  by (force simp add: H_def intro: exI [of _ 1])

lemma H_is_subgroup: "subgroup H G"
proof (rule subgroupI)
  show "H ⊆ carrier G"
    using H_into_carrier_G by blast
  show "∧a. a ∈ H ==> inv a ∈ H"
    by (metis H_I H_into_carrier_G M1_subset_G coset_mult_assoc coset_mult_one in_H_imp_eq inv_closed r_inv)
  show "∧a b. [a ∈ H; b ∈ H] ==> a ⊗ b ∈ H"
    by (blast intro: H_m_closed)
qed (use H_not_empty in auto)

lemma rcosetGM1g_subset_G: "[g ∈ carrier G; x ∈ M1 #> g] ==> x ∈ carrier G"
  by (blast intro: M1_subset_G [THEN r_coset_subset_G, THEN subsetD])

lemma finite_M1: "finite M1"
  by (rule finite_subset [OF M1_subset_G finite_G])

lemma finite_rcosetGM1g: "g ∈ carrier G ==> finite (M1 #> g)"
  using rcosetGM1g_subset_G finite_G M1_subset_G cosets_finite rcosetsI by blast

lemma M1_cardeq_rcosetGM1g: "g ∈ carrier G ==> card (M1 #> g) = card M1"
  by (metis M1_subset_G card_rcosets_equal rcosetsI)

lemma M1_RelM_rcosetGM1g: 
  assumes "g ∈ carrier G"
  shows "(M1, M1 #> g) ∈ RelM"
proof -
  have "M1 #> g ⊆ carrier G"
    by (simp add: assms r_coset_subset_G)
  moreover have "card (M1 #> g) = p ^ a"
    using assms by (simp add: card_M1 M1_cardeq_rcosetGM1g)
  moreover have "∃h∈carrier G. M1 = M1 #> g #> h"
    by (metis assms M1_subset_G coset_mult_assoc coset_mult_one r_inv_ex)
  ultimately show ?thesis
    by (simp add: RelM_def calM_def card_M1)
qed

end


subsection ‹Equal Cardinalities of ‹M› and the Set of Cosets›

text ‹Injections between 🍋‹M› and 🍋‹rcosets🪙G🪙 H› show that
  their cardinalities are equal.›

lemma ElemClassEquiv: "[equiv A r; C ∈ A // r] ==> ∀x ∈ C. ∀y ∈ C. (x, y) ∈ r"
  unfolding equiv_def quotient_def sym_def trans_def by blast

context sylow_central
begin

lemma M_elem_map: "M2 ∈ M ==> ∃g. g ∈ carrier G ∧ M1 #> g = M2"
  using M1_in_M M_in_quot [THEN RelM_equiv [THEN ElemClassEquiv]]
  by (simp add: RelM_def) (blast dest!: bspec)

lemmas M_elem_map_carrier = M_elem_map [THEN someI_ex, THEN conjunct1]

lemmas M_elem_map_eq = M_elem_map [THEN someI_ex, THEN conjunct2]

lemma M_funcset_rcosets_H:
  "(λx∈M. H #> (SOME g. g ∈ carrier G ∧ M1 #> g = x)) ∈ M → rcosets H"
  by (metis (lifting) H_is_subgroup M_elem_map_carrier rcosetsI restrictI subgroup.subset)

lemma inj_M_GmodH: "∃f ∈ M → rcosets H. inj_on f M"
proof
  let ?inv = "λx. SOME g. g ∈ carrier G ∧ M1 #> g = x"
  show "inj_on (λx∈M. H #> ?inv x) M"
  proof (rule inj_onI, simp)
    fix x y
    assume eq: "H #> ?inv x = H #> ?inv y" and xy: "x ∈ M" "y ∈ M"
    have "x = M1 #> ?inv x"
      by (simp add: M_elem_map_eq ‹x ∈ M›)
    also have "… = M1 #> ?inv y"
    proof (rule coset_mult_inv1 [OF in_H_imp_eq [OF coset_join1]])
      show "H #> ?inv x ⊗ inv (?inv y) = H"
        by (simp add: H_into_carrier_G M_elem_map_carrier xy coset_mult_inv2 eq subsetI)
    qed (simp_all add: H_is_subgroup M_elem_map_carrier xy)
    also have "… = y"
      using M_elem_map_eq ‹y ∈ M› by simp
    finally show "x=y" .
  qed
  show "(λx∈M. H #> ?inv x) ∈ M → rcosets H"
    by (rule M_funcset_rcosets_H)
qed

end


subsubsection ‹The Opposite Injection›

context sylow_central
begin

lemma H_elem_map: "H1 ∈ rcosets H ==> ∃g. g ∈ carrier G ∧ H #> g = H1"
  by (auto simp: RCOSETS_def)

lemmas H_elem_map_carrier = H_elem_map [THEN someI_ex, THEN conjunct1]

lemmas H_elem_map_eq = H_elem_map [THEN someI_ex, THEN conjunct2]

lemma rcosets_H_funcset_M:
  "(λC ∈ rcosets H. M1 #> (SOME g. g ∈ carrier G ∧ H #> g = C)) ∈ rcosets H → M"
  using in_quotient_imp_closed [OF RelM_equiv M_in_quot _  M1_RelM_rcosetGM1g]
  by (simp add: M1_in_M H_elem_map_carrier RCOSETS_def)

lemma inj_GmodH_M: "∃g ∈ rcosets H→M. inj_on g (rcosets H)"
proof
  let ?inv = "λx. SOME g. g ∈ carrier G ∧ H #> g = x"
  show "inj_on (λC∈rcosets H. M1 #> ?inv C) (rcosets H)"
  proof (rule inj_onI, simp)
    fix x y
    assume eq: "M1 #> ?inv x = M1 #> ?inv y" and xy: "x ∈ rcosets H" "y ∈ rcosets H"
    have "x = H #> ?inv x"
      by (simp add: H_elem_map_eq ‹x ∈ rcosets H›)
    also have "… = H #> ?inv y"
    proof (rule coset_mult_inv1 [OF coset_join2])
      show "?inv x ⊗ inv (?inv y) ∈ carrier G"
        by (simp add: H_elem_map_carrier ‹x ∈ rcosets H› ‹y ∈ rcosets H›)
      then show "(?inv x) ⊗ inv (?inv y) ∈ H"
        by (simp add: H_I H_elem_map_carrier xy coset_mult_inv2 eq)
      show "H ⊆ carrier G"
        by (simp add: H_is_subgroup subgroup.subset)
    qed (simp_all add: H_is_subgroup H_elem_map_carrier xy)
    also have "… = y"
      by (simp add: H_elem_map_eq ‹y ∈ rcosets H›)
    finally show "x=y" .
  qed
  show "(λC∈rcosets H. M1 #> ?inv C) ∈ rcosets H → M"
    using rcosets_H_funcset_M by blast
qed

lemma calM_subset_PowG: "calM ⊆ Pow (carrier G)"
  by (auto simp: calM_def)


lemma finite_M: "finite M"
  by (metis M_subset_calM finite_calM rev_finite_subset)

lemma cardMeqIndexH: "card M = card (rcosets H)"
  using inj_M_GmodH inj_GmodH_M
  by (metis H_is_subgroup card_bij finite_G finite_M finite_UnionD rcosets_part_G)

lemma index_lem: "card M * card H = order G"
  by (simp add: cardMeqIndexH lagrange H_is_subgroup)

lemma card_H_eq: "card H = p^a"
proof (rule antisym)
  show "p^a ≤ card H"
  proof (rule dvd_imp_le)
    have "p ^ (a + multiplicity p m) dvd card M * card H"
      by (simp add: index_lem multiplicity_dvd order_G power_add)
    then show "p ^ a dvd card H"
      using div_combine not_dvd_M prime_p by blast
    show "0 < card H"
      by (blast intro: subgroup.finite_imp_card_positive H_is_subgroup)
  qed
next
  show "card H ≤ p^a"
    using M1_inj_H card_M1 card_inj finite_M1 by fastforce
qed

end

lemma (in sylow) sylow_thm: "∃H. subgroup H G ∧ card H = p^a"
proof -
  obtain M where M: "M ∈ calM // RelM" "¬ (p ^ Suc (multiplicity p m) dvd card M)"
    using lemma_A1 by blast
  then obtain M1 where "M1 ∈ M"
    by (metis existsM1inM) 
  define H where "H ≡ {g. g ∈ carrier G ∧ M1 #> g = M1}"
  with M ‹M1 ∈ M›
  interpret sylow_central G p a m calM RelM H M1 M
    by unfold_locales (auto simp add: H_def calM_def RelM_def)
  show ?thesis
    using H_is_subgroup card_H_eq by blast
qed

text ‹Needed because the locale's automatic definition refers to
  🍋‹semigroup G› and 🍋‹group_axioms G› rather than
  simply to 🍋‹group G›.›
lemma sylow_eq: "sylow G p a m ⟷ group G ∧ sylow_axioms G p a m"
  by (simp add: sylow_def group_def)


subsection ‹Sylow's Theorem›

theorem sylow_thm:
  "[prime p; group G; order G = (p^a) * m; finite (carrier G)]
    ==> ∃H. subgroup H G ∧ card H = p^a"
  by (rule sylow.sylow_thm [of G p a m]) (simp add: sylow_eq sylow_axioms_def)

end