Quellcodebibliothek Statistik Leitseite products/Sources/formale Sprachen/GAP/pkg/repndecomp/doc/   (Algebra von RWTH Aachen Version 4.15.1©)  Datei vom 12.8.2025 mit Größe 8 kB image not shown  

Quelle  chap1.html   Sprache: HTML

 
 products/Sources/formale Sprachen/GAP/pkg/repndecomp/doc/chap1.html


<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<title>GAP (RepnDecomp) - Chapter 1: Introduction</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap1"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chap2.html">2</a>  <a href="chap3.html">3</a>  <a href="chap4.html">4</a>  <a href="chap5.html">5</a>  <a href="chap6.html">6</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap2.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap1_mj.html">[MathJax on]</a></p>
<p><a id="X7DFB63A97E67C0A1" name="X7DFB63A97E67C0A1"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap1.html#X7DFB63A97E67C0A1">1 <span class="Heading">Introduction</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap1.html#X789233A47A277072">1.1 <span class="Heading">Getting started with RepnDecomp</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1.html#X8360C04082558A12">1.1-1 <span class="Heading">Installation</span></a>
</span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1.html#X792C0F507B4A3B89">1.1-2 <span class="Heading">Note on what is meant by a representation</span></a>
</span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1.html#X8315479878D25E37">1.1-3 <span class="Heading">API Overview</span></a>
</span>
</div></div>
</div>

<h3>1 <span class="Heading">Introduction</span></h3>

<p><a id="X789233A47A277072" name="X789233A47A277072"></a></p>

<h4>1.1 <span class="Heading">Getting started with RepnDecomp</span></h4>

<p>This package allows computations of various decompositions of a representation <span class="Math">\rho : G \to GL(V)</span> where <span class="Math">G</span> is finite and <span class="Math">V</span> is a finite-dimensional <span class="Math">\mathbb{C}</span>-vector space.</p>

<p><a id="X8360C04082558A12" name="X8360C04082558A12"></a></p>

<h5>1.1-1 <span class="Heading">Installation</span></h5>

<p>To install this package, refer to the installation instructions in the README file in the source code. It is located here: <span class="URL"><a href="https://github.com/gap-packages/RepnDecomp/blob/master/README.md">https://github.com/gap-packages/RepnDecomp/blob/master/README.md</a></span>.</p>

<p><a id="X792C0F507B4A3B89" name="X792C0F507B4A3B89"></a></p>

<h5>1.1-2 <span class="Heading">Note on what is meant by a representation</span></h5>

<p>Throughout this documentation, mathematical terminology is used e.g. representation. It is clear what is meant mathematically, but it is not entirely clear what is meant in terms of GAP types - what are you supposed to pass in when I say "pass in a representation". Occasionally I will not even mention what we are passing in and assume the reader knows that <var class="Arg">rho</var> or <span class="Math">\rho</span> refers to a representation. A representation we can use is, in GAP, a homomorphism from a finite group to a matrix group where all matrices have coefficients in a cyclotomic field (<code class="code">Cyclotomics</code> is the union of all such fields in GAP). You can check whether something you want to pass is suitable with the function <code class="func">IsFiniteGroupLinearRepresentation</code> (<a href="chap4.html#X8631A1417C3C1D88"><span class="RefLink">4.1-1</span></a>).</p>

<p>Here's an example of a representation rho in GAP:




<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">G := SymmetricGroup(3);</span>
Sym( [ 1 .. 3 ] )
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">images := List(GeneratorsOfGroup(G), g -> PermutationMat(g, 3));</span>
[ [ [ 0, 1, 0 ], [ 0, 0, 1 ], [ 1, 0, 0 ] ],
  [ [ 0, 1, 0 ], [ 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 1 ] ] ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">rho := GroupHomomorphismByImages(G, Group(images));</span>
[ (1,2,3), (1,2) ] -> [ [ [ 0, 1, 0 ], [ 0, 0, 1 ], [ 1, 0, 0 ] ],
  [ [ 0, 1, 0 ], [ 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 1 ] ] ]
</pre></div>

<p><a id="X8315479878D25E37" name="X8315479878D25E37"></a></p>

<h5>1.1-3 <span class="Heading">API Overview</span></h5>

<p>The algorithms implemented can be divided into two groups: methods due to Serre from his book Linear Representations of Finite Groups, and original methods due to the authors of this package.</p>

<p>The default is to use the algorithms due to Serre. If you pass the option <code class="code">method := "alternate"</code> to a function, it will use the alternate method. Passing the option <code class="code">parallel</code> will try to compute in parallel as much as possible. See the individual functions for options you can pass.</p>

<p>The main functions implemented in this package are:</p>

<p>For decomposing representations into canonical and irreducible direct summands:</p>


<ul>
<li><p><code class="func">CanonicalDecomposition</code> (<a href="chap5.html#X7E95B0367992BEC4"><span class="RefLink">5.3-1</span></a>)</p>

</li>
<li><p><code class="func">IrreducibleDecomposition</code> (<a href="chap5.html#X795C63F386C45308"><span class="RefLink">5.3-2</span></a>)</p>

</li>
<li><p><code class="func">IrreducibleDecompositionCollected</code> (<a href="chap5.html#X87E91CBE7992D126"><span class="RefLink">5.3-3</span></a>)</p>

</li>
</ul>
<p>For block diagonalising representations:</p>


<ul>
<li><p><code class="func">BlockDiagonalBasisOfRepresentation</code> (<a href="chap5.html#X8361AD057AD282AC"><span class="RefLink">5.1-1</span></a>)</p>

</li>
<li><p><code class="func">BlockDiagonalRepresentation</code> (<a href="chap5.html#X86EB837579C1416D"><span class="RefLink">5.1-2</span></a>)</p>

</li>
</ul>
<p>For computing centraliser rings:</p>


<ul>
<li><p><code class="func">CentralizerBlocksOfRepresentation</code> (<a href="chap6.html#X7901B6A7860D35C3"><span class="RefLink">6.1-1</span></a>)</p>

</li>
<li><p><code class="func">CentralizerOfRepresentation</code> (<a href="chap6.html#X86B19E2B877121E9"><span class="RefLink">6.1-2</span></a>)</p>

</li>
</ul>
<p>For testing isomorphism and computing isomorphisms (intertwining operators) between representations:</p>


<ul>
<li><p><code class="func">LinearRepresentationIsomorphism</code> (<a href="chap2.html#X7F0D3CFB7800149A"><span class="RefLink">2.1-1</span></a>)</p>

</li>
<li><p><code class="func">AreRepsIsomorphic</code> (<a href="chap2.html#X86EB9DD586958473"><span class="RefLink">2.2-1</span></a>)</p>

</li>
<li><p><code class="func">IsLinearRepresentationIsomorphism</code> (<a href="chap2.html#X81080E1B7917B361"><span class="RefLink">2.2-2</span></a>)</p>

</li>
</ul>
<p>For testing unitarity of representations and the unitarisation of representations:</p>


<ul>
<li><p><code class="func">UnitaryRepresentation</code> (<a href="chap3.html#X86B2367A79BE5B9F"><span class="RefLink">3.1-1</span></a>)</p>

</li>
<li><p><code class="func">IsUnitaryRepresentation</code> (<a href="chap3.html#X87D121227C027253"><span class="RefLink">3.1-2</span></a>)</p>

</li>
</ul>

<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap2.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chap2.html">2</a>  <a href="chap3.html">3</a>  <a href="chap4.html">4</a>  <a href="chap5.html">5</a>  <a href="chap6.html">6</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="https://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>

100%


¤ Dauer der Verarbeitung: 0.16 Sekunden  (vorverarbeitet)  ¤

*© Formatika GbR, Deutschland




Wurzel

Suchen

Beweissystem der NASA

Beweissystem Isabelle

NIST Cobol Testsuite

Cephes Mathematical Library

Wiener Entwicklungsmethode

Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.

Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.