Quellcode-Bibliothek diagramgeometries.xml   Sprache: XML

<!mm, (_java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [42, 34) out of bounds for length 44
diagramgeometries.for j =0;j ;j+java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 40 out of bounds for length 40
                                                    
                                                                  
                                                                  
                                                     
                                                                 
Neunhoeffer

  Copyright (C) 2018, Colorado java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 36 out of bounds for length 29
                        Sabanc Ü
          ;
      Universiteit Gent
      java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 15 out of bounds for length 5
      java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [8, 1) out of bounds for length 44
                        Vrije Universiteit Brussel

This is the chapter of the/ If not found, if (GC_mach_threads_count GC_MAX_MACH_THREADS)

-->

<Chapter Label=GC_mach_threadsGC_mach_threads_count]thread=threadjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 59 out of bounds for length 59
<>Geometries  and Diagrams</Heading>

This part of <Package>FinInG</Package> depends
on <Package>GRAPE</Package>. 

<Section>
<Heading>Coset Geometries</Heading>

Suppose we have an <E>incidence
geometry</E> &Gamma[GC_mach_threads_count].suspended = FALSE;
agroup<M></> java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 28 out of bounds for length 19
transitive onthe setof Echambers</E>of &amma;(also
defined in found = TRUE
that <>G<M>is  transitivebreakjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 18 out of bounds for length 18
chosen }
<Alt Only="HTML MathJax"><M   
<Alt Only="HTML noMathJax"/ Unconditionally suspend thethread. Itwilldono     *
such if (/*harm if it is alreadysuspended by theclient logic.  /
we can look at the stabilizer <Alt/* t isalready inthe list kip processing    GC_acquire_dirty_lock)
of <Alt Not="HTML"><Mkern_result=thread_suspendthread)
subgroups  <Alt Not=mach_port_deallocate==KERN_ABORTED;
called <E>parabolic subgroups</E> of Γ. For a
type <M>i</M>, transitivity of <M>G</M> on the elements of
type <M>GC_release_dirty_lock;
stabilizer <Alt Not="HTML"><    if java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 5 out of bounds for length 5
<Only"noMathJax*
in Γ. Two elements of Γ are incident if and only
if the correspondingif(C_mach_threads_count =GC_mach_threads[GC_mach_threads_count].suspended = FALSE;

We now use the above observation to define an incidence structure from
a group <M>G</M> /* Mark the thread asaequire  esume *java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 64 out of bounds for length 64
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [28, 3) out of bounds for length 29
<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [15, 4) out of bounds for length 97
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [72, 3) out of bounds for length 164
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [4, 1) out of bounds for length 5
<Alt Not="HTML"><M>G_{i}</M></Alt><Alt java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 41 out of bounds for length 28
cosets are incident if return changed
empty. This is an incidence java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 35 out of bounds for length 1
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [21, 8) out of bounds for length 137
eometrycanusecommand F><F i case it returns<>ue/F)  the argument a java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 147 out of bounds for length 147

<ManSection>
<Filt Name=GC_INNERvoid GC_stop_world()
<Description>
This category is a java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 30) out of bounds for length 0
</Description>java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 1
/ManSection>

<ManSection>
<Oper Name  =();
<Returns>the coset incidence structure defined by the list <A>l</A> of subgroups    ndif
</ tionally thethread.willd no/
<A>G</A> must be a group and suspendedclient .   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [64, 65) out of bounds for length 64
of <A>G</A>. intf("Stopping the world from thread %p\n",
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [4, 2) out of bounds for length 8
f<A>l/> 
<Example>
<#Include SYSTEM "../examples/include/diagram_cosetgeom.include"> 
</Example>
</Description>
<}java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [11, 6) out of bounds for length 42

<ManSection f(GC_parallel{
<Oper Name="IsIncident" Arg="ele1,ele2"/*ake  all free listconstruction has stoppedbeforewe     /
<Returns>true if and only nstruction can start, free         /
<>
<A>ele1</A> and <A>ele2</A> must be two/ /* constructionisrequiredto acquire  releasethe GClock*
</Description>
<ManSection>

GC_maclock(;
<Oper Name="ParabolicSubgroups" Arg="cg"/>
uthe list ofparabolicC_ASSERT(GC_fl_builder_count ;;
</* We have previously waitedfor    /* Mark the thread as suspended and require resume.     *
</Description
</ManSection *PARALLEL_MARK *

<ManSection>
<Oper 
<Returns>the group used toifquery_task_threads){
<Description> 
<A>cg</A> must be a coset geometry.
</Description>
</ManSection>

<ManSection>
<Oper Name="Borelsubgroup" Arg="cg"/>
<Returns>the Borel java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [8, 1) out of bounds for length 76
<Descriptionthread_act_array_t act_list, java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 43 out of bounds for length 5
Thejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 4 out of bounds for length 3
</mach_msgtype_number_t listcount, prevcount;

</ManSection>
<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 11 out of bounds for length 0
<cg"/>
<Returns>a random element of <A>cg<
<Description> 
<A/Caller holds       /* Clear out the*Clear out the mach threads list table.  We do not need to      */
<>
</ManSection>

<ManSectionjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 12 out of bounds for length 12
<Oper Name="RandomFlag" Arg="mach_port_t my_thread  = /* from 0 to GC_mach_threads_count1 inclusive.                  /
<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [22, 8) out of bounds for length 45
<Description> 
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
</Description>
</GC_log_printf("thejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 0

<ManSection>
<Oper Name="RandomChamber/*twice without a new one appearing.                  (void )(ord)y_thread)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 43 out of bounds for length 43
mchamber of if (GC_parallel {
<Description> 
<A>cg</A> must be a coset geometry.
</Description>
</ManSection>

<Example>
<#Include ".examples/diagram_randominclude">
</Example>

<ManSection>
<Oper Name="IsFlagTransitiveGeometry start,free          /
<Returns>true if and only if the group <A>G</      * before stopping show up later.                                 */
  acts flag-transitively.</java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 21
<Descriptionjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 29 out of bounds for length 29
p  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [20, 21) out of bounds for length 20

The group <
elements if java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [24, 23) out of bounds for length 42
mapped to <M>G_i(gx)</M> by an element <Mchanged =(act_list,listcount prev_listjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 74 out of bounds for length 74

This test can be       GC_bool changed
attribute
indeed flagthread_act_array_t          if (prev_list != NULL) {
</Description>
</ManSection>

<Example>
#IncludeSYSTEM".mach_msg_type_number_t listcount, prevcount;
</Example>

<ManSection>
<Oper Name="OnCosetGeometryElement" Arg="ele,g"/>
<Returns>the image of the <F>CosetGeometryElementjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
<Description> 
The group element <A>g</A>must  >AmbientGroup(mbientGeometry(le))</> 
</Description>
</ManSection>

<ManSection till GC_start_worldotherwisethread  */
    <Oper Name="\^"/ really java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [22, 21) out of bounds for length 74
 <java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [40, 9) out of bounds for length 50
Djava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 13 out of bounds for length 13
ThisGC_mach_threads_count 0;
 <            *find the tojava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
</ManSection>

<ManSection>
    <         vm_deallocatemy_task v),
 <Returns>a flag of a coset geometry</Returns>
<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [13, 14) out of bounds for length 13
hisisan  which  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [39, 38) out of bounds for length 171
 />
</ManSection>

<ManSection>
<Oper Name="IsFirmGeometry" Arg="cg"/>
<Returns>true if and only if <A>cg</A> is firm.</java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 51 out of bounds for length 11
<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 14 out of bounds for length 14
An incidence geometry is said to        rev_list act_listjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 31 out of bounds for length 31
</Description>
 

<ManSection>
<Oper Name="IsThickGeometry" Arg="cg"/>
<Returns>true if and only if <A>cg</A> is thick.</Returns>
<Description> 
An incidence geometry is said to be <E>thick</E> if every non-maximal flag is contained in at least three chambers. <A>cg</A> must be a coset geometry. 
</Description>
</ManSection>

<ManSection>
<Oper Name="IsThinGeometry" Arg="cg"/>
<Returns>true if and only if <A>cg</A> is thin.</Returns>
<Description> 
An incidence geometry is said to be <E>thin</E> if every rank one residue contains exactly 2 elements.
This means that every comaximal flag is contained in exactly 2 chambers. <A>cg</A> must be a coset geometry.
</Description>
</ManSection>

<Example>
<#Include SYSTEM "../examples/include/diagram_firmthinthick.include"> 
</Example>

<ManSection>
<Oper Name="IsConnected" Arg="cg"/>
<Returns>true if and only if <A>cg</A> is connected.</Returns>
<Description> 
A geometry is <E>connected</E> if and only if its incidence graph is connected. <A>cg</A> must be a coset geometry.
</Description>
</ManSection>

<ManSection>
<Oper Name="IsResiduallyConnected" Arg="cg"/>
<Returns>true if and only if <A>cg</A> is residually connected.</Returns>
<Description> 
A geometry is <E>residually connected</E> if the incidence graphs of all its
residues of rank at least 2 are connected. <A>cg</A> must be a coset
geometry.<P/> 

This test is quite time consuming. You can bind the
attribute <C>IsResiduallyConnected</C> if you are sure the coset geometry is
indeed residually connected.
</Description>
</ManSection>

<Example>
<#Include SYSTEM "../examples/include/diagram_connectedness.include"> 
</Example>

<ManSection>
<Oper Name="StandardFlagOfCosetGeometry" Arg="cg"/>
<Returns>standard chamber of <A>cg</A></Returns>
<Description> 
The standard chamber just consists of all parabolic subgroups
(i.e. the trivial cosets of these subgroups). The object returned is a FlagOfIncidenceStructure. <A>cg</A> must be a
coset geometry. 
<!--Maybe this function should be called StandardChamberOfCosetGeometry.-->
</Description>
</ManSection>

<ManSection>
<Oper Name="FlagToStandardFlag" Arg="cg,fl"/>
<Returns>element of the defining group of <A>cg</A> which maps <A>fl</A> to the standard chamber of <A>cg</A>.</Returns>
<Description> 
<A>fl</A> must be a chamber given as a list of cosets of the parabolic subgroups of <A>cg</A>.
</Description>
</ManSection>

<Example>
<#Include SYSTEM "../examples/include/diagram_flagmapping.include"> 
</Example>


<ManSection>
<Oper Name="CanonicalResidueOfFlag" Arg="cg,fl"/>
<Returns>coset geometry isomorphic to residue of <A>fl</A> in <A>cg</A></Returns>
<Description> 
<A>cg</A> must be a coset incidence structure and <A>fl</A> must be a flag in
that incidence structure. The returned coset incidence structure for a
flag <M>\{G_{i_1}g_{i_1},G_{i_2}g_{i_2},\ldots , G_{i_k}g_{i_k}\}</M>
is the coset incidence structure defined by the
group <M>H:=\cap_{j=1}^{k}G_{i_j}</M> and parabolic
subgroups <M>G_{j}\cap H</M> for <M>j</M> not in the type
set <M>\{i_1,i_2,\ldots ,i_k\}</M> of <A>fl</A>.
</Description>
</ManSection>

<ManSection>
<Oper Name="ResidueOfFlag" Arg="fl"/>
<Returns>the residue of <A>fl</A> in <F>AmbientGeometry(fl)</F>.</Returns>
<Description> 
This is a <F>CosetGeometry</F> method for the <F>ResidueOfFlag</F> operation given in Chapter <Ref Chap="incidencegeometry"/>.
Note that the related operation <F>CanonicalResidueOfFlag</F> takes <E>two</E> arguments.
</Description>
</ManSection>

<Example>
<#Include SYSTEM "../examples/include/diagram_residues.include"> 
</Example>

<ManSection>
<Oper Name="IncidenceGraph" Arg="cg"/>
<Returns>incidence graph of <A>cg</A>.</Returns>
<Description> 
<A>cg</A> must be a coset geometry. The graph returned is
a <Package>GRAPE</Package> object. All <Package>GRAPE</Package>
functionality can now be used to analyse <A>cg</A> via its incidence graph.
</Description>
</ManSection>

<ManSection>
<Oper Name="Rk2GeoGonality" Arg="cg"/>
<Returns>the gonality (i.e. half the girth) of the incidence graph of <A>cg</A>.</Returns>
<Description> 
<A>cg</A> must be a coset geometry of rank 2.
</Description>
</ManSection>

<ManSection>
<Oper Name="Rk2GeoDiameter" Arg="cg,type"/>
<Returns>the point (or line) diameter.</Returns>
<Description> 
<A>cg</A> must be a coset geometry of rank 2. <A>type</A> must be
either <C>1</C> or <C>2</C>. This function computes
the point diameter of <A>cg</A> when <A>type</A> is <C>1</C> and the
line diameter when <A>type</A> is <C>2</C>.
</Description>
</ManSection>

<ManSection>
<Oper Name="GeometryOfRank2Residue" Arg="resi"/>
<Returns>the geometry of the <F>Rank2Residue</F> object <A>resi</A>.</Returns>
<Description> 
The rank 2 residues of a geometry are fundamental when dealing with diagrams. Therefore they 
are kept in an attribute as (a list of) objects of type <F>Rank2Residue</F>. The present operation just extracts
the residue as a coset geometry from such a <F>Rank2Residue</F> object.
</Description>
</ManSection>

<ManSection>
<Oper Name="Rank2Parameters" Arg="cg"/>
<Returns>a list of length 3.</Returns>
<Description> 
<A>cg</A> must be a coset geometry of rank 2. This function computes
the gonality, point and line diameter of <A>cg</A>. These appear as a
list in the first entry of the returned list. The second entry
contains a list of length 2 with the point order and the total number
of points (i.e. elements of type 1) in the geometry. The last entry
contains the line order and the number of lines (i.e. elements of type
2).
</Description>
</ManSection>

The following example illustrates <F>Rank2Parameters</F>. It uses <Package>AtlasRep</Package> to 
fetch the second Janko group, also known as the Hall-Janko group. Beware that <Package>AtlasRep</Package> needs special write permissions on some systems. The constructed geometry has gonality 6 and both diameters equal to 8. It is known as the <E>Cohen-Tits near octagon</E>.

<Example>
<#Include SYSTEM "../examples/include/diagram_nearoctagon.include"> 
</Example>
</Section>
<Section>
<Heading>Automorphisms, Correlations and Isomorphisms</Heading>
An <E>automorphism</E> of an incidence structure Γ is a permutation of the element set of Γ
such that incidence is preserved and types are fixed (i.e. the type of the image of an element
coincides with the type of that element). One way to compute the (full) automorphism group of Γ
is to compute its incidence graph and then use the available <F>nauty</F> machinery to obtain the group.

<ManSection>
<Oper Name="AutGroupIncidenceStructureWithNauty" Arg="cg"/>
<Returns>permutation group isomorphic to the full automorphism group of <A>cg</A>.</Returns>
<Description> 
The group is computed with <F>nauty</F>, which is part of <Package>GRAPE</Package> but has to be compiled on your system before use. The group returned is a permutation group acting on the set <F>[1..Sum(TypesOfElementsOfIncidenceStructure(cg), t -> NrElementsOfIncidenceStructure(cg,t))]</F>, which is exactly the vertex set of <F>IncidenceGraph(cg)</F>. At the moment the action of the automorphism group on <F>cg</F> is not provided but it can be recovered from the knowledge that the vertex set of <F>IncidenceGraph(cg)</F> first contains all elements of type 1 in <F>cg</F>, then all elements of type 2, etc. or, better still, with the <Package>GRAPE</Package> command <F>VertexNames</F> (see example below).
</Description>
</ManSection>

<ManSection>
<Oper Name="CorGroupIncidenceStructureWithNauty" Arg="cg"/>
<Returns>permutation group isomorphic to the full automorphism group of <A>cg</A>.</Returns>
<Description> 
The group is computed with <F>nauty</F>, which is part of <Package>GRAPE</Package> but has to be compiled on your system before use. The group returned is a permutation group acting on the set <F>[1..Sum(TypesOfElementsOfIncidenceStructure(cg), t -> NrElementsOfIncidenceStructure(cg,t))]</F>, which is exactly the vertex set of <F>IncidenceGraph(cg)</F>. At the moment the action of the automorphism group on <F>cg</F> is not provided but it can be recovered from the knowledge that the vertex set of <F>IncidenceGraph(cg)</F> first contains all elements of type 1 in <F>cg</F>, then all elements of type 2, etc. or with  the <Package>GRAPE</Package> command <F>VertexNames</F>.
</Description>
</ManSection>

<Example>
<#Include SYSTEM "../examples/include/diagram_autcor.include"> 
</Example>

<ManSection>
<Oper Name="IsIsomorphicIncidenceStructureWithNauty" Arg="cg1, cg2"/>
<Returns>true iff cg1 and cg2 are isomorphic.</Returns>
<Description> 
We use <F>nauty</F>, which is part of <Package>GRAPE</Package> but has to be compiled on your system before use. Isomorphism is tested (with <F>nauty</F>) after converting the coset geometries <A>cg1</A> and <A>cg2</A> to coloured graphs.
</Description>
</ManSection>


<Example>
<#Include SYSTEM "../examples/include/diagram_autiso.include"> 
</Example>

</Section>
<Section>
<Heading>Diagrams</Heading>

The <E>diagram</E> of a flag-transitive incidence geometry is a
schematic description of the structure of the geometry. It is based on
the collection of rank 2 residues of the geometry.<P/>

Technically, the diagram is added to a <F>CosetGeometry</F> object as a mutable attribute. Also the list of rank 2 residues 
of the geometry is added as an attribute once these have been computed. This is done with the operations <F>Rank2Residues</F> 
(to add the attribute) and <F>MakeRank2Residue</F> (to actually compute the residues). These operations are not for everyday use and hence remain undocumented.<P/> 

Since the geometry is flag-transitive, all chambers are
equivalent. Let's fix a chamber <Alt Not="HTML"><M>C=\{c_{1}, c_{2},\ldots,c_{n}\}</M></Alt><Alt Only="HTML MathJax"><M>C=\{c_{1}, c_{2},\ldots,c_{n}\}</M></Alt>
<Alt Only="HTML noMathJax">C = &#123; c₁,c₂,...,c_n&#125;</Alt>,
with <Alt Not="HTML"><M>c_{i}</M></Alt><Alt Only="HTML MathJax"><M>c_{i}</M></Alt><Alt Only="HTML noMathJax">c_i</Alt> of type <M>i</M>. For each subset
<Alt Not="HTML"><M>\{i,j\}</M></Alt><Alt Only="HTML MathJax"><M>\{i,j\}</M></Alt><Alt Only="HTML noMathJax">&#123;i,j&#125;</Alt> of
size two in <Alt Not="HTML"><M>I=\{1,2,\ldots,n\}</M></Alt><Alt Only="HTML MathJax"><M>I=\{1,2,\ldots,n\}</M></Alt><Alt Only="HTML noMathJax">&#123;1,2,...n&#yle='color: green'>125;</Alt>
we take the residue of the flag <Alt Not="HTML"><M>C\setminus \{c_{i},c_{j}\}</M></Alt><Alt Only="HTML MathJax"><M>C\setminus \{c_{i},c_{j}\}</M></Alt>
<Alt Only="HTML noMathJax">C \ &#123; c_i, c_j&#tyle='color: green'>125;</Alt>. Flag transitivity ensures
that <E>all</E> residues of type <M>\{i,j\}</M> are
isomorphic to each other. For each such residue, the structure is
described by some parameters: the gonality and the point and line
diameters. For each type <M>i</M>, we also define the <M>i</M>-order
to be one less than the number of elements of type <M>i</M> in the residue of a(ny) flag of 
type <M>I\setminus\{i\}</M>. All this information is depicted in
a <E>diagram</E> which is basically a labelled graph with vertex set <M>I</M>
and edges whenever the point diameter, the line diameter and the
gonality are all greater than <M>2</M>.

<ManSection>
<Oper Name="DiagramOfGeometry" Arg="Gamma"/>
<Returns>the diagram of the geometry <A>Gamma</A></Returns>
<Description> 
<A>Gamma</A> must be a flag-transitive coset geometry.<P/> 

The flag-transitivity is not tested by this operation because such a test can be
time consuming. The command <C>IsFlagTransitiveGeometry</C> can be
used to check flag-transitivity if needed.
</Description>
</ManSection>
<ManSection>
<Oper Name="GeometryOfDiagram" Arg="diag"/>
<Returns>the geometry of which <A>diag</A> is the diagram</Returns>
<Description> 
<A>diag</A> must be a diagram object.
</Description>
</ManSection>

<ManSection>
<Oper Name="DrawDiagram" Arg="diag,filename"/>
<Oper Name="DrawDiagram" Arg="diag,filename,vertexverbosity"/>
<Oper Name="DrawDiagram" Arg="diag,filename,vertexverbosity,edgeverbosity"/>
<Returns>does not return anything but writes a file <A>filename</A>.ps</Returns>
<Description> 
<A>diag</A> must be a diagram. Writes a file <A>filename</A>.ps in the
current directory with a pictorial version of the diagram. This
command uses the <Package>graphviz</Package> package which is
available from http://www.graphviz.org. <P/>

In case <Package>graphviz</Package> is not available on your system,
you will get an friendly error message and a file <A>filename</A>.dot
will be written. You can then compile this file later or ask a friend
to help you.

By default the diagram provides for each type <M>i</M> the <M>i</M>-order and the number of elements of type <M>i</M>. This behaviour can be changed by providing a <A>vertexverbosity</A> level. A value <A>2</A> results in no label under the vertices and a value <A>1</A> gives only the <M>i</M>-order. Any other positive integer value yields the default behaviour. 

The default labels for the edges of the diagram use the standard convention that a <M>[g,dp,dl]</M>-gon with all three parameters equal is labelled only with the number <M>g</M>. Putting <A>edgeverbosity</A> equal to <M>2</M> puts no labels at all. This yields the so called ``basic diagram'' of the geometry. With <A>edgeverbosity</A> equal to any integer greater than <M>2</M> all labels contain girth and both diameters.
</Description>
</ManSection>

<Alt Only="LaTeX">\medskip</Alt>

We illustrate the diagram feature with
Neumaier's <Alt Not="HTML"><M>A_8</M></Alt><Alt Only="HTML">A₈</Alt>-geometry.

The affine space of dimension 3 over the field with two elements is
denoted by <M>AG(3,2)</M>. If we fix a plane <Alt Not="HTML"><M>\Pi</M></Alt><Alt Only="HTML">&#='color: green'>928;</Alt> in <M>PG(3,2)</M>, the
structure induced on the 8 points not in <Alt Not="HTML"><M>\Pi</M></Alt><Alt Only="HTML">&#='color: green'>928;</Alt> by the lines and planes
of <M>PG(3,2)</M> is isomorphic to <M>AG(3,2)</M>. Since every two points of
<M>AG(3,2)</M> define a line, the collinearity graph of <M>AG(3,2)</M> (that is the graph
whose vertices are the points of <M>AG(3,2)</M> and in which two vertices
are adjacent whenever they are collinear) is the complete graph <Alt Not="HTML"><M>K_8</M></Alt><Alt Only="HTML">K₈</Alt>
on 8 vertices. Given two copies of the complete graph on 8 vertices,
one can label the vertices of each of them with the numbers from 1 to
8. These labelings are always equivalent when the two copies are seen as
graphs, but not if they are understood as models of the affine
space. The reason is that an affine space has parallel lines and to be
affinely equivalent, the labelings must be such that edges which were
parallel in the first labeling remain parallel in the second
labeling. In fact there are 15 affinely nonequivalent ways to label the
vertices of <Alt Not="HTML"><M>K_8</M></Alt><Alt Only="HTML">K₈</Alt>. The affine space has 14 planes of 4 points and
there are 70 subsets of 4 elements in the vertex set of <Alt Not="HTML"><M>K_8</M></Alt><Alt Only="HTML">K₈</Alt>. Each
time we label <Alt Not="HTML"><M>K_8</M></Alt><Alt Only="HTML">K₈</Alt>, there are 14 of the 70 sets of 4 elements which
become planes of <M>AG(3,2)</M>. The remaining 4-subsets will be called 
<E>nonplanes</E> for that labeling.

A well-known rank 4 geometry discovered by Neumaier
in 1984 can be described using these concepts. This geometry is quite
important since its residue of cotype <M>1</M> is the famous 
<Alt Not="HTML"><M>A_7</M></Alt><Alt Only="HTML">A₇</Alt>-geometry which is known to be the only flag-transitive locally
classical <M>C_3</M>-geometry which is not a polar space (see Aschbacher1984
for details).

The Neumaier geometry can be constructed as follows. The elements of
types 1 and 2 are the vertices and edges of the complete graph <Alt Not="HTML"><M>K_8</M></Alt><Alt Only="HTML">K₈</Alt>,
the elements of type 3 are the 4-subsets of the vertex set 
of <Alt Not="HTML"><M>K_8</M></Alt><Alt Only="HTML">K₈</Alt> and the elements of type 4 are the 15 nonequivalent labelings
of <Alt Not="HTML"><M>K_8</M></Alt><Alt Only="HTML">K₈</Alt>. Incidences are mostly the natural ones. A 4-subset
is incident with a labeling of <Alt Not="HTML"><M>K_8</M></Alt><Alt Only="HTML">K₈</Alt> if it is the set of points of a
nonplane in the model of <M>AG(3,2)</M> defined by the labeling.
<Example>
<#Include SYSTEM "../examples/include/diagram_neumaier.include"> 
</Example>
The produced diagrams are included here: Neumaier's <Alt Not="HTML"><M>A_8</M></Alt><Alt Only="HTML">A₈</Alt><P/>
<Alt Only="HTML"><img src="./graphics/neuma8.jpg"></img></Alt><Alt Only="LaTeX">\includegraphics{./graphics/neuma8.pdf}</Alt><P/><P/>
The <Alt Not="HTML"><M>A_7</M></Alt><Alt Only="HTML">A₇</Alt> geometry:<P/>
<Alt Only="HTML"><img src="./graphics/a7geo.jpg"></img></Alt><Alt Only="LaTeX">\includegraphics[scale=0.5]{./graphics/a7geo.pdf}</Alt><P/><P/>

On a UNIX system we can start an external viewer (``gv'' or ghostview in this case) from within GAP with the <F>Exec</F> command.

<ManSection>
<Oper Name="DrawDiagramWithNeato" Arg="diag,filename"/>
<Returns>does not return anything but writes a file <A>filename</A>.ps</Returns>
<Description> 
<A>diag</A> must be a diagram. Writes a file <A>filename</A>.ps in the
current directory with a pictorial version of the diagram. <P/>

This command uses a "spring tension" algorithm to draw the diagram <A>diag</A> with straight edges. For some diagrams this looks 
better than the result of <F>DrawDiagram</F>. However this algorithm does not print the vertex labels.<P/>

This
command uses the <Package>graphviz</Package> package which is
available from http://www.graphviz.org. 
In case <Package>graphviz</Package> is not available on your system,
you will get an friendly error message and a file <A>filename</A>.dot
will be written. You can then compile this file later or ask a friend
to help you.
An <M>E_6</M> geometry for comparison: on the left hand side we have the
output of DrawDiagram and on the right hand side we see the result of
DrawDiagramWithNeato<P/>
<Alt Only="HTML"><img src="./graphics/E6.jpg"></img> <img src="./graphics/E6bis.jpg"></img></Alt>
<Alt Only="LaTeX">\includegraphics[scale=0.5]{./graphics/E6.jpg} \includegraphics[scale=0.5]{./graphics/E6bis.jpg}</Alt><P/><P/>
</Description>
</ManSection>

</Section>
</Chapter>