Quelle  qkn.c

/* kn.c
 *
 * Modified Bessel function, third kind, integer order
 *
 *
 *
 * SYNOPSIS:
 *
 * int qkn( n, x, y );
 * int n;
 * QELT *x, *y;
 *
 * qkn( n, x, y );
 *
 *
 *
 * DESCRIPTION:
 *
 * Returns modified Bessel function of the third kind
 * of order n of the argument.
 *
 * The range is partitioned into the two intervals [0,9.55] and
 * (9.55, infinity).  An ascending power series is used in the
 * low range, and an asymptotic expansion in the high range.
 *
 * ACCURACY:
 *
 * Series expansions are set to terminate at less than full
 * working precision.
 *
 */

/*
Cephes Math Library Release 2.1:  November, 1988
Copyright 1984, 1987, 1988 by Stephen L. Moshier
*/


/*   qkn.c  */
/* Relative accuracy about 22 decimals at crossover point
   that was set for 144-bit arithmetic.  */

/*
Algorithm for Kn.
                       n-1 
                   -n   -  (n-k-1)!    2   k
K (x)  =  0.5 (x/2)     >  -------- (-x /4)
 n                      -     k!
                       k=0

                    inf.                                   2   k
       n         n   -                                   (x /4)
 + (-1)  0.5(x/2)    >  {p(k+1) + p(n+k+1) - 2log(x/2)} ---------
                     -                                  k! (n+k)!
                    k=0

where  p(m) is the psi function: p(1) = -EUL and

                      m-1
                       -
      p(m)  =  -EUL +  >  1/k
                       -
                      k=1

For large x,
                                         2        2     2
                                      u-1     (u-1 )(u-3 )
K (z)  =  sqrt(pi/2z) exp(-z) { 1 + ------- + ------------ + ...}
 v                                        1            2
                                    1! (8z)     2! (8z)
asymptotically, where

           2
    u = 4 v .

*/

#include "mconf.h"
#include "qhead.h"

extern QELT qone[], qtwo[], qeul[], qpi[];
#define MAXFAC 150
static QELT k[NQ];
static QELT kf[NQ];
static QELT nk1f[NQ];
static QELT nkf[NQ];
static QELT zn[NQ];
static QELT t[NQ];
static QELT s[NQ];
static QELT z0[NQ];
static QELT z[NQ];
static QELT ans[NQ];
static QELT fn[NQ];
static QELT pn[NQ];
static QELT pk[NQ];
static QELT zmn[NQ];
static QELT t1[NQ];
static QELT t2[NQ];
static QELT tlg[NQ];

int qkn( nn, x, y )
int nn;
QELT x[], y[];
{
long i, n, lk, lj;
union
  {
    unsigned short s[4];
    double d;
  } dx;

if( nn < 0 )
 n = -nn;
else
 n = nn;

if( (x[0] != 0) || (x[1] < 3) || (n > MAXFAC) )
 {
 mtherr( "qkn", DOMAIN );
 qclear(y);
 return 0;
 }


qtoe( x, dx.s );
if( dx.d > 24.0 )
 goto asymp;

qclear(ans);   /* ans = 0.0;*/
qmul( x, x, z0 ); /* z0 = 0.25 * x * x; */
z0[1] -= 2;
qmov( qone, fn ); /* fn = 1.0; */
qclear(pn);  /* pn = 0.0; */
qmov( qone, zmn ); /* zmn = 1.0; */

if( n > 0 )
 {
 /* compute factorial of n and psi(n) */
 qmov( qeul, pn ); /* pn = -EUL; */
 qneg(pn);
 qmov( qone, k ); /* k = 1.0; */
 for( i=1; i<n; i++ )
  {
  qdiv( k, qone, t ); /* pn += 1.0/k; */
  qadd( pn, t, pn );
  qadd( qone, k, k ); /* k += 1.0; */
  qmul( fn, k, fn ); /* fn *= k; */
  }

 qdiv( x, qtwo, zmn );  /* zmn = 2.0/x; */

 if( n == 1 )
  {
  qdiv( x, qone, ans ); /* ans = 1.0/x; */
  }
 else
  {
  ltoq( &n, t );
  qdiv( t, fn, nk1f ); /* nk1f = fn/n; */
  qmov( qone, kf ); /* kf = 1.0; */
  qmov( nk1f, s ); /* s = nk1f; */
  qmov( z0, z );  /* z = -z0; */
  qneg( z );
  qmov( qone, zn ); /* zn = 1.0; */
  for( i=1; i<n; i++ )
   {
   lk = n - i;  /* nk1f = nk1f/(n-i); */
   ltoq( &lk, t );
   qdiv( t, nk1f, nk1f );
   ltoq( &i, t );  /* kf = kf * i; */
   qmul( kf, t, kf );
   qmul( zn, z, zn ); /* zn *= z; */
   qmul( nk1f, zn, t ); /* t = nk1f * zn / kf; */
   qdiv( kf, t, t );
   qadd( s, t, s ); /* s += t; */
   qdiv( x, zmn, zmn ); /* zmn *= 2.0/x; */
   zmn[1] += 1;
   }
  qmul( s, zmn, ans );  /* ans = s * zmn * 0.5; */
  ans[1] -= 1;
  }
 }


qmov( x, s ); /* 2 log(x/2) */
s[1] -= 1;
qlog( s, tlg );
tlg[1] += 1;

qmov( qeul, pk );  /* pk = -EUL; */
qneg( pk );
if( n == 0 )
 {
 qmov( pk, pn );  /* pn = pk; */
 qmov( qone, t ); /* t = 1.0; */
 }
else
 {
 ltoq( &n, t );  /* pn = pn + 1.0/n; */
 qdiv( t, qone, t );
 qadd( pn, t, pn ); 
 qdiv( fn, qone, t ); /* t = 1.0/fn; */
 }
qadd( pk, pn, s );  /* s = (pk+pn)*t; */
qsub( tlg, s, s );  /* pk + pn - 2log(x/2) */
qmul( t, s, s );
lk = 1;  /* k = 1.0; */
do
 {
 lj = lk + n;  /* t *= z0 / (k * (k+n)); */
 ltoq( &lj, t1 );
 ltoq( &lk, t2 );
 qmul( t2, t1, z );
 qdiv( z, z0, z );
 qmul( t, z, t );
 qdiv( t2, qone, z ); /* pk += 1.0/k; */
 qadd( pk, z, pk );
 qdiv( t1, qone, z ); /* pn += 1.0/(k+n); */
 qadd( pn, z, pn );
 qadd( pk, pn, z ); /* s += (pk+pn)*t; */
 qsub( tlg, z, z ); /* pk + pn - 2log(x/2) */
 qmul( z, t, z );
 qadd( s, z, s );
 lk += 1.0;
 }
while( ((int) s[1] - (int) t[1]) < NBITS/2 ); /* fabs(t/s) > MACHEP ); */

if( n > 0 )
 qdiv( zmn, s, s );  /* s = 0.5 * s / zmn; */
s[1] -= 1;
if( n & 1 )
 qneg( s );  /* s = -s; */
qadd( ans, s, y );  /* ans += s; */

return 0;

/* Asymptotic expansion for Kn(x) */
/* Converges to 1.4e-17 for x > 18.4 */

asymp:

lk = 4 * n * n;   /* pn = 4.0 * n * n; */
ltoq( &lk, pn );
qmov( qone, pk );  /* pk = 1.0; */
qmov( x, z0 );   /* z0 = 8.0 * x; */
z0[1] += 3;
qmov( qone, fn );  /* fn = 1.0; */
qmov( qone, t );  /* t = 1.0; */
qmov( t, s );   /* s = t; */
qmov( qone, nkf );  /* nkf = MAXNUM; */
nkf[1] += 16000;
i = 0;
do
 {
 qmul( pk, pk, t1 ); /* z = pn - pk * pk; */
 qsub( t1, pn, z );
 qmul( fn, z0, t1 ); /* t = t * z /(fn * z0); */
 qdiv( t1, z, t1 );
 qmul( t, t1, t );
 qmov( t, nk1f ); /* nk1f = fabs(t); */
 nk1f[0] = 0;
 qsub( nkf, nk1f, t1 );
 if( (i >= n) && (t1[0] == 0) ) /* nk1f > nkf */
  {
/* printf( "qkn: i=%D, %d\n", i, t[1]-s[1] );*/
  goto adone;
  }
 qmov( nk1f, nkf ); /* nkf = nk1f; */
 qadd( s, t, s ); /* s += t; */
 qadd( qone, fn, fn ); /* fn += 1.0; */
 qadd( qtwo, pk, pk ); /* pk += 2.0; */
 i += 1;
 }
while( ((int) s[1] - (int) t[1]) < NBITS/2 ); /* fabs(t/s) > MACHEP ); */

adone:
qdiv( x, qpi, z ); /* ans = exp(-x) * sqrt( PI/(2.0*x) ) * s; */
z[1] -= 1;
qsqrt( z, z );
qexp( x, t );
qdiv( t, z, ans );
qmul( s, ans, y );
return 0;
}