SSL ln_approx.pvs Sprache: PVS

ln_approx: THEORY
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%      ln_approx by David Lester  Manchester Univ
%                    Cesar Munoz  NASA
%        Anthony Narkawicz  NASA
%      ---------
%      Defines upper and lower bounds on ln:
%           - ln_lb(a,n) <= ln(a) <= ln_ub(a,n)
%-----------------------------------------------------------------------------

BEGIN

  IMPORTING ln_series,reals@log_nat

  n:    VAR nat
  x:    VAR real
  px:   VAR posreal
  pn:   VAR posnat
  xgt1,ygt1: VAR {x:posreal | x > 1}

  ln_le2_lb(n,x): real = if x = 0 then 0 else ln_estimate(x,2*n)   endif
  ln_le2_ub(n,x): real = if x = 0 then 0 else ln_estimate(x,2*n+1) endif

  ln_le2_bounds: LEMMA 0 < x AND x <= 1 IMPLIES
       (ln_le2_lb(n,x) < ln(x+1) AND ln(x+1) < ln_le2_ub(n,x))

  ln2_lb(n): MACRO real = ln_le2_lb(n,1)
  ln2_ub(n): MACRO real = ln_le2_ub(n,1)

  ln_gt1_lb(n,xgt1): real =
    let (m,y) = log_nat(xgt1,2) in
      m*ln2_lb(n)+ln_le2_lb(n,y-1)

  ln_gt1_ub(n,xgt1): real =
    let (m,y) = log_nat(xgt1,2) in
       m*ln2_ub(n)+ln_le2_ub(n,y-1)

  ln_gt1_ub_increasing: LEMMA
    xgt1<=ygt1 IMPLIES
    ln_gt1_ub(n,xgt1)<=ln_gt1_ub(n,ygt1)

  ln_gt1_lb_increasing: LEMMA
    xgt1<=ygt1 IMPLIES
    ln_gt1_lb(n,xgt1)<=ln_gt1_lb(n,ygt1)

  ln_gt1_bounds: LEMMA 1 < x IMPLIES
       (ln_gt1_lb(n,x) < ln(x) AND ln(x) < ln_gt1_ub(n,x))

  ln_lb(px,n): real = IF    px < 1 THEN -ln_gt1_ub(n,1/px)
                      ELSIF px = 1 THEN 0
                                   ELSE ln_gt1_lb(n,px)    ENDIF

  ln_ub(px,n): real = IF    px < 1 THEN -ln_gt1_lb(n,1/px)
                      ELSIF px = 1 THEN 0
                                   ELSE ln_gt1_ub(n,px)    ENDIF

  ln_lb_increasing: LEMMA FORALL (px,py:posreal):
    px <= py IMPLIES ln_lb(px,n) <= ln_lb(py,n)

  ln_ub_increasing: LEMMA FORALL (px,py:posreal):
    px <= py IMPLIES ln_ub(px,n) <= ln_ub(py,n)

  ln_bounds: LEMMA ln_lb(px,n) <= ln(px) AND ln(px) <= ln_ub(px,n)

  %%% Relationship of floor(ln(px)/ln(py)) to log_nat

  floor_eq_log_nat_ge_1: LEMMA
    FORALL ((xp:real|xp>=1),(np:posnat|np>1)):
    floor(ln(xp)/ln(np)) = log_nat(xp,np)`1

END ln_approx

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