Quelle graphs.pvs Sprache: PVS

graphs[T: TYPE]: THEORY
%-------------------------------------------------------------------------------
%
% Defines:
%
%      Graph[T] -- graph over domain T
%      vert(G)  -- vertices of graph G
%      edges(G) -- set of edges in a graph G
%
%  Authors:
%
%      Ricky W. Butler   NASA Langley
%      Jon Sjogren       AFOSR
%
%  Version 1.0           Last modified 12/20/96
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%  Maintained by:
%
%     Rick Butler        NASA Langley Research Center
%                        R.W.Butler@larc.nasa.gov
%
%  NOTE:
%
%-------------------------------------------------------------------------------
BEGIN

  IMPORTING %finite_sets@finite_sets[T],
            doubletons[T]
            %finite_sets@finite_sets[doubleton[T]]

  R: VAR PRED[[T, T]]
  x,y,v: VAR T

  pregraph: TYPE = [# vert : finite_set[T],
                      edges: finite_set[doubleton[T]] #]

  graph: TYPE = {g: pregraph | (FORALL (e: doubleton[T]): edges(g)(e) IMPLIES
                                     (FORALL (x: T): e(x) IMPLIES vert(g)(x)))}

  e: VAR doubleton[T]
  G: var graph

  edg(x,(y:{y:T | y /= x})): doubleton[T] = dbl[T](x,y)

  edge?(G)(x,y): bool = x /= y AND edges(G)(dbl[T](x,y))

  edge?_comm : LEMMA edge?(G)(y, x) IMPLIES edge?(G)(x, y)

  edges_vert      : LEMMA e(x) AND edges(G)(e) IMPLIES
                             (EXISTS y: x /= y AND vert(G)(y) AND e(y))

  other_vert      : LEMMA e(v) AND edges(G)(e)
                         IMPLIES (EXISTS (u: T): u /= v AND vert(G)(u)
                                                 AND e = dbl[T](u, v))

  edge_has_2_verts: LEMMA x /= v AND e(x) AND e(v)
                                   IMPLIES e = dbl(x,v)

%To aid in discharging TCCs
edges_vert_in: LEMMA e = dbl[T](x, y) AND edges(G)(e)
                       IMPLIES vert(G)(x) AND vert(G)(y)

vert_in: LEMMA edge?(G)(x,y) IMPLIES vert(G)(x) AND vert(G)(y)

% -------------- size of graphs --------------------

  size(G): nat = card[T](vert(G))

  empty?(G): bool = empty?(vert(G))

  singleton?(G): bool = (size(G) = 1)

  isolated?(G): bool = empty?(edges(G))

  empty?_rew          : LEMMA empty?(G) = (card(vert(G)) = 0)

  edges_of_empty      : LEMMA empty?(G)
                                 IMPLIES edges(G) = emptyset[doubleton[T]]

  singleton_edges     : LEMMA singleton?(G) IMPLIES  empty?(edges(G))

  edge_in_card_gt_1   : LEMMA edges(G)(e) IMPLIES card(vert(G)) > 1

  not_singleton_2_vert: LEMMA NOT empty?(G) AND NOT singleton?(G)
                                IMPLIES (EXISTS (x,y: T): x /= y AND
                                     vert(G)(x) AND vert(G)(y))

  infgraph: TYPE = [# vert : set[T],
                      edges: set[doubleton[T]] #]

  graph?(g: infgraph): bool = is_finite[T](vert(g))
                                AND is_finite[doubleton[T]](edges(g))
                                AND (FORALL (e: doubleton[T]): edges(g)(e)
                                     IMPLIES (FORALL x: e(x) IMPLIES vert(g)(x)))

  singleton_graph(v): (singleton?) = (# vert := singleton[T](v),
                                       edges := emptyset[doubleton[T]] #)

  Graph: TYPE = {g: graph | nonempty?(vert(g))}

END graphs

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