SSL modulo_equivalence.pvs Sprache: PVS

%%-------------------** Abstract Reduction System (ARS) **-------------------
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%% Authors         : Andre Luiz Galdino
%%                   Universidade Federal de Goiás - Brasil
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%%                         and
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%%                   Mauricio Ayala Rincon
%%                   Universidade de Brasília - Brasil
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%% Last Modified On: October 15, 2008
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modulo_equivalence[T : TYPE] : THEORY
BEGIN

  IMPORTING noetherian[T]

  R, S : VAR  PRED[[T, T]]
  Eq   : VAR equivalence
  x, y,
  z, w,
  u, v : VAR T

  R_Eq(R, Eq)  : PRED[[T, T]] = Eq o R o Eq

  SC_Eq(R, Eq) : PRED[[T, T]] = union(SC(R), Eq)

  Eq_Eq(R, Eq) : equivalence = EC(SC_Eq(R, Eq))

  joinable_m?(R, Eq)(x,y) : bool = EXISTS u,v: RTC(R)(x,u) &
                                               Eq(u,v) & RTC(R)(y,v)

  church_rosser_m?(R, Eq) : bool = FORALL x, y: Eq_Eq(R, Eq)(x,y) =>
                                                joinable_m?(R, Eq)(x,y)

  local_confluent_m?(R, Eq) : bool = FORALL x, y, z: R(x,y) & R(x,z) =>
                                                     joinable_m?(R, Eq)(y,z)

  confluent_m?(R, Eq) : bool = FORALL x, y, z, w: RTC(R)(x,z)  &
                                                  Eq(x,y) &
                                                  RTC(R)(y,w) =>
                                                  joinable_m?(R, Eq)(z,w)

  has_unique_nf_m?(R, Eq) : bool = FORALL x, y, u, v: is_normal_form?(R)(u) &
                                                      is_normal_form?(R)(v) &
                                                      RTC(R)(x,u) &
                                                      Eq_Eq(R, Eq)(x,y)  &
                                                      RTC(R)(y,v) => Eq(u,v)

  locally_coherent?(R, Eq, S) : bool = symmetric?(S) &
                                       FORALL  x, y, z: R(x,y) &
                                       S(x,z) => joinable_m?(R, Eq)(y,z)

  noetherian_m?(R, Eq) : bool = well_founded?(converse(R o Eq))



%%--------------------------------------

van_oostrom94 : LEMMA diamond_property?(RTC(R) o Eq) => confluent_m?(R, Eq)

newman_lemma_general : THEOREM noetherian?(R) =>
                              (local_confluent_m?(R, Eq) &
                               locally_coherent?(R, Eq, Eq) <=>
                                                           confluent_m?(R, Eq))


END modulo_equivalence

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