Quelle  First_Order_Logic.thy   Sprache: Isabelle

(*  Title:      Pure/Examples/First_Order_Logic.thy
    Author:     Makarius
*)

section ‹A simple formulation of First-Order Logic›

text ‹
  The subsequent theory development illustrates single-sorted intuitionistic
  first-order logic with equality, formulated within the Pure framework.
›

theory First_Order_Logic
  imports Pure
begin

subsection ‹Abstract syntax›

typedecl i
typedecl o

judgment Trueprop :: "o \ prop"  (‹_› 5)


subsection ‹Propositional logic›

axiomatization false :: o  (‹⊥›)
  where falseE [elim]: "\ \ A"


axiomatization imp :: "o \ o \ o"  (infixr ‹⟶› 25)
  where impI [intro]: "(A \ B) \ A \ B"
    and mp [dest]: "A \ B \ A \ B"


axiomatization conj :: "o \ o \ o"  (infixr ‹∧› 35)
  where conjI [intro]: "A \ B \ A \ B"
    and conjD1: "A \ B \ A"
    and conjD2: "A \ B \ B"

theorem conjE [elim]:
  assumes "A \ B"
  obtains A and B
proof
  from ‹A ∧ B› show A
    by (rule conjD1)
  from ‹A ∧ B› show B
    by (rule conjD2)
qed


axiomatization disj :: "o \ o \ o"  (infixr ‹∨› 30)
  where disjE [elim]: "A \ B \ (A \ C) \ (B \ C) \ C"
    and disjI1 [intro]: "A \ A \ B"
    and disjI2 [intro]: "B \ A \ B"


definition true :: o  (‹⊤›)
  where "\ \ \ \ \"

theorem trueI [intro]: ⊤
  unfolding true_def ..


definition not :: "o \ o"  (‹¬ _› [40] 40)
  where "\ A \ A \ \"

theorem notI [intro]: "(A \ \) \ \ A"
  unfolding not_def ..

theorem notE [elim]: "\ A \ A \ B"
  unfolding not_def
proof -
  assume "A \ \" and A
  then have ⊥ ..
  then show B ..
qed


definition iff :: "o \ o \ o"  (infixr ‹⟷› 25)
  where "A \ B \ (A \ B) \ (B \ A)"

theorem iffI [intro]:
  assumes "A \ B"
    and "B \ A"
  shows "A \ B"
  unfolding iff_def
proof
  from ‹A ==> B› show "A \ B" ..
  from ‹B ==> A› show "B \ A" ..
qed

theorem iff1 [elim]:
  assumes "A \ B" and A
  shows B
proof -
  from ‹A ⟷ B› have "(A \ B) \ (B \ A)"
    unfolding iff_def .
  then have "A \ B" ..
  from this and ‹A› show B ..
qed

theorem iff2 [elim]:
  assumes "A \ B" and B
  shows A
proof -
  from ‹A ⟷ B› have "(A \ B) \ (B \ A)"
    unfolding iff_def .
  then have "B \ A" ..
  from this and ‹B› show A ..
qed


subsection ‹Equality›

axiomatization equal :: "i \ i \ o"  (infixl ‹=› 50)
  where refl [intro]: "x = x"
    and subst: "x = y \ P x \ P y"

theorem trans [trans]: "x = y \ y = z \ x = z"
  by (rule subst)

theorem sym [sym]: "x = y \ y = x"
proof -
  assume "x = y"
  from this and refl show "y = x"
    by (rule subst)
qed


subsection ‹Quantifiers›

axiomatization All :: "(i \ o) \ o"  (binder ‹∀› 10)
  where allI [intro]: "(\x. P x) \ \x. P x"
    and allD [dest]: "\x. P x \ P a"

axiomatization Ex :: "(i \ o) \ o"  (binder ‹∃› 10)
  where exI [intro]: "P a \ \x. P x"
    and exE [elim]: "\x. P x \ (\x. P x \ C) \ C"


lemma "(\x. P (f x)) \ (\y. P y)"
proof
  assume "\x. P (f x)"
  then obtain x where "P (f x)" ..
  then show "\y. P y" ..
qed

lemma "(\x. \y. R x y) \ (\y. \x. R x y)"
proof
  assume "\x. \y. R x y"
  then obtain x where "\y. R x y" ..
  show "\y. \x. R x y"
  proof
    fix y
    from ‹∀y. R x y› have "R x y" ..
    then show "\x. R x y" ..
  qed
qed

end