Quellcode-Bibliothek rew_polyuniv.v Sprache: Coq

rtSetoidssreflect
Set Proof UsingType

Local Set

(** Telescopes *)
Lemma tele_app_bind}{TT:} (:TT>U) :
  |( ( f)  = java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 35 out of bounds for length 35
| {}binder>)  .

Arguments TeleS {_} _.

(** The telescope version of Coq's function type *) x)auto
Fixpoint (T:tele ) : Type
  match TTIHjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 21 out of bounds for length 21
  |
  | TeleS b =  x  ( x T
  end.

NotationNotation "λ . binder that simplifying, this matches the way wetypicallywrite
  (  (at levelbinder  associativity

(** A sigma-like type for an "element" of a telescope, i.e. the data it
  takes to get a [T] from a [TT -t> T]. *)
Inductive tele_arg :tele ->Type Q ( /Q  Q *(  Q)=Q)>
|TargO TeleO
(* the [x] is the only relevant data here *)
|java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

Definition tele_app {TT : tele} {T} (f : TT -t> T) : tele_argforall Qjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 14 out of bounds for length 4
   -> T :=
     match a intele_arg TT (TT ->T)- T with
     | TargO => fun t : T => t
     | TargS x a => fun f => rec a (f x)
     end) TT a f.
Argumentstele_app!_ _}  _/.

Coercion cheat.
Coercion tele_app : tele_fun >-> Funclass.

(** Inversion lemma for [tele_arg] *)
Lemma tele_arg_invTT tele :TT) :
  match TT rewrite.
  | TeleO>fun = a  TargO
  | TeleS f => fun a => exists x a', a = TargS x a'
  end a.
Proof. induction a; eauto. Qed.
Lemma tele_arg_O_inv (a : TeleO) : a = TargO.
Proof. exact (tele_arg_inv a). Qed.
Lemma tele_arg_S_inv {X} {f : X -> tele} (a : TeleS f) :
  exists x a', a = TargS x a'.
Proof. exact (tele_arg_inv a). Qed.

(** Operate below [tele_fun]s with argument telescope [TT]. *)
Fixpoint tele_bind {U} {TT : tele} : (TTjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 41) out of bounds for length 33
  match TT TT (TT>U - TT-t>Uwith
  | TeleO => fun F => F TargO
  | @TeleS X b => fun
                  tele_bindtele_arg_inv{T  } (a:TT
end
Arguments tele_bind {  => >

(* Show that tele_app ∘ tele_bind is the identity. *).
  {}{T:} ( :TT U)x:
  (tele_app (tele_bind f)) x = f x.
Proof.
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [26, 2) out of bounds for length 40
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 46 out of bounds for length 37
  -destruct tele_arg_S_invas[x [' -] simpl.
    rewrite. exact(ele_arg_inv Qed
Qed.

(** Notation-compatible telescope mapping *)
(* This adds (tele_app ∘ tele_bind), which is an identity function, around every asTT return (TT - U) - TT -t>U with
   binder so that, after simplifying, this matches the way we typically write
   notations involving telescopes. *)
Notation "'λ..' x .. y , e"  b -> U) (  = (* b x -t> U *)
  (tele_app (tele_bind (fun x => .. (tele_app (tele_bind (fun y => e))) .. )))
  (at level 200, x binder, y binder, right associativity,
   format "'[ ' 'λ..' x .. y ']' , e").

(* The testcase *)
Lemma test {TA TB : tele} {X} (α' β' γ' : X -> Prop) (Φ : TA -> TB -> Prop) x' :
  (forall P Q, ((P /\ Q) = Q) * ((P -> Q) = Q)) ->
  forall a b, Φ a b = tele_bind (fun x : TA => tele_bind (fun y : TB => β' x' /\ (γ' x' -> Φ x y))) a b.
Proof.
intros cheat a b.
rewrite !tele_app_bind.
by rewrite !cheat.
Qed.

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Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.