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products/Sources/formale Sprachen/PVS/exact_real_arith/ (Beweissystem der NASA Version 6.0.9^©) Datei vom 28.9.2014 mit Größe 1 kB

Quelle appendix.pvs Sprache: PVS

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% Appoximation results
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%     Author: David Lester, Manchester University
%
%     Version 1.0            18/2/09   Initial Release Version
%------------------------------------------------------------------------------

appendix: THEORY

BEGIN
  IMPORTING prelude_aux,
            prelude_A4,
            reals@sqrt

  n,m:     VAR nat
  i,p,r:   VAR int
  pn,q:    VAR posnat
  px,py:   VAR posreal
  x,e1,e2: VAR real

  lemma_A1: LEMMA m*m <= n AND n < (m+1)*(m+1) IFF m = floor(sqrt(n))

  lemma_A2: LEMMA r = round(p/q) IFF (r-1/2)*q <= p AND p < (r+1/2)*q

  lemma_A3: LEMMA i = floor(log2(px)) IFF 2^i <= px AND px < 2^(i+1)

  lemma_A4: LEMMA e1 = 2^ -(n+floor(log2(pn))+2) AND e2 = 2^ -n AND
                  -1 < x AND x < 1 =>
                  x^pn-e2 < (x-e1)^pn AND x^pn-e2 < (x+e1)^pn AND
                  (x-e1)^pn < x^pn+e2 AND (x+e1)^pn < x^pn+e2

  epsilon_log2_aux: LEMMA FORALL (n:posnat): EXISTS (p:nat): n < 2^p

  epsilon_log2: LEMMA EXISTS (p:nat): 1/2^p < px

  floor_sqrt_aux(n,m:nat): RECURSIVE nat =
        (IF (m+1)*(m+1) <= n THEN 1+floor_sqrt_aux(n,m+1) ELSE 0 ENDIF)
    MEASURE (LAMBDA n,m: (IF n >= (m+1)*(m+1) THEN n-m ELSE 0 ENDIF))

  floor_sqrt(n:nat): nat = floor_sqrt_aux(n,0)

  floor_sqrt_def: LEMMA floor_sqrt(n) = floor(sqrt(n))

  floor_log2(n:posnat): RECURSIVE nat =
    (IF n >= 2 THEN 1 + floor_log2(floor(n/2)) ELSE 0 ENDIF)
    MEASURE (LAMBDA n:n)

  floor_log2_def: LEMMA floor_log2(pn) = floor(log2(pn))

END appendix

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