Quelle  Sigma_Algebra.thy   Sprache: Isabelle

(*  Title:      HOL/Induct/Sigma_Algebra.thy
    Author:     Markus Wenzel, TU Muenchen
*)

section ‹Sigma algebras›

theory Sigma_Algebra
imports Main
begin

text ‹
  This is just a tiny example demonstrating the use of inductive
  definitions in classical mathematics.  We define the least ‹σ›-algebra over a given set of sets.
›

inductive_set σ_algebra :: "'a set set \ 'a set set" for A :: "'a set set"
where
  basic: "a \ \_algebra A" if "a \ A" for a
| UNIV: "UNIV \ \_algebra A"
| complement: "- a \ \_algebra A" if "a \ \_algebra A" for a
| Union: "(\i. a i) \ \_algebra A" if "\i::nat. a i \ \_algebra A" for a

text ‹
  The following basic facts are consequences of the closure properties
  of any ‹σ›-algebra, merely using the introduction rules, but
  no induction nor cases.
›

theorem sigma_algebra_empty: "{} \ \_algebra A"
proof -
  have "UNIV \ \_algebra A" by (rule σ_algebra.UNIV)
  then have "-UNIV \ \_algebra A" by (rule σ_algebra.complement)
  also have "-UNIV = {}" by simp
  finally show ?thesis .
qed

theorem sigma_algebra_Inter:
  "(\i::nat. a i \ \_algebra A) \ (\i. a i) \ \_algebra A"
proof -
  assume "\i::nat. a i \ \_algebra A"
  then have "\i::nat. -(a i) \ \_algebra A" by (rule σ_algebra.complement)
  then have "(\i. -(a i)) \ \_algebra A" by (rule σ_algebra.Union)
  then have "-(\i. -(a i)) \ \_algebra A" by (rule σ_algebra.complement)
  also have "-(\i. -(a i)) = (\i. a i)" by simp
  finally show ?thesis .
qed

end