java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [54, 53) out of bounds for length 57
    Andrei  Muenchen
    Copyright    not_ordLeq_iff_ord[]

Constructions on wellorders.
*)

section ‹Constructions on Wellorders›

theory Wellorder_Constructions
  imports
    Wellorder_Embeddingon
lemmajava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [25, 24) out of bounds for length 25

unbundle cardinal_syntax

declare
  ordLeq_Well_order_simp
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 5 out of bounds for length 0
  ojava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [29, 24) out of bounds for length 30
  Func_empty[simp]
  Func_is_emp[simp]



using java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [53, 24) out of bounds for length 66

lemma rdIso_trans
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [18, 17) out of bounds for length 55
    OFA: "ofilter r A" and OFB: "ofilter r B"
  shows "(A = B) = iso (Restr r A) (Restr r B) id"
  using assms by (auto simp add: ofilter_subset_embedS_iso)


subsection ‹Ordering the well-orders by existence of embeddings›

corollary ordLeq_refl_on: "refl_on {r. Well_order r} ordLeq"
  using ordLeq_reflexive unfolding ordLeq_def refl_on_def
  by blast

corollary ordLeq_trans: "trans ordLeq"
  using trans_def[of ordLeq] ordLeq_transitive by blast

corollary ordLeq_preorder_on: "preorder_on {r. Well_order r} ordLeq"
  by(auto simp add: preorder_on_def ordLeq_refl_on ordLeq_trans)

corollary ordIso_subset: "ordIso ⊆ {r. Well_order r} × {r. Well_order r}"
  using ordIso_reflexive unfolding refl_on_def ordIso_def by blast

corollary ordIso_refl_on: "refl_on {r. Well_order r} ordIso"
  using ordIso_reflexive unfolding refl_on_def ordIso_def
  by blast

corollary ordIso_trans: "trans ordIso"
  using trans_def[of ordIso] ordIso_transitive by blast

corollary ordIso_sym: "sym ordIso"
  by (auto simp add: sym_def ordIso_symmetric)

corollary ordIso_equiv: "equiv {r. Well_order r} ordIso"
  using ordIso_subset ordIso_refl_on ordIso_sym ordIso_trans by (intro equivI)

lemma ordLess_Well_order_simp[simp]:
  assumes "r <o r'"
  shows "Well_order r ∧ Well_order r'"
  using assms unfolding ordLess_def by simp

lemma ordIso_Well_order_simp[simp]:
  assumes "r =o r'"
  shows "Well_order r ∧ Well_order r'"
  using assms unfolding ordIso_def by simp

lemma ordLess_irrefl: "irrefl ordLess"
  by(unfold irrefl_def, auto simp add: ordLess_irreflexive)

lemma ordLess_or_ordIso:
  assumes WELL: "Well_order r" and WELL': "Well_order r'"
  shows "r <o r' ∨ r' <o r ∨ r =o r'"
  unfolding ordLess_def ordIso_def
  using assms embedS_or_iso[of r r'] by auto

corollary ordLeq_ordLess_Un_ordIso:
  "ordLeq = ordLess ∪ ordIso"
  by (auto simp add: ordLeq_iff_ordLess_or_ordIso)

lemma ordIso_or_ordLess:
  assumes WELL: "Well_order r" and WELL': "Well_order r'"
  shows "r =o r' ∨ r <o r
  using assms ordLess_or_ordLeq ordLeq_iff_ordLess_or_ordIso by bls

lemmas ord_trans = ordIso_transitive ordLeq_transitive ordLess_transitive
  ordIso_ordLeq_trans ordLeq_ordIso_trans
  ordIso_ordLess_trans ordLess_ordIso_trans
  ordLess_ordLeq_trans ordLeq_ordLess_trans

lemma ofilter_ordLeq:
  assumes "Well_order r" and "ofilter r A"
  shows "Restr r A ≤o r"
  by (metis Well_order_Restr[of r A] assms ofilter_embed[of r A] ordLess_iff[of r "Restr r A"]
      ordLess_or_ordLeq[of r "Restr r A"])

corollary under_Restr_ordLeq:
  "Well_order r ==> Restr r (under r a) ≤o r"
  by (auto simp add: ofilter_ordLeq wo_rel.under_ofilter wo_rel_def)


subsection ‹Copy via direct images›

lemma Id_dir_image: "dir_image Id f ≤ Id"
  unfolding dir_image_def by auto

lemma Un_dir_image:
  "dir_image (r1 ∪ r2) f = (dir_image r1 f) ∪ (dir_image r2 f)"
  unfolding dir_image_def by auto

lemma Int_dir_image:
  assumes "inj_on f (Field r1 ∪ Field r2)"
  shows "dir_image (r1 Int r2) f = (dir_image r1 f) Int (dir_image r2 f)"
proof
  show "dir_image (r1 Int r2) f ≤ (dir_image r1 f) Int (dir_image r2 f)"
    using assms unfolding dir_image_def inj_on_def by auto
next
  show "(dir_image r1 f) Int (dir_image r2 f) ≤ dir_image (r1 Int r2) f"
    by (clarsimp simp: dir_image_def) (metis FieldI1 FieldI2 UnCI assms inj_on_def)
qed

(* More facts on ordinal sum: *)

lemma Osum_embed:
  assumes FLD: "Field r Int Field r' = {}" and
    WELL: "Well_order r" and WELL': "Well_order r'"
  shows "embed r (r Osum r') id"
proof-
  have 1: "Well_order (r Osum r')"
    using assms by (auto simp add: Osum_Well_order)
  moreover
  have "compat r (r Osum r') id"
    unfolding compat_def Osum_def by auto
  moreover
  have "inj_on id (Field r)" by simp
  moreover
  have "ofilter (r Osum r') (Field r)"
    using 1 FLD
    by (auto simp add: wo_rel_def wo_rel.ofilter_def Osum_def under_def Field_iff disjoint_iff)
  ultimately show ?thesis
    using assms by (auto simp add: embed_iff_compat_inj_on_ofilter)
qed

corollary Osum_ordLeq:
  assumes FLD: "Field r Int Field r' = {}" and
    WELL: "Well_order r" and WELL': "Well_order r'"
  shows "r ≤o r Osum r'"
  using assms Osum_embed Osum_Well_order
  unfolding ordLeq_def by blast

lemma Well_order_embed_copy:
  assumes WELL: "well_order_on A r" and
    INJ: "inj_on f A" and SUB: "f ` A ≤ B"
  shows "∃r'. well_order_on B r' ∧ r ≤o r'"
proof-
  have "bij_betw f A (f ` A)"
    using INJ inj_on_imp_bij_betw by blast
  then obtain r'' where "well_order_on (f ` A) r''" and 1: "r =o r''"
    using WELL Well_order_iso_copy by blast
  hence 2: "Well_order r'' ∧ Field r'' = (f ` A)"
    using well_order_on_Well_order by blast
      (* *)
  let ?C = "B - (f ` A)"
  obtain r''' where "well_order_on ?C r'''"
    using well_order_on by blast
  hence 3: "Well_order r''' ∧ Field r''' = ?C"
    using well_order_on_Well_order by blast
      (* *)
  let ?r' = "r'' Osum r'''"
  have "Field r'' Int Field r''' = {}"
    using 2 3 by auto
  hence "r'' ≤o ?r'" using Osum_ordLeq[of r'' r'''] 2 3 by blast
  hence 4: "r ≤o ?r'" using 1 ordIso_ordLeq_trans by blast
      (* *)
  hence "Well_order ?r'" unfolding ordLeq_def by auto
  moreover
  have "Field ?r' = B" using 2 3 SUB by (auto simp add: Field_Osum)
  ultimately show ?thesis using 4 by blast
qed


subsection ‹The maxim among a finite set of ordinals›

text ‹The correct phrasing would be ``a maxim of ...", as ‹≤o› is only a preorder.›

definition isOmax :: "'a rel set <rder 
 Andj1 j2.j2 ∈"
    "isOmax  R r ≡ r ∈ underS i} ∈

definition omax
  wherelemma (inwo_rel Field_init_seg_of_Collect
    "omax R == SOME r. isOmax R r"

lemma exists_isOmax:
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [16, 9) out of bounds for length 80
  shows "∃
proof-
  have "finite R ==> suc {i}"
    apply(erule finite_induct) apply(simp add: isOmax_def)
  proof(clarsimp)
    fix r :: "('a × ∃.aboveS \noteq {}  i=succ java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 82 out of bounds for length 82
       isSucc i"
      and IH: "R ≠
    let ?R' = "insert r R"
    show "∃df
    proof(cases "R = {s_FieldsField  ≠ Field r"
      case True
      thus ?thesis
        by (simp add: "***" isOmax_def ordLeq_reflexive)
    next
      case False
      then obtain p where p: "isOmax R p" using IH by auto
      hence "Well_order p" using **** unfolding isOmax_def by simp
      then consider "r ≤o p" | "p ≤o r"
        using *** ordLeq_total by auto
      then show ?thesis
      proof cases
        case 1
        then show ?thesis
         using p ufldn smxdfb uo
      next
         cs
        then show ?thesis
          by (metise e_eosp:
      qed
    qed
  qed
  thus ?thesis using assms by auto
qed

lemma omax_isOmax:
  assumes "finite R"using zero_in_Field[OF assms] in_notinI[of x zero] by auto
  shows "isOmax R (omax R)"
  unfolding omax_def ulemma under_zero[simp]:
  by(simp add: exists_isOmax someI_ex)

lemma omax_in:
  assumes "finite R" and "R ≠
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 5 out of bounds for length 0
  using smsingeflast

lemma Well_order_omax:
  assumes "finite R" and "R ≠
  s (omax R)"
  using assms omax_in by blast

lemma omax_maxim:
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
  shows "lemm succifsm]=sc_ndf[TE cnut]
  using assms omax_isOmax unfolding isOmax_def by blast

emmama_ordLe:
  assumes "finite R" and asmsaboveS i ≠ {}"  shows "succ i ∈ using succ_in[ ass] unfolding Field_def by auto
  shows "omax R ≤
  (  omax_in ordLeq_Well_order_simp

lemma omax_ordLess:
  assumes "finite R" and
  
  by (meson assms omax_in by (metis isSucc_def leq_zero_impmetis  succ_in_diff

lemma lemma isLim_zero[simpisLim_zerosimp]:"isL zero"
  assumes "finite R" and "∀ r ∈isLi not_isSucc_zer)
    and "assumes "ij \in r" and "i ≠ j"
  shows "r ≤o p"
  by (meson assms omax_maxim ordLeq_transitive)

lemma omax_ordLess_elim:
  assumes "finite R" and "∀ r ∈ R. Well_order r"
    and "omax R <o p" and "r ∈ R"
  shows "r <o p"
  by (meson assms omax_maxim ordLeq_ordLess_trans)

lemma ordLeq_omax:
  assumes "finite R" and "∀ r ∈ R. Well_order r"
    and "r ∈ R" and "p ≤o r"
  shows "p ≤o omax R"
  by (meson assms omax_maxim ordLeq_transitive)

lemma ordLess_omax:
  assumes "finite R" and "∀ r ∈ R. Well_order r"
    and "r ∈ R" and "p <o r"
  shows "p <o omax R"
  by (meson assms omax_maxim ordLess_ordLeq_trans)

lemma omax_ordLeq_mono:
  assumes P: "finite P" and R: "finite R"
    and NE_P: "P ≠ {}" and Well_R: "∀ r ∈ R. Well_order r"
    and LEQ: "∀ p ∈ P. ∃ r ∈ R. p ≤o r"
  shows "omax P ≤o omax R"
  by (meson LEQ NE_P P R Well_R omax_ordLeq ordLeq_omax)

lemma omax_ordLess_mono:
  assumes P: "finite P" and R: "finite R"
    and NE_P: "P ≠ {}" and Well_R: "∀ r ∈ R. Well_order r"
    and LEQ: "∀ p ∈ P. ∃ r ∈ R. p <o r"
  shows "omax P <o omax R"
  by (meson LEQ NE_P P R Well_R omax_ordLess ordLess_omax)


subsection ‹Limit and succesor ordinals›

lemma embed_underS2:
  assumes r: "Well_order r" and g: "embed r s g" and a: "a ∈ Field r"
  shows "g ` underS r a = underS s (g a)"
  by (meson a bij_betw_def embed_underS g r)

lemma bij_betw_insert:
  assumes "b ∉ A" and "f b ∉ A'" and "bij_betw f A A'"
  shows "bij_betw f (insert b A) (insert (f b) A')"
  using notIn_Un_bij_betw[OF assms] by auto

context wo_rel
begin

lemma underS_induct:
  assumes "∧a. (∧ a1. a1 ∈ underS a ==> P a1) ==> P a"
  shows "P a"
  by (induct rule: well_order_induct) (rule assms, simp add: underS_def)

lemma suc_underS':
  assumes B: "B ⊆ Field r" and A: "AboveS B ≠ {}" and b: "b ∈ B"
  shows "b ∈ underS (suc B)"
  using suc_AboveS[OF B A] b unfolding underS_def AboveS_def by auto

lemma underS_supr:
  assumes bA: "b ∈ underS (supr A)" and A: "A ⊆ Field r"
  shows "∃ a ∈ A. b ∈ underS a"
proof(rule ccontr, simp)
  have bb: "b ∈ Field r" using bA unfolding underS_def Field_def by auto
  assume "∀a∈A.  b ∉ underS a"
  hence 0: "∀a ∈ A. (a,b) ∈ r" using A bA unfolding underS_def
    using bb in_notinI[of b] by blast
  have "(supr A, b) ∈ r"
    by (simp add: "0" A bb supr_least)
  thus False
    by (metis antisymD bA underS_E wo_rel.ANTISYM wo_rel_axioms)
qed

lemma underS_suc:
  assumes bA: "b ∈ underS (suc A)" and A: "A ⊆ Field r"
  shows "∃ a ∈ A. b ∈ under a"
proof(rule ccontr, simp)
  have bb: "b ∈ Field r" using bA unfolding underS_def Field_def by auto
  assume "∀a∈A.  b ∉ under a"
  hence 0: "∀a ∈ A. a ∈ underS b" using A bA
    by (metis bb in_mono max2_def max2_greater mem_Collect_eq underS_I under_def)
  have "(suc A, b) ∈ r"
    by (metis "0" A bb suc_least underS_E)
  thus False
    by (metis antisymD bA underS_E wo_rel.ANTISYM wo_rel_axioms)
qed

lemma (in wo_rel) in_underS_supr:
  assumes "j ∈ underS i" and "i ∈ A" and "A ⊆ Field r" and "Above A ≠ {}"
  shows "j ∈ underS (supr A)"
  by (meson assms LIN in_mono supr_greater supr_inField underS_incl_iff)

lemma inj_on_Field:
  assumes A: "A ⊆ Field r" and f: "∧ a b. [a ∈ A; b ∈ A; a ∈ underS b] ==> f a ≠ f b"
  shows "inj_on f A"
  by (smt (verit) A f in_notinI inj_on_def subsetD underS_I)

lemma ofilter_init_seg_of:
  assumes "ofilter F"
  shows "Restr r F initial_segment_of r"
  using assms unfolding ofilter_def init_seg_of_def under_def by auto

lemma underS_init_seg_of_Collect:
  assumes "∧j1 j2. [j2 ∈ underS i; (j1, j2) ∈ r] ==> R j1 initial_segment_of R j2"
  shows "{R j |j. j ∈ underS i} ∈ Chains init_seg_of"
  using TOTALS assms
  by (clarsimp simp: Chains_def) (meson BNF_Least_Fixpoint.underS_Field)

lemma (in wo_rel) Field_init_seg_of_Collect:
  assumes "∧j1 j2. [j2 ∈ "(succ i, j) ∈
  shows "{R j |j. j ∈ Field r} java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 38 out of bounds for length 0
  singTOTALSsy(to mp:ins_defs_def

subsubsection ‹ i = sup (underS i)"

  "succ i ≡ suc {i}"

  "isSucc i ≡ ∃ j. aboveS j ≠ {} ∧ i = succ j"

  "zero = minim pr(rule equals_supr)

  "isLim i ≡ ¬assuj: "j \in>Field r" and 1: " j'. j' n i\Longrightarrow (j',j) ∈

  zero_smallest[simp]:
 assumes "j ∈ Field r" shows "(zero, j) ∈ r"
 by (simp add: assms wo_rel proof(intro in_notinI[OF _ f j], safe)

  zero_in_Field: assumes "Field r \<assume ji: "(j,i) \<in> r" "j \<noteq (,j \ r ∧ i" by (metis max2
  unfoldi zero_ef by (metis Field_ofilter minim_in ofilter_def)

  leq_zero_imp[simp]:
 "(x, zero) ∈ r ==> x = zero"
 by (metis ANTISYM WELL antisymD well_order_on_domain zero_smallest)

  leq_zero[simp]:
 assumes "Field r ≠ {}" shows "(x, zero) ∈ r ⟷ x = zero"
 using zero_in_Field[OF assms] in_notinI[of x zero] by auto

  under_zero[simp]:
 assumes "Field r ≠ {}" shows "under zero = {zero}" 
 using assms unf

  underS_zero[simp,intro]: "underS zero = {}"
 unfolding underS_def by auto

  isSucc_succ: "aboveS i ≠ {} ==> isSucc (succ i)"
 unfolding isSucc_def succ_def byat

  succ_in_diff:
 assumes "aboveS i ≠
 using assms suc_greater[of "{i}"] unfolding succ_def AboveS_def aboveS_def Field_def by

  succ_in[simp] = succ_in_diff[THEN conjunct1]
  succ_diff[simp] = succ_in_diff[THEN conjunct2]

  succ_in_Field[simp]:
 assumes "aboveS i ≠ {}" shows "succ i ∈ Field r"
 using succ_in[OF assms] unfolding Field_def rder_RelunderS_Field empty_iff isLim_supr j l underS_empty underS_supr)

  succ_not_in:
 assumes "aboveS i ≠
 by (metis FieldI2 assms max2_equals1 max2_equals2 succ_diff succ_in)

  not_isSucc_zero: "¬ isSucc zero"
 by (metis isSucc_def leq_zero_imp succ_in_diff)

  isLim_zero[simp]: "isLim zero"
 by (metis isLim_def not_isSucc_zero)

  succ_smallest:
 assumes "(i,j) ∈ wo_rel.isSucc"
 shows "(succ i, j) ∈ r"
 by (metis Field_iff assms empty_subsetI insert_subset singletonD suc_least succ_def)

  isLim_supr:
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [10, 9) out of bounds for length 47
 shows "i = supr (underS i)"
 (rule equals_supr)
 fix j assume j: "j ∈ Field r" and 1: "∧ j'. j' ∈ underS i ==> (j',j) ∈ r"
 show "(i,j) ∈ r"
 proof(intro in_notinI[OF _ f j], safe)
 assume ji: "(j,i) ∈ r" "j ≠ i"
 hence a: "aboveS j ≠ {}" unfolding aboveS_def by auto
 hence "i ≠ succ j" using l unfolding isLim_def isSucc_def by auto
 moreover have "(succ j, i) ∈ r" using succ_smallest[OF ji] by auto
 ultimately have "succ j ∈ underS i" unfolding underS_def by auto
 hence "(succ j, j) ∈ r" using 1 by auto
 thus False using succ_not_in[OF a] by simp
 qed
 (use f underS_def Field_def in fastforce)+

  "pred i ≡ SOME j. j ∈ Field r ∧ aboveS j ≠ {} ∧ succ j = i"

  pred_Field_succ:
 assumes "isSucc i" shows "pred i ∈ Field r ∧ aboveS (pred i) ≠ {} ∧ succ (pred i) = i"
 -
 obtain j where j: "aboveS j ≠ {}" "i = succ j"
 using assms unfolding isSucc_def by auto
 then obtain "j ∈ Field r" "j ≠ i"
 by (metis FieldI1 succ_diff succ_in)
 then show ?thesis unfolding pred_def
 by (metis (mono_tags, lifting) j someI_ex)
 

  pred_Field[simp] = pred_Field_succ[THEN conjunct1]
  aboveS_pred[simp] = pred_Field_succ[THEN conjunct2, THEN conjunct1]
  succ_pred[simp] = pred_Field_succ[THEN conjunct2, THEN conjunct2]

  isSucc_pred_in:
 assumes "isSucc i" shows "(pred i, i) ∈ r"
 by (metis assms pred_Field_succ succ_in)

  isSucc_pred_diff:
 assumes "isSucc i" shows "pred i ≠ i"
 by (metis aboveS_pred assms succ_diff succ_pred)

(* todo: pred maximal, pred injective? *)

lemma succ_inj[simp]:
  assumes "aboveS i ≠ {}" and "aboveS j ≠ {}"
  shows "succ i = succ j ⟷ i = j"
  by (metis FieldI1 assms succ_def succ_in supr_under under_underS_suc)

lemma pred_succ[simp]:
  assumes "aboveS j ≠ {}"  shows "pred (succ j) = j"
  using assms isSucc_def pred_Field_succ succ_inj by blast

lemma less_succ[simp]:
  assumes "aboveS i ≠ {}"
  shows "(j, succ i) \<in> r \<longleftrightarrow> (j,i) \<in> r \<or> j = succ i"
  by (metis FieldI1 assms in_notinI max2_equals1 max2_equals2 max2_iff succ_in succ_smallest)

lemma underS_succ[simp]:
  assumes "aboveS i \<noteq> {}"
  shows "underS (succ i) = under i"
  unfolding underS_def under_def by (auto simp: assms succ_not_in)

lemma succ_mono:
  assumes "aboveS j \<noteq> {}" and "(i,j) \<in> r"
  shows "(succ i, succ j) \<in> r"
  by (metis (full_types) assms less_succ succ_smallest)

lemma under_succ[simp]:
  assumes "aboveS i \<noteq> {}"
  shows "under (succ i) = insert (succ i) (under i)"
  using less_succ[OF assms] unfolding under_def by auto

definition mergeSL :: "('a \<Rightarrow> 'b \<Rightarrow> 'b) \<Rightarrow> (('a \<Rightarrow> 'b) \<Rightarrow> 'a \<Rightarrow> 'b) \<Rightarrow> ('a \<Rightarrow> 'b) \<Rightarrow> 'a \<Rightarrow> 'b"
  where
    "mergeSL S L f i \<equiv> if isSucc i then S (pred i) (f (pred i)) else L f i"


subsubsection \<open>Well-order recursion with (zero), succesor, and limit\<close>

definition worecSL :: "('a \<Rightarrow> 'b \<Rightarrow> 'b) \<Rightarrow> (('a \<Rightarrow> 'b) \<Rightarrow> 'a \<Rightarrow> 'b) \<Rightarrow> 'a \<Rightarrow> 'b"
  where "worecSL S L \<equiv> worec (mergeSL S L)"

definition "adm_woL L \<equiv> \<forall>f g i. isLim i \<and> (\<forall>j\<in>underS i. f j = g j) \<longrightarrow> L f i = L g i"

lemma mergeSL: "adm_woL L \<Longrightarrow>adm_wo (mergeSL S L)"
  unfolding adm_wo_def adm_woL_def isLim_def
  by (smt (verit, ccfv_threshold) isSucc_pred_diff isSucc_pred_in mergeSL_def underS_I)

lemma worec_fixpoint1: "adm_wo H \<Longrightarrow> worec H i = H (worec H) i"
  by (metis worec_fixpoint)

lemma worecSL_isSucc:
  assumes a: "adm_woL L" and i: "isSucc i"
  shows "worecSL S L i = S (pred i) (worecSL S L (pred i))"
  by (metis a i mergeSL mergeSL_def worecSL_def worec_fixpoint)

lemma worecSL_succ:
  assumes a: "adm_woL L" and i: "aboveS j \<noteq> {}"
  shows "worecSL S L (succ j) = S j (worecSL S L j)"
  by (simp add: a i isSucc_succ worecSL_isSucc)

lemma worecSL_isLim:
  assumes a: "adm_woL L" and i: "isLim i"
  shows "worecSL S L i = L (worecSL S L) i"
  by (metis a i isLim_def mergeSL mergeSL_def worecSL_def worec_fixpoint)

definition worecZSL :: "'b \<Rightarrow> ('a \<Rightarrow> 'b \<Rightarrow> 'b) \<Rightarrow> (('a \<Rightarrow> 'b) \<Rightarrow> 'a \<Rightarrow> 'b) \<Rightarrow> 'a \<Rightarrow> 'b"
  where "worecZSL Z S L \<equiv> worecSL S (\<lambda> f a. if a = zero then Z else L f a)"

lemma worecZSL_zero:
  assumes a: "adm_woL L"
  shows "worecZSL Z S L zero = Z"
  by (smt (verit, best) adm_woL_def assms isLim_zero worecSL_isLim worecZSL_def)

lemma worecZSL_succ:
  assumes a: "adm_woL L" and i: "aboveS j \<noteq> {}"
  shows "worecZSL Z S L (succ j) = S j (worecZSL Z S L j)"
  unfolding worecZSL_def
  by (smt (verit, best) a adm_woL_def i worecSL_succ)

lemma worecZSL_isLim:
  assumes a: "adm_woL L" and "isLim i" and "i \<noteq> zero"
  shows "worecZSL Z S L i = L (worecZSL Z S L) i"
proof-
  let ?L = "\<lambda> f a. if a = zero then Z else L f a"
  have "worecZSL Z S L i = ?L (worecZSL Z S L) i"
    unfolding worecZSL_def by (smt (verit, best) adm_woL_def assms worecSL_isLim)
  also have "\<dots> = L (worecZSL Z S L) i" using assms by simp
  finally show ?thesis .
qed


subsubsection \<open>Well-order succ-lim induction\<close>

lemma ord_cases:
  obtains j where "i = succ j" and "aboveS j \<noteq> {}"  | "isLim i"
  by (metis isLim_def isSucc_def)

lemma well_order_inductSL[case_names Suc Lim]:
  assumes "\<And>i. \<lbrakk>aboveS i \<noteq> {}; P i\<rbrakk> \<Longrightarrow> P (succ i)"  "\<And>i. \<lbrakk>isLim i; \<And>j. j \<in> underS i \<Longrightarrow> P j\<rbrakk> \<Longrightarrow> P i"
  shows "P i"
proof(induction rule: well_order_induct)
  case (1 x)
  then show ?case     
    by (metis assms ord_cases succ_diff succ_in underS_E)
qed

lemma well_order_inductZSL[case_names Zero Suc Lim]:
  assumes "P zero"
    and  "\<And>i. \<lbrakk>aboveS i \<noteq> {}; P i\<rbrakk> \<Longrightarrow> P (succ i)" and
    "\<And>i. \<lbrakk>isLim i; i \<noteq> zero; \<And>j. j \<in> underS i \<Longrightarrow> P j\<rbrakk> \<Longrightarrow> P i"
  shows "P i"
  by (metis assms well_order_inductSL)

(* Succesor and limit ordinals *)
definition "isSuccOrd \<equiv> \<exists> j \<in> Field r. \<forall> i \<in> Field r. (i,j) \<in> r"
definition "isLimOrd \<equiv> \<not> isSuccOrd"

lemma isLimOrd_succ:
  assumes isLimOrd and "i \<in> Field r"
  shows "succ i \<in> Field r"
  using assms unfolding isLimOrd_def isSuccOrd_def
  using FieldI1[of "succ i" _ r] in_notinI[of i] succ_smallest[of i] by blast

lemma isLimOrd_aboveS:
  assumes l: isLimOrd and i: "i \<in> Field r"
  shows "aboveS i \<noteq> {}"
proof-
  obtain j where "j \<in> Field r" and "(j,i) \<notin> r"
    using assms unfolding isLimOrd_def isSuccOrd_def by auto
  hence "(i,j) \<in> r \<and> j \<noteq> i" by (metis i max2_def max2_greater)
  thus ?thesis unfolding aboveS_def by auto
qed

lemma succ_aboveS_isLimOrd:
  assumes "\<forall> i \<in> Field r. aboveS i \<noteq> {} \<and> succ i \<in> Field r"
  shows isLimOrd
  using assms isLimOrd_def isSuccOrd_def succ_not_in by blast

lemma isLim_iff:
  assumes l: "isLim i" and j: "j \<in> underS i"
  shows "\<exists> k. k \<in> underS i \<and> j \<in> underS k"
  by (metis Order_Relation.underS_Field empty_iff isLim_supr j l underS_empty underS_supr)

end (* context wo_rel *)

abbreviation "zero \<equiv> wo_rel.zero"
abbreviation "succ \<equiv> wo_rel.succ"
abbreviation "pred \<equiv> wo_rel.pred"
abbreviation "isSucc \<equiv> wo_rel.isSucc"
abbreviation "isLim \<equiv> wo_rel.isLim"
abbreviation "isLimOrd \<equiv> wo_rel.isLimOrd"
abbreviation "isSuccOrd \<equiv> wo_rel.isSuccOrd"
abbreviation "adm_woL \<equiv> wo_rel.adm_woL"
abbreviation "worecSL \<equiv>"orecSL>wo_rel"
abbreviation "worecZSL \<equiv> wo_relworecZSL"


subsection \<open>Projections of wellorders\<close>

definition "oproj r s f \<equiv> Field s \<subseteq> f ` (Field r) \<and> compat r s f"

lemma oproj_in:
  assumes "oproj r s f" and "(a,a') \<in> r"
  shows "(f a, f a') \<in> s"
  using java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 10 out of bounds for length 0

lemma oproj_Field:
  assumes f
  shows f \in s
f]aunfoldingField_defby

lemmajava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 19 out of bounds for length 19
  assumes f: "oproj r s f" and a: "b \
  shows "\<exists> a  assumes frjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 51 out of bounds for length 51
  using assms unfolding oproj_def by java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

lemmaoproj_underjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 18 out of bounds for length 18
  f:"oproj r s f and a: "a \<in> under r a'"
  shows "f a \<in> under s (f a')"
  using oproj_in[OF f] a unfolding under_def by auto

(* An ordinal is embedded in another java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 42 out of bounds for length 34
( as  segment):)
theorem embedI:
(*Anordinal  in another wheneverit  as an order
    and fnotnecessarilyinitial):*
  shows "\<exists> g. embed r s g"
proof-
  interpret r: wo_rel r by unfold_locales (rule r)
  interpret s:wo_rel s by unfold_locales (rule s)
  let ?G = "\<lambda> g a. suc s (g ` underS r a)"
  define g where "g = worec r ?G"
  have adm: "adm_woproof-
      (  nterpret :wo_relrb unfold_locales ( )
  {  assume a\<in Fieldrjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 33 out of bounds for length 33
    hence bij_betw  (under  a) (under s( ))\and>
          g a \<in> under s (f a)"
 :java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [44, 43) out of bounds for length 44
      case (1(  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [12, 13) out of bounds for length 12
      hence a: "a \<in> Field r"
        and IH1a: "\<And> a1. a1 \<in> underS r a \ <in>under s f )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 34 out of bounds for length 34
        and IH1b: "\<And> a1. case(1a)
        and IH2: "\<And> a1. a1 \<in> underS r         and IH1a: "\<And> a1. a1 \<in> underS r < inj_on g( r a1)"
        Field_defbij_betw_defby
      have fa: "f a \<in>        nd IH2 \And a1.a1\inunderS   \Longrightarrow  a1\<>  (fa1"
      have g: "g a = suc s (g ` underS r a)"
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [42, 8) out of bounds for length 74
      have A0: "g ` underShave g: "g   sucs(  r )
        H2 image_subsetI in_mono under_Field)
      {fix a1 assume a1: "a1 \<in> underS r a"
        from IH2[OF this] have "g a1 \<using IH1b by (metis IH2 image_subsetI java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 67 out of bounds for length 67
        moreover have "        from IH2[OFthis] have "g a1\in>unders( a1) .
        ultimately have " a1 \<>underS  f )  (.s.under_underS_trans)
      }
      hence fa_in: "f a \<injava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 77 out of bounds for length 77
       usingby simp ( lifting,  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 80 out of bounds for length 80
      hence A: "AboveSbij_betw_def
       ga:" a\<> s  g using s.suc_inField[OF A0 A] .
      show ?case
        bij_betw_def
      proof (intro          by (metisIH1a  a bij_betw_def  ga rs .suc_greater subsetIwellorders_totally_ordered_aux
        "  r.a"
          by (metis A IH1a           by (metis A A0 IH1a IH1b metisA0IH1a  a bij_betw_def g java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 104 out of bounds for length 104
        show "g ` r.under a = s.under (g a)"
          by (metis A A0 IH1ajava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 9 out of bounds for length 9
        show "g a \<in> s.under
          by (simp addcorollary
      qed
    qed
  }
  thesis unfolding byauto
qed

corollary ordLeq_def2:
  "r \   ordLeq_def by fast
               (\<exists> lemmaiso_oproj:
  usingembed_in_Fieldofr s embed_underS2 s]embedI[f  s
  unfolding ordLeq_def byshows"  s"

lemma iso_oproj:
  assumes
  showstheorem java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [20, 19) out of bounds for length 20
  by (metis embed_Field f iso_Field iso_iff iso_iff3 oproj_def r s)

java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 20 out of bounds for length 20
  assumes r: "Well_order r" and s: "Well_order s" java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 51 out of bounds for length 46
   \< .   "
proof java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [6, 7) out of bounds for length 4
  fix b assume "b \<in> Field s"
  thus "inv_into (Field r) f b \<in> Field r" 
    using oproj_Field2[OF f] by (metis imageI inv_into_into)
next*3)  ain  "java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [47, 46) out of bounds for length 64
  fix a b assume "b \<in> Field s" "a \<noteq> b" bymeson *1   in_monowo_rel.java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [82, 81) out of bounds for length 95
    "inv_into (Field r)  using (utosimp:well_order_on_deflinear_order_on_def total_on_def)
  with f show False
    by (meson FieldI1 in_mono      funfoldedoproj_def  (1) \open> \<in s\<>
next
  fix a b assume *: "b \<in> Field s" "    have "(b, a) \<in> s" by (metis in_mb )<>s" by( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [44, 45) out of bounds for length 44
:"(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [29, 28) out of bounds for length 79
    moreover
    from *(3) have "a \<     java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [53, 51) out of bounds for length 64
    then have "(inv_into (Field r) f b, inv_into (Field r) f a) \<in> r"
      by (meson "*"(1) notin f in_mono inv_into_into oproj_def r wo_rel.in_notinI wo_rel.intro)
    ultimately have "(inv_into (Field r) f b, inv_into (Field r) f a) \<in> r"
      using r by (auto simp: well_order_on_def linear_order_on_def total_on_def)
    with f[unfolded oproj_def compat_def] *(1) \<open>a \<in> Field s\<close>
      f_inv_into_f[of b f "Field r"] f_inv_into_f[of a f "Field r"]
    have "(b, a) \<in> s" by (metis in_mono)
    with *(2,3) s have False
      by (auto simp: well_order_on_def linear_order_on_def partial_order_on_def antisym_def)
  } thus "(inv_into (Field r) f a, inv_into (Field r) f b) \<in> r" by blast
qed

corollary oproj_ordLeq:
  assumes r: "Well_order r" and s: "Well_order s" and f: "oproj r s f"
  shows "s \<le>o r"
  using f oproj_embed ordLess_iff ordLess_or_ordLeq r s by blast

end