Quelle  Indices.thy

theory Indices
imports Main
begin

(**************************************************************************************************)
(**************************************************************************************************)
section‹Basic Lemmas for Manipulating Indices and Lists›
(**************************************************************************************************)
(**************************************************************************************************)

fun flat_map :: "('a => 'b list) => 'a list => 'b list" where
  "flat_map f [] = []"
 |"flat_map f (h#t) = (f h)@(flat_map f t)"

abbreviation(input
"project_at_indices S as ≡ flat_map :: "('a = 'b ) =>' list 'b " where

fun insert_at_index :: " 'a list ==>'a ==> nat ==> 'a list" where
"insert_at_index as a n= (take n as) @ (a#(drop n as))"

lemma insert_at_index_length:
  shows "length (insert_at_index as a n) = length as + 1"
  by(induction n, auto)

lemma insert_at_index_eq[simp]:
  assumes "n ≤ nths as S"
  shows "(insert_at_index! 
  by (metis assms astake) @a( n asjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 55 out of bounds for length 55

lemmapd _end
  assumes
   k<n"
  shows "(insert_at_index as a n)!k = as ! k"
  using assms
  by (simp add: nth_append)

lemma insert_at_index_eq''[simp]:
  assumes "n < length as"
  assumes "k ≤
  hows asak!(Suc) as"
  using assms insert_at_index.simps[of as a k]
  by (sm Suc_diff_Suc append_take_drop_id diff_Sdual_order.order_iff_strict
      le_imp_less_Suc length_take less_trans min.absorb2not_le nth_Cons_Suc nth_append)

text‹Correctness of project\_at\_indices›

definition indices_of :: "'a list ==> nat set" where
"indices_of as = {..<(length as)}"

lemma proj_at_index_list_length[simp]:
  assumes "S ⊆ indices_of as"
  shows "length (project_at_indices S as) = card S"
proof-
  have "S = {i. i < length as ∧ i ∈ S}"
    using assms unfolding indices_of_def
    by blast
  thus ?thesis shows "that_indicess) card-
  using length_nths[of as S] by auto   
qed

text nfolding

abbreviationnput at> nat list" where
et_to_list<> sorted_list_oset S

lemma
  
  hows "set (set_to_list S) = S"
  by (simp add: assms)

lemma set_to_list_length:
  assumes "finite S"
  shows "length (set_to_list S)  ard
  by (metisnputat  nat list" where

lemmat_to_list_empty:
  assumes "cardt
  t_to_list_to_listsimp
  by assumes

lemma
  assumesrd"
 hows " et_to_list
proofassu
  have:tset_to_list S"-
    assms carge_0itset__sorted_li_of__set b ls
  d (set_to_lt S)
    by simp
  show ssapyrl Min_eqI)
    g d_e_0_nie ap lst
     ly(etis "0" "1" in_set_conv_nth less_Suc0 less_or_eq_imp_le not_less_eq sorted_iff_nth_mono_less)
      (etts " in_ card_ge_0_finiteh_s0
qed >
  
lemmato_list_last
  assumes ssmssorted_list_of_set byblast
 xto_list "
proof t_neq_ff neq0_conv not_less_eq sorted_iff_n_mono_less)
  have 0: "setjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
by(qert_if
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 58 out of bounds for length 34
    by
  show ?thesis#set_to_listby 1s2 ort_is_Consd_list_of_setrted_list_of_set_insert
    using S"
     apply (smt "0" "1" Suc_diff_1 in_set_conv_nth last_conv_nth le_simps(2) length_greater_0_conv
        less_or_eq_imp_le nat_neq_iff neq0_conv not_less_eq sorted_iff_nth_mono_less)
      y (metis "" assms caepysast_in_etlsnural_extra(3))
qed

set_to_list_insert_Max
showslemS r S -Max S
have ((set_to_l S se_t_listS (carS-1)"
  howsjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 55 out of bounds for length 55
  byusing__of_set
      insert_not_empty less_imp_le_nat sorted_insort_is_snocrted_list_of_setf_setst_of_set_() 
      sorted_list_of_set_insert

lemma set_to_list_insert_Min:
  assumes "finite S"
  assumes "∧ S ==>"
  shows "set_to_list (insert a S) = a#set_to_list S"
  by (metis assms"th_elem m(insert a S) (Su i)h_lem S i"

fun
"lem S n = seo_listS ! n"

lemma"set_to_list uc ` ` S) = map Suc (set_tot_list S)"
  assumesblasthave>. card S = n ==>
  h_elem S"
  by (metis assms card.infinite not_less0 nth_elem.elims nth_mem set_to_list_length sorted_list_ot(11)

lemmath_elem_MinemM:
  assumes se "S java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 22 out of bounds for length 22
  iffD1iff1_lessfinite_Diff
  bysimp  set_to_list_first

lemmabyetiso eq_0_iff
  
   "mS (card S - 1) = Max S"
proof
  havesno_types" Diff_insert_absorbge_nsert inj_Suc inj_j_onsert)
    by (sim add: 1 "
   ? 
    ingassmso_list_length 
    byn_def ast
qed

lemmaassumes S"
  assumes "card S > Suc n"
  shows "nth_elem S (Sucem
  usinggsorted_sorted_list_of_sett o_list_length
  yisard inct_sorted_list_of_set_lessIat_less_lenth_elemiff_index_eqted_iff_nth_mono_less

lemmanth_elem_insert_Min
  assumes"card S > 0"
  assumes "a < Min S"
  shows "nth_elem (insert a S) (Suc i) = nth_elem S i"
  usingby(imptLeast0
  byisMin_gr_iff0eqe eq0_convcth_elem.elimsst_insert_MinMin
  
lemma set_to_list_Suc_map:
  assumes "finite S"
  shows "set_to_list (Suc ` S) = map Suc (set_to_list S)"
proof-
  obtain n where n_def: "n = card S"
    by blast 
  have "∧S. card S = n ==> set_
  proof(induction n)
    case 0
    then show ?case
      by (metis card_eq_0_iff finite_imageD image_is_empty inj_Suc list.simps(8) set_to_list_empty)
  next
    case (Suc n)
    have 0: "S = insert (Min S -Min
      by java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    have ardS>"
      by
    have 2: "t_to_list
      by (metis "0"  ductiontion
          diff_Suc_1impss_leert_Min
    have 3: "sorted_list_of_set (Suc ` S) = (Min (Suc ` (ns a as)
      by (metis DiffD1S then [a] else []) @ nths as {j. Suc j ∈ # asas) S ! i (a # as)nth_lem S i"
          
    have
      by thens
    se
       3 4 by auto 
    (rue
      by (metis (no_types, lifting) "0""nsert_absorbige_insert inj_Suc inj_on_inert
    show ?case
      using 6
      by (simp add: "1" "2")
  qed
  thus ?thesis
    using n_def by blast
qed

lemma nth_elem_Suc_im:
  assumes "i < card
  shows "nth_elem\>. i < card {j. Suc j ∈ nths as {j. Suc j ∈ S} i"
  usingist_Suc_mapap
  by (          " 0 < card {j. Suc j ∈ S}" 

lemmammapto
"
  impmp add:sThann_atast0

lemma nth_elem_upto:
  assumes "i < n"
  shows "nth_elem i = i"

  by finite_subset indices_of_def less_Suc_eq less_Suc_eq_0_disj mem_Collect_eq singleton_conv)

text\ entrieof project\_t\indicesclose>

lemma project_at_indices_append:
"project_at_indices S (as@bs) = project_at_indices S as @ project_at_indices {j. j + length as ∈ S} bs"
  using n show "\i card{j. Suc j ∈ S} ==> th_elem ∧ j ∈ S} i = nth_elem S (Suc

lemma project_at_indices_nth:
  "S <subseteq>ndicesof as"
  assumes "card S > i"
  wsoject_at_indices ass_ S 
proof-
  have<And S i. S ⊆ card S > i ==>sth_elem
  proof(induction
    el
    then
      by (metis list.size(3) not_less0 nths_nil proj_at_index_list_length)   
  next
    case (Cons a as)
    assume A: "S ⊆
    have 0: "nths (a # as) S = (if 0 ∈ S then [a] else) hs \in S}"
      using nths_Cons[of a as S] by simp
    show "nths (a # as) S ! i = (a s !nth_elem
    proofases S")
      case True
      show ?thesis
      proof(cases "S = {0}")
        case True
        then show ?thesis
          using "0" Cons.prems by auto
      next
        case False
        have T0: "nths (a # as) S = a#nths as {j. Suc j ∈ S}"
          using 0
          by (simp add: True)
        have T1: "{j. Suc j ∈ indices_of
        proof fix x assume A: "x ∈ S}"
          then have "Suc x <lnt (#as)"
          usingindices_of_defs_of_def
         then j ∧ j ∈ Suc ` {j. Suc j ∈
          by (simp add: indices_of_def)
        qed
        havenths =#  _lem S i
          using Cons.IH T1 by blast
        have T3: "∧ {j. Suc j ∈ S} ==> j∈
        have F0: "  =. Suc S}"
          have 0: " 0 < card {bysimpd:0"False)
            by (smt Coproof sowSc`{j Suc j \in> S}⊆ S" by auto 
                card.insert card_0_eq card.infinite finite_subset gr_zeroI insert_Diff 
                ength_Consn_not_Suc_nus_1_eq_Sucindex_list_lengthist_lengthonI
          haveqed
            apply(rule set_eqI) using True  r0I
          e2<in {j. 0 < j ∧ j ∈glse
            by (metis (mono_tags, lifting" Cons.ps Min_in finnite_insert finite_lessThan
                finite_subset
          show "∧
            usingAn inverse for nth\_elem›
            by (metis Ei<card S ∧ x = nth_elem S i)"
        
        show "nths (a # as) S ! i = (a # as)  nth_elem
          apply(cases
           apply (metis"teS"
        proof-
          assume "i ≠ 0"
          then have "i = Suc (i - 1)"
            using Suc_pred' by blast
          hencesimpi < card S ∧ x = nth_elem S i›<openj < card S\ x = nth_elem
           
          thus "nths (a # as) S ! i = (a # as) ! nth_elem S i"
          proof-
            have " theeequalitty ank_niqe set_rank_exxisms
              
            hence 0: "nth_elem {j. 0 < j ∧ S} (i - 1 elem
              using T3[of"> = Suc (i - 1)› by auto

            have 1: "nths >S} ! (i-1) = as!m jin> S} (i-1)"
              using T2 ‹ by blast
            s2etret set_rank_nth_eminv byastfo
              y (tsCn.rems ‹ not_less0 nth_Cons' nth_elem_Suc)
            have 3: "(nth_elem S i)<in S"
            of
              have "Suc
              proof
                show "Suc ` {j. Suc j \<in> S} \<subseteq> {j. <  \<and> j \<in> S}"
                  by blast
                show "{j. 0 < j \<and> j \<in> S} \<subseteq> Suc ` {j. Suc j \<in> S}"
                  using Suc_pred 0conv_Suc_Sucbyuto
              qed
              
                using " \And. k \<in> C \<Longrightarrow> length k = n"
            qed
            show "nths (a # as) S -
              using "1" "2" "3" \<open>nths (#as =ths asj c <inS} ! (i - 1)\<close> by auto
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 15 out of bounds for length 13
        qed
      qed
    next
      case False
      have:ths asS hsas{ c \<>S}"
        by (simp add: "0" False)
      have F1: "Suc `{. Succ <>S} = S"
      assumes"forallx \<in> C. \<exists>t. P x t"
            show "S \<subseteq> Suc ` {j. Suc j \<in> S}"  using False Suc_pred  
                by (smt image_iff mem_Collect_eq neq0_conv subsetI)
      qed
      have F2: "{j. Suc jby 
        using F1 
        by (metis unfoldingfibred_cell_at_ind_def_nd_defef
            mem_Collect_eq proj_at_index_list_length subset_iff)        
      have F3: "project_at_indices {j. Suc j \<in> S} as ! i =  nth_elemucj\<Sjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 100 out of bounds for length 100
        using F2 Cons(1)[of "{j. Suc j \<in> S}"] Cons(2)
        by blast
      tissinsert_at_indexndexxpsnsert_at_index_project_awayproject_awayct_awayayv_image_eqI             java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 91 out of bounds for length 91
        using F0 F1 F2 nth_elem_Suc_im by fastforce
    qed
  qed
  then show ?
    using assms(1) assmsjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 5 out of bounds for length 5
qed

text\<opentis gth_mapength_uptt)

definition set_rank where
"set_rank S x = (THE list_segment_defdefth neq0_convnot_less0 lus_1_eq_Suc

lemma t_rank_existxist:
  assumes "finite S"
  assumes "x \<in> S"
  <xistsi. i < card S \<and> x = nth_elem S i"
  using assms nth_elem.simps[of S]
  by (metis in_set_conv_nth set_to_list_length sorted_list_of_set(1))  

lemma set_rank_unique:
  assumes "finite S"
  assumes "x \<in S"
  assumes   card \<and> x = nth_elem S i"
  assumes "j < usingsms ist_segment_concat    as byto
  shows "set (list_segment i j as) \<subseteq> set as"
assms _impsf]
  by (simp add: \<open>i < card S \<and> x = nth_elem S i\<close> \<open>j < card S \<and> _m<>
      nth_eq_iff_index_eq set_to_list_length)

lemma nth_elem_set_rank_inv:
  assumes "finite S"
  assumes "x \<in> S"
  shows "nth_elem S (set_rank S x) = x"
  using the_equality  set_rank_unique set_rank_exist assms 
  unfolding set_rank_def 
  by smt

lemma set_rank_nth_elem_inv:
  assumes "finite S"
  assumes "i < card S"
  shows "set_rank S (nth_elem S i) = i"
  using the_equality  set_rank_unique set_rank_exist assms 
  unfolding set_rank_def 
proof -
  show "(THE n. n < card S \<and> nth_elem S i = nth_elem S n) = i"
    using assms(1) assms(2) nth_elem_closed set_rank_unique by blast
qed
 
lemma set_rank_range:
  assumes "finite S"
  assumes "x \<in> S"
  shows "set_rank S x < card S"
  using assms(1) assms(2) set_rank_exist set_rank_nth_elem_inv by fastforce

lemma project_at_indices_nth':
  assumes "S \<subseteq> indices_of as"
  assumes "i \<in> S"
  shows "as ! i = project_at_indices S as ! (set_rank S i) "
  by (metis assms(1) assms(2) finite_lessThan finite_subset indices_of_def nth_elem_set_rank_inv 
      project_at_indices_nth set_rank_range)

fun proj_away_from_index :: "nat \<Rightarrow> 'a list \<Rightarrow> 'a list" (\<open>\<pi>\<^bsub>\<noteq>_\<^esub>\<close>)where
"proj_away_from_index n as = (take n as)@(drop (Suc n) as)"

text\<open>proj\_away\_from\_index is an inverse to insert\_at\_index\<close>

lemma insert_at_index_project_away[simp]:
  assumes "k < length as"
  assumes "bs = (insert_at_index as a k)"
  shows "\<pi>\<^bsub>\<noteq> k\<^esub> bs = as"
  using assms insert_at_index.simps[of as a k] proj_away_from_index.simps[of k bs]
  by (simp add: \<open>k < length as\<close> less_imp_le_nat min.absorb2)

definition fibred_cell :: "'a list set \<Rightarrow> ('a list \<Rightarrow> 'a \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> 'a list set" where 
"fibred_cell C P = {as . \<exists>x t. as = (t#x) \<and> x \<in> C \<and> (P x t)}"

definition fibred_cell_at_ind :: "nat \<Rightarrow> 'a list set \<Rightarrow> ('a list \<Rightarrow> 'a \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> 'a list set" where
"fibred_cell_at_ind n C P = {as . \<exists>x t. as = (insert_at_index x t n) \<and> x \<in> C \<and> (P x t)}"

lemma fibred_cell_lengths:
  assumes "\<And>k. k \<in> C \<Longrightarrow> length k = n"
  shows "k \<in> (fibred_cell C P) \<Longrightarrow> length k = Suc n"
proof-
  assume "k \<in> (fibred_cell C P)"
  obtain x t where "k = (t#x) \<and> x \<in> C \<and> P x t"
  proof -
    assume a1: "\<And>t x. k = t # x \<and> x \<in> C \<and> P x t \<Longrightarrow> thesis"
    have "\<exists>as a. k = a # as \<and> as \<in> C \<and> P as a"
      using \<open>k \<in> fibred_cell C P\<close> fibred_cell_def by blast
    then show ?thesis
      using a1 by blast
  qed
  then show ?thesis 
    by (simp add: assms)
qed

lemma fibred_cell_at_ind_lengths:
  assumes "\<And>k. k \<in> C \<Longrightarrow> length k = n"
  assumes "k \<le> n"
  shows "c \<in> (fibred_cell_at_ind k C P) \<Longrightarrow> length c = Suc n"
proof-
  assume "c \<in> (fibred_cell_at_ind k C P)"
  then obtain x t where "c = (insert_at_index x t k) \<and> x \<in> C \<and> (P x t)"
    using assms
    unfolding fibred_cell_at_ind_def 
    by blast
  then show ?thesis 
    by (simp add: assms(1))   
qed

lemma project_fibred_cell:
  assumes "\<And>k. k \<in> C \<Longrightarrow> length k = n"
  assumes "k < n"
  assumes "\<forall>x \<in> C. \<exists>t. P x t"
  shows "\<pi>\<^bsub>\<noteq> k\<^esub> ` (fibred_cell_at_ind k C P) = C"
proof
  show "\<pi>\<^bsub>\<noteq>k\<^esub> ` fibred_cell_at_ind k C P \<subseteq> C"
  proof
    fix x
    assume x_def: "x \<in> \<pi>\<^bsub>\<noteq>k\<^esub> ` fibred_cell_at_ind k C P"
    then obtain c where c_def: "x = \<pi>\<^bsub>\<noteq>k\<^esub> c \<and> c \<in>  fibred_cell_at_ind k C P"
      by blast
    then obtain y t where yt_def: "c = (insert_at_index y t k) \<and> y \<in> C \<and> (P y t)"
      using assms
      unfolding fibred_cell_at_ind_def 
      by blast
    have 0: "x =\<pi>\<^bsub>\<noteq>k\<^esub> c"
      by (simp add: c_def)
    have 1: "y =\<pi>\<^bsub>\<noteq>k\<^esub> c"
      using yt_def  assms(1) assms(2)
      by (metis insert_at_index_project_away)      
    have 2: "x = y" using 0 1 by auto 
    then show "x \<in> C"
      by (simp add: yt_def)
  qed
  show "C \<subseteq> \<pi>\<^bsub>\<noteq>k\<^esub> ` fibred_cell_at_ind k C P"
  proof fix x
    assume A: "x \<in> C"
    obtain t where t_def: "P x t"
      using assms A by auto 
    then show "x \<in> \<pi>\<^bsub>\<noteq>k\<^esub> ` fibred_cell_at_ind k C P"
    proof -
      have f1: "\<forall>a n A as. take n as @ (a::'a) # drop n as \<notin> A \<or> as \<in> \<pi>\<^bsub>\<noteq>n\<^esub> ` A \<or> \<not> n < length as"
        by (metis insert_at_index.simps insert_at_index_project_away rev_image_eqI)        
      have "\<forall>n. \<exists>as a. take n x @ t # drop n x = insert_at_index as a n \<and> as \<in> C \<and> P as a"
        using A t_def by auto 
      then have "\<forall>n. take n x @ t # drop n x \<in> {insert_at_index as a n |as a. as \<in> C \<and> P as a}"
        by blast
      then have "x \<in> \<pi>\<^bsub>\<noteq>k\<^esub> ` {insert_at_index as a k |as a. as \<in> C \<and> P as a}"
        using f1 by (metis (lifting) A assms(1) assms(2))
      then show ?thesis
        by (simp add: fibred_cell_at_ind_def)
    qed
  qed
qed

definition list_segment where
"list_segment i j as = map (nth as)  [i..<j]"

lemma list_segment_length:
  assumes "i \<le> j"
  assumes "j \<le>  length as"
  shows "length (list_segment i j as) = j - i"
  using  assms 
  unfolding list_segment_def   
  by (metis length_map length_upt)

lemma list_segment_drop:
  assumes "i < length as"
  shows "(list_segment i (length as) as) = drop i  as"
  by (metis One_nat_def Suc_diff_Suc add_diff_inverse_nat drop0  drop_map drop_upt
      less_Suc_eq list_segment_def map_nth neq0_conv not_less0 plus_1_eq_Suc)
  
lemma list_segment_concat:
  assumes "j \<le> k"
  assumes "i \<le> j"
  shows "(list_segment i j as) @ (list_segment j k as) = (list_segment i k as)"
  using assms   unfolding list_segment_def 
  using le_Suc_ex upt_add_eq_append 
  by fastforce

lemma list_segment_subset:
  assumes "j \<le> k"
  shows "set (list_segment i j as) \<subseteq> set (list_segment i k as)"
  apply(cases "i > j")
  unfolding list_segment_def 
  apply (metis in_set_conv_nth length_map list.size(3) order.asym subsetI upt_rec zero_order(3))
proof-
  assume "\<not> j < i"
  then have "i \<le>j"
    using not_le 
    by blast
  then have "list_segment i j as @ list_segment j k as = list_segment i k as"
    using assms list_segment_concat[of j k i as] by auto 
  then show "set (map ((!) as) [i..<j]) \<subseteq> set (map ((!) as) [i..<k])" 
    using set_append  unfolding list_segment_def 
    by (metis Un_upper1)
qed

lemma list_segment_subset_list_set:
  assumes "j \<le> length as"
  shows "set (list_segment i j as) \<subseteq> set as"
  apply(cases "i \<ge> j")
  apply (simp add: list_segment_def)
proof-
  assume A: "\<not> j \<le> i"
  then have B: "i < j"
    by auto 
  have 0: "list_segment i (length as) as = drop i as"
    using B assms list_segment_drop[of i as] less_le_trans 
    by blast
  have 1: "set (list_segment i j as) \<subseteq> set (list_segment i (length as) as)"
    using B assms list_segment_subset[of j "length as" i as] 
    by blast
  then show ?thesis 
  using assms 0 dual_order.trans  set_drop_subset[of i as]
    by metis
qed

definition fun_inv where 
"fun_inv = inv"



end