############################################################################# ## #W mwo.gd GAP4 package `groupoids' Chris Wensley ## ## This file contains the declarations of elements, magma, etc., and their ## families in the case of many objects. So each algebraic structure comes ## with a set of objects, and each element $e$ has a tail object $te$ and a ## head object $he$, and multiplies partially if composable: on the left ## with those elements in its family which have head $te$, and on the right ## with those elements of its family which have tail $he$. Non-composable ## elements return $fail$ when multiplied. ## ########################### DOMAIN WITH OBJECTS ########################### ############################################################################# ## #C IsDomainWithObjects( <obj> ) . . test if object is a domain with objects ## "IsDomainWithObjects" , IsDomain ); ############################################################################ ## #F DomainWithObjects( <dom>, <obs> ) ## "DomainWithObjects" ); ############################################################################# ## #P IsSinglePieceDomain( <dwo> ) . . . . . . . . . . . . . a connected domain #P IsDiscreteDomainWithObjects( <dwo> ) . . . . . with at least two objects #P IsDirectProductWithCompleteDigraphDomain( <dwo> ) #P IsHomogeneousDomainWithObjects( <dwo> ) ## "IsSinglePieceDomain" , IsDomainWithObjects ); "IsDiscreteDomainWithObjects" , IsDomainWithObjects ); "IsDirectProductWithCompleteDigraphDomain" , "IsHomogeneousDomainWithObjects" , IsDomainWithObjects ); ############################################################################# ## #A ObjectList( <dwo> ) #A Pieces( <dwo> ) #A PieceIsomorphisms( <dwo> ) #A RootObject( <dwo> ) ## "ObjectList" , IsDomainWithObjects ); "Pieces" , IsDomainWithObjects ); "PieceIsomorphisms" , IsHomogeneousDomainWithObjects ); "RootObject" , IsSinglePieceDomain ); ############################################################################# ## #R IsPiecesRep( <dwo> ) ## ## A domain with objects is a list of single piece domains ## "IsPiecesRep" , "Pieces" , "ObjectList" ] ); ############################################################################# ## #O UnionOfPieces( <pieces> ) #O UnionOfPiecesOp( <pieces>, <dom> ) ## "UnionOfPieces" );"UnionOfPiecesOp" , [ IsList, IsDomainWithObjects ] ); ############################################################################# ## #O PieceOfObject( <dwo>, <obj> ) #O PieceNrOfObject( <dwo>, <obj> ) ## "PieceOfObject" , [ IsDomainWithObjects, IsObject ] ); "PieceNrOfObject" , [ IsDomainWithObjects, IsObject ] );############################################################################# ## #A KindOfDomainWithObjects( <dwo> ) ## "KindOfDomainWithObjects" , IsList ); ######################## MULT ELTS WITH OBJECTS ########################### ############################################################################# ## #C IsMultiplicativeElementWithObjects( <elt> ) ## "IsMultiplicativeElementWithObjects" , "IsMultiplicativeElementWithObjects" ); ############################################################################# ## #C IsMultiplicativeElementWithObjectsAndOnes( <elt> ) ## ## An identity element at object $o$ is an element $1_o$ which is a left ## identity for $e$ when $te=o$ and a right identity for $e$ when $he=o$. "IsMultiplicativeElementWithObjectsAndOnes" , "IsMultiplicativeElementWithObjectsAndOnes" ); ############################################################################# ## #C IsMultiplicativeElementWithObjectsAndInverses( <elt> ) ## ## An element $e$ has inverse $f$ provided $e*f=1_{te}$ and $f*e=1_{he}$. "IsMultiplicativeElementWithObjectsAndInverses" , "IsMultiplicativeElementWithObjectsAndInverses" ); ############################################################################# ## #C IsGroupoidElement( <elt> ) #C IsGroupoidByIsomorphismsElement( <elt> ) ## "IsGroupoidElement" , "IsGroupoidElement" ); "IsGroupoidByIsomorphismsElement" , "IsGroupoidByIsomorphismsElement" ); ############################################################################# ## #V IsMultiplicativeElementWithObjectsFamily . . family for elements of mwos #V IsMultiplicativeElementWithObjectsAndOnesFamily . . . . . . and with ones #V IsMultiplicativeElementWithObjectsAndInversesFamily . . . . and inverses #V IsGroupoidElementFamily . . . . . . . . family for elements of groupoids #T IsMultiplicativeElementWithObjectsType default type for elements of mwos #T IsGroupoidElementType . . . . . . default type for elements of groupoids #T IsGroupoidByIsomorphismsElementType . special type for groupoid elements ## "IsMultiplicativeElementWithObjectsFamily" , "IsMultiplicativeElementWithObjectsFamily" , "IsMultiplicativeElementWithObjectsAndOnesFamily" , "IsMultiplicativeElementWithObjectsAndOnesFamily" , "IsMultiplicativeElementWithObjectsAndInversesFamily" , "IsMultiplicativeElementWithObjectsAndInversesFamily" , "IsGroupoidElementFamily" , "IsGroupoidElementFamily" , IsGroupoidElement, "IsMultiplicativeElementWithObjectsType" , "IsGroupoidElementType" , "IsGroupoidByIsomorphismsElementType" , ########################### MAGMA WITH OBJECTS ############################ ############################################################################# ## #C IsMagmaWithObjects( <dwo> ) . . . . . . . category of magmas with objects #C IsMagmaWithObjectsAndOnes( <dwo> ) . . . . . . . . . . . . . . . and ones #C IsMagmaWithObjectsAndInverses( <dwo> ) . . . . . . . . . . . and inverses #C IsGroupoid( <dwo> ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . and all inverses ## ## A *magma with objects* in {\GAP} is a domain $M$ with (not necessarily ## associative) partial mutliplication. ## "IsMagmaWithObjects" , IsDomainWithObjects and "IsMagmaWithObjects" ); "IsSemigroupWithObjects" ,"IsMonoidWithObjects" , "IsGroupoid" , IsMonoidWithObjects and "IsGroupoid" ); ############################################################################# ## #V IsMagmaWithObjectsFamily . . . . . . . . . family for magmas with objects #V IsSemigroupWithObjectsFamily . . . . . family for semigroups with objects #V IsMonoidWithObjectsFamily . . . . . . . . family for monoids with objects #V IsGroupoidFamily . . . . . . . . . . . . . . . . . . family for groupoids ## ############################################################################# ## #P IsSinglePiece( <mwo> ) #P IsDiscreteMagmaWithObjects( <mwo> ) #P IsDirectProductWithCompleteDigraph( <mwo> ) ## "IsSinglePiece" , "IsDiscreteMagmaWithObjects" , "IsDirectProductWithCompleteDigraph" , ############################################################################ ## #F MagmaWithObjects( <mag>, <obs> ) ## ## A standard single piece magma with objects has elements $(e,t,h)$ ## where $e$ is an element of <mag> and $t$, $h$ are the tail and head. ## Multiplication is given by $(e,t,h)*(f,h,k) = (e*f,t,k)$. ## Other constructors are possible. ## "MagmaWithObjects" ); ############################################################################# ## #A GeneratorsOfMagmaWithObjects( <mwo> ) #A GeneratorsOfSemigroupWithObjects( <mwo> ) #A GeneratorsOfMonoidWithObjects( <mwo> ) ## "GeneratorsOfMagmaWithObjects" , IsMagmaWithObjects ); "GeneratorsOfSemigroupWithObjects" , IsSemigroupWithObjects );"GeneratorsOfMonoidWithObjects" , IsMonoidWithObjects ); ############################################################################# ## ## representation and types for groupoids etc with a single piece ## #R IsMWOSinglePieceRep #T IsMagmaWithObjectsType ( <mwo> ) #T IsSemigroupWithObjectsType( <swo> ) #T IsMonoidWithObjectsType( <mwo> ) #T IsGroupoidType( <gpd> ) ## "IsMWOSinglePieceRep" , "objects" , "magma" ] ); "IsMagmaWithObjectsType" , "IsSemigroupWithObjectsType" , "IsMonoidWithObjectsType" , "IsGroupoidType" , ############################################################################# ## ## types and properties for groupoids etc with several pieces ## #T IsMWOPiecesType( <dwo> ) #T IsSemigroupWOPiecesType( <dwo> ) #T IsMonoidWOPiecesType( <dwo> ) #T IsGroupoidPiecesType( <dwo> ) ## "IsMagmaWOPiecesType" , "IsSemigroupWOPiecesType" , "IsMonoidWOPiecesType" , "IsGroupoidPiecesType" , ############################################################################# ## #O SinglePieceMagmaWithObjects( <mag>, <obs> ) #O MagmaWithSingleObject( <mag>, <obj> ) ## "SinglePieceMagmaWithObjects" , [ IsMagma, IsCollection ] ); "MagmaWithSingleObject" , [ IsMagma, IsObject ] ); ############################################################################# ## #O Arrow( <mwo>, <elt>, <tail>, <head> ) #O MultiplicativeElementWithObjects( <mwo>, <elt>, <tail>, <head> ) #O ArrowNC( <mwo> <isgpdelt>, <elt>, <tail>, <head> ) ## "Arrow" , "MultiplicativeElementWithObjects" , Arrow ); "ArrowNC" , ############################################################################## ## #O ElementOfArrow( <ewo> ) #O TailOfArrow( <ewo> ) #O HeadOfArrow( <ewo> ) #O GroupoidOfArrow( <ewo> ) ## "ElementOfArrow" , [ IsMultiplicativeElementWithObjects ] ); "TailOfArrow" , [ IsMultiplicativeElementWithObjects ] ); "HeadOfArrow" , [ IsMultiplicativeElementWithObjects ] ); "GroupoidOfArrow" , [ IsMultiplicativeElementWithObjects ] ); ################################ SEMIGROUPS ############################### ############################################################################ ## #F SemigroupWithObjects( <mag>, <obs> ) ## ## This is a magma with objects where the vertex magmas are semigroups. ## "SemigroupWithObjects" ); ############################################################################# ## #O SinglePieceSemigroupWithObjects( <sgp>, <obs> ) ## "SinglePieceSemigroupWithObjects" , ################################# MONOIDS ################################# ############################################################################ ## #F MonoidWithObjects( <mag>, <obs> ) ## ## This is a magma with objects where the vertex magmas are monoids. ## "MonoidWithObjects" ); ############################################################################# ## #O SinglePieceMonoidWithObjects( <mon>, <obs> ) ## "SinglePieceMonoidWithObjects" , ################################# GROUPS ################################## ## A *group with objects* is a magma with objects where ## the vertex magmas are groups, and every arrow has an inverse, ## and so is a *groupoid* - see file gpd.gd. ################################# SUBDOMAINS ############################## ############################################################################# ## #O IsSubdomainWithObjects( <D>, <U> ) #F SubdomainWithObjects( <args> ) ## "IsSubdomainWithObjects" , "SubdomainWithObjects" );############################################################################# ## #O SubdomainByPieces( <dwo>, <comp> ) #O PiecePositions( <dwo>, <sdwo> ) #O DiscreteSubdomain( <dwo>, <obs>, <doms> ) #A MaximalDiscreteSubdomain( <dwo> ) #O FullSubdomain( <dwo>, <obs> ) ## "SubdomainByPieces" ,"PiecePositions" , "DiscreteSubdomain" ,"MaximalDiscreteSubdomain" , IsDomainWithObjects );"FullSubdomain" , [IsDomainWithObjects,IsHomogeneousList] );################################ SUBMAGMAS ################################ ############################################################################# ## #R IsSubmagmaWithObjectsTableRep ## "IsSubmagmaWithObjectsTableRep" , "objects" , "magma" , "table" ] ); ############################################################################ ## #O IsSubmagmaWithObjectsGeneratingTable( <swo>, <A> ) #O SubmagmaWithObjectsElementsTable( <mag>, <A> ) #O SubmagmaWithObjectsByElementsTable( <swo>, <A> ) ################################################################### --> "SubmagmaWithObjectsElementsTable" , [IsMagma,IsList] );"SubmagmaWithObjectsByElementsTable" , ################################ UTILITIES ################################## ############################################################################# ## #O Ancestor( <dwo> ) ## "Ancestor" , [ IsDomainWithObjects ] ); ############################## DOUBLE GROUPOIDS ########################### #V IsDoubleGroupoidElementFamily . . family for elements of double groupoids #T IdDoubleGroupoidElementType default type for elements of double groupoids ## "IsDoubleGroupoidElement" , "IsDoubleGroupoidElement" ); "IsDoubleGroupoidElementFamily" , " IsDoubleGroupoidElement,
Messung V0.5 in Prozent C=79 H=39 G=62
¤ Diese beiden folgenden Angebotsgruppen bietet das Unternehmen0.325Angebot
¤ *Eine klare Vorstellung vom Zielzustand
