% generated by GAPDoc2LaTeX from XML source (Frank Luebeck)
\documentclass[a4paper,11pt]{report}

\usepackage[top=37mm,bottom=37mm,left=27mm,right=27mm]{geometry}
\sloppy
\pagestyle{myheadings}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
\usepackage{color}
\definecolor{FireBrick}{rgb}{0.5812,0.0074,0.0083}
\definecolor{RoyalBlue}{rgb}{0.0236,0.0894,0.6179}
\definecolor{RoyalGreen}{rgb}{0.0236,0.6179,0.0894}
\definecolor{RoyalRed}{rgb}{0.6179,0.0236,0.0894}
\definecolor{LightBlue}{rgb}{0.8544,0.9511,1.0000}
\definecolor{Black}{rgb}{0.0,0.0,0.0}

\definecolor{linkColor}{rgb}{0.0,0.0,0.554}
\definecolor{citeColor}{rgb}{0.0,0.0,0.554}
\definecolor{fileColor}{rgb}{0.0,0.0,0.554}
\definecolor{urlColor}{rgb}{0.0,0.0,0.554}
\definecolor{promptColor}{rgb}{0.0,0.0,0.589}
\definecolor{brkpromptColor}{rgb}{0.589,0.0,0.0}
\definecolor{gapinputColor}{rgb}{0.589,0.0,0.0}
\definecolor{gapoutputColor}{rgb}{0.0,0.0,0.0}

%%  for a long time these were red and blue by default,
%%  now black, but keep variables to overwrite
\definecolor{FuncColor}{rgb}{0.0,0.0,0.0}
%% strange name because of pdflatex bug:
\definecolor{Chapter }{rgb}{0.0,0.0,0.0}
\definecolor{DarkOlive}{rgb}{0.1047,0.2412,0.0064}


\usepackage{fancyvrb}

\usepackage{mathptmx,helvet}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{textcomp}


\usepackage[
            pdftex=true,
            bookmarks=true,        
            a4paper=true,
            pdftitle={Written with GAPDoc},
            pdfcreator={LaTeX with hyperref package / GAPDoc},
            colorlinks=true,
            backref=page,
            breaklinks=true,
            linkcolor=linkColor,
            citecolor=citeColor,
            filecolor=fileColor,
            urlcolor=urlColor,
            pdfpagemode={UseNone}, 
           ]{hyperref}

\newcommand{\maintitlesize}{\fontsize{50}{55}\selectfont}

% write page numbers to a .pnr log file for online help
\newwrite\pagenrlog
\immediate\openout\pagenrlog =\jobname.pnr
\immediate\write\pagenrlog{PAGENRS := [}
\newcommand{\logpage}[1]{\protect\write\pagenrlog{#1, \thepage,}}
%% were never documented, give conflicts with some additional packages

\newcommand{\GAP}{\textsf{GAP}}

%% nicer description environments, allows long labels
\usepackage{enumitem}
\setdescription{style=nextline}

%% depth of toc
\setcounter{tocdepth}{1}




\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsxtra}

\tolerance 2500
\hbadness 2500
\emergencystretch 1.5em
\hfuzz 0.3pt
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\vfuzz \hfuzz
\raggedbottom


%% command for ColorPrompt style examples
\newcommand{\gapprompt}[1]{\color{promptColor}{\bfseries #1}}
\newcommand{\gapbrkprompt}[1]{\color{brkpromptColor}{\bfseries #1}}
\newcommand{\gapinput}[1]{\color{gapinputColor}{#1}}


\begin{document}

\logpage{[ 0, 0, 0 ]}
\begin{titlepage}
\mbox{}\vfill

\begin{center}{\maintitlesize \textbf{ RCWA \mbox{}}}\\
\vfill

\hypersetup{pdftitle= RCWA }
\markright{\scriptsize \mbox{}\hfill  RCWA  \hfill\mbox{}}
{\Huge \textbf{ Residue\texttt{\symbol{45}}Class\texttt{\symbol{45}}Wise Affine Groups \mbox{}}}\\
\vfill

{\Huge  4.8.0 \mbox{}}\\[1cm]
{ 22 September 2025 \mbox{}}\\[1cm]
\mbox{}\\[2cm]
{\Large \textbf{ Stefan Kohl\\
   \mbox{}}}\\
\hypersetup{pdfauthor= Stefan Kohl\\
   }
\end{center}\vfill

\mbox{}\\
{\mbox{}\\
\small \noindent \textbf{ Stefan Kohl\\
   }  Email: \href{mailto://sk239@st-andrews.ac.uk} {\texttt{sk239@st\texttt{\symbol{45}}andrews.ac.uk}}\\
  Homepage: \href{https://stefan-kohl.github.io/} {\texttt{https://stefan\texttt{\symbol{45}}kohl.github.io/}}}\\
\end{titlepage}

\newpage\setcounter{page}{2}
{\small 
\section*{Abstract}
\logpage{[ 0, 0, 1 ]}
      \textsf{RCWA} is a package for \textsf{GAP}{\nobreakspace}4. It provides implementations of algorithms and methods for
computing in certain infinite permutation groups acting on the set of
integers. This package can be used to investigate the following types of
groups and many more: 
\begin{itemize}
\item  Finite groups, and certain divisible torsion groups which they embed into. 
\item  Free groups of finite rank. 
\item  Free products of finitely many finite groups. 
\item  Direct products of the above groups. 
\item  Wreath products of the above groups with finite groups and
with{\nobreakspace}({\ensuremath{\mathbb Z}},+). 
\item  Subgroups of any such groups. 
\end{itemize}
 With the help of this package, the author has found a countable simple group
which is generated by involutions interchanging disjoint residue classes of
{\ensuremath{\mathbb Z}} and which all the above groups embed into
\texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} see{\nobreakspace}\cite{Kohl09}. 

  \mbox{}}\\[1cm]
{\small 
\section*{Copyright}
\logpage{[ 0, 0, 2 ]}
 {\copyright} 2003 \texttt{\symbol{45}} 2018 by Stefan Kohl. 

 \textsf{RCWA} is free software: you can redistribute it and/or modify it under the terms of
the GNU General Public License as published by the Free Software Foundation,
either version 2 of the License, or (at your option) any later version. 

 \textsf{RCWA} is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY;
without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A
PARTICULAR PURPOSE. See the GNU General Public License for more details. 

 For a copy of the GNU General Public License, see the file \texttt{GPL} in the \texttt{etc} directory of the \textsf{GAP} distribution or see \href{https://www.gnu.org/licenses/gpl.html} {\texttt{https://www.gnu.org/licenses/gpl.html}}. \vspace{-1cm} \mbox{}}\\[1cm]
{\small 
\section*{Acknowledgements}
\logpage{[ 0, 0, 3 ]}
 I am grateful to John P. McDermott for the discovery that the group discussed
in Section{\nobreakspace}\ref{sec:ThompsonsGroupV} is isomorphic to Thompson's Group V in July 2008, and to Laurent Bartholdi for
his hint on how to construct wreath products of
residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine groups
with{\nobreakspace}({\ensuremath{\mathbb Z}},+) in April 2006. Further, I
thank Bettina{\nobreakspace}Eick for communicating this package and for her
valuable suggestions on its manual in the time before its first public release
in April 2005. Last but not least I thank the two anonymous referees for their
constructive criticism and their helpful suggestions. \mbox{}}\\[1cm]
\newpage

\def\contentsname{Contents\logpage{[ 0, 0, 4 ]}}

\tableofcontents
\newpage

      
\chapter{\textcolor{Chapter }{About the RCWA Package}}\label{ch:AboutRCWA}
\logpage{[ 1, 0, 0 ]}
\hyperdef{L}{X83A8C2927FAE2C23}{}
{
 \index{Collatz conjecture@Collatz conjecture} \index{Collatz conjecture@Collatz mapping} This package permits to compute in monoids, in particular groups, whose
elements are \emph{residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine} mappings. Probably the widest\texttt{\symbol{45}}known occurrence of such a
mapping is in the statement of the $3n+1$ conjecture, which asserts that iterated application of the \emph{Collatz mapping} 
  
\[
  T: \ \ \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}, \ \ \ java.lang.NullPointerException
           n \ \longmapsto java.lang.NullPointerException
          \begin{cases}
          \frac{n}{2}    & \text{if} \ \ n \ \ \text{is even}, \\
          \frac{3n+1}{2} & \text{if} \ \ n \ \ \text{is odd}
          \end{cases}
  \]

   to any given positive integer eventually yields{\nobreakspace}1
(cf.{\nobreakspace}\cite{Lagarias06}). For definitions, see Section{\nobreakspace}\ref{sec:basicdefinitions}. 

 Presently, most research in computational group theory focuses on finite
permutation groups, matrix groups, finitely presented groups, polycyclically
presented groups and automata groups. For details, we refer to{\nobreakspace}\cite{HoltEickOBrien05}. The purpose of this package is twofold: 
\begin{itemize}
\item  On the one hand, it provides the means to deal with another large class of
groups which are accessible to computational methods, and it therefore extends
the range of groups which can be dealt with by means of computation. 
\item  On the other \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} and perhaps more
importantly \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}}
residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine groups appear
to be interesting mathematical objects in their own right, and this package is
intended to serve as a tool to obtain a better understanding of their rich and
often complicated group theoretical and combinatorial structure. 
\end{itemize}
 In principle this\[,pt]reportjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 36 out of bounds for length 36
which have faithful representations as
residue\texttt{\symbol{45}}\definecolor{RoyalGreen}{rgb}{0.06179,.0894java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 51 out of bounds for length 51
many others, the following groups },95110000java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 50 out of bounds for length 50

\item  Finite groups,
\tem   groupsoffiniterank.
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 44 out of bounds for length 43
\item  Direct products of the above definecolorurlColor{}00.}
\item  }}{.5890000java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 47 out of bounds for length 47
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0
\end{itemize}
 This list permits already to java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [13, 12) out of bounds for length 41
residue\texttt{\symboljava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
dotjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 21 out of bounds for length 21
membershipbookmarkst java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 35 out of bounds for length 35
usingpdftitle{with ,
mentioned there. 

 The group CT({\ensuremath{\mathbb Z}}) which is generated by all \emph{class transpositions} of{\nobreakspace}{\ensuremath{\mathbb Z}}
\texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol            pdfcreator={LaTeX withhyperref package / GAPDoc},
interchange two  residue classes,see\exttt{ClassTransposition}(refClassTransposition:,,r2 }) \exttt{symbol{45}\{\symbol}}is  simple groupwhich hassubgroups
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [23, 22) out of bounds for length 28
of  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [24, 23) out of bounds for length 35

 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0
in\\\=java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [39, 38) out of bounds for length 42

  want toknow  type of resultsone    textsf{RCWA}. However, the answer to this is that the package can be applied in various
ways to various different problems, and it isjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
%% nicer description environments, allows long labels
betteranswer    thesame question  \{}    with   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [140, 139) out of bounds for length 142
experiment thejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [39, 38) out of bounds for length 78


 Of course, sometimes this java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 34) out of bounds for length 20
ut\45}{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [41, 40) out of bounds for length 71
solution for a java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 17 out of bounds for length 12
\clubp=java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 18 out of bounds for length 18
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 5 out of bounds for length 0
newcommandgapprompt[]{colorpromptColor\ 1}
to the development of most of the algorithms which are now java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 68 out of bounds for length 67
Just to mention one example, developing the factorization method for
\{symbol45}class\\5}}wise affine permutations
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

       
\chapter{
\ogpage{ 2 0 0 ]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 21 out of bounds for length 21
\\markright\scriptsize \{\  RCWA\\mbox{}java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 58 out of bounds for length 58
{
   This chapter contains the basic definitions, and it java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 6 out of bounds for length 6
residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise {  2025\{\\cmjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 35 out of bounds for length 35
how    \{}java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 14 out of bounds for length 14

 How to compute with residue\texttt{\symbol{45}}
affine java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0
encouraged tosmall noindent textbf  Kohljava.lang.NullPointerException
chapter, and to look up definitions as he      :\href{:/sk239@st-andrews.c.k}{textttsk239s\texttt\symbol{}andrews.c.k}java.lang.NullPointerException
\section{\ Homepage href{https/stefan.io/ \{ttps/stefan\exttt{symbol{5}}..io/}java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 113 out of bounds for length 113
\logpage{[ 2, 1, 0 ]}{small 
\hyperdef{\ogpage{ 0,0  }
{
  \index      textsf}isa package \{AP{nobreakspace}4 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [79, 78) out of bounds for length 124
ppings.

 A mappingintegers Thispackage can usedto investigate the following types of
  
\[
    f|_groups  many:
    n\mapsto  frac{a_{()}\cdot n +b_rm}{c_{r)}
  \]

   \item  Finitegroups, and certain divisible torsion groups which they embed into. 

 It is easy to \item  Free groups of finite rank. 
residue\texttt\itemFree of java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [33, 32) out of bounds for length 53
of{\item  Wreath  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [36, 35) out of bounds for length 65
residue{45}{{45 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [72, 73) out of bounds for length 72
{nobreakspace{{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [71, 50) out of bounds for length 71
subgroup\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 8 out of bounds for length 8
({ensuremath{mathbbZ),and latter  RCWA\ensuremath
Z}}). 

 \index{tame@tame!rcwa mapping} \index{tame@tamejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
 many
residue classes on all of which it is affine.the    as published the  Foundation
if  set moduli of its elements is bounded. Rcwa mappings and
\texttt{\symbol{45}}java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 24 out of bounds for length 0
couldcall  ` cases''or `basic buildingblocks',while wildrcwa groups are the objects of primary interest. 

 The definitions of residue\texttt{\symbolwithout     of  or FOR A
 mappingsand texttt\ymbol{5}  begeneralizedthe
obvious way to suitable rings
Z} In fact packageprovides  some support for
\{symbol{45}class\{\symbol45}  groups  {ensuremath{mathbbZ}2, oversemilocalizations{\obreakspace{ensuremath{mathbb }  over
univariate polynomial rings over finite java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 44 out of bounds for length 27
ideal domain, the semilocalizations   am  toJohn .McDermottthe discovery that the group discussed
have been chosen as examples of rings with only finitelyin Section{\nobreakspace}\ref{sec:ThompsonsGroupV} is isomorphic to Thompson's Group V in July 2008, and to Laurent Bartholdi for
and the residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine groups
examples of rings withthank {nobreakspace}Eick  communicating this packageand  her

  
\valuable  on   thetimebefore itsfirstpublicrelease
c:EnteringRcwaMappings
\logpage{[ constructive criticismand their suggestions. \box{\\cmjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 69 out of bounds for length 69
hyperdef{}{X86BC55648302D643}}
{
  Entering an rcwa mapping of{\nobreakspace}{\ensuremath{\mathbb Z}} requires
giving the modulus

  canbedone easiestby\{RcwaMapping(\mbox{texttt\mdseries\}} },where \{\texttt{\ coeffs} isa of m coefficient  texttt{coeffs[$r+\texttt{{nobreakspace= }a_()$,${()$ $c_{(m}\]}  $$runningfrom to{nobreakspace}-1$.

 If\{textcolorChapter }}Aboutthe  Package}}labelch:AboutRCWA
not beintegers an error message  printedandabreak entered 
example, \hyperdef{}{83A8C2927FAE2C23}}
integers congruent to $1

  \indexCollatzconjecture conjecture}index{ollatz@ }This permitsto  in ,inparticulargroups,whose
\begin{elements areemphresidue\\symbol{45}}lass\\symbol{}wise  .Probably the texttt{\{}known  of such a
  
  !gapprompt@gap>A !java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 25 out of bounds for length 2
  <mapping  java.lang.NullPointerException
  !gapprompt@gap>A !gapinput@[ 
  [,false java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 17 out of bounds for length 17
  gapprompt@ap> !@DisplayT)
  
  Surjective rcwa mapping java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 28 out of bounds for length 21
  
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 24 out of bounds for length 11
           n2     ifin02java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 33 out of bounds for length 33
    - <(n1/  n 2
          java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [12, 11) out of bounds for length 76
java.lang.NullPointerException
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@a := RcwaMapping\item  Onthe hand,itprovidesthe  todealwith  large  of
>
  !gapprompt@gap>A !gapinput@IsBijective(a);Ay means of computation.
  true
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(a); # This is Collatz' permutation:A
  
  Rcwa permutation of Z with modulus 3
  
          /
          | 2n/3     if n in 0(3)
 | <  (n1)3 if nin 1(3java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 33 out of bounds for length 33
          | (4n+1)/\itemizejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 13 out of bounds for length 13
          java.lang.NullPointerException
  
rompt@gapA!@Supporta;java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 41 out of bounds for length 41
     1 ,1]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Cycle(a,44);A
  [ 44, 59, 79, 105, 70, 93, 62, 83, 111\egin{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 15 out of bounds for length 15

\Verbatim
 \noindentitemDirect oftheabovegroups.
\item products theabove groupswithfinite groups and
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [17, 16) out of bounds for length 77
 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [19, 18) out of bounds for length 72

\subsection{\textcolor{Chapterdo nothave presentations,andsuchwithalgorithmically 
\[ ,21 ]\nobreak
\{LX86B611BD7EED62A1}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\trianglerightmentioned .
\label{lassShift,m}
}{scriptsize (function)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{ClassShift({\mdseries\slshape cl})\index{ClassShift@\texttt{ClassShift}!cl}
\label{lassShift:ljava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 21 out of bounds for length 21
}\ (unction)}}java.lang.NullPointerException
\textbf{\indent Returns:\ }
 the of   which is parametrized the sets  odd.



 The \emph{class shiftjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

 In the one\texttt{\symbol{45}}ways to various different problemsit is simplynot possible  say
beginVerbatim[commandchars!@,\small,=singlelabelExample]
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(ClassShift(5,12));A
  
  Tame rcwa permutation of Z with modulus 12, of order infinity

generatedby 3 class  from  corresponding library.
          | + ifn 5()
   n |-> <  n    if n in Z \ 5(12)
          |
          java.lang.NullPointerException
  
\nd{Verbatim}
 }

 

\{\{ { (r )}}
\logpage{ 2 2  }nobreak
\hyperdef{L}{Justtomentiononeexample,  the factorization
{noindent\{}$\triangleright$\enspace\texttt{ClassReflection({\mdseries\slshape r, m})\index{ClassReflection@\texttt{ClassReflection}!r, m}
\label{:r m}
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 8 out of bounds for length 7
\{ClassReflection:ljava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 26 out of bounds for length 26
}\{scriptsize()}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
  class reflection $\arsigma_{(}. 



  \{ reflection} $varsigma_r()$isthercwamapping {nobreakspace}\{mathbb Z} which $ in()$to$n +2r$and  fixes$\mathbb Z}} \setminus r(m)$ pointwise, where it is understood that $0 \leq r < m$. 

 In the affine groups  describedindetail in the next .Thereaderis
begin{erbatim[=!@,fontsize=smallframe=ingle,=]
  
  !@gap>!gapinput@(lassReflection59);java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 60 out of bounds for length 60
  
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [18, 6) out of bounds for length 50
  
          /
 59)
   n |-> <  n     java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 20) out of bounds for length 0
          |
          java.lang.NullPointerException
  
end{erbatim}
 }

 \pagebreak    n\\apsto \rac{a_{) \dotn + b_{(m)}c_r)}

java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 3 out of bounds for length 0
\logpage{ ,2  }nobreak
\hyperdef{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 11) out of bounds for length 0
}{$trianglerightClassTransposition{\slshaper1  ,m2)indexClassTranspositiontextttClassTransposition!r1 m1,r2 }
\label{ClassTransposition:r1, m1, r2, m2}
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}\triangleright$\enspace\texttt{ClassTransposition(\mdseries\slshape cl1, cl2})\index{ClassTransposition@\texttt{ClassTransposition}!cl1, cl2}
\label{ClassTransposition:cl1, cl2}
}\hfill{\scriptsize (function) {nobreakspace{ensuremath{mathbbZ}   
\textbf{ (\\athbb}.Wedenotethe  by
 the class transpositionRcwa(ensuremath\ }, latterRCWA(\



 Given partition of{\{ensuremath{mathbbZ}intofinitelymany

The transposition \{_1(),r_2(2}  theresidueclasses r_1(_1)$andr2m_2$java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [121, 120) out of bounds for length 162

 indexTransposedClasses\{}ofaclasstransposition Inthefourtexttt\45} form   mbox{texttt\slshaper1} \{mdseriesslshape },\mbox{\\\ } and\}mbox\texttt{slshapem2}for$$ ,\$respectivelythetwo\45}   \mdseriescl1}\\{\\mdseries\ cl2}   the residue classes $r_1(m_1)$ and{\nobreakspace}$r_2(m_2)$, respectively.Enclosingtheargumentin  is.java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 676 out of bounds for length 676
residue classes $r_1(m_1)$ and $r_2(m_2)$ are stored as an attribute \could call the ``trivial cases'' or ``basic building blocks'', while wild objects ofprimaryinterest 

 \indexmappingsandtexttt{symbol45}canbe  injava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 72 out of bounds for length 72
less than ct, this package provides also some support for
optional argument \mbox{\texttt{\mdseries\slshape P}}, then the returnedresidue\texttt{symbol{45}classtexttt{symbol{}}wise affine   {\ensuremath\ }}2, over of\nobreakspace}\{mathbbZ} and 
   of$1 and$$ liein\{\\mdseriesslshapeP}.  the  \exttt{ivisors}  set returnedlist containsonlythe \texttt\symbol{}tuples where$$and$$divide\{{mdseries\slshape m}. 

 \index{NrClassPairs@\texttt{NrClassPairs}!m} \index{ExtRepOfObj@\ideal ,thesemilocalizations of{\obreakspace{\ensuremath{\ Z}
 tuples.Given   \\texttt\mdseries\slshape },thecorresponding 4texttt{\{}tuplecan be java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [143, 142) out of bounds for length 205

 \index{SplittedClassTransposition@\and the univariate polynomial rings over finite fields have been chosen as

 
\begin{Verbatim}[examplesof with nonzero characteristic.}
  
  !gapprompt@\section{\textco{ }Enteringresiduetexttt{symbol{}classtexttt{\ymbol{}wiseaffine
  
  mappings}\label:EnteringRcwaMappings
  
          /
          | 5n+3    if n in 1(2\{L}X86BC55648302D643}
    |- <(-3/ if n in (10java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 33 out of bounds for length 33
| nif  in 0()\810java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 40 out of bounds for length 40
            canbe  easiest  \{( \{\{\mdseries\lshape } ),where \box\\\slshape coeffs}  alist of $m$ coefficient \{[$+$texttt{]\nobreakspace} [}a_{(},${r()},$c_{(m}],with $$running 0 to{\obreakspace$-1$ 
  
  !gapprompt@gap>Anotbeintegers anerror  printedandabreak loop isentered.For
   ( 0(2,12 ,(0() () )(0() () ,(0() 13) ) 
    ( 0(3), 2(3) ), ( 0(4), 1(4) ), ( 0(i   0   4{nobreakspace{}m$are {nobreakspace.
( (,4 , 2 4 )  ( ( )  (,2() ,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 68 out of bounds for length 68
    ( 1(4), 3(4) ), ( 2(4), 3(4) ) ]
  !apprompt@gapA !gapinput@NrClassPairs(100);A
  3528138
  !gapprompt
[(06,1() ), ( () 5(12),(46), (12 )]
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [18, 7) out of bounds for length 36
 }

 \noindent   [true false ]
simple group CT({\ensuremath{\mathbb Z}}) mentioned!gapprompt@ap> gapinput@(T);java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [41, 42) out of bounds for length 41
of{\obreakspace{\ensuremath{\mathbb Z}}generates a simple group as well,
f.{nobreakspacecite{Kohl09} 

 Class shifts, class reflections java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 35 out of bounds for length 11
analogous way \texttt{\symbol{45}}\texttt{\needs to dojava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 77 out of bounds for length 77
to replace {\ensuremath{\mathbb Z  !apprompt@> !gapinput@IsBijective()A
\texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} just prepend the desiredtrue
{\nobreakspace}$R$ to the argument list.Oftenalsoa  ``default ring' $\rightarrow$ \exttt{DefaultRing}in  \extsf{  Manual is  ifthat  first argument is omitted. 

 On rings which have more than two units, there is another basic series of rcwa
permutations which generalizes class reflections: 

\ubsection{\textcolor{Chapter }{ClassRotation (r, m, u)}}
\logpage{[ 2, 2, 4 ]}\nobreak
\hyperdef{L}X87EB8C1C87F78A17{}
{\noindent          
r ,u}
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
\noindent\   n |-> <  (4n-1)/-   4-1/  n 1(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 33 out of bounds for length 33
\label{ClassRotation:cl, u}
}\hfill
\}
ion\rm,}.



Given classr() andaunit{nobreakspace$u  asuitablering\nobreakspace$$  emphclassrotation \{(m)u$isthercwamapping whichmaps n \ java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [180, 178) out of bounds for length 340

 \index{RotationFactor@\texttt{RotationFactor}!of a class rotation} In the two\texttt{\symbol{45}}argument form, the argument{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape cl}} following threeseries ofpermutationsof  simple  cf texttt{FactorizationIntoCSCRCT}(refFactorizationIntoCSCRCT:or  rcwapermutation ofZ):
\begin{Verbatim}[hyperdef{L}{X86B611BD7EED62A1
  
  !gapprompt@gap>A !gapinputDisplayClassRotationResidueClass(()2,1)13);java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [84, 85) out of bounds for length 84
  
\\{{\triangleright$enspace{ClassShift{mdseries\ cl})\index{ClassShift@\texttt{ClassShift}!cl}
  
          /
          13n 2 n in12)
   n |-> <  n           if n in 0(2)\fill{scriptsize(function)}java.lang.NullPointerException
          |
          java.lang.NullPointerException
  
  !gappromptjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
  !gapprompt@gap> gapinputR : PolynomialRing(GF(),1);;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@cr := ClassRotation(1,x,Z(8)*One(R)); Support(cr);A
  ClassRotation( 1(x), Z(2^ In the onetexttt\symbol{45}argument form, the argument{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape cl}} stands for the\{Verbatim}commandchars!@A,fontsize=small,frame=single,label=xample
  1(x) \ [ 1 ]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(cr);A
  
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
  
          /
          | Z          /
   P |-> <  P                   otherwise
          |
          java.lang.NullPointerException
  
\end{Verbatim}
 }

 \indexjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
corresponding series. 

uelwedescribe \45 
for rcwa mappings. The constructor\\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [21, 20) out of bounds for length 158
knowing allpossibleways of entering an rcwa mappingno means
necessary for understanding this manual or for using this package. 
\C: m
\hyperdef{L}{X8799551B83644B37}{}
{
noindent\{{$triangleright$enspace\exttt{cwaMapping{mdseriesslshapeR m })\index{cwaMapping\{cwaMapping}byring  and  coefficientsjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 190 out of bounds for length 190
\{RcwaMappingby ring     coefficients}
\label{lassReflection}
noindent\extcolor{uncColor\triangleright$enspacetexttt({mdseries\ , coeffs)indexRcwaMapping@texttt{cwaMapping}!by  and listof coefficientsjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 178 out of bounds for length 178
\\textb{indent Returns: }
}hfill\scriptsize (method)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{RcwaMapping({\mdseries\slshape coeffs})\index{RcwaMapping@\texttt{RcwaMapping}!by list of coefficients}
RcwaMapping: listof coefficients
}java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0
noindentFuncColor{\$enspacetexttt{RcwaMapping( perm }\index{RcwaMapping@}!permutation range}
\abel{:y  andrangejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 44 out of bounds for length 44
}\hfill  !apprompt@gap>A!gapinput@Display(ClassReflection(5,9));A
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{RcwaMapping({\mdseries\slshape 
\label{:bymodulus  ofvalues}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\|-n10ifn in 59java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 30 out of bounds for length 30
\label{RcwaMapping:by set of non-invertible primes and list of coefficients}
}\hfill{\scriptsize (method)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
\noindentjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{RcwaMapping({\mdseries\slshape P1, P2})\index{RcwaMapping@\texttt{RcwaMapping}!by two partitions of a ring into residue classes}
\labelapping two partitions of a  into residue classes}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{RcwaMapping({\mdseriesjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 93 out of bounds for length 33
\label{RcwaMapping:by residue class cycles}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\noindent\\labelClassTranspositionr1,, r2, m2}
\RcwaMapping: arithmetical expression}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\{indent : java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 27 out of bounds for length 27
 an rcwa mapping. 



 In all cases the \textbf{\indent Returns:\ 
}$m$) inthe sorted listreturned by\textttAllResidues\mbox{\texttt\mdseries\slshape R}}, \mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}})}. In case $R = {\ensuremath{\mathbb Z}}$ this means that the coefficient triple for the residue class $0(m)$ comes first and is followed java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

 Ifjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
the latter  default  are .The  theother arguments is
defined java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0
 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [17, 11) out of bounds for length 50
\residue  $_() and$r_2(m_2)$ are stored as  attribute \texttt{ransposedClasses}.
\item[{(a)}]  of \ \ndex{@texttt{ClassPairs!m}A of classtranspositionsinterchanging residue  with 
\item[{(b)}]  oflessthanslshape be \{((mbox\{ }]\textttmdseriesm)ClassTransposition} where \{}a of\{}$r_1,r_2,m_2$ofintegers  unordered ofjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [382, 381) out of bounds for length 519
\item[{(c)}]  of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape R}} = {\ensuremath{\mathbb Z}} with modulus \texttt{Length(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape coeffs}})} and coefficients \mbox{\texttt{\mdseries\slshape coeffs}}, 
\item[{(d)}]  of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape R}} = {\ensuremath{\mathbb Z}}, permuting any set \texttt{\mbox{\texttt{\mdseries\slshape range}}+k*Length(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape range}})} like \mbox{\texttt{\mdseries\slshape perm}} permutes \mbox{\texttt{\mdseries\slshape range}}, 
[}ofmbox\{slshape java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [68, 67) out of bounds for length 311
{f}   \\texttt{mdseriesslshapeR} =${ensuremath\mathbb Z}_{\pi)} with modulus\texttt{Length(\mbox{texttt{\mdseries\slshape coeffs})} andcoefficients \mbox{\texttt{\mdseries\slshape coeffs}} (the set of primes $\pi$ which denotes the underlying ring is passed as argument{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape pi}}), 
\item[{(g)}]  of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape R}} = GF(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape q}})[\mbox{\texttt{\mdseries\slshape x}}] with modulus{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}} and coefficients \mbox{\texttt{\mdseries\slshape coeffs}}, 
item{h)]  rcwapermutation which induces a bijection between the partitions \mbox{\texttt{\mdseries\slshape P1}} andple can be obtained  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [154, 153) out of bounds for length 205
\tem[(i}   rcwapermutation with ``esidueclass cycles' given bya list mbox\texttt{\\mdseries\slshape cycles}} of lists of pairwise disjoint residue classes, each of which it permutes
cyclically, or 
\item[{(j)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 1
arithmetical  \mbox{texttt{\mdseries\slshape expression} texttt{symbol{45}}texttt{\symbol{}} astringconsisting of class
transpositions (e.g. \texttt{"(0(2),1(4))"}) or cycles permuting residue classes (e.g. \texttt{"(0(2),1(8),3(4),5(8))"}), class shifts (e.g. \texttt{"cs(4(6))"}, class reflections (e.g. \texttt{"cr(3(4))"}), arithmetical operators (\texttt{"*"}, \texttt{"/"} and \texttt{"\texttt{\symbol{94}}"}) and brackets (\texttt{"("}, \texttt{")"}), 
\end{description}
respectively. The methods for the operation \texttt{RcwaMapping} perform a number of argument checks, which can be skipped by using \texttt{RcwaMappingNC} instead. 
\begin{ 
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@          /
  !apprompt@> !gapinput@(,x+,[,,+OneR),[+neR)01]*neR);     a)|
  <rcwa mapping of GF(2)[x] with modulus x+1>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@RcwaMapping(Z_pi(2),[[1/3,0,1]]);                              # (b)|
mapping (2:- / java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 37 out of bounds for length 37
!@gap> gapinputa: ([2,,-,],4,1,3]];                  # (c)|
  <rcwa mapping of Z with modulus 3>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@RcwaMapping((1,2,3),[1..4]);                                   # (d)|
  ( 1(4), 2(4), 3(4) )
  !gapprompt     03,())  0() ()), ( 0(4), 2(4) ), ( 0(4), 3(4) ), 
  true
  !  () 04)) (1() () ,(13,2())  14,24),java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 68 out of bounds for length 68
Rcwa mapping of ( 2 ) n -13n
  !gapprompt@gap>| !gapinput@RcwaMapping(2,x+1,[[1,0,x+One(R)],[x+One(R),0,1]]*One(R));     # (g)|
  < ofGF)]modulus+java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 45 out of bounds for length 45
  !gapprompt@gap>| !gapinput[( 06,())  () (   (,(  ]
  !gapprompt@>| !gapinput@                   \end{erbatimjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 14 out of bounds for length 14
  true
  !noindent set all class transpositionsall classtranspositions of the ring of integers generates the
  ( 0(2), 1(4), 3(8), 7(16) )
  gapprompt> gapinput@Cycle(ast,02);
  [02, 1() () 7(16) ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@g := RcwaMapping("((0(4),1(6))*cr(0(6)))^2/cs(2(8))");         # (j)|
  <rcwa  {\}cite{ohl09}.
  !gapprompt@gap>| Class shifts, classreflections  transpositions  rings$$other than{\\{mathbbZ}are in 
!> gapinput        (28;java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 51 out of bounds for length 51
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 6 out of bounds for length 6
  
\end{Verbatim}
 }

 Rcwa mappings hyperdef{{}}

\subsection{\textcolor{Chapter }{LocalizedRcwaMapping (for\$$java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [63, 56) out of bounds for length 158
\: ,u
\yperdef{}{71A559387D0226E}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace({\mdseries\slshape cl, u})\index{ClassRotation@\texttt{ClassRotation}!cl, u}
\label{scriptsize (}\\
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 77 out of bounds for length 0
\label{ Given  residue class$r(m)$ anda unit\nobreakspace}$u$ofasuitablering{\nobreakspace}$R$, the \emph{class rotation} $\rho_{r(m),u}$ is the rcwa mapping which maps $n \in r(m)$ to $un + (1-u)r$ and which fixes $R \setminus r(m)$ pointwise. Class rotations generalize class reflections, as we have $\rho_{r(m),-1} = \varsigma_{r(m)}$. 
\{\scriptsize function)}java.lang.NullPointerException
\textbf{\indent Returns:\ }
 the rcwa mapping of ${\ensuremath{\mathbb Z}}_{(p)}$ respectively ${\ensuremath{\mathbb Z}}_{(\pi)}$ with the same coefficients as the rcwa mapping \mbox{\texttt{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 172 out of bounds for length 77



Tamercwa permutation Z_(2)with modulus ,of order 
modulus is  power {\nobreakspace}mbox{texttt{mdseries\ },or whose   only prime divisors which lie in{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape pi}}, respectively. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@T := RcwaMapping([[1,0,2],[3,1,2]]);; # The Collatz mapping.|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Cycle(LocalizedRcwaMapping(T,2),131/13);|
  [131/13 203/3 31113 473/13,716/13 /13, 179/3,275/13,
    419/13, 635/13, 959/13, 1445/13, 2174/13, 1087/13, 1637/13, 2462/13          |
    12313/13, 2786/, 139313, 2096/13, 104813,52413,262/3]
  
  g@>A!c = ClassRotation(1x,()One(R); Support()A
 }

ClassRotation( 1), (2^))
mapping completely. In these cases the output is enclosed in brackets. There
are options \texttt{CycleNotation}, \texttt{AsClassMapping}, \texttt{PrintNotation} and \texttt{AbridgedNotation} to take influence on how certain rcwa mappings are shown. These options can
either be not set, set to \texttt{true} or 
{\ensuremath{\mathbb Z}} of finite order as a product of disjoint residue
class cycles, if this is possible. If the option \texttt{AsClassMapping} is set, \texttt{Display} shows which residue classes are mapped to which by the affine partial
mappings, and marks any loops. The option \texttt{PrintNotation} influences the output in favour of \textsf{GAP} \texttt{\symbol{45}} readability, and the option \texttt{AbridgedNotation} can be used to abridge longer names like \texttt{ClassShift}, \texttt{ClassReflection} etc.. By default, the output of the methods for \texttt{Display} and \texttt{Print} describes an rcwa mapping in full. The \texttt{Print}ed representation of an rcwa mapping is \textsf{GAP} \texttt{\symbol{45}} readable if and only if the \texttt{Print}ed representation of the elements of the underlying ring is so. 

 \index{LaTeXStringRcwaMapping@\texttt{LaTeXStringRcwaMapping}!for n RcwaMappingpermutation }
reflections, class transpositions and prime switches is printed (cf. \texttt{FactorizationIntoCSCRCT} (\ref{FactorizationIntoCSCRCT:for an rcwa permutation of Z})). For rcwa mappings with modulus greater than{\nobreakspace}1, an indentation
by \noindenttextcolor{{\triangleright\enspace\R({\dseries\ m,})index
\begin{erbatim[!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Print(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 45 out of bounds for length 32
  n \ \mapsto java.lang.NullPointerException
  \begin{cases}
    n/2      & \text{if} \ n \in 0(2), \\
    (3n+1)/2 & \text{if} \ n \in 1(2).
  \end{cases}
  
\end{Verbatim}
 \index{LaTeXAndXDVI@\texttt{LaTeXAndXDVI}!for an rcwa mapping} There is an operation \texttt{LaTeXAndXDVI} which displays an rcwa mapping in an \textsf{xdvi} window. This works as follows: The string returned by \texttt{LaTeXStringRcwaMapping} is inserted into a {\LaTeX} template file. This file is {\LaTeX}'ed, and the result is shown with \textsf{xdvi}. Calling \texttt{Display} with option \mbox{\texttt{\mdseries\slshape xdvi}} has the same effect. The operation \texttt{LaTeXAndXDVI} is only available on UNIX systems, and requires suitable installations of {\LaTeX} and \textsf{xdvi}. }

  
\section{\textcolor{Chapter }{Basic arithmetic for residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise
affine mappings}}\label{sec:BasicArithmeticForRcwaMappings}
\logpage{[ 2, 3, 0 ]}
\hyperdef{L}{X78E796B8824C4FC8}{}
{
  \index{rcwa mapping@rcwa mapping!arithmetic operations} \index{Order@\texttt{Order}!of an rcwa permutation} \index{IsTame@\texttt{IsTame}!for an rcwa mapping} 

 Testing rcwa mappings for equality requires only comparing their coefficient
lists, hence is cheap. Rcwa mappings can be multiplied, thus there is a method
for \texttt{*}. Rcwa permutations can also be inverted, thus there is a method for \texttt{Inverse}. The latter method is usually accessed by raising a mapping to a power with
negative exponent. Multiplying, inverting and computing powers of tame rcwa
mappings is cheap. Computing powers of wild mappings is usually expensive
\texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} run time and memory requirements
normally grow approximately exponentially with the exponent. How expensive
multiplying a couple of wild mappings is, varies very much. In any case, the
amount of memory required for storing an rcwa mapping is proportional to its
modulus. Whether a given mapping is tame or wild can be determined by the
operation \texttt{IsTame}. There is a method for \texttt{Order}, which can not only compute a finite order, but which can also detect
infinite order. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@T := RcwaMapping([[1,0,2],[3,1,2]]);;          # The Collatz mapping.|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@a := RcwaMapping([[2,0,3],[4,-1,3],[4,1,3]]);; # Collatz' permutation.|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List([-4..4],k->Modulus(a^k));|
  [ 256, 64, 16, 4, 1, 3, 9, 27, 81 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsTame(T) or IsTame(a);|
  false
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsTame(ClassShift(0,\[()]  \\{R} \\mathbb }  modulusmodulus texttt(\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [132, 131) out of bounds for length 210
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@T^2*a*T*a^-3;|
  <rcwa mapping of Z with modulus 768>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@(ClassShift(1,3)*ClassReflection(2,7))^1000000;|
  <rcwa permutation of Z with modulus 21>
  
\end{Verbatim}
 \index{IsInjective@\texttt{IsInjective}!for an rcwa mapping} \index{IsSurjective@\texttt{IsSurjective}!for an rcwa mapping} \index{IsBijective@\texttt{IsBijective}!for an rcwa mapping} \index{Image@\texttt{Image}!of an rcwa mapping} There are methods installed for \texttt{IsInjective}, \texttt{IsSurjective}, \texttt{IsBijective} and \texttt{Image}. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@[ IsInjective(T), IsSurjective(T), IsBijective(a) ];|
  [ false, true, true ]
  !  !gapprompt  of \mbox{\texttt{\mdseries\slshapeR} = {ensuremath\Z} anyset\\{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [139, 138) out of bounds for length 292
  0(2)
  
\end{Verbatim}
 \index{rcwa mapping@rcwa mapping!images under} Images of elements, of \item[{(e)}]  of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape R}} = {\ensuremath{\mathbb Z modulus \mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}} and values given by a list \mbox{\texttt{i[{(of\{ms}}=GF\{texttt{\dseriesslshapeq})[mbox\sjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [127, 126) out of bounds for length 254
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [8, 7) out of bounds for length 175
for partitions of the source into a finite number of residue classes. 
\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [32, 6) out of bounds for length 77
  of{nobreakspace}\{\mathbb Z}  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [86, 85) out of bounds for length 89
  !@> g15T;
  23
Tjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 50 out of bounds for length 50
  2()
  !gapprompt ()(, 3()java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 22 out of bounds for length 22
  [ 0(2), 1(4), 3(4) ]
  
endVerbatim
 \{@t{PreImageElm!f ringelement an  mapping \ndexPreImagesElm@texttt{reImagesElm}of aring element anrcwamapping}\{\texttt{PreImage}of aset  ringelements under an rcwa mapping} \index{PreImage@\texttt{PreImage}!of a residue class union under an rcwa mapping} For computing preimages of elements under rcwa mappings, there are methods for \texttt{PreImageElm} and \texttt{PreImagesElm}. The preimage of a finite set of ring elements or of a union of finitely many
residue classes underanrcwa  can becomputed  textttPreImage} 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@PreImagesElm(T,8);|
  [5,16]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@PreImage(T,ResidueClass(Integers,3,2));|
  Z \ 0(6) U 2(6)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@M := [1];; l := [1];;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@while Length(M) < 5000 do M := PreImage!gapprompt@gap>|!apinput@ycle(last,esidueClass0,)|
  [ 1, 1, 2, 2, 4, 5, 8, 10, 14, 18, 26, 36, 50, 67, 89,[ 02),14,3(8, (16 ]
    277, 367, 488, 649, 869, 1154, 1534, 2039, 2721, 3629, 4843, 6458 ]
  
\end{Verbatim}
 \index{Support@\texttt{Support}!of an rcwa mapping  !gapprompt@> !@       2,)|
{\ensuremath{\mathbb Z}} can be computed efficiently with the operation \texttt{DensityOfSupport}. Likewise, the natural density of the set of fixed points of an rcwa mapping
of{ensuremath\mathbb Z} canbe computed    operation\exttt{DensityOfSetOfFixedPoints}. There is also a method for \texttt{RestrictedPerm} for computing the restriction of an rcwa permutation to a union of residue
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0
\begin{}{{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 33 out of bounds for length 33
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List([a,a^2],Support);|
  [ Z \ [ -1, 0, 1 ], Z \ [ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@RestrictedPerm(ClassShift(0,2)*ClassReflection(1,2),|
  !gapprompt@>| !gapinput@                  ResidueClass(0,2));|
  <rcwa mapping of Z with modulus 2>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@last = ClassShift(0,2);|
  true
  
\end{Verbatim}
 Rcwa mappings can be added and subtracted pointwise. However, please note that
the under \+ java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [77, 76) out of bounds for length 89

 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example
  
  !@ap|!gapinput@ : 03)*a;;java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 56 out of bounds for length 56
  !gapprompt@| !apinput[ Image( +)) ( -b);|
  [ 2(4), [ -2, 0 ] ]
  
\{Verbatim
 \index{@\texttt{Modulus}!of an rcwa mapping} \index{Mod@\texttt{Mod}!for an rcwa mapping} \index{Coefficients@\texttt{Coefficients}!of an rcwa mapping} \index{rcwa mapping@rcwa mapping!coercion} \index{rcwa group@rcwa group!coercion} There are operations \texttt{Modulus} (abbreviated \texttt{Mod}) and \texttt{Coefficients} for retrieving the modulus and the coefficient list of an rcwa mapping. The
meaning of as  in Section{\nobreakspace}\ef{sec:EnteringRcwaMappings}. 

 Generaldocumentation for most operations mentioned in this section can 
foundin  \G}java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [36, 35) out of bounds for length 76
han\ejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [32, 31) out of bounds for length 78
methods are available. 

 As in general a subring relation1231/3 1853//13,2786/,1393,2096,1048/,524, 262/ 
rings. }

  
\section{
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [2, 1) out of bounds for length 427
\logpage{[ 2, 4, 0 ]}
\hyperdef{L}{X7C16D22C7BD40FDC}{}
{
  \index{class-wise translating@class\texttt{\symbol{45}}wise translating!definition} \index{integral@integral!definition} \index{balanced@balanced!definition} \index{sign-preserving@sign\texttt{\symbol{45}}preserving!definition} \index{maximal shift@maximal shift!definition} \index{rcwa mapping@rcwa mapping!prime set} \index{rcwa mapping@rcwa mapping!maximal shift} \index{rcwa mapping@rcwa mapping!class-wise translating} \index{rcwa mapping@rcwa mapping!integral} \index{rcwa mapping@rcwa mapping!balanced} \index{rcwa mapping@rcwa mapping!class-wise order-preserving} \index{rcwa mapping@rcwa mapping!sign-preserving} \index{Multiplier@\texttt{Multiplier}!of an rcwa mapping} \index{Mult@\texttt{Mult}!for an rcwa mapping} \index{Divisor@\texttt{Divisor}!of an rcwa mapping} \index{Div@\texttt{Div}!for an rcwa mapping} \index{PrimeSet@\texttt{PrimeSet}!of an rcwa mapping} \index{MaximalShift@\texttt{MaximalShift}!of an rcwa mapping of Z} \index{IsClassWiseTranslating@\texttt{IsClassWiseTranslating}!for an rcwa mapping} \index{IsIntegral@\texttt{IsIntegral}!for an rcwa mapping} \index{IsBalanced@\texttt{IsBalanced}!for an rcwa mapping} \index{IsClassWiseOrderPreserving@\texttt{IsClassWiseOrderPreserving}!for an rcwa mapping} \index{IsSignPreserving@\texttt{IsSignPreserving}!for an   \index{class-wise translating@class\texttt{\symbol{45}}wise translating!definition} \index{integral@integral!definition} \index{balanced@balanced!definition} \index{sign-preserving@sign\texttt{\symbol{45}}preserving!definition} \index{maximal shift@maximal shift!definition} \index{rcwa mapping@rcwa mapping!prime set} \index{rcwa mapping@rcwa mapping!maximal shift} \index{rcwa mapping@rcwa mapping!class-wise translating} \index{rcwa mapping@rcwa mapping!integral} \index{rcwa mapping@rcwa mapping!balanced} \index{rcwa mapping@rcwa mapping!class-wise order-preserving} \index{rcwa mapping@rcwa mapping!sign-preserving} \index{Multiplier@\texttt{Multiplier}!of an rcwa mapping} \index{Mult@\texttt{Mult}!for an rcwa mapping} \index{Divisor@\texttt{Divisor}!of an rcwa mapping} \index{Div@\texttt{Div}!for an rcwa mapping} \index{PrimeSet@\texttt{PrimeSet}!of an rcwa mapping} \index{MaximalShift@\texttt{MaximalShift}!of an rcwa mapping of Z} \index{IsClassWiseTranslating@\texttt{IsClassWiseTranslating}!for an rcwa mapping} \index{IsIntegral@\texttt{IsIntegral}!for an rcwa mapping} \index{IsBalanced@\texttt{IsBalanced}!for an rcwa mapping} \index{IsClassWiseOrderPreserving@\texttt{IsClassWiseOrderPreserving}!for an rcwa mapping} \index{IsSignPreserving@\texttt{IsSignPreserving}!for an rcwa \CycleNotation}  set   tried  towrite an  permutation of
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [37, 33) out of bounds for length 76
for example bVerbatim[java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [31, 29) out of bounds for length 77
attributes \textttn\\apsto\
and    n2      &\{} \ \in 0(2, \
values of its coefficients    (3n+)/2 & \text{if} \ n \in 1(2).
class\texttt{\symbol{45}}wise translating mapping has the property \texttt{IsClassWiseTranslating}, an integral mapping has the property \texttt{IsIntegral} and a balanced mapping has the property \texttt{IsBalanced}. An rcwa mapping of the ring of integers or of one of its semilocalizations
is called \emph{class\texttt{\symbol{45}}wise order\texttt{\symbol{45}}preserving} if and only if all coefficients $a_{r(m)}$ (cf.{\nobreakspace}Section{\nobreakspace}\ref{sec:basicdefinitions}) in the numerators of the affine partial mappings are positive. The
corresponding property is \texttt{IsClassWiseOrderPreserving}. An rcwa mapping of{\nobreakspace}{\ensuremath{\mathbb Z}} is called \emph{sign\texttt{\symbol{45}}preserving} if it does not map nonnegative integers to negative integers or vice versa.
The corresponding property is \texttt{IsSignPreserving}. All elements of the simple group CT({\ensuremath{\mathbb Z}}) generated by
the set of all class transpositions are sign\texttt{\symbol{45}}preserving. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@u := RcwaMapping([[3,0,5],[9,1,5],[3,-1,5],[9,-2,5],[9,4,5]]);;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@IsBijective(u);; Display(u);A
  
  Rcwa permutation of Z with modulus 5
  
          /
          | 3n/5     if n in 0(5)
          | (9n+1)/5 if n in 1(5)
   n |-> <  (3n-1)/5 if n in 2(5)
          | (9n-2)/5 if n in 3(5)
          | (9n+4)/5 if n in 4(5)
          \
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Multiplier(u);A
  9
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Divisor(u);A
  5
  !gapprompt@gap>A !gapinput@PrimeSet(u);A
  [ 3, 5 ]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@IsIntegral(u) or IsBalanced(u);A
  false
  !gapprompt@gap>A !gapinput@IsClassWiseOrderPreserving(u) and IsSignPreserving(u);A
  true
  
\end{Verbatim}
 There are a couple of further attributes and operations related to the affine
partial mappings of an rcwa mapping: 

\subsection{\textcolor{Chapter }{LargestSourcesOfAffineMappings (for an rcwa mapping)}}
\logpage{[ 2, 4, 1 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 30) out of bounds for length 14
{{uncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{LargestSourcesOfAffineMappings({\mdseries\slshape f})\index{LargestSourcesOfAffineMappings@\texttt{LargestSourcesOfAffineMappings}!for an rcwa mapping}
\label{LargestSourcesOfAffineMappings:for an rcwa mapping}
}\hfill{\scriptsize (attribute)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the coarsest partition of \texttt{Source(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} on whose elements the rcwa mapping{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is affine. 



 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@LargestSourcesOfAffineMappings(ClassShift(3,7));|
  [ Z \ 3(7), 3(7) ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@\section{\textcolor{Chapter }{Basic arithmetic forresidue\texttt{symbol{45}lass\exttt\symbol{45}
  [ Integers ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@u := RcwaMapping([[3,0,5],[9,1,5],[3,-1,5],[9,-2,5],[9,4,5]]);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List( [ u, u^-1 ], LargestSourcesOfAffineMappings );|
  [ [ 0(5), 1(5), 2(5), 3(5), 4(5) ], [ 0(3), 1(3), 2(9), 5(9), 8(9) ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@kappa := ClassTransposition(2,4,3,4) * ClassTransposition(4,6,8,12)|
  !gapprompt@>| !gapinput@          * ClassTransposition(3,4,4,6);|
  <rcwa permutation of Z with modulus 12>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@LargestSourcesOfAffineMappings(kappa);|
  [ 2(4), 1(4) U 0(12), 3(12) U 7(12), 4(12), 8(12), 11(12) ]
  
\end{Verbatim}
 }

 

\subsection{\textcolor{Chapter }{FixedPointsOfAffinePartialMappings (for an rcwa mapping)}}
\logpage{[ 2, 4, 2 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X7D6D0F2783AD02F4}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{FixedPointsOfAffinePartialMappings({\mdseries\slshape f})\index{FixedPointsOfAffinePartialMappings@\texttt{FixedPointsOfAffinePartialMappings}!for an rcwa mapping}
\label{FixedPointsOfAffinePartialMappings:for an rcwa mapping}
}\hfill{\scriptsize (attribute)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 a list of the sets of fixed points of the affine partial mappings of the rcwa
mapping{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} in the quotient field of its source. 



 The returned list contains entries for the restrictions of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} to all residue classes modulo \texttt{Mod(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})}. A list entry can either be an empty set, the source of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} or a set of cardinality{\nobreakspace}1. The ordering of the entries
corresponds to the ordering of the residues in \texttt{AllResidues(Source(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}}),\mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}})}. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@FixedPointsOfAffinePartialMappings(ClassShift(0,2));|
  [ [  ], Rationals ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List([1..3],k->FixedPointsOfAffinePartialMappings(T^k));|
  [ [ [ 0 ], [ -1 ] ], [ [ 0 ], [ 1 ], [ 2 ], [ -1 ] ], 
    [ [ 0 ], [ -7 ], [ 2/5 ], [ -5 ], [ 4/5 ], [ 1/5 ], [ -10 ], [ -1 ] ] affine }label{sec:BasicArithmeticForRcwaMappings}
 
\indexrcwamapping@!rithmetic operations} \index{Order@\texttt{Order}!of an rcwa permutation} \index{IsTame@\texttt{IsTame}!for an rcwa mapping} 
 }

 

(for rcwa mapping,a primeandanexponent)}
\logpage{[ 2, 4, 3 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X7A2E308C860B46E3}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\trianglerightm ischeap.   usually
rime java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 59 out of bounds for length 59
}\fill{\ operation)}\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the union of the residue classes $r(m)$ such that $p^amount of memory required for storing an rcwa mappingisproportional to its



 
\beginVerbatim[commandchars!@fontsize=smallframesingle,=Example]
  
  !begin{Verbatim}[commandchars!|,small,framesingle
  !gapprompt@gap>| !gapinput@[ Multpk(T,2,-1), Multpk(T,3,1) ];|
  [ Integers, 1(2) ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@u := RcwaMapping([[3,0,5],[9,1,5],[3,-1,5],[9,-2,5],[9,4,5]]);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@[ Multpk(u,3,0), Multpk(u,3,1), Multpk(u,3,2), Multpk(u,5,-1) ];|
  [ [  ], 0(5)) U 2()  (  25),Integersjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 50 out of bounds for length 50
  
\end{Verbatim}
 }

 \index{ClassWiseOrderPreservingOn@\texttt{ClassWiseOrderPreservingOn}} \index{ClassWiseConstantOn@\texttt{ClassWiseConstantOn}} \index{ClassWiseOrderReversingOn@\texttt{ClassWiseOrderReversingOn}} There are attributes \texttt{ClassWiseOrderPreservingOn}, \texttt{ClassWiseConstantOn} and \texttt{ClassWiseOrderReversingOn} which store the union of the residue classes (mod{\nobreakspace}\texttt{Mod(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})}) on which an rcwa mapping{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} of{\nobreakspace}{\ensuremath{\mathbb Z}} or of a semilocalization thereof is
class\texttt{\symbol{45}}wise order\texttt{\symbol{45}}preserving,
class\texttt{\symbol{45}}wise constant or class\texttt{\symbol{45}}wise
order\texttt{\symbol{45}}reversing, respectively. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [55, 49) out of bounds for length 77
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List([ClassTransposition(1,2,0,4),ClassShift(2,3),|
  !gapprompt@>| !gapinput@         ClassReflection(2,5)],ClassWiseOrderPreservingOn);|
  [ Integers, Integers, Z \ 2(5) ]
  
\end{Verbatim}
 \index{ShiftsUpOn@\texttt{ShiftsUpOn}} \index{ShiftsDownOn@\texttt{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 80) out of bounds for length 7

 Finally, there are
Z}} formed by all class\texttt{\symbol{45}}wise
order\texttt{\symbol{45}}preserving elements to ({\ensuremath{\mathbb Z}},+)
and from RCWA({\ensuremath{\mathbb Z}}) itself to the cyclic group of
order{\nobreakspace}2, respectively: 

\subsection{\textcolor{Chapter }{Determinant (of an rcwa mapping of Z)}}
\logpage{[ 2, 4, 4 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X7B1E53127D9AE52F}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Determinant({\mdseries\slshape f})\index{Determinant@\texttt{Determinant}!of an rcwa mapping of Z}
\label{Determinant:of an rcwa mapping of Z}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the determinant of the rcwa mapping{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} of{\nobreakspace}{\ensuremath{\mathbb Z}}. 



 The \emph{determinant} of an affine mapping $n \mapsto (an+b)/c$ whose source is a residue class $r(m)$ is defined by $b/|a|m$. This definition is extended additively to determinants of rcwa mappings. 

 Let $f$ be an rcwa mapping of the integers, and let $m$ denote its modulus. Using the notation $f|_{r(m)}: n \mapsto (a_{r(m)} \cdot n + b_{r(m)})/c_{r(m)}$ for the affine partial mappings, the \emph{determinant} det($f$) of{\nobreakspace}$f$ is given by 
      
\[
        \sum_{r(m) \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}} b_{r(m)}/(|a_{r(m)}| \cdot m).
      \]

       The determinant mapping is an epimorphism from the group of all
class\texttt{\symbol{45}}wise order\texttt{\symbol{45}}preserving rcwa
permutations of{\nobreakspace}{\ensuremath{\mathbb Z}} to
({\ensuremath{\mathbb Z}},+), see{\nobreakspace}\cite{Kohl05}, Theorem{\nobreakspace}2.11.9. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List([ClassTransposition(0,4,5,12),ClassShift(3,7)],Determinant);|
  [ 0, 1 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Determinant(ClassTransposition(0,4,5,12)*ClassShift(3,7)^100);   |
  100
  
\end{Verbatim}
 }

 

\subsection{\textcolor{Chapter }{Sign (of an rcwa permutation of Z)}}
\logpage{[ 2, 4, 5 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X8365EEEB82C946FD}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Sign({\mdseries\slshape g})\index{Sign@\texttt{Sign}!of an rcwa permutation of Z}
\label{Sign:of an rcwa permutation of Z}
}\hfill{\scriptsize (attribute)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the sign of the rcwa permutation{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} of{\nobreakspace}{\ensuremath{\mathbb Z}}. 



 Let $\sigma$ be an rcwa permutation of the integers, and let $m$ denote its modulus. Using the notation $\sigma|_{r(m)}: n \mapsto (a_{r(m)} \cdot n + b_{r(m)})/c_{r(m)}$ for the affine partial mappings, the \emph{sign} of{\nobreakspace}$\sigma$ is defined by 
      
\[
        (-1)^{\displaystyle{{\rm det}(\sigma)
            + \sum_{r(m): \ a_{r(m)} < 0} \frac{m - 2r}{m}}}.
      \]

       The sign mapping is an epimorphism from RCWA({\ensuremath{\mathbb Z}}) to the
group ${\ensuremath{\mathbb Z}}^\times$ of units of{\nobreakspace}{\ensuremath{\mathbb Z}}, see{\nobreakspace}\cite{Kohl05},   rcwa mapping of Z with modulus 768>
normal subgroup of RCWA({\ensuremath{\mathbb Z}}) of index{\nobreakspace}2.
The !gapprompt@gap>| !gapinput@(ClassShift(1,3)*ClassReflection(2,7))^1000000;|
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\
  
  !gapprompt
  input         ClassShift(3),2,5)]Sign);
1 -]
  
\end{}
 }

 }

  
\section{\textcolorend{}
}label{sec:FactoringRcwaMappings}

\}{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 33 out of bounds for length 33
{
  group the  some `n' set of generators is often helpful. thissection describean operation
which the set of rcwa mappings of a ring does not form a ring under \texttt{+} and \texttt{*}. 
Z}}). Elements of finitely generated rcwa groups can be factored into
generators ``as usual'', see{\nobreakspace}\texttt{PreImagesRepresentative{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]

\subsection{\textcolor{Chapter }{CTCSCRSplit (for an rcwa permutation of Z)}}
\logpage{[ 2, 5, 1 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X829BA0537F2372FF}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{CTCSCRSplit({\mdseries\slshape g})\index{CTCSCRSplit@\texttt{CTCSCRSplit}!for an rcwa permutation of Z}
\label{CTCSCRSplit:for an rcwa permutation of Z}
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 a list of 3 rcwa permutations $a$, $b$ and $c$ whose product equals \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}}, where $a$ fixes the nonnegative integers setwise, $b$ is integral and class\texttt{\symbol{45}}wise
order\texttt{\symbol{45}}preserving and $c$ is integral. 



 Assuming the hypothesis that CT({\ensuremath{\mathbb Z}}) is the group of all
rcwa permutations of {\ensuremath{\mathbb Z}} which fix the nonnegative
integers setwise, $a$ is always an element of CT({\ensuremath{\mathbb Z}}). 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@g := ClassTransposition(0,4,1,6)*ClassShift(2,5)*ClassReflection(2,3);|
  <rcwa permutation of Z with modulus 180>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@facts := CTCSCRSplit(g);|
  [ <rcwa permutation of Z with modulus 60>, ClassShift( 2(30) ), 
    ClassReflection( 2(3) ) ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Product(facts) = g;|
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(facts,IsSignPreserving);|
  [ true, false, false ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(facts,IsIntegral);|
  [ false, true, true ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(facts,IsClassWiseOrderPreserving);|
  [ true, true, false ]
  
\end{Verbatim}
 }

 

\subsection{\textcolor{Chapter }{FactorizationIntoCSCRCT (for an rcwa permutation of Z)}}
\logpage{[ 2, 5, 2 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X853885A182EC5104}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{FactorizationIntoCSCRCT({\mdseries\slshape g})\index{FactorizationIntoCSCRCT@\texttt{FactorizationIntoCSCRCT}!for an rcwa permutation of Z}
\label{FactorizationIntoCSCRCT:for an rcwa permutation of Z}
}\hfill{\scriptsize (attribute)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Factorization({\mdseries\slshape g})\index{Factorization@\texttt{Factorization}!for an rcwa permutation of Z}
\label{Factorization:for an rcwa permutation of Z}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 a factorization of the rcwa permutation{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} of{\nobreakspace}{\ensuremath{\mathbb Z}} into class shifts, class reflections
and class transpositions, provided that such a factorization exists and the
method finds it. 



 The method may return \texttt{fail}, stop with an error message or run into an infinite loop. If it returns a
result, this result is always correct. 

 The problem of obtaining a factorization as described is algorithmically
difficult, and this factorization routine is currently perhaps the most
sophisticated part of the \textsf{RCWA} package. Information about the progress of   
obtained by setting the info level of the Info class \texttt{InfoRCWA} (\ref{InfoRCWA}) to{\nobreakspace}2. 

 By default, prime switches ($\rightarrow$ \texttt{PrimeSwitch} (\ref{PrimeSwitch:p})) are taken as one factor. If   !apprompt@gap>| !gapinput@b := ClassShift(0,3) * a;;|
definition. 

 By default, the java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 19 out of bounds for length 14
right. This can be changed by setting the option \mbox{\texttt{\mdseries\slshape Direction}} to \texttt{"from the left"}. 

 By default, a reasonably coarse respected partition of the integral mapping
occurring in the final stage of the algorithm is computed. This can be
suppressed by setting the option \mbox{\texttt{\mdseries\slshape ShortenPartition}} equal to \texttt{false}. 

 By default, at the end it is checked whether the product of the determined
factors indeed equals \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}}. This check can be suppressed by setting the option \mbox{\texttt{\mdseries\slshape NC}}. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Factorization(Comm(ClassShift(0,3)*ClassReflection(1,2),|
  !gapprompt@>| !gapinput@                      ClassShift(0,2)));|
  [ ClassReflection( 2(3) ), ClassShift( 2(6) )^-1, ( 0(6), 2(6) ), 
    ( 0(6), 5(6) ) ]
  
\end{Verbatim}
 }

 For purposes of demonstrating the capabilities of the factorization routine,
in Section{\nobreakspace}\ref{sec:FactoringTheCollatzPermutation} Collatz' permutation is factored. Lothar Collatz has investigated this
permutation in{\nobreakspace}1932. Its cycle structure is unknown so far. 

 The permutations of the following kind play an important role in factoring
rcwa permutations of{\nobreakspace}{\ensuremath{\mathbb Z}} into class shifts,
class reflections and class transpositions: 

\subsection{\textcolor{Chapter }{PrimeSwitch (p)}}
\logpage{[ 2, 5, 3 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X861C74E97AE5DA3B}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{PrimeSwitch({\mdseries\slshape p})\index{PrimeSwitch@\texttt{PrimeSwitch}!p}
\label{PrimeSwitch:p}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{PrimeSwitch({\mdseries\slshape p, k})\index{PrimeSwitch@\texttt{PrimeSwitch}!p, k}
\label{PrimeSwitch:p, k}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{PrimeSwitch({\mdseries\slshape p, r, m})\index{PrimeSwitch@\texttt{PrimeSwitch}!p, r, m}
\label{PrimeSwitch:p, r, m}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{PrimeSwitch({\mdseries\slshape p, cl})\index{PrimeSwitch@\texttt{PrimeSwitch}!p, cl}
\label{PrimeSwitch:p, cl}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 in the first form the \emph{prime switch} $\sigma_p := \tau_{0(8),1(2p)} \cdot \tau_{4(8),-1(2p)} \cdot \tau_{0(4),1(2p)}
\cdot \tau_{2(4),-1(2p)} \cdot \tau_{2(2p),1(4p)} \cdot \tau_{4(2p),2p+1(4p)}$, in the second form the restriction of $\sigma_p$ by $n \mapsto kn$, and in the third and fourth form the \emph{prime switch} $\sigma_{p,r(m)} := \tau_{r_1(m/2),r_2(m)} \cdot \tau_{r_2(m),r_1(pm/2)} \cdot
\tau_{r(m/2),r_1(pm/2)}$. In the latter case, \mbox{\texttt{\mdseries\slshape cl}} is the residue class $r(m)$, the residue $r_1$ is $1-(r \mod 2)$, and $r_2$ is defined by the equality $r(m) \cup r_2(m) = r(m/2)$. 



 For an odd prime $p$, the prime switch $\sigma_p$ is an rcwa permutation of{\nobreakspace}{\ensuremath{\mathbb Z}} with
modulus{\nobreakspace}$4p$, multiplier{\nobreakspace}$p$ and divisor{\nobreakspace}2. The prime switch $\sigma_{p,r(m)}$ has multiplier{\nobreakspace}$p$ and divisor{\nobreakspace}2, and the class where the multiplication by $p$ occurs is just $r(m)$. The key mathematical property of a prime switch is that it is a product of
class transpositions whose multiplier and divisor are coprime. 

 Prime switches can be distinguished from other rcwa mappings by their \textsf{GAP} property \texttt{IsPrimeSwitch}. \index{IsPrimeSwitch@\texttt{IsPrimeSwitch}!for an rcwa mapping} 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@B,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>B !gapinput@Display(PrimeSwitch(3));B
  
  Wild rcwa permutation of Z with modulus 12
  
          /
          | (3n+4)/2 if n in 2(4)
          | n-1      if n in 5(6) U 8(12)
          | n+1      if n in 1(6)
   n |-> <  n/2      if n in 0(12)
          | n-3      if n in 4(12)
          | n        if n in 3(6)
          |
          \
  
  !gapprompt@gap>B !gapinput@Display(PrimeSwitch(3):AsClassMapping);B
  
  Wild rcwa permutation of Z with modulus 12
  
    0(12) -> 0(6)  loop
     1(6) -> 2(6)
     2(4) -> 5(6)
     3(6) -> 3(6)  id
    4(12) -> 1(12)
     5(6) -> 4(6)
    8(12) -> 7(12)
  
  !gapprompt@gap>B !gapinput@Factorization(PrimeSwitch(3));B
  [ ( 1(6), 0(8) ), ( 5(6), 4(8) ), ( 0(4), 1(6) ), ( 2(4), 5(6) ), 
    ( 2(6), 1(12) ), ( 4(6), 7(12) ) ]
  !gapprompt@gap>B !gapinput@Display(PrimeSwitch(5,3,4));B
  
  Wild rcwa permutation of Z with modulus 20
  
          /
          | n+1     if n in 0(2)
          | 5n-5    if n in 3(4)
   n |-> <  (n-1)/2 if n in 1(4) \ 1(20)
          | n-1     if n in 1(20)
          |
          \
  
  !gapprompt@gap>B !gapinput@Multpk(PrimeSwitch(5,3,4),5,1);B
  3(4)
  !gapprompt@gap>B !gapinput@PrimeSwitch(5,3,4) = PrimeSwitch(5,ResidueClass(3,4));B
  true
  !gapprompt@gap>B !gapinput@Factorization(PrimeSwitch(5,3,4));B
  [ ( 0(2), 1(4) ), ( 1(4), 0(10) ), ( 1(2), 0(10) ) ]
  
\end{Verbatim}
 }

 Obtaining a factorization of an rcwa permutation into class shifts, class
reflections and class transpositions is particularly difficult if multiplier
and divisor are coprime. A prototype of permutations which have this property
has been introduced in a different context in{\nobreakspace}\cite{Keller99}: 

\subsection{\textcolor{Chapter }{mKnot (for an odd integer)}}
\logpage{[ 2, 5, 4 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X789CB69C7D97B0C4}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{mKnot({\mdseries\slshape m})\index{mKnot@\texttt{mKnot}!for an odd integer}
\label{mKnot:for an odd integer}
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the permutation $g_m$ as defined in{\nobreakspace}\cite{Keller99}. 



 The argument \mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}} must be an odd integer greater than{\nobreakspace}1. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(mKnot(5));A
  
  Wild rcwa permutation of Z with modulus 5
  
          /
          | 6n/5     if n in 0(5)
          | (4n+1)/5 if n in 1(5)
   n |-> <  (6n-2)/5 if n in 2(5)
          | (4n+3)/5 if n in 3(5)
          | (6n-4)/5 if n in 4(5)
          \
  
\end{Verbatim}
 }

 \noindent In his article, Timothy P. Keller shows that a permutation of this type cannot
have infinitely many cycles of any given finite length. }

  
\section{\textcolor{Chapter }{ Extracting roots of residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise
affine mappings }}\label{sec:ExtractingRoots}
\logpage{[ 2, 6, 0 ]}
\hyperdef{L}{X8141065381B0942B}{}
{
  

\subsection{\textcolor{Chapter }{Root (k-th root of an rcwa mapping)}}
\logpage{[ 2, 6, 1 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X873692CE78433859}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Root({\mdseries\slshape f, k})\index{Root@\texttt{Root}!k-th root of an rcwa mapping}
\label{Root:k-th root of an rcwa mapping}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 an rcwa mapping \texttt{g} such that \texttt{g\texttt{\symbol{94}}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape k}}=\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}}}, provided that such a mapping exists and that there is a method available
which can determine it. 



 Currently, extracting roots is implemented for rcwa permutations of finite
order. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Root(ClassTransposition(0,2,1,2),100);A
  ( 0(8), 2(8), 4(8), 6(8), 1(8), 3(8), 5(8), 7(8) )
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(last:CycleNotation:=false);A
  
  Tame rcwa permutation of Z with modulus 8
  
          /
          | n+2 if n in Z \ 6(8) U 7(8)
   n |-> <  n-5 if n in 6(8)
          | n-7 if n in 7(8)
          \
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@last^100 = ClassTransposition(0,2,1,2);A
  true
  
\end{Verbatim}
 }

 }

  
\section{\textcolor{Chapter }{ Special functions for non\texttt{\symbol{45}}bijective mappings }}\label{sec:NonBijectiveMappings}
\logpage{[ 2, 7, 0 ]}
\hyperdef{L}{X8322C6848305EC4C}{}
{
  

\subsection{\textcolor{Chapter }{RightInverse (of an injective rcwa mapping)}}
\logpage{[ 2, 7, 1 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X7AEFF16E86533633}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{RightInverse({\mdseries\slshape f})\index{RightInverse@\texttt{RightInverse}!of an injective rcwa mapping}
\label{RightInverse:of an injective rcwa mapping}
}\hfill{\scriptsize (attribute)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 a right inverse of the injective rcwa mapping{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}}, i.e. a mapping $g$ such that \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}}$g${\nobreakspace}={\nobreakspace}1. 



 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@twice := 2*IdentityRcwaMappingOfZ;|
  Rcwa mapping of Z: n -> 2n
  !gapprompt@gap>| !gapinput@twice * RightInverse(twice);|
  IdentityMapping( Integers )
  
\end{Verbatim}
 }

 

\subsection{\textcolor{Chapter }{CommonRightInverse (of two injective rcwa mappings)}}
\logpage{[ 2, 7, 2 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X87C5B9CA7E319233}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{CommonRightInverse({\mdseries\slshape l, r})\index{CommonRightInverse@\texttt{CommonRightInverse}!of two injective rcwa mappings}
\label{CommonRightInverse:of two injective rcwa mappings}
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 a mapping $d$ such that \mbox{\texttt{\mdseries\slshape l}}$d$ = \mbox{\texttt{\mdseries\slshape r}}$d$ = 1. 



 The mappings \mbox{\texttt{\mdseries\slshape l}} and \mbox{\texttt{\mdseries\slshape r}} must be injective, and their images must form a partition of their source. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@twice := 2*IdentityRcwaMappingOfZ; twiceplus1 := twice+1;A
  Rcwa mapping of Z: n -> 2n
  Rcwa mapping of Z: n -> 2n + 1
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(CommonRightInverse(twice,twiceplus1));A
  
  Rcwa mapping of Z with modulus 2
  
          /
          | n/2     if n in 0(2)
   n |-> <  (n-1)/2 if n in 1(2)
          |
          \
  
\end{Verbatim}
 }

 

\subsection{\textcolor{Chapter }{ImageDensity (of an rcwa mapping)}}
\logpage{[ 2, 7, 3 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X808D9EDF7BA27467}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{ImageDensity({\mdseries\slshape f})\index{ImageDensity@\texttt{ImageDensity}!of an rcwa mapping}
\label{ImageDensity:of an rcwa mapping}
}\hfill{\scriptsize (attribute)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the \emph{image density} of the rcwa mapping{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}}. 



 In the notation introduced in the definition of an rcwa mapping, the \emph{image density} of an rcwa mapping{\nobreakspace}$f$ is defined by $\frac{1}{m}$ $\sum_{r(m) \in R/mR} |R/c_{r(m)}R|/|R/a_{r(m)}R|$. The image density of an injective rcwa mapping is $\leq 1$, and the image density of a surjective rcwa mapping is $\geq 1$ (this can be seen easily). Thus in particular the image density of a bijective
rcwa mapping is{\nobreakspace}1. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@T := RcwaMapping([[1,0,2],[3,1,2]]);; # The Collatz mapping.|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List( [ T, ClassShift(0,1), RcwaMapping([[2,0,1]]) ], ImageDensity );|
  [ 4/3, 1, 1/2 ]
  
\end{Verbatim}
 }

 \index{InjectiveAsMappingFrom@\texttt{InjectiveAsMappingFrom}!for an rcwa mapping} Given an rcwa mapping \texttt{f}, the function \texttt{InjectiveAsMappingFrom} returns a set \texttt{S} such that the restriction of \texttt{f} to{\nobreakspace}\texttt{S} is injective, and such that the image of \texttt{S} under{\nobreakspace}\texttt{f} is the entire image of{\nobreakspace}\texttt{f}. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@InjectiveAsMappingFrom(T);|
  0(2)
  
\end{Verbatim}
 }

  
\section{\textcolor{Chapter }{ On trajectories and cycles of
residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine mappings }}\label{sec:Trajectories}
\logpage{[ 2, 8, 0 ]}
\hyperdef{L}{X7A34724386A2E9F3}{}
{
  \textsf{RCWA} provides various methods to compute trajectories of rcwa mappings: 
\subsection{\textcolor{Chapter }{ Trajectory (methods for rcwa mappings) }}\logpage{[ 2, 8, 1 ]}
\hyperdef{L}{X7C72174D7CCB6348}{}
{
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Trajectory({\mdseries\slshape f, n, length})\index{Trajectory@\texttt{Trajectory}!for rcwa mapping, starting point, length}
\label{Trajectory:for rcwa mapping, starting point, length}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Trajectory({\mdseries\slshape f, n, length, m})\index{Trajectory@\texttt{Trajectory}!for rcwa mapping, starting point, length, modulus}
\label{Trajectory:for rcwa mapping, starting point, length, modulus}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Trajectory({\mdseries\slshape f, n, terminal})\index{Trajectory@\texttt{Trajectory}!for rcwa mapping, starting point, set of end points}
\label{Trajectory:for rcwa mapping, starting point, set of end points}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Trajectory({\mdseries\slshape f, n, terminal, m})\index{Trajectory@\texttt{Trajectory}!for rcwa mapping, starting point, set of end points, modulus}
\label{Trajectory:for rcwa mapping, starting point, set of end points, modulus}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the first \mbox{\texttt{\mdseries\slshape length}} iterates in the trajectory of the rcwa mapping{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} starting at{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape n}}, respectively the initial part of the trajectory of the rcwa
mapping{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} starting at{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape n}} which ends at the first occurrence of an iterate in the set \mbox{\texttt{\mdseries\slshape terminal}}. If the argument \mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}} is java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0



 To save memory when computing long trajectories containing huge iterates, the
reduction (mod{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}}) is done each time before storing an iterate. In place of the ring
element{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape n}}, the methods also accept a finite set of ring elements or a union of residue
classes. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@T := RcwaMapping([[1,0,2],[3,1,2]]);; # The Collatz mapping.|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Trajectory(T,27,15); Trajectory(T,27,20,5);|
  [ 27, 41, 62, 31, 47, 71, 107, 161, 242, 121, 182, 91, 137, 206, 103 ]
   2 2 1,, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 0, 3java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 64 out of bounds for length 64
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Trajectory(T,15,[1]); Trajectory(T,15,[1],2);|
  [ 15, 23, 35, 53, 80, 40, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1 ]
  [1 ,0,0,,,0, 10,0, ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Trajectory(T,ResidueClass(Integers,3,0),Integers);|
  [ 0(3), 0(3) U 5(9), 0(3) U
    <union of 20 residue classes (mod 27) (6 classes  prime p, primeprimeisan rcwapermutation {nobreakspace}\\mathbbZ}with
    unionof73 classes m 81),Z\10() U(81),  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 75 out of bounds for length 75
  
\end{Verbatim}
 }

 
\subsection{\textcolor{Chapter }{ Trajectory (methods
\
{
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Trajectory({\mdseries\slshape f, n, length, whichcoeffs})\index{Trajectory| (3n4) if  2()
\T:rcwa,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [45, 44) out of bounds for length 73
}hfill{scriptsize )}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Trajectory({\mdseries\slshape| n3      if  4
\label{Trajectory:for rcwa java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 11
}\hfill{\scriptsize java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [24, 23) out of bounds for length 44
\textbf{\indent Returns:\ }
 either the list \texttt{(4)>5(6)



 The meanings of     ) - 1(12)
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !     5(6) -> 4(6)
  [ 36472996377170786403, 195820718533800070543, 1180591620717411303424 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@(last[1]*27+last[2])/last[3];|
  1
  
\end{Verbatim}
 }

 When dealing with problems like the $3n+1$\texttt{\symbol{45}}Conjecture or when determining the degree of transitivity
of the natural action ( 2(6,1() , 4(, 7( ) 
 is todeterminetheresidue   elements largeror 
when applying a given rcwa mapping: 
\subsection{\textcolor{Chapter }{ IncreasingOn \& DecreasingOn (for an rcwa mapping) }}\logpage{[ 2, 8, 3 ]}
\hyperdef{L}{X7E0244A386744185}{}
{
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{IncreasingOn({\mdseries\slshape f})\index{IncreasingOn@\texttt{IncreasingOn}!for anjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
\label{IncreasingOn:for an rcwa mapping}
}\hfill{\scriptsize (attribute)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [63, 75) out of bounds for length 32
\label{DecreasingOn:for an rcwa mapping}
}\hfill{\scriptsize (attribute)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the union of all residue classes $r(m)$ such that $|R/a_{r(m)}R| > |R/c_{r(m)}R|$ or $|R/a_{r(m)}R| < |R/c_{r(m)}R|$, respectively, where $R$ denotes the source, $m$ denotes the modulus and $a_{r(m)}$, $b_{r(m)}$ and $c_{r(m)}$ denote the coefficients of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} as java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 316 out of bounds for length 40



 If the argument is an rcwa mapping of {\ensuremath{\mathbb Z}} in sparse
representation, an option \texttt{classes} isjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
in question is omitted, and the list of residue classes is returned instead of
their union. This may save time and memory if the modulus is large. 
\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [16, 6) out of bounds for length 77
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List([1..3],k->IncreasingOn(T^k));|
  [ 1(2), 3(4), 3(4) U 1(8) U 6(8) ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List([1..3],k->DecreasingOn(T^k));|
  [ true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@a := RcwaMapping([[2,0,3],[4,-1,3],[4,1,3]]);; # Collatz' permutation|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List([-2  !gapprompt@gap>B !@Factorization(PrimeSwitch(5,3,4));B
  [ Z \ 1(8) U 7(8), 0(2), [  ], Z \ 0   ( 0(2),1(),(1(4) 0(10))  12) 0()) ]
  
\end{Verbatim}
 }

 We assign certain directed graphs to rcwa mappings, which encode the order in
which trajectories may traverse the residue classes modulo some modulus: 

\ubsection{textcolor{Chapter }{TransitionGraph (for an rcwa mapping and a modulus)}}
\logpage{[ 2, 8, 4 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X780841E07CAE7543}{}
{\noindent\F{$triangleright$\extttT({mjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [98, 90) out of bounds for length 187
\label{TransitionGraph:for{\extcolorChapter {Knot oddinteger)}
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\textbf{\indent Returns:\L}X789CB69C7D97B0C4{}
 the transition graph \noindent\textcolorFuncColor\t{\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [92, 80) out of bounds for length 139



 \rcwamapping@rcwamappingg}\noindent The \emph{transition graph} {fm$of{nobreakspace for modulus{$m defined asjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [179, 177) out of bounds for length 179
\begin{enumerate}
\item  The vertices are the residue classes (mod{\nobreakspace}$java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
\tem  Thereis an edge from $r_1(m)$ to $r_2(m)$ if and only if there is some $n \in r_1(m)$ such that $n^f \in r_2(m)$. 
\endenumerate}
 The assignment of the residue classes (mod{\nobreakspace}$m$) to the vertices of the graph corresponds togapprompt@A gapinputD(mKnot();java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 48 out of bounds for length 48

 There are a couple of operations and attributes which are java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 61 out of bounds for length 11
graphs    | 6n5     if n(5)

\subsection{tjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [30, 22) out of bounds for length 83
\logpage{[ 2, 8, 5 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X7F03CC4179424AA9}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{OrbitsModulo({\mdseries\slshape f, m})\index{OrbitsModulo)/5if nin(
\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [2, 1) out of bounds for length 2
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the partition of \texttt{AllResidues(Source(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}}),\mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}})} corresponding to the java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 145 out of bounds for length 57
the rcwa mapping{\nobreakspacejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2



 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gappromptjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 29 out of bounds for length 29
  [ [ 0, 1, 4 ]\abel{oot:-th an mapping
  
\endamapping\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [25, 24) out of bounds for length 213
 }

 

\
\logpage{[ 2, 8, of 
\hyperdef{L}{X7F11051E866C197F}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{FactorizationOnConnectedComponents({\mdseries\slshape f, m})\index{FactorizationOnConnectedComponents@{begin{Verbatim}[commandchars=!@A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
\label{  gapprompt@ap>A !gapinput@Root((0,2,,2),100);
}hfill{\scriptsize(operation)}\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the set of restrictions of the rcwa mapping{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} to the weakly connected components of its transition graph $\Gamma_{f,m}$. 



  product of  returned mappings\nobreakspace\{texttt{\\slshape f}  have pairwisedisjointsupports, any twoofthem . 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 68) out of bounds for length 11
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@sigma := ClassTransposition(1,4,2,4)  * ClassTransposition(1,4,3,4)|
  !gapprompt@>| !gapinput@          * ClassTransposition(3,9,6,18) * java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 72 out of bounds for length 2
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(FactorizationOnConnectedComponents(sigma,36),Support);|
  [ 33(36) U 34(36) U 35(36), 9(36) U 10(36) U 11
    <union of 23 residue classes (section{textcolor {Specialfunctions \{symbol45}bijective{NonBijectiveMappings
  
\end{Verbatim}
 }

 

\\{:fanjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [49, 35) out of bounds for length 49
\logpage{[ 2, 8, 7 ]}\nobreak
\hyperdef{L right inverse of the injective rcwa java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 44 out of bounds for length 0
\\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [21, 20) out of bounds for length 190
\labelRcwa mappingof Z2
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\textbf{\indent Returns:\  !twice*RightInverse;
 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [15, 4) out of bounds for length 156



 Let $M$
      
\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
        M_{r_1(m)L{{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 33 out of bounds for length 33
                 \displaystyle{\frac{|R/mR|}{|R/\hat{m}R|}} \cdot
                  R/\hatmR |\r inr_1()
                 \wedge r^f \in r_2(m)\right\}\right|,
      \]

       where $\hat{m}$ is the product of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}} java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 80 out of bounds for length 0
residues

 The
transition graph \texttt{TransitionGraph(\mbox{\texttt{\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 64 out of bounds for length 32
to{\nobreakspace}1. 
\begin{VerbatimRcwa mapping of Z with modulus 2
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@T := RcwaMapping([[1,0,2],[3,1,2]]);; # The Collatz mapping.|
  !gapprompt@gap>| !apinput@DisplayTransitionMatrixT^,3);|
  [ [  1/8,  1/4,  5/8 ],
    [    0,  
    [    0,  3/8,  5/8 ] ]
  
\end{Verbatim}
 }

 
\subsection{\textcolor{Chapter }
\hyperdef{L}{X81DBA2D58526BE7E}{}
{
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Sources({\mdseries\slshape f})\index{Sourcesmappingis{nobreakspace}1.java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 33 out of bounds for length 33
\labelggap|!@T = RcwaMapping([,,][,,2]); #The Collatz mapping.java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 90 out of bounds for length 90
}\hfill{\scriptsize (attribute)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{  [4/, 1 2 
\label{Sinks:of an rcwa mapping}
}\hfill{\scriptsize (attribute)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
  f}}, as described below. 



 The returned list contains an entry for any strongly connected component of
the transition(
of theend{
\begin{Verbatim}[
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@g := ClassTransposition(0,2,1,2)*ClassTransposition(0,2,1,4);;|
  !g> java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [29, 28) out of bounds for length 51
  [ 0(4) ]
  [ 1(4) ]
  
\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [14, 13) out of bounds for length 14
 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2

java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 6 out of bounds for length 1

\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [23, 22) out of bounds for length 61
\logpage{[ 2, 8,}fill\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [20, 19) out of bounds for length 32
\{}X80221A4D81AF7453}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Loops({\mdseries\slshape f})\index{Loops@\texttt{Loops}!of an rcwa mapping}
\Loops: rcwajava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 32
}\hfill{\scriptsize (attribute
\textbf{\indent Returns:\ }
 if \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is bijective, the list of non\texttt{\symbolreduction (mod{\nobreakspace}mbox\texttt{\mdseriesslshape m}  done timebefore storing   iterate.In  ofthe ring
transition graph of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} for modulus \texttt{Mod(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} which carry a loop. In general, the list of vertices of that transition graph
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [53, 5) out of bounds for length 88



 list   of  
instead if \mbox{\[ 27, 41, 62, 31, 47, 71161 ,121 182 91 ,,103java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 72 out of bounds for length 72
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Loops(!gapprompt@gap>| !gapinput@Trajectory(T,15,[1]);,1,)|
  [ 0(4), 1(4) ]
  
\end{Verbatim}


 There is a nice invariant of trajectories of the  @> java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [40, 39) out of bounds for length 80

\subsection{\textcolor{Chapter }{GluckTaylorInvariant (of a trajectory)}}
\logpage{[ 2, 8, 10 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X8773152E81A30123}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}$\riangleright$enspace\exttt{GluckTaylorInvariant{\dseries\lshape a}\ndex{luckTaylorInvariant{GluckTaylorInvarianto trajectory}
\label{GluckTaylorInvariant:of a trajectory}
}{}
t{i :\ }
 the invariant defined in{\nobreakspace}\cite{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 49 out of bounds for length 1



 The argument \mbox\noindentt{}{\triangleright$enspace\exttt{rajectory{mdseries\slshape f , length,whichcoeffs})indexT@\textttTrajectory}for rcwa mapping,starting,length,coeff-.
\begin{Verbatim}[\label{Trajectory:for mapping starting point length coeff.spec.java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 73 out of bounds for length 73
  
  !appromptg|!apinput : ([102,311]);java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 67 out of bounds for length 67
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List([3,5..49],n->Float(GluckTaylorInvariant(Trajectory(C,n,[1]))))}hfill\ (method)}\
  [ 0.701053, 0.696721, 0.708528, 0.707684, 0.706635, 0.695636, 0.711769,
    .699714, 0707409 0.693833 0.710432 0706294 0714242, 0.699935java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 73 out of bounds for length 73
    0.714242,    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [5, 4) out of bounds for length 395
    0.69612, 0.714241, 0.701076 ]
  
\end{Verbatim}
 }

 Quite often one can T27["java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [61, 60) out of bounds for length 64
example it is reasonably straightforward to make the conjecture that all
trajectories of the Collatz mapping eventually enter the finite set!apprompt> ([1]27+last2)/3]|
1, 2 \}$, or that ``on average'java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
preceding one by a factor of $\sqrt{3}/2$.
cannot be used to prove anything. Nevertheless they can sometimes be useful: 

\subsection{\textcolor{Chapter }{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 49 out of bounds for length 36
\logpage{[ 2, 8, 11 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X84F6A29280E2F925}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{LikelyContractionCentre({\mdseries\slshape f, maxn, bound})\index{LikelyContractionCentre@\texttt{LikelyContractionCentre}!of an rcwa mapping}
\{:of an }
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 a list of ring\\extcolor{FuncColor}$triangleright\nspace\exttt{({mdseries\ }\ndex{DecreasingOntexttt{ecreasingOn}   }



 This operation tries to compute the \emph{contraction centre} of the rcwatextbf{\ndentReturns\}
with any  the union of all residue classes $r(m)$ such that $|R/a_{r(m)}R| > |R/c_{r(m)}R|$ or $|R/a_{r(m)}R| < |R/c_{r(m)}R|$, respectively, where $R$ denotes the java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 158 out of bounds for length 0
are likely not computable If  argument is an rcwa mapping of {\ensuremath{\mathbb Z}} in sparse
and may return wrong results. The argument \mbox{\texttt{\mdseries\slshape maxn}} is a bound on the starting value and \mbox{\texttt{\mdseries\slshape bound}} is a bound on the elements of the java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 196 out of bounds for length 78
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@T :(1,,][3,1,];; The .
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S0 := LikelyContractionCentre(T,100,1000);|
  #I  Warning: `LikelyContractionCentre' is highly probabilistic.
  The returned result can only be regarded as a rough guess.
  See ?LikelyContractionCentre for more information.
  [ -136, -91, -82, -68, -61, -55, -41, -37, -34, -25, -17, -10, -7, -5, 
    -1, 0, 1, 2 ]
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 16 out of bounds for length 2
\end{Verbatim}
 }

 

\subsection{\textcolor{>!(2.]kIncreasingOn(a);|
\2 ,12 ]}nobreak
\hyperdef{L}{X81E0D8E3817B3D16}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{GuessedDivergence({\mdseries\slshape 
\label{GuessedDivergence:of an rcwa mapping}
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 a floatingpoint  isintended    howthe
trajectories   mapping\}\{texttt\slshape} (valuegreater \})or  ( value
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [11, 7) out of bounds for length 31



 Nothing particular is guaranteed. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 16 out of bounds for length 0
  # :  guaranteed
  0.866025
  
\end{Verbatim}
 }

 }

  
\{textcolorChapter {\\ymbol45}\{{} the
representation of rcwa mappings }}\label{sec:SparseRepresentationOfRcwaMappings}\ubsection\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [23, 22) out of bounds for length 83
\logpage{[ 2, 9, 0 ]}
\hyperdef{L}{\noindent\textcolor{FuncColor$\triangleright$e\{OrbitsModulo(\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [88, 87) out of bounds for length 178
{
  \index{rcwa mapping@rcwa mapping!sparse representation} \\hfill{scriptsize ()}\
distinct affine partial mappings. In this case the ``standard'' representation textbf{indent Returns: }
the modulus is unsuitable. For this reason there is a second representation of
rcwa mappings, the ``sparse'' representation. Depending on the rcwa mappings involved, using this
representation may speedup computationsand reduce  requirements by
orders of magnitude. For rcwa mappings with almost as many distinct affine
partial mappings as there are residue classes 
representation makes computations slower and more
memory\texttt{\symbol{\egin}[java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [30, 29) out of bounds for length 77


 The sparse representation of an rcwa mapping consists of the modulus and a
list of 5\texttt{\symbol{45}}tuples $(r,m,a_{r(m)},b_{r(m)},c_{r\nd{erbatim}
the restriction $n \mapsto (a_{r(m)} \cdot n + b_{r(m)})/c_{r(m)}$ of the mapping to a residue class $r}
into residue
is affine.
is unique. 

 Changing the representation of rcwa mappings does not change their\ogpage{[ 2 8 6]\nobreak
with respect to ``\texttt{=}''\yperdefL{X7F11051E866C197F}{}
representation again, just like the product of two rcwa mappings in standard
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [118, 14) out of bounds for length 76
representation. The product of two rcwa mappings in different representation
may be in any of the representations of the factors. 

\subsection{\textcolor{Chapter }{SparseRepresentation (of an rcwa mapping)}}
\textbf{\indent Returns:\ }
\hyperdef{L}{X879451B17AD78B07}{}
{noindent\{FuncColor{\$\nspace\texttt({\mdseriesslshape }\{SparseRepresentation\texttt{}!of an rcwa}
\label{SparseRepresentation:of an rcwa mapping}
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\ The product of the returned mappings is{\nobreakspace}\mbox{ product ofthereturned mappings is{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}}. They have pairwise disjoint supports, hence any two of them commute. 
\label{SparseRep:of an rcwa mapping}
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspacegapinput@ =ClassTransposition1,4,,)*ClassTransposition143,)
lStandardRepresentation:f  mappingjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 49 out of bounds for length 49
}hfill\ ()}}\
\noindent\textcolor{   33(36) ()U35() 9(6)U (6) U11(6,
\label{StandardRep:of an rcwa mapping}
\\ (java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 35 out of bounds for length 35
\textbf{\indent Returns:\ }
 the  {\mdseries\lshapef}}in,respectively, standard representation. 



 Appropriate attribute values and properties                  \displaystyle{\frac{|R/mR|}{|R/
mapping in the ``new'' representation. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@a := ClassTransposition(1,2,4,6);|
  ( 1(2), 4(6) )
  gapprompt@> gapinputb :ClassTransposition(13,6)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 63 out of bounds for length 63
  ( 1(3), 2(6) )
  !gapprompt@gap>| !gapinput@c := ClassTransposition(2,3,4,6);|
  ( 2(3), 4(6) )
  !gapprompt@gap>| !gapinput@g := (b*a*c)^2*a;|
  <rcwa withmodulus 288>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@h := SparseRep(g);|
  <rcwa permutation  Zwith modulus 288 and 21 affine parts>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@g = h;|
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Coefficients(h);|
  [ [ java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 6 out of bounds for length 2
 ,,[, 36 ,7  ,
    [ 9, 48, 27, 29, 8 ], [ 11, 24, 9, 5, 4 ], [ 14, 48, 27, 38, 8 ], 
    15 ,2719  ] [,48,9,, 8] [20,72,4, 4 ] 
    [ 21, 24, 1, -3, 6 ], [ 23, 24, 27, 19, 4 ], [ 26, 48, \Sources an  mapping}
     -11  ,[ 33 ,9 7,  ]  38,48,9,10,8 ], 
     , ,27,, 8 ],[50 96 27,,16 , [56,, 10,  ]
  !!gapinput@h^2;java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 34 out of bounds for length 34
  listofunions of residue classes modulothe {nobreakspace}m$the  mapping{\}\box{texttt{mdseries\ } asjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [158, 157) out of bounds for length 165
  !gapprompt@gap>| !gapinput@h^3;|
  <rcwa permutation of Z java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 29 out of bounds for length 0

\end{Verbatim}
 Memory consumption may differ a lot between sparse\texttt{\symbol{45}\ndVerbatim}
standard representation: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
  !gapprompt@gap>| !gapinput@MemoryUsage(h^3);               # on a 64-bit machine|
  18254
  !gapprompt@gap>| !gapinput@MemoryUsage(StandardRep(h^3));  # on a 64-bit machine|
  42467894
\end{Verbatim}
 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2

 }

  
\section{\textcolor{Chapter }{The categories and families of rcwa mappings}}\label{sec:CategoriesOfRcwaMappings}
\logpage{[ 2, 10, 0 ]}
\hyperdef{L}{X83FA71DD842377F0}{}
{
  

\subsection  gap|Ljava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [35, 34) out of bounds for length 93
\[() (4 

{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$
l{IsRcwaMapping}
}\hfill{\scriptsize (filter)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{IsRcwaMappingOfZ({\mdseries\slshape f})\index{IsRcwaMappingOfZ@\texttt{IsRcwaMappingOfZ}}
\label{IsRcwaMappingOfZ}
}\hfill{\scriptsize (filter)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{IsRcwaMappingOfZ{\textunderscore}pi({\mdseries\slshapeG
\label{IsRcwaMappingOfZuScorepi}
}\hfill{\scriptsize (filter)}}\\
\({\mdseries\slshape f})\ndex{IsRcwaMappingOfGFqxtextttIsRcwaMappingOfGFqx}
\label{IsRcwaMappingOfGFqx}
}\hfill{\scriptsize (filter)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 \texttt{true} if \mbox{\texttt{\\eginVerbatimcommandchars=@,ontsize=\small,frame=single,label=Example]
 a semilocalization of ofthe ringofjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [46, 45) out of bounds for length 69
polynomial ring in one variable over a finite field,     0.699714, 0.707409, 0.693833, 0.710432, 0.706294, 0.714242, 0



 Often the same methods can be used for rcwa mappings java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 56) out of bounds for length 14
and of its semilocalizations.For this there is a category tIsRcwaMappingOfZOrZ\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [110, 109) out of bounds for length 610

 

\subsection{\textcolor{Chapter }{RcwaMappingsFamily (of  is reasonably straightforward to make the conjecture that all
\logpage{[ 2, 10, 2 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X825DD365822934AFof mapping java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [47, 46) out of bounds for length 146
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{RcwaMappingsFamily({\mdseries\slshape R})\index{RcwaMappingsFamily@\texttt{RcwaMappingsFamily}!of a ring}
\label{RcwaMappingsFamily:of a ring}
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
\\Returns: }
 family of rcwa mappings the ring{\obreakspace}mbox{texttt{\mdseries\slshape R}}. 

}

 }

  }

       
\chapter{\textcolor{Chapter }{Residue\texttt{\symbol{45\fill{sjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [20, 19) out of bounds for length 35
\logpage{[ 3
\hyperdef{{{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 33 out of bounds for length 33
{
    chapter we to
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [15, 14) out of bounds for length 78
\beginVerbatim}commandchars!|fontsize==\small,frame=labelExample
\section{\textcolor{Chapter }{Constructing residue\!gapprompt@gap>| !gapinput@T := RcwaMapping([[1,0,2]2];  Collatz |
groups}}\labelsecjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [41, 40) out of bounds for length 41
\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [2, 1) out of bounds for length 60
\hyperdef{L}{X81242A6586A604A3}{}
{
  \index{Group@\texttt{Group}} \index{GroupByGenerators@\texttt{GroupByGenerators}} \index{GroupWithGenerators@\texttt{GroupWithGenerators}} As any other groups in \textsf{GAP}, residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise  -1, ,1 2]
(rcwa\texttt{\symbol{45}}) groups can be constructed by \texttt{Group}, \texttt{GroupByGenerators} or
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\}
  
  !java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 6 out of bounds for length 0
  <rcwa group over Z with 2 generators>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsTame(G); Size(G); IsSolvable\L{81{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 33 out of bounds for length 33
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 162 out of bounds for length 6
  infinity
  false
  false
  
\end{Verbatim}
 rcwatheimage
of a faithful rcwa representation: 

\subsection{\textcolor
\logpage{[ 3,
\hyperdef{L}{X7EB8A301790290C7}{}
{\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
\label{IsomorphismRcwaGroup:for a group, over a given ring}
}\hfill{\scriptsize (attribute)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{IsomorphismRcwaGroup({\mdseries\slshape G})\index{IsomorphismRcwaGroup@\texttt{IsomorphismRcwaGroup}!for a group}
\label{IsomorphismRcwaGroup:for a group}
}\hfill{\scriptsize (java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 28 out of bounds for length 2
\textbf{\indent
 a monomorphism from\ection\{{memory\\{45}\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [73, 72) out of bounds for length 96



 The best\texttt{\symbol{45}}supported case is \mbox{\texttt{\mdseries\slshape R}} = {\ensuremath{\mathbb Z}}. Currently  \ndex{cwa mapping@ mappingrcwasparse java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [57, 56) out of bounds for length 217
 forof groupsand free  method
free productsthe modulus  unsuitable.Forthis reason there is a second representation of
(cf.e.{nobreakspace}I..in{\obreakspace}cite{LaHarpe00},andthe java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [89, 88) out of bounds for length 149
on {nobreakspace27in\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [42, 41) out of bounds for length 131

 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\smalljava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [8, 7) out of bounds for length 78
  
  gapprompt@gap> gapinput@ = ((12(,)(,)2,))Group(1,,))|
  !gapprompt@>| !gapinput@                    SymmetricGroup(3));|
  <fp group on the generators [ f1, f2, f3, f4, f5 ]>
  !@> !gapinput@(F)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 54 out of bounds for length 54
  [f1  ,f4,f5]- [< ofZ  12,
    <rcwa permutation of Z with modulus 24>,
    <rcwa permutation of Z with modulus 12>,
    <rcwa permutation of Z with modulus 72>,
    < permutation of Z 36>]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsomorphismRcwaGroup(FreeGroup(2));|
   f1, ] >[wild of with  >
    <rcwa java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [27, 26) out of bounds for length 49
  !gapprompt@java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 16) out of bounds for length 0
  <wild respect to`\='  ``\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [45, 44) out of bounds for length 130
  
\end{Verbatim}
 }

 Further, new rcwa groups can be constructedbe  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [14, 13) out of bounds for length 53
products and java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [16, 15) out of bounds for length 78
cyclicjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 14 out of bounds for length 14

\subsection{\textcolor{Chapter }{DirectProduct (for rcwa groups over Z)}}
\logpage{ ,1,2 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{{SparseRepresentation:of  mapping
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{DirectProduct({\mdseries\slshape\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\nspacetexttt{({slshapef}\@textttSparseRep!ofan rcwamapping
\label{DirectProduct:for rcwa groups over Z}}\hfill{\scriptsize(peration}}\
}{scriptsizem}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 an rcwa group isomorphic to the direct product of the rcwa groups
over{\nobreakspace{\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [32, 31) out of bounds for length 64



 There is certainly no unique or 
rcwa groups into RCWA({\ensuremath{\mathbb Z}}). This method chooses to embed
the groups \mbox{\textttjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 72 out of bounds for length 72
  
  !gap> !java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [29, 28) out of bounds for length 79
  !gap> !gapinput@: (F2;java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 60 out of bounds for length 60
  <wild rcwa group over Z with 4 generators>@gap>| !apinputb :=1,326;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Image(Projection(F2xF2,1)) = F2;|
  true
  
\rcwa permutation of Z with modulus 288>
 }

 
\ct (for an rcwa over Z, with permutation  or
({\ensuremath{\mathbb Z}},+)) }}\logpage{[ 3, 1, 3 ]}
\hyperdef{L}{X80D13D2A7AD73C2C}{}
{
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{WreathProduct({\mdseries\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 90 out of bounds for length 66
\label{WreathProduct:for an rcwa group over Z and a permutation group}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\oindent\{}$triangleright$\enspace\W{mjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [88, 87) out of bounds for length 201
\label{WreathProduct:for an rcwa group over Z and the infinite cyclic group}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 an rcwa group isomorphic  the wreath product of the rcwa
group{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} over{\nobreakspace}{\ensuremath{\mathbb Z}} with the finite permutation
group{n}\box{\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [44, 43) out of bounds for length 155



 The first\texttt{\symbol{45}}mentioned method embeds the \texttt{NrMovedPoints(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape P}})}th direct power of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} using the java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 199 out of bounds for length 72
infinite cyclic group{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape Z}} to \texttt{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 87 out of bounds for length 34
\{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [16, 15) out of bounds for length 77
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@F2 := Image(IsomorphismRcwaGroup(FreeGroup(2)));<cwapermutation with663552 201 >
  !gapprompt@gap>| !gapinpute{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 14 out of bounds for length 14
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Embedding(F2wrA5,1);|
  [ <wild rcwa permutation of Z with modulus 8>,
    <wild rcwa permutation of Z with modulus 8> ] ->
  [ <wild rcwa permutation of Z with modulus 40>,
    <wild rcwa permutation of Z with modulus 40> ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Embedding(F2wrA5,2);|
  [ (1,2,3,4,5), 
    ( 2(5), 3(5), 4(5) ) ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@ZwrZ := java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 42 out of bounds for length 1
  <wild rcwa  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Embedding(ZwrZ,1);|
  [ClassShift Z ) ]->
  [ <tame rcwa permutation of Z with modulus 4, of order infinity> ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Embedding(ZwrZ,2);|
  [ ClassShift( Z ) ] -> [ <wildl{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [24, 23) out of bounds for length 24
  
\endIsRcwaMappingOfZuScorepi}
 }

 Also, rcwa groups can be obtained as particular extensions of finite
permutation groups: 

\subsection{\textcolor{Chapter\texttt{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [14, 13) out of bounds for length 130
\ogpage{ ,1 ]\nobreak
\hyperdef{L}{X8794913B878DD5C4}{} ring   variable over a finite field, respectively,and \exttt{alse}otherwise. 
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{MergerExtension({\mdseries\slshape G, points, point})\index{MergerExtension
\label{MergerExtension:for finite permutation groups}
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\textbf{\indentofits semilocalizations.Forthis reason there is a category \texttt{IsRcwaMappingOfZOrZ{\textunderscore}pi} which is the union of \texttt{IsRcwaMappingOfZ} and \texttt{IsRcwaMappingOfZ{\textunderscore}pi}. \java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0
roughly  \\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [47, 46) out of bounds for length 190



 n group \mbox{texttt{m\slshape },a  \{\{slshape}of points  by\box{\\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [191, 190) out of bounds for length 365

 Let $n$ be the largest moved point of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}, java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 79 out of bounds for length 34
partition $\mathcal{P}$ of {\ensuremath{\mathbb Z}} into the residue classes (mod{\nobreakspace}$n$), and which acts ontextbf\indent Returns 
little complicated, but really the code of the method is only about half as
long as this description. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@# First example -- a group
  !@gap !G=G(1,,),1,2,)|
  <rcwa group over Z with 2 generators>
  !gapprompt@gap>\logpage{ ,0, }
  infinity
  !\hyperdefhyperdef{}X874A3BB684F0639A}}
  [ ( 0(3), 1(3), 2(3     describe to 
  !gapprompt@gap>| !gapinput@B := Ball(G,One(G),6:Spheres);;|
  !java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [13, 12) out of bounds for length 45
  [ 1, 3, 4, 6, 8, 12, 16 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@
  g@>gapinput@@  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [46, 45) out of bounds for length 91
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := MergerExtension(Group((1,2,3,4),(1,2)),[1,2],3);|
  <rcwa group over Z with 3 generators>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Size(G);|
  infinity
  !gapprompt@gap>| !gapinput@GeneratorsOfGroup(G);|
  [ ( 0(4), 1(4), 2(4), 3(4) ), ( 0(4), 1(4) ),
    f
  !gapprompt@gap>| !gapinput@B := Ball(G
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(B,Length);|
   1 ,11 28 69, 170  ]
  |!apinput@G = Group(List([[0,2,1,2],[1,2,2,4],[021,]14,]|
  !section{\Chapter} for group, overgiven}}
  true
  
\end{Verbatim}
 }

 It is also possible to build an rcwa group from a list of residuehfill{\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [20, 19) out of bounds for length 35

\subsection{\textcolor{Chapter }{  usestheTable\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 1
\logpage{[ 3, 1, 5 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X8143AB647801F438}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\ofZ 36> ]
\: group pjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [50, 49) out of bounds for length 83
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the group which is generated by all class transpositions which  !gapprompt@>| !gapinput@F2 := Image(last);|
disjoint  \\texttt{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [52, 51) out of bounds for length 71



 must be a  ofresidue 

 If the residue classes in \mbox{\texttt{\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 45 out of bounds for length 14
trivial. In many other cases, the returned group is infinite. 
\begin{Verbatimh{}}
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := GroupByResidueClasses(List([[0,2], {DirectProduct:for groups over Z}
  !gapprompt@>| !gapinput@                                   ResidueClass));|
  <rcwa group over Z with 8 generators>
  !appromptH := L([,212,1,24,02,,][142,]],
  !gapprompt@>| !gapinput@                   ClassTransposition)); # Thompson's group V|
  <(0(2),1(2)),(1(2),2(4)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 75 out of bounds for length 75
 gap>|!apinput@  H;
  true
  
\end{Verbatim}
 }

 Various  to construct groups are basedoncertain
he groupRCWA($$  are the constructions of direct products and wreath
products described above. The support of thegapprompt@gap>| !gapinput@Image(Projection(F2xF2,1)) = F2;|
the image of a given injective rcwa mapping
monomorphisms are called \emph{restriction monomorphisms}. The following operation computes images of rcwa mappings and
\texttt{\symbol{45}}groups java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 0
\subsection{\textcolor{Chapter }{ Restriction (\{textcolorChapter }{  for an rcwa group over Z, with a permutation group or
rcwa mapping) }}\logpage{[ 3, 1, 6 ]}
\hyperdef{L}{X852EF2C079E4D7FF}{}
{
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Restriction({\mdseries\slshape g, f})\index{Restriction@\texttt{Restriction}!of an rcwa mapping, by an injective rcwa mapping}
\label{Restriction:of an rcwa mapping, by an injective rcwa mapping}
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Restriction({\mdseries\slshape G,f})\index{Restriction@\texttt{Restriction}!of an  group, aninjective  mapping}
\label{Restriction:of an rcwa group, by an {\ensuremath{\mathbb Z}},+)) }}\logpage{[ 3, 1, 3 
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the restriction of the rcwa mapping \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} (respectively the rcwa group \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}) by the injective rcwa mapping{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdserieslabelWjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [21, 20) out of bounds for length 70



 By definition, the \emph{restriction} $g_f$ of an rcwa java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 61 out of bounds for length 59

 The \emphg{nobreakspacemboxtexttt } . 
of{\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 11 out of bounds for length 0
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@infinite cyclic group{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape Z}} to \texttt{ClassTransposition(0,2,1,2) * ClassTransposition(0,2,1,4)}. 
  <wild rcwa group over Z with 2 generators>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Support(F2tilde);|
  3(5)
  
\end{Verbatim}
 }

 
\subsection{\textcolor{Chapter }{ Induction (of an rcwa mapping or \texttt{\symbol{45}}group, by an injective
rcwa mapping) }}\logpage{[ 3, 1, 7 ]}
\yperdef{L}{X82171D7287CBED95}{}
{
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Induction({\mdseries\slshape g, f})\index{Induction@\texttt{Induction}!of an rcwa mapping, by an injective rcwa mapping}
\label{Induction:of an rcwa mapping, by an injective rcwa mapping}
}hfill{\criptsize operation)}\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Induction({\mdseries\slshape G, f})\index{Induction@\texttt{Induction}!of an rcwa group, by an injective rcwa mapping}
\label{Induction:of an rcwa group, by an injective rcwa mapping}
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the induction of the rcwa mapping \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} (respectively the rcwa group \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}) by the injective rcwa mapping{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}}. 



 \emph
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Induction(F2tilde,RcwaMapping([[5,3,1]\{ 3 1 4 }nobreak
  
  
\end{Verbatim}
 }

 \index{SmallGeneratingSet@\texttt{SmallGeneratingSet}} Once having constructed an rcwa group, it java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0
smaller generating set by the operation \ The arguments of this operation are a finite permutation group \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}, a set \mbox{\texttt{\mdseries\slshape points}} of points moved by \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} and a single point \mbox{\texttt{\mdseries\slshape point}} moved by \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} which is not in \mbox{\texttt{

 \index{View@\texttt{View}!for an rcwa group} \index{DisplaymathcalP$  \java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [40, 39) out of bounds for length 666

 \index{rcwa group@rcwa group!modulus} \index{rcwa group@rcwa group!multiplier} \java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 86 out of bounds for length 75
its elements are \texttt{Modulus}, \texttt{Multiplier}, \texttt{Divisor} and \texttt{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 86 out of bounds for length 2
exists, i.e. if the group is tame, and 0 otherwise. The \emph{multiplier} respectively \emph{divisor} of an rcwa group is the lcm of the multipliers respectively divisors of its
in case such an lcm exists and $\infty$ otherwise. The \emph{prime set} of an rcwa  case such an lcm exists and $\infty$ otherwise. The \emph{prime set} of an rcwa group is the union of the prime sets of its elements. There are
shorthands \texttt{Mod}, \texttt{Mult} and \texttt{Div} defined for \texttt{Modulus}, \texttt{Multiplier} and \java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 10 out of bounds for length 10
over{\nobreakspace}{\ensuremath{\mathbb Z}} acts on the set of nonnegative
integers groupover3generators>
(cf. below). 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(ClassTransposition(0,2,1,2), 0) 14)24 ,  () ,
  !gapprompt@>| !gapinput@              ClassReflection  Group(ist[[,
  <rcwa group over Z with 3 generators>
  !gapprompt>|!@                  ClassTransposition)|
   !@|!apinput@         ,]-f)|
  [ 24, 2, 2, [ 2, 3 ], false, false, false, false ]
  
\end{Verbatim}
    over aring R subgroups $$. Thejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [71, 70) out of bounds for length 154
above. It is handled as a special case: 

\labeljava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [32, 28) out of bounds for length 83
\logpage{[ 3, 1, 8 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X79450C1C8756FEB3}{}
{textcolor{uncColor$\$\\texttt{RCWA({mdseriesslshapeR){RCWA\texttt{CWA}the   byallrcwapermutations ringjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 169 out of bounds for length 169
\label{RCWA:the group formed by all rcwa permutations of a ring}
}\
\{indent Returns\}
 the group RCWA(\
thering{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [39, 38) out of bounds for length 76



 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
!g>  =()
  Z
  !!gapprompt>!@:L([,,,2,12],,,,],
  true
  
\end{Verbatim}
 }

 Examples of rcwa permutations can be obtained via \texttt{Random(RCWA(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape R}}))}, see Section{\nobreakspace}\ref{sec:Random}. \index{NrConjugacyClassesOfRCWAZOfOrder@\texttt{NrConjugacyClassesOfRCWAZOfOrder}} The number of conjugacy classes of RCWA({\ensuremath{\mathbb Z}}) of elements
of given order is known, cf. Corollary{\nobreakspace}2.7.1{\nobreakspace}(b)
in{\nobreakspace}\cite{Kohl05}. It can be determined by the function \texttt{NrConjugacyClassesOfRCWAZOfOrder}: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,Various ways to construct rcwa groups are based on certain monomorphisms from
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List([2,105],NrConjugacyClassesOfRCWAZOfOrder);|
  [ 218 ]
  
\end{Verbatim}
 texttt{\ymbol}under these embeddings of ($$   
{}$by CT($R.   a special as:

\subsection{\textcolor{Chapter }{CT (the group generated by all class java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 80 out of bounds for length 33
\logpage{[ 3, 1, 9 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X7BD42D8481300E25}{}
{noindent\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [30, 20) out of bounds for length 169
\label{CT:the group generated by all class transpositions of a ring}noindent\extcolorF}{\riangleright\texttt{estriction(\slshape G f)i\texttt{Restriction byan injectivejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [187, 186) out of bounds for length 187
}\hfill{}hfill{\)}}\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 62) out of bounds for length 27
\label{CT:subgroup of CT(Z)}
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the group CT(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape R}}) which is generated by all class transpositions java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [271, 2) out of bounds for length 75
whose moduli have only prime factors in the finite set \mbox{\texttt{\mdseries\slshape P}}. 



 
\,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@CT_Z := CT(Integers);|
  CT(Z)
  @gap>|!@CT_Z);  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [78, 77) out of bounds for length 101
  true
  !gapprompt@ 
  CT_ 2]Zjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 13 out of bounds for length 13
  !gapprompt@gap>| !gapinput@GeneratorsOfGroup(V);|
  [ ( 0(2), 1(2) ), ( 1(2), 2(4) ), ( 0(2), 1(4) ), ( 1(4), 2(4) ) ]
  !java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 12) out of bounds for length 2
  CT_[ 2, 3 ](Z)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@\textcolor{FuncColor}{$\triangleright{Induction{ g f)\{!fanrcwa mapping,by an  rcwa mapping}
  [ ( 0(2), 1(2) ), ( 0(3), 1(3)\label{Induction:of  rcwa ,by injectivercwa mapping}
    ( 0(2), 5(6) ), ( 0(3), 1(6) ) ]
  
\end{erbatim}
 }

} The group CT({ensuremath\mathbb Z} has  outer automorphism  whichis
given by conjugation }hfill{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [20, 19) out of bounds for length 35
Z}} or to an rcwa group over    thercwa  mjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [41, 40) out of bounds for length 218
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 53 out of bounds for length 0
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@ct := ClassTransposition(0,2,1 \mphI}is the  inverseofrestriction .e  is \({texttt{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [120, 119) out of bounds for length 657
  0(,16 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 16 out of bounds for length 16
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Mirrored(ct);|
  ( 1(2), 4(6) )
  !gapprompt@gap>| !@|gjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [29, 28) out of bounds for length 77
  !gapprompt@gap>| !gapinput@ShortOrbits(G,[-100..100],100);|
  [ [ 0 .. 5 ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@ShortOrbits(Mirrored(G),[-100..100],100);|
  [ [ -6 .. -1 ] ]
  
\end{Verbatim}
 \index{AllElementsOfCTZWithGivenModulus@\texttt{AllElementsOfCTZWithGivenModulus}} \index{NrElementsOfCTZWithGivenModulus@\texttt{NrElementsOfCTZWithGivenModulus}} Under the hypothesis that CT({\ensuremath{\mathbb Z}}) is the setwise
stabilizer of ${\ensuremath{\mathbb N}}_0$ in RCWA({\ensuremath{\mathbb Z}}), the elements of CT({\ensuremath{\mathbb
Z}}) with modulus dividing a given positive integer $m$ are parametrized by the ordered partitions of {\ensuremath{\mathbb Z}} into $m$ residue classes. The list of these elements for given $m$ can be obtained by the function \texttt{AllElementsOfCTZWithGivenModulus}, and the numbers of such elements for $m \leq 24$ are stored in the list \texttt{NrElementsOfCTZWithGivenModulus}. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@NrElementsOfCTZWithGivenModulus{[1..8]};|
  [ 1, 1, 17, 238, 4679, 115181, 3482639, 124225680 ]
  
\end{Verbatim}
 \index{NrConjugacyClassesOfRCWAZOfOrder@\texttt{NrConjugacyClassesOfCTZOfOrder}} The number of conjugacy classes of CT({\ensuremath{\mathbb Z}}) of elements of
given order is also known under the hypothesis that CT({\ensuremath{\mathbb
Z}}) is the setwise stabilizer of ${\ensuremath{\mathbb N}}_0$ in RCWA({\ensuremath{\mathbb Z}}). It can be determined by the function \texttt{NrConjugacyClassesOfCTZOfOrder}. }

  
\section{\textcolor{Chapter }{ Basic routines for investigating
residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine groups }}\label{sec:InvestigatingRcwaGroups}
\logpage{[ 3, 2, 0 ]}
\hyperdef{L}{X80C042BE82EE0F9A}{}
{
  In the previous section we have seen how to construct rcwa groups. The purpose
of this section is to describe how to obtain information on the structure of
an rcwa group and on its action on the underlying ring. The easiest way to get
a  \ndexView@textttView}for rcwagroup}\index{@textttDisplay}!oranPrint@\texttt{Print}!oranrcwa group \{String@texttt{tring!foranrcwagroup There  methods for the operations \exttt{View} textttDisplay,\texttt{Print}and\texttt{String} which are applicable to rcwa groups. 

\ indexrcwagroup groupmodulus}\indexrcwa @rcwa !multiplier \index{rcwagroup@rcwa groupdivisor}\indexrcwa @rcwa }indexrcwagroup@ !-wisetranslating indexrcwagrouprcwa group!integral}\index{ grouprcwaclasswiseorderpreserving \ndex{ group@rcwa group!sign-preserving \index{Modulus@\texttt{Modulus}! an  group \index{Mod@\texttt{Mod!foran rcwagroup \index{ModulusOfRcwaMonoid@\texttt{ModulusOfRcwaMonoid}!for an rcwa group} \index{Multiplier@\texttt{Multiplier}!of an rcwa group} \index{Mult@\texttt{Mult}!for an rcwa group} \index{Divisor@\texttt{Divisor}!of an rcwa group} itselements \textttModulus, \exttt{}, textttDivisor}and\texttt{PrimeSet}. The \emph{modulus} of  rcwagroup is the lcm  themoduli of its elements if such an lcm
\logpage{[ 3, 2, 1 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X864A7E3E87F366A8}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{StructureDescriptionelements in casesuchan lcm exists and \infty otherwise.  \mph{prime  of  rcwa group  theunion of the prime sets of its elements. There are
\label{shorthands \texttt{Mod, \texttt{Mult} and \texttt{Div} defined for \texttt{Modulus}, \texttt{Multiplier} and \texttt{Divisor}, respectively. An rcwa group is called \emph{class\texttt{\symbol{45}}wise translating}, \emph{integral} or over\nobreakspace}{ensuremath{\mathbb Z}} acts on the set of nonnegative
}hfill{scriptsize (method)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 a string which sometimes gives a little glimpse of the structure of the rcwa
group{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. 



 The attribute \texttt{StructureDescription} for finite groups is documented in the \textsf{GAP} Reference Manual. Therefore we describe here only issues which are specific to
infinite groups, and in particulargapprompt@ap> ListM,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [54, 53) out of bounds for length 95

 Wreath products are denoted by{\above. ishandled as a  case: 
by\nobreakspace finite groups symbol{nobreakspace}\texttt{.} is used to denote a non\texttt{\symbol{45}}split extension, for rcwa groups in
general it stands for an extension
 casesit   therewhichno 
information can  true
are denoted by \texttt{{\textless}unknown{\textgreater}}end{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 315 out of bounds for length 315
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(ClassTransposition(0,2,1,4),ClassShift(0,5));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@StructureDescription(G);|
  "(in{}[commandchars=!|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(ClassTransposition(0,2,1,4),|
!@>|!apinput              2,)(,);java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 80 out of bounds for length 80
  !gapprompt@gap>| !gapinput@StructureDescription(G:short);|
  "^2.(S3xS3):2)"
  !gapprompt@gap>| !gapinput@F2 := Image
 !@ap| gapinput@PSL2Z := Image(IsomorphismRcwaGroup(FreeProduct(CyclicGroup(3),|
  !gapprompt@>| !gapinput@                                                   CyclicGroup(2))));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := DirectProduct(PSL2Z,F2);|
  < group over Z4java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [44, 43) out of bounds for length 44
  !gapprompt@gap>| !gapinput@StructureDescription(G);|
  "(* )x F2"
  !gapprompt@gap>\{T:thegroup java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [30, 29) out of bounds for length 68
  <wild rcwa group over Z with 5 generators>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@StructureDescription(G);|
  "((C3 * C2) x F2) wr Z"
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Collatz := RcwaMapping([[2,0,3],[4,-1,3],[4,1,3]]);;|
  !java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [13, 12) out of bounds for length 67
  !gapprompt@gap>| !gapinput@StructureDescription(G:short);|
  "<unknown>.Z"
  
\end{Verbatim}
 }

 The extent to which the structure of an rcwa group can be exhibited
automatically is severely limited. In general, one can find out much more
about the structure of a given rcwa group in an interactive session using the
functionality described in the rest of this section and elsewhere in this
manual. 

 \index{Size@\texttt{Size}!for an rcwa group} The order of an rcwa group can be computed by the operation \texttt{Size}. An rcwa group is finite if and only if it is tame and its action on a
suitably chosen respected partition (see{\nobreakspace}\texttt{RespectedPartition} (\ref{RespectedPartition:of a tame rcwa group})) is faithful. Hence the problem of computing the order of an rcwa group
reduces to the problem of deciding whether it is tame, the problem of deciding
whether it acts faithfully on a respected partition and the problem of
computing the order of the finite permutation group induced on the respected
partition. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(ClassTransposition(0,2,1,2),ClassTransposition(1,3,2,3),|
  !gapprompt@>| !gapinput@              ClassReflection(0,5));|
  <rcwa group over Z with 3 generators>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Size(G);|
  46080
  
\end{Verbatim}
 \index{IsomorphismPermGroup@\texttt{IsomorphismPermGroup}!for a finite rcwa group} For a finite rcwa group, an isomorphism to a permutation group can be computed
by \texttt{IsomorphismPermGroup}: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(ClassTransposition(0,2,1,2),ClassTransposition(0,3,1,3));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsomorphismPermGroup(G);|
  [ ( 0(2), 1(2) ), ( 0(3), 1(3) ) ] -> [ (1,2)(3,4)(5,6), (1,2)(4,5) ]
  
\end{Verbatim}
 \index{rcwa group@rcwa group!membership test} \index{OrbitLengthBound@\texttt{OrbitLengthBound}} In general the membership problem for rcwa groups is algorithmically
unsolvable, see Corollary{\nobreakspace}4java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
groups, membership can very often be decided quite quick as well, but
\texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} as said
\texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} not always. Anyway, if \texttt{g} is contained in \texttt{G}, the membership test will eventually always return \texttt{true}, provided that there are sufficient computing resources available (memory
etc.). 

 On Info level{\nobreakspace}2 of \texttt{InfoRCWA} the membership test provides information on reasons why the given rcwa
permutation is an element of the given rcwa group or{\nobreakspace}not. 

 The membership test ``\texttt{g in G}'' recognizes an option \texttt{OrbitLengthBound}. If this option is set, it returns \texttt{false} once it has computed balls of size exceeding \texttt{OrbitLengthBound} about 1 and \texttt{g} in \texttt{G}, and these balls are still disjoint. Note however that due to the algorithmic
unsolvability of the membership problem, \textsf{RCWA} has no means to check the correctness of such bound in a given case. So the
correct use of this option has to remain within the full responsibility of the
user. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(ClassShift(0,3),ClassTransposition(0,3,2,6));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@ ClassShift(2,6)^7 * ClassTransposition(0,3,2,6)|
  !gapprompt@>| !gapinput@  * ClassShift(0,3)^-3 in G;|
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@ClassShift(0,1) in G;|
  false
  
\end{Verbatim}
 \index{rcwa group@rcwa group!conjugacy problem} \index{IsConjugate@\texttt{IsConjugate}!for elements of RCWA(R)} \index{IsConjugate@\texttt{IsConjugate}!for elements of CT(R)} The conjugacy problem for rcwa groups is difficult, and \textsf{RCWA} provides only methods to solve it in some reasonably easy cases. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
!apprompt@| !gapinput@IsConjugate(RCWA(ntegers),|
  !gapprompt@>| !gapinput@               ClassTransposition(0,2,1,4),ClassShift(0,1));|
  false
  !@> gapinputIsConjugate(CT(Integers)ClassTransposition(0,2,1,6),|
  !gapprompt@>| !gapinput@                            java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 56 out of bounds for length 7
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@g := RepresentativeAction(CT(Integers),ClassTransposition(0,2,1,6),|
  !!gappromptgap>| gapinput@GeneratorsOfGroup(V);|
  <rcwa permutation of Z with modulus 48>
  !apprompt>|!gapinput@ClassTransposition(0,2,1,6)^g = ClassTransposition(1,4,0,8);|
  true
  
\end{Verbatim}
 \index{IsTame@\texttt{IsTame}!for an rcwa group} There is a property \texttt{IsTame} which indicates whether an rcwa group is tame or not: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(ClassTransposition(0,2,1,4) [(0(2) ,(0(3,1())  1(), 2(3)),( 02),1()) 
  !    ( 0() 5() ), ( 03) 16) ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsTame(G);|
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsTame(H);|
  false
  
\end{Verbatim}
 \index{IsSolvableGroup@\texttt{IsSolvableGroup}!for an rcwa \begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label]
as well. Linear representations of tame groups over the rationals can be
determined by the operation \texttt{IsomorphismMatrixGroup} Testing a wild group forsolvability or perfectness is currently not always
feasible, and wild groups have in general no faithful
nite\{\ymbol45}dimensional representations.There  a
method for \texttt{Exponent} available, which works basically for any rcwa group. 
\egin{Verbatim}commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
 !apprompt@gap>| gapinput@ : ClassTransposition(0,,,)ClassShift(2);|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsPerfect(G);|
  false
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsSolvable(G);|
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@D1 := DerivedSubgroup(G);; D2 := DerivedSubgroup(D1);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsAbelian(D2);|
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Index(G,D1); Index(D1,D2);|
  infinity
  9
  !gapprompt@gap>| !gapinput@StructureDescription(G); StructureDescription(D1);|
  "(Z x Z x Z) . S3"
  "(Z x Z) . C3"
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Q := D1/D2;|
  Group([ (), (1,2,4)(3,5,7)(6,8,9), (1,3,6)(2,5,8)(4,7,9) ])
  !gapprompt@gap>| !gapinput@StructureDescription(Q); |
  "C3 x C3"
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Exponent(G);|
  infinity
  !gapprompt@gap>| !gapinput@stabilizer of ${\ensuremath{\mathbb}_$inRCWA(\ensuremath\mathbb Z}}), the elements of CT({\ensuremath{\mathbb
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Display(Image(phi,ClassTransposition(0,2,1,4)))|
  [ [     0,     Z})with modulus dividing  givenpositive $m$are parametrizedby  ordered  of{ensuremath\mathbb Z}into$$residue classes  list  theseelements forgiven$m$can be   function\{llElementsOfCTZWithGivenModulus}  thenumbers  elements for $m \leq 24$ are stored in the list \texttt{NrElementsOfCTZWithGivenModulus}. 
    [     0,     0,     0,     1,     0,     0 ], 
    [     2,     1,     0,     0,     0,     0 ], 
    [     0,     1,     0,     0,     0,     0 ], 
    [     0,     0,     0,     0,     1,     0 ], 
    [     0,     0,     0,     0,     0,     1 ] ]
  
\end{Verbatim}
 When investigating a group, a basic task is to find relations among the
generators: 

\subsection{\textcolor{Chapter }{EpimorphismFromFpGroup (for an rcwa group and a search radius)}}
\logpage{[ 3, 2,2  ]\nobreak
\hyperdef{L}{X83527DA37C5CB2C7}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{EpimorphismFromFpGroup({\mdseries\slshape G, r})\index{EpimorphismFromFpGroup@\texttt{EpimorphismFromFpGroup}!for an java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 185 out of bounds for length 2
\label{EpimorphismFromFpGroup:for an rcwa group and a search radius}
}\criptsize (ethod)}\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 54 out of bounds for length 33
\label{EpimorphismFromFpGroup:for rcwa group, search radius and bound on java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 80 out of bounds for length 80
hfill{\criptsize (method)}\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 32
\textbf{\indent  group and on its action on the underlying ring. The easiest way to get
 an epimorphism from a finitely presented group to the rcwa
group{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. 



 t{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [46, 45) out of bounds for length 147
relations. In general, the larger \mbox{\\{foran}
group{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} has finite presentations, the kernel will textbf\Returns\}
that \mbox{\texttt{\mdseries\slshape r}} is chosen large enough. If the optional argument \mbox{\texttt{\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 108 out of bounds for length 57
b{}commandchars!@|fontsize=small,framesingle,=java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [77, 76) out of bounds for length 77
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@a := ClassTransposition(2,4,3,4);;|
  gapprompt@gap| gapinput@b := (,8,12);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@c := ClassTransposition(3,4,4,6);;|
 !gapprompt@ap>|!gapinputG:SparseRepGroup(a,b,c));|
  <(2(4),3(4)),(4(6),8(12 stands  extension which  besplit  .wild
  !gapprompt@gap>| !gapinput@phi := EpimorphismFromFpGroup(G,6);|
  #I  there are 3 generators and 12 relators of total length 330
  #I  there are 3 generators and 11 relators of total length 312
  [ a, b, c ] -> [ (gapprompt|!gapinputG : ClassTransposition(,214)ClassShift(,);;
  !gapprompt@gap>| !gapinput@RelatorsOfFpGroup(Source(phi)(Z  Z  ZZx Z  Z ). C2 )
   ^,b^,c^,(b*)3 (a*)6(*bc)^3 ac**3 
    ab*a*c)^12, ((a*b)^2*a*c)^12, (a*b*(a*c)^2)^12 ab***b^]
  
\Verbatim}
 }

  relatedtask

\subsection{\textcolor{Chapter }{PreImagesRepresentative (for an epi. from a free group to an rcwa group)}}
\logpage{[ 3, 2, 3 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X8463E34286344F06}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{PreImagesRepresentative({\mdseries\slshape phi, g})\index{PreImagesRepresentative@\texttt{PreImagesRepresentative}!for an epi. from a free group to an rcwa group}
\label{PreImagesRepresentative:for an epi. from a free group to an rcwa group}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
a  of   ofof{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 60 out of bounds for length 60



 The epimorphism \mbox{\texttt{\mdseries\slshape phi}} must map the generatorsautomatically is severely limited. In general, one can find out much more
onet{symbol{}}texttt{symbol{45} 

 Thisbe used   of rcwa .
The implementation is based on \texttt{RepresentativeActionPreImage}, see \texttt{RepresentativeAction} (.java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 8 out of bounds for length 8

 \index{PreImagesRepresentatives@\texttt{PreImagesRepresentatives}!for an epi. from a free group to an rcwa group} Quite frequently, computingsuitably chosen  partition(see\}texttt{RespectedPartition} \{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [108, 107) out of bounds for length 202
just one, i.e. often several java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [16, 15) out of bounds for length 70
quotients give rise to nontrivial relations among the generators of the image
of{\mdseries\slshape phi}}. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
  !gapprompt@gap>| !gapinput@b := ClassShift(0,1;; java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [64, 59) out of bounds for length 68
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G< java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [14, 13) out of bounds for length 39
  !gapprompt@gap>|java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7
  !gapprompt\{erbatim}
   of Z >
  !gapprompt@gap>| !gapinput@PreImagesRepresentative(phi,g); # -> a factorization of g| {:
  b^-3*(b^-1*a^-1)^2*b^3*a*b^-1*a*b^3
  !gapprompt@gap>| !gapinput@g = b^-4*a^-1*b^-1*a^-1*b^3*a*b^-1*a*b^3; # check|
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@g   [ (02, 12 ) ( 0(3), 1(3  ]-  12(34(,, ,),)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 71 out of bounds for length 71
< Z >
  !gapprompt@gap>| !gapinput@pre := PreImagesRepresentatives(phi,g);|
[(-1*-)2b^*(b*)2b-, b-1(^12^*a*-^b-1 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@rel := pre[1]/pre[2]; # -> a nontrivial relation|
  (b^-1*a^-1)^2*b^3*a*b^2*a^-1*b^-2*(b^-1*a)^2*b
  !gapprompt@gap\texttt{\symbol{45}}\texttt\symbol{} notalways Anyway,if\{g}iscontained in \exttt{}, test willeventually always return texttt{true} provided that there aresufficient computing resourcesavailable memory
  IdentityMapping( Integers )
  
\end{Verbatim}
 }

 }

  
\section{\textcolor{Chapter }{ The natural action of an rcwa group on the underlying ring }}\label{sec:ActionOnR}
\logpage{[ 3, 3, 0 ]}
\hyperdef{L}{X8151BE577FFDCE87}{}
{
  Knowing  membership test``\texttt{ in G}' recognizesan option\texttt{OrbitLengthBound}.Ifthisoptionis set set, itreturns\texttt{alse}once has computed balls  sizeexceeding\textttOrbitLengthBound}about1 and textttg} in\texttt{G, and these balls are stillthat due to the algorithmic
significantly in computing in it and in obtaining results on its structure.
This holds particularly for the natural action of an rcwa group on its
underlying ring. In this section we describe \orrect use of this option hasto  withinthe full  ofthe

 \index{Support@\texttt{Support}!of an rcwa group} \index{MovedPoints@\texttt{MovedPoints}!of an rcwa group\beginVerbatim}[ommandchars!@|fontsize=\small,frame=single,label=Example]
by \texttt{Support} or \texttt{MovedPoints} (these are synonyms). Testing for transitivity on the underlying ring or on a
union of residue classes thereof is often feasible: 
\{Verbatim}[commandchars=!@|,ontsize=java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 77 out of bounds for length 77
  
  !gapprompt true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsTransitive(G,Integers);|
  true
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
\end{Verbatim}
 
\index{IsTransitiveOnNonnegativeIntegersInSupport@\texttt{IsTransitiveOnNonnegativeIntegersIn- Support}!for an rcwa group over Z}
\index{TryIsTransitiveOnNonnegativeIntegersInSupport!apprompt@gap>| !gapinput@(RCWA(Integers)|
  \index{TransitivityCertificate@\texttt{TransitivityCertificate}!for an rcwa group over Z and a search limit} \index{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 127 out of bounds for length 87
nonnegative integers. There is  false
integers in its support. Since such transitivity test is a computationally
hard problem, methods may fail. If \texttt{IsTransitiveOnNonnegativeIntegersInSupport} returns \texttt{true}, an attribute \texttt{TransitivityCertificate} is set; this is a record containing components \texttt{phi}, \texttt{words}, \texttt{classes}, \texttt{smallpointbound}, \texttt{status} and \texttt{complete} as follows: 
\begin{description}
\item[{\texttt{phi}}]  is an epimorphism from a free group to \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} which maps generators to generators. 
\item[{\texttt{words}, \texttt{classes}}]  two lists. \texttt{\symbol{45(,408))|
\item[{\texttt{smallpointbound}}]  in addition to finding a list of group elements $g_i$ such that for any large enough integer $n$ in the support of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} there is some $g_i$ such that $n^{g_i} < n$, for java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 238 out of bounds for length 6
than or  to\texttt{smallpointbound} in thesupport of \mbox\texttt{\dseries\slshape } lie in the same orbit. 
\[{\texttt{status}]  thestring \texttt{"transitive"} in case all checks have been completed successfully. 
\item[{\texttt{complete}}]  \texttt{true} in case all checks have been completed successfully  <rcwa permutation of Z with modulus 48>
\nddescription}
 Parts of this information for possibly intransitive groups can be obtained by
the operation \texttt{TryToComputeTransitivityCertificate(\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
and index{@\texttt{}for an rcwa group}There is a property \extttIsTame}which    rcwa group is tameor :java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 140 out of bounds for length 140
data computed so far once the density of the set of positive integers in the
support \box{\texttt{\mdseries\slshape G} for which no  elementis found which mapsthem smaller 
reaches or drops below \texttt{abortdensity}. A simplified   !gapprompt@gap>| !gapinput@H := Group(ClassTransposition(0,2,1,6)(,3));|
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\  !apprompt@gap| gapinput@IsTame(G);|
  
  gapprompt@>|!gapinput@G = GroupList
  !gappromptjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
  <02),(),03,(3),12)2()>
  rompt@> !gapinput@IsTransitiveOnNonnegativeIntegersInSupport)|
  true
  !gappromptfeasible,and wild groups have in general no faithful
  rec( 
    classes := [ [ 1(2) ], [ 2(6) ], [ 6(12), 10(12) ], [ 0(12) ], 
        [ 4(12) ] ], complete := true, 
    phi := [ a, b, c ] -> [ ( 0(2), 1(2) ), ( 0(3), 2(3) ), ( 1(2), 2(4) ) 
], smallpointbound :=4 status : "transitive", 
    words := [ a, b, c, b*c, a*b ] )
  !gapprompt@gap>| !gapinput"Zx ) . "
  rec( classes := [ [ 1(2) ], [ 2(4) ], [ 4(12) ], [ 0(12), 8(12) ] ], 
    complete := true, 
    phi := [ a,   !gapprompt@gap>| !gapinput@StructureDescription(Q); |
       ], smallpointbound := 4, status := "transitive", 
    words := [ a, c, a*b, b*c ] )
  gapprompt@gap>|!gapinput@G := Group(List([[0,2,1,2],[12,2,,4,[14,26],
  !gapprompt@>| !gapinput@                   ClassTransposition));              # '3n+1 group'|
  <0(2),12),12),(4)),1(,()>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@cert := TryToComputeTransitivityCertificate(G,10);|
  rec(
    classes := [ [ 1(2) ], [ 2(4) ], [ 4(32) ], [ 8(24), 44(48), 20(96) ], 
        [ 0(24), 16(24) ] ], complete := false, 
) 24 ),( 14)2(6))java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 75 out of bounds for length 75
       ], remaining := [ 12(48), 28(48), 52(96), 84(96) ], 
    smallpointbound := 42, status := "unclear",     [     0,     0,     0     0,1,0 ]], 
    words := [ a, b, (a*c)^2*b*a*b, c, a*c*b ] )
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Union(Flat(cert.classes));|
 (6 classes)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Difference(Integers,Union(Flat(cert.classes)));|
  12(48) U 28(48) U 52(96) U 84(96)
  !gapprompt@gap>|  When investigating a group, a basic task is to find relations among the
  rec(
    classes := [ [ 1(2) ], [ 2(4) ], [ 4(32) ], [ 8(24), 44(48), 20(96) ], 
        [ 0(24java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    complete : false, 
    phi := [ a, b, c ] -> [ ( 0(2), 1(2) ), ( 1(2), 2(4) ), ( 1(4), 2(6) ) 
       ], 
    remaining := [ \yperdef{L{X83527DA37C5CB2C7}{}
        76(384), 204(384), 220(384), 348(384), 156(768), 396(768), 
        412(768), 652(768)smallpointbound:= 1074, status ="unclear" 
    words := [ a, b, (a*c)^2*b*a*b, c, a*c*b, (a*c)^3*b*c*b*a*b, 
        (a*c)^4*b*a*b*a*b ] )
  !gapprompt@gap>| gapinput@Difference(Integers,Union(Flat(cert.classes)));|
  <union of 44 residue classes (mod 768) (14 classes)>
  !@gap> !gapinput@Intersection(0.100],);
  [ 52, 60, 76, 84 ]
  
\end{Verbatim}
 \{SupersetOfOrbitRepresentatives@\texttt{SupersetOfOrbitRepresentatives}!for an rcwa group over Z and search limits} Let \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} be a subgroup of CT({\ensuremath{\mathbb Z}}). Then, a set which has
nontrivial from  finitely presented group to the rcwa
\begin{description}
\item[\exttt{R}]  Asetwhich\texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} possibly among other
numbers \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} contains the smallest
representatives of all the orbits of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} on the nonnegative integers. The parameters \java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0
make the set smaller. 
\item[{\texttt{D}}]  A list of residue class unions whose union is a (not necessarily proper)
superset the complement of \texttt{R} in {\ensuremath{\mathbb Z}}. The intersection of \texttt{group\\box{texttt\dseries\G} has finitepresentations,the kernel will
item[{textttg}]  A  elements \mbox{texttt\mdseries\slshape G}}such that \texttt{\texttt{\{94}g[]{textless n} for all sufficiently  textttn in \exttt{[i}  i=1 ...,Length()= Length(D)}. 
\item[{\\egin[=@|fontsize=small,=singlelabel=Example
\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
\end{description}
 
\begin!gap> !c:=ClassTransposition3446;|
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := SparseRep(,bc);java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 59 out of bounds for length 59
  !gapprompt@>| !gapinput@              ClassTransposition(2,4,1,6));|
  <(1(3),2(3)),(3(4),4(6)),(2(4),1(6))>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@R := SupersetOfOrbitRepresentatives(G,4,6);|
  rec( D := [ 2(3), 4(6), 1(6) ], R := 0(3) U [ 1 ], 
    g := 
      [ ( 1(3), 2(3) ), <rcwa[a,b,c  -> [(2(4)3(4 )  4() 812)) (34),46 ) java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 68 out of bounds for length 68
            parts> <rcwa permutation of  withmodulus 12 and 
          5 affine parts> ], 
    pi := [ a, b, c ] -> [ ( 1(3), 2(3) ), ( 3(4), 4(6) ), ( 2(4), 1(6) ) ], 
    w := [ a, b, c ] )
  
\end{\end{Verbatim
 Further, there are methods to compute orbits under the action of an rcwa
group: 
\subsection{\textcolor{Chapter }{ Orbit (for an rcwa group and either a point or a set) }}\logpage{[ 3, 3, 1 ]}
\hyperdef{L}{X7C046BE97EE53692}{}
{
\noindent\textcolor{\{}{8463E34286344F06}}
\label{Orbit:for an rcwa group and a point}
}\hfill\scriptsize (ethod)}}\
\noindent\textcolor{FuncColor\label{PreImagesRepresentative:for  epi. from a free group toanrcwa }
nda set}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
  orbit ofthepoint{nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape point}} respectively the set{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape set}} under the natural action of the rcwa group{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} on its underlying ring. 



 Thesecond argument caneither be an element or a subset of the underlying
ring of the rcwa group{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. Since orbits java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 91 out of bounds for length 50
since infinite orbits are not necessarily residue class unions, the orbit may
either be returned in the form of a list, in the form of a residue class union
or in the form of an orbit object. It is possible to loop over orbits returned
as orbit objects, they can be compared and there is a membership test for
them. However note that equality and membership for such orbits cannot always
be decided 
\\begin{Verbatim}[!@|,fontsize=smallframe=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(ClassShift(0,2),ClassTransposition(0,3,1,3));|
  <rcwa group over Z with 2 generators>
  gapprompt@ap> !gapinput@rbit,0)|
  Z \ 5(6)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Orbit(G,5);|
  [ 5 ]
  !gapprompt@ap> !gapinput@Orbit(G,ResidueClass(02)|
  [ 0(2), 1(6) U 2(6) U 3(6), 1(3) U 3(6), 0(3) U 1(6), 0(3) U 4(6), 
    1(3) U 0(6), 0(3) U 2(6), 0(6) U 1(6) U 2(6), 2(6) U 3(6) U 4(6), 
    1(3) U 2(6) ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Length(Orbit(G,ResidueClass(0,4)));|
  80
  !gappromptgap> !apinput@G: Group(lassTransposition(0,2,1,2),ClassTransposition(0,2,1,4),|
  !gapprompt@>| !gapinput@              ClassReflection(0,3));|
  <rcwa group over Z with 3 generators
  !gapprompt@gap>| !gapinput@orb := Orbit(G,2);|
  <orbit of 2 under <wild rcwa group over Z with 3 generators>>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@1015808 in orb;|
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@First(orb,n->ForAll([n,n+2,n+6,n+8,n+30,n+32,n+36,n+38],IsPrime));|
  -19
  
\end{Verbatim}
 }

 

\subsection{\textcolor{Chapter }{GrowthFunctionOfOrbit (for an rcwa group, a point and bounds on radius and sphere size
\logpage{[ 3, 3, 2 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X7B7A3AF97D195E33}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{GrowthFunctionOfOrbit({\mdseries\slshape G, n, r{\textunderscore}max, size{\textunderscore}max})\index{GrowthFunctionOfOrbit@\texttt{GrowthFunctionOfOrbit}!for an rcwa group, a point and bounds on radius and java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 277 out of bounds for length 0
\label{GrowthFunctionOfOrbit:for an rcwa group, a point and bounds on radius and sphere size}
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{GrowthFunctionOfOrbit({\mdseries\slshape orb, r{\textunderscore}max, size{\textunderscore}max})\index{union of fr=]
\label{GrowthFunctionOfOrbit:for an rcwa group orbit and bounds on radius and sphere size}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 a list whose ($r+1$)\texttt{\symbol{45}}th entry is the size of the sphere of radius $r$ about \mbox{\texttt{\mdseries\slshape n}} under the action of the group \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}, where the argument \mbox{\texttt{\mdseries\slshape r{\  !appromptgap>|!apinput@IsTransitive(G,Integers);|
once the sphere size exceeds \mbox{\texttt{\mdseries\slshape size{\textunderscore}max}}. 



 An option \texttt{"small"} is interpreted \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} see example below. In
place of the group \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} and the point \mbox{\texttt{\mdseries\slshape n}}, one can pass as first argument also an rcwa group orbit object \mbox{\texttt{\mdseries\slshape orb}}. 
fontsize\,frame
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(List([[0,4,1,4],[0\[texttt{\c} java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [52, 46) out of bounds for length 327
  <(0(4),1(4)),(0(3),5(6)),(0(4),5(6))>
  !gapprompt@gap\tem{texttt{complete}  texttt{true} in caseall have been completedsuccessfully 
  [ 1, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 6, 5, 
    5, 4, 3, 3, 4, 4, 4, 3, 3, 5, 4, 5, 6, 5, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 5, 4, 
 4, 35,3 , 
    4, 5, 6, 5, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 5, 4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 3, 4, 5, 3, 
    3, 4, 5, 4, 2, 3, 4, 4, 4 ]
  !> !gapinput@last = GrowthFunctionOfOrbit(Orbit(G,18),100,20);|
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@GrowthFunctionOfOrbit(G,18,20,20:small:=[0..100]);|
  rec( smallpoints := [ 18, 24, 25, 27, 30, 32, 33, 36, 37, 39, 40, 41, 
        42, 44, 45,  Verbatim}commandchars!|fontsize=smallframe=inglelabel=Example]
        68, 69, 71, 75, 76, 77, 80, 81, 83, 88, 89, 92, 93, 95, 100 ], 
    spheresizes := [ 1, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 
        5, 6, 8 ] )
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(List([[0,2,1,2],[1,2,2,4],[1,4,2,6]],ClassTransposition));|
  <(0(2),1(2)),(1(2),2(4)),(1(4),2(6))>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@GrowthFunctionOfOrbit(G,0,100,10000);|
  [ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 7, 6, 7, 9, 12, 14, 19, 21, 28, 
    29, 37, 42, 55, 57, 72, 78, 99, 113, 148, 164
    462, 478, 612, 686, 894, 985, 1284, 1416, 1847, 2018, 2620, 2902, 
    3786, 4167, 5432, 5958, 7749, 8568, 11178 ]

{Verbatim}
 }

 \index{DistanceToNextSmallerPointInOrbit@\texttt{DistanceToNextSmallerPointInOrbit}} Given an rcwa group \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} over {\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 151 out of bounds for length 99
on{\nobreakspace}${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$. The pictures are written to files in bitmap\texttt{\     :   1(2)]  2(4)] [4()]  8(4) 4448,20(6) ] 
(bmp\texttt{\symbol{ 156(768), 396(768), 
feature both under a*c)^4*b*a*b*ab]
processed further common graphicsprograms 

\subsection{\textcolor{Chapter }rcwa  overZand search limits}  \box{\texttt{mdseriesslshape G}}bea  ofCT{ensuremath{\mathbb Z}}). Then, a set which has
\logpage{[ 3, 3, 3 ]}\nobreak
\L{79FAC97F9F0891}{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 33 out of bounds for length 33
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{DrawOrbitPicture({\mdseries\slshape G, p0, bound, h, w, colored, palette, filename})\index{DrawOrbitPicture@\texttt{DrawOrbitPicture}!G, p0, bound, h, w, colored, palette, filename}
\label{DrawOrbitPicture:G, p0, bound, h, w, colored, palette, filename}
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 nothing. 



 Draws  of all the orbits of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} on the nonnegative integers. The parameters \mbox{\texttt{\mdseries\slshape maxsaddle}} and \mbox{\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 178 out of bounds for length 93
generated picture is \mbox{\texttt{\mdseries\slshape h}}{\nobreakspace}x{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape w}} pixels. The argument \mbox{\texttt{\mdseries\slshape colored}} is a boolean which indicates whether a 24\texttt{\symbol{45}}bit true color
picture or a monochrome picture should be generated. Ine generated. In the  case,\mbox{\{\mdseries
bitmap\texttt{\symbol{45}} (bmp\texttt(1,3,2,3),ClassTransposition(3,4,4,6),|

  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@PSL2Z := Image(IsomorphismRcwaGroup(FreeProduct(CyclicGroup(2),|
  !gapprompt@>| !gapinput@                                                   CyclicGroup(3))));
  !gapprompt@gap>| !gapinput@DrawOrbitPicture(PSL2Z,[0,1],2000,512,512,false,fail,"example1.bmp");|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@DrawOrbitPicture(PSL2Z,Combinations([1..4],2),2000,512,512,true,|
  !gapprompt@>| !gapinput@                    [[255,0,0],[0,255,0],[0,0,255]],"example2.bmp");|
  
\end{Verbatim}
 }

 The pictures drawn in the examples are shown on \textsf{RCWA}'s webpage. 

 Finite orbits give rise to finite quotients of a group, and finite cycles can
help to check for conjugacy. Therefore it is important to be able to determine
them: 
\subsection{\textcolor{Chapter }{ ShortOrbits (for rcwa groups) \& ShortCycles (for rcwa permutations) }}\logpage{[ 3, 3, 4 ]}
\hyperdef{L}{X78F145197F63A25D}{}
{
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{ShortOrbits({\mdseries\slshape G, S, maxlng})\index{ShortOrbits@\texttt{ShortOrbits}!for rcwa group, set of points and bound on length}
\label{ShortOrbits:for rcwa group, set of points and bound on length}
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{ShortOrbits({\mdseries\slshape G, S, maxlng, maxn})\index{ShortOrbits@\texttt{ShortOrbits}!for rcwa group, set of points and bounds on length and points}
\label{ShortOrbits:for rcwa group, set of points java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 97 out of bounds for length 97
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{ShortCycles({\mdseries\slshape g, S, java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [127, 106) out of bounds for length 204
\label{ShortCycles:for rcwa permutation, set of points and bound on length}
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{ShortCycles({\mdseries\slshape g, S, maxlng, maxn})\index{ShortCycles@\texttt{ShortCycles}!for rcwa permutation, set of points and bounds on length and points}
\label{ShortCycles:for rcwa permutation, set of points and bounds on length and points}
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{ShortCycles({\mdseries\slshape g, maxlng})\index{ShortCycles@\texttt{ShortCycles}!for rcwa permutation and bound on length}
\label{ShortCycles:for rcwa permutation and bound on length}
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 in the first form a list of all orbits of the rcwa group{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} of length at mostjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 6 out of bounds for length 6



 The operation \texttt{ShortOrbits} recognizes an option \mbox{\texttt{\mdseries\slshape finite}}. If this option is set, it is assumed that all orbits are finite, in order to
speed up the computation. If furthermore \mbox{\texttt{\mdseries\slshape maxlng}} is negative, a list of \emph{all} orbits which intersect non\texttt{\symbol{45}}trivially with{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape S}} is returned. 

 \index{!gapprompt@gap>| !gapinput@First(orb,n->ForAll([n,n+2,n+6,n+8,n+30,n+32,n+36java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 5 out of bounds for length 5
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=ExampleGrowthFunctionOfOrbit (for an rcwa group, a point and bounds on radius and sphere size)}}
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(ClassTransposition(1,4,2,4)*ClassTransposition(1,4,3,4),|
  !gapprompt@>| !gapinput@              ClassTransposition(3,9,6,18)*ClassTransposition(1,6,3,9));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(ShortOrbits(G,[-15..15],100),|
  !gapprompt@>| !gapinput@        orb->StructureDescription(Action(G,orb)));|
  [ "A15", "A4", "1", "1", "C3", "1", "(C2 x C2 x C2) : (C7 : C3)", "1", 
    "1", "C3", "A19" ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@ShortCycles(mKnot(7),[1..100],20);|
  [ [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ], [ 4 ], [ 5 ], [ 6 ], [ 7, 8 ], [ 9, 10 ], 
    [ 11, 12 ], [ 13, 14, 16, 18, 20, 22, 19, 17, 15 ], [ 21, 24 ], 
    [ 23, 26 ], [ 25, 28, 32, 36, 31, 27, 30, 34, 38, 33, 29 ], 
    [ 35, 40 ], [ 37, 42, 48, 54, 47, 41, 46, 52, 45, 39, 44, 50, 43 ], 
    [ 77, 88, 100, 114, 130, 148, 127, 109, 124, 107, 122, 105, 120, 103, 
        89 ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(List([[0,2,1,2],[0,5,4sonradius andsphere size}
 |gapinput(G,.*20;java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 63 out of bounds for length 63
  [ [ 0, 1, 4, 9, 8, 5 ], [ 6, 7 ], [ 10, 11, 14, 19, 18, 15 ], [  3 4,,4,2,3 4 ,4 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 31 out of bounds for length 31
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(CyclesOnFiniteOrbit(G,G.1*G.2*G.3*G.1*G.3*G.2,32),Length);|
  [ 3148, 3148 ]
  
\end{Verbatim}
 }

 
\subsection{\textcolor{Chapter }{ ShortResidueClassOrbits \& ShortResidueClassCycles }}\logpage{[ 3, 3, 5 ]}
\hyperdef{L}{X80D18D0778A96C16}{}
{
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{ShortResidueClassOrbits({\mdseries\slshape G, modulusbound, maxlng})\index{ShortResidueClassOrbits@\texttt{ShortResidueClassOrbits}!for rcwa group and bounds on modulus and length}
\label{hortResidueClassOrbitsforrcwagroupand bounds on modulus and length}
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{ShortResidueClassCycles({\mdseries\slshape g, modulusbound, maxlng})\index{ShortResidueClassCycles@\texttt{ShortResidueClassCycles}!for rcwa permutation and bounds on modulus and length}
\label{ShortResidueClassCycles:for rcwa permutation and bounds on modulus and length}
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{ResidueClassCyclesThroughResidueClass({\mdseries\slshape g, cl, modulusbound})\index{ResidueClassCyclesThroughResidueClass@\texttt{Residue}\-\texttt{Class}\-\texttt{Cycles}\-\texttt{Through}\-\texttt{Residue}\-\texttt{Class}!for rcwa permutation, residue class and bound on modulus}
\label{ResidueClassCyclesThroughResidueClass:for rcwa permutation, residue class and bound on modulus}
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 in the first form a list of all orbits of residue classes under the action of
the rcwa group \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} which contain a residue class $r(m)$ such that $m$ divides \mbox{\texttt{\mdseries\slshape modulusbound}} and which are not longer than \mbox{\texttt{\mdseries\slshape maxlng}}. In the second form a list of all cycles of residue classes of the rcwa
permutation{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} which contain a residue class $r(m)$ such that $m$ divides \mbox{\texttt{\mdseries\slshape modulusbound}} and which are not longer than \mbox{\texttt{\mdseries\slshape maxlng}}. In the third form a list of all cycles of residue classes of the rcwa
permutation{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} which contain a residue class $r(m)$ which is a subset of the residue class \mbox{\texttt{\mdseries\slshape cl}} on which \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} is affine and whose modulus $m$ divides \mbox{\texttt{\mdseries\slshape modulusbound}}. 



 We are only talking about a \emph{cycle} of residue classes of an rcwa permutation $g$ if the restrictions of $g$ to all contained residue classes are affine. Similarly we are only talking
about an \emph{orbit} of residue classes under the action of an rcwa group $G$ if the restrictions of all elements of $G$ to all residue classes in the orbit are affine. 

 The returned lists may contain additional cycles, resp., orbits, which do not
contain a residue class $r(m)$ such that $m$ divides \mbox{\texttt{\mdseries\slshape modulusbound}}, but which happen to be found without additional efforts. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@g := ClassTransposition(0,2,1,2)*ClassTransposition(0,4,1,6);|
  <rcwa 83, 88, 89, 92, 93, 95, 100 ], 
  !gapprompt@gap>| !gapinput@ShortResidueClassCycles(g,Mod(g)^2,20);|
  [ [ 2(12), 3(12) ], [ 10(12), 11(12) ], [ 4(24), 5(24), 7(36), 6(36) ], 
    [ 20(24), 21(24), 31(36), 30(36) ], 
    [ 8(48), 9(48), 13(72), 19(108), 18(108), 12(72) ], 
    [ 40(48), 41(48), 61(72), 91(108), 90(108), 60(72) ], 
    [ 16(96), 17(96), 25(144), 37(216), 55(324), 54(324), 36(216), 24(144) 
       ], 
    [ 80(96), 81(96), 121(144), 181(216), 271(324), 270(324), 180(216), 
        120(144) ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@ResidueClassCyclesThroughResidueClass(g,ResidueClass(1,4),2^2*12);|
  [ [ 5(24), 7(36), 6(36), 4(24) ], [ 21(24), 31(36), 30(36), 20(24) ], 
    [ 9(48), 13(72), 19(108), 18(108), 12(72), 8(48) ], 
    [ 41(48), 61(72), 91(108), 90(108), 60(72), 40(48) ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Collected(List(ResidueClassCyclesThroughResidueClass(g,|
  !gapprompt@>| !gapinput@                  ResidueClass(1,4),2^6*12),Length));|
  [ [ 4, 2 ], [ 6, 4 ], [ 8, 6 ], [ 10, 8 ], [ 12, 4 ], [ 14, 2 ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(ResidueClassCyclesThroughResidueClass(g,|
  !gapprompt@>| !gapinput@        ResidueClass(1,4),2^4*12),cyc->cyc[1]);|
  [ 5(24), 21(24), 9(48), 41(48), 13(72), 61(72), 17(96), 81(96), 25(144), 
    121(144), 33(192), 161(192) ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Display(Difference(ResidueClass(1,4),Union(last)));|
  1(36) U 49(144) U 97(144) U 65(192) U 129(192)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(List([[0,6,5,6],[1,4,4,6],[2,4,3,6]],ClassTransposition));|
  <(0(6),5(6)),(1(4),4(6)),(2(4),3(6))>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@ShortResidueClassOrbits(G,48,10);|
  [ [ 7(12) ], [ 8(12) ], [ 1(24), 4(36) ], [ 2(24), 3(36) ], 
    [ 12(24), 17(24), 28(36) ], [ 18(24), 23(24), 27(36) ], 
    [ 37(48), 58(72), 87(108) ], [ 38(48), 57(72), 88(108) ], 
    [ 0(48), 5(48), 10(72), 15(108) ], [ 6(48), 11(48), 9(72), 16(108) ] ]
  
\end{Verbatim}
 }

 

\subsection{\textcolor{Chapter }{ComputeCycleLength (for an rcwa permutation and a point)}}
\logpage{[ 3, 3, 6 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X80C080287A355EFF}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{ComputeCycleLength({\mdseries\slshape g, n})\index{ComputeCycleLength@\texttt{ComputeCycleLength}!for an rcwa permutation and a point}
\label{ComputeCycleLength:for an rcwa permutation and a point}
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 a record containing the length, the largest point and the position of the
largest point of the cycle of the rcwa permutation \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} which contains the point \mbox{\texttt{\mdseries\slshape n}}, provided that this cycle is finite. 



 If the cycle is infinite, the function will run into an infinite loop unless
the option \texttt{"abortat"} is set to the maximum number of iterates to be tried before aborting. Iterates
are not stored, to save memory. The function interprets an option \texttt{"notify"}, which defaults to 10000; every ``notify'' iterations, the number of binary digits of the latest iterate is printed. This
output can be suppressed by the option \texttt{quiet}. The function also interprets an option \texttt{"small"}, which may be set to a range within which small points are recorded and
returned in a component \texttt{smallpoints}. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@g := Product(List([[0,5,3,5],[1,2,0,6],[2,4,3,6]],|
  !gapprompt@>| !gapinput@                     ClassTransposition));|
  <rcwa permutation of Z with modulus 180>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@ComputeCycleLength(g,20:small:=[0..1000]);|
  n = 20: after 10000 steps, the iterate has 1919 binary digits.
  n = 20: after 20000 steps, the iterate has 2908 binary digits.
  n = 20: after 30000 steps, the iterate has 1531 binary digits.
  n = 20: after 40000 steps, the iterate has 708 binary digits.
  rec( aborted := false, g := <rcwa permutation of Z with modulus 180>, 
    length := 45961, 
    maximum := 180479928411509527091314790144929480041473309862957394384783\
  0525935437431021442346166422201250935268553945158085769924448388724679753\
  5271669245363980744610119632280105994423399614803956244808653465492205657\
  8650363041608376587943180444494842094693691286183613056599672737336761093\
  3101035841077322874883200384115281051837032147150147712534199292886436789\
  7520389780289517825203780151058517520194926468391308525704499649905091899\
  9667529835495635671154681958992898010506577172313321500572646883756736685\
  0158653917532084531267455434808219032998691038943070902228427549279555530\
  6429870190316109419051531138721361826083376315737131067799731181096142797\
  4868525347003646887454985757711743327946232372385342293662007684758208408\
  8635715976464060647431260835037213863991037813998261883899050447111540742\
  5857187943077255493709629738212709349458790098815926920248565399938335540\
  8092502449690267365120996852, maxpos := 19825, n := 20, 
    smallpoints := [ 20, 23, 66, 99, 294, 295, 298, 441, 447, 882, 890, 
        893 ] )
  
\end{Verbatim}
 }

 

\subsection{\textcolor{Chapter }{CycleRepresentativesAndLengths (for rcwa permutation and set of seed points)}}
\logpage{[ 3, 3, 7 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X7F76B04E86C77B94}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{CycleRepresentativesAndLengths({\mdseries\slshape g, S})\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [223, 126) out of bounds for length 242
\label{CycleRepresentativesAndLengths:for rcwa permutation and set of seed points}
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\textbf{\indent Returns:\
 a list of pairs (cycle representative, length of cycle) for all cycles of the
rcwa permutation \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} which have a nontrivial intersection with the set \mbox{\texttt{\mdseries\slshape S}}, where fixed points are omitted. 



 The rcwa permutation \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} is assumed to have only finite cycles. If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} has an infinite cycle which intersects non\texttt{\symbol{45}}trivially with \mbox{\texttt{\mdseries\slshape S}}, this may cause an infinite loop unless a cycle length limit is set via the
option \texttt{abortat}. The output can be suppressed by the option \texttt{quiet}. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@g := ClassTransposition(0,2,1,2)*ClassTransposition(0,4,1,6);;|
  !gapprompt@gap>|  }
  [ [ 2, 2 ], [ 4, 4 ], [ 8, 6 ], [ 10, 2 ], [ 14, 2 ]\@textttDistanceToNextSmallerPointInOrbit}Given   group\{texttt\\G}  \ensuremathmathbb}}andan integer\{\texttt{\dseriesslshapen}, textttDistanceToNextSmallerPointInOrbit(}\mbox{\exttt\mdseries\ G}\texttt\mbox{texttt\mdseries\slshape n}}\texttt{) computes thesmallest  $$ suchthatthereisa product $g of d generators or inverses of generators of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} which maps \mbox{\texttt{\mdseries\slshape n}} to an integer with absolute value less than |\mbox{\texttt{\mdseries\slshape n}}|, provided that the orbit of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape n}} contains such integer. \textsf{RCWA} provides a function to draw pictures of orbits of rcwa groups
    [ 20, 4 ], [ 22, 2 ], [ 26, 2 ], [ 28, 4 ], [ 32, 10 ], [ 34, 2 ], 
    bothunder Linux andunder ,  generated pictures can be
  !gapprompt@gap>| !gapinput@g := Product(List([[0,5,3,5],[1,2,0,6],[2,4,3,6]],|
                 ClassTransposition)|
 <rcwa  of withmodulus 180>
 gapprompt@> g@(g,0.]abortat:=00000);
  n \noindent\extcolor{uncColor}{\$enspace\exttt{rawOrbitPicture(mdseries\lshapeG ,bound,h w, palette,filename})index{@\texttt{rawOrbitPicture}!G, p0, bound, h, w, colored, palette, filename}
  n = 20: after 20000 steps, the iterate has 2908 binary digits.
ps theiterate has 1531 binary digits.
  n = 20: after nothing 
  n = 79: after 10000 steps, the iterate has 1679 binary digits.
  n = 100: after 10000 steps, the iterate has 712 binary digits.
  n = 100: after 20000 steps, the iterate has 2507 binary digits.
  n = 100: after 30000 steps, the iterate has 3311 binary digits.
  n = 100: after 40000 steps, the iterate has 3168 binary digits.
  n = 100: after 50000 steps, the iterate has 3947 binary digits.
  n = 100: after 60000 steps, the iterate has 4793 binary digits.
  n = 100: after 70000 steps, the iterate has 5325 binary digits.
  n = 100: after 80000 steps, the iterate has 6408 binary digits.
  n = 100: after 90000 steps, the iterate has 7265 binary digits.
  n = 100: after 100000 steps, the iterate has 7918 binary digits.
  [ [ 0, 7 ], [ 5, 3 ], [ 7, 7159 ], [ 11, 9 ], [ 19, 342 ],
    [ 20, 45961 ], [ 25, 3 ], [ 26, 21 ], [ 29, 2 ], [ 31, 3941 ],
    [ 34, 19 ], [ 37, 7 ], [ 40, 5 ], [ 41, 7 ], [ 46, 3 ], [ 49, 2 ],
    [ 59, 564 ], [ 61, 577 ], [ 65, 3 ], [ 67, 23 ], [ 71, 41 ],
    [ 79, 16984 ], [ 80, 5 ], [ 85, 3 ], [ 86, 3 ], [ 89, 2 ], [ 91, 9 ],
    [ 94, 1355 ], [ 97, 7 ], [ 100, fail ] ]
  
\end{Verbatim}
 }

 Often one also wants to know which residue classes an rcwa mapping or an rcwa
group fixes setwise

\subsection{\textcolor{Chapter }{FixedResidueClasses (for rcwa mapping and bound on modulus)}}
{,,8 }nobreak
\hyperdef{L\begin{Verbatim[!,\frame=label=]
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{FixedResidueClasses(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 97 out of bounds for length 97
{FixedResidueClasses:or java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [65, 66) out of bounds for length 65
{ \
\\{}$\triangleright$enspacetexttt{{\mdseries G })@java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [168, 167) out of bounds for length 205
\label{FixedResidueClasses\\FuncColor$\\texttt{GS \{texttt!rcwa  and java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [198, 197) out of bounds for length 198
}\hfill{\scriptsize (operation)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the set of residue classes with modulus greater than 1 and less than or equal
to \mbox{\texttt{\mdseries\slshape to \mbox{\texttt{\mdseries\slshape maxmod\enspace\ShortOrbits{\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [86, 85) out of bounds for length 216



 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@FixedResidueClasses(ClassTransposition(0,2,1,4),8);|
  [ 2(3), 3(4), 4(5), 6(7), 3(8), 7(8) ]
!gap| gapinput@FixedResidueClasses(ClassTransposition(021,|
  !gapprompt@>| !gapinput@                             ClassTransposition(0,3,1,3)),12);|
  [ 2(3), 8(9), 11(12) ]
  
\end{Verbatim}
 }

 Frequently one needs to compute balls of certain radius around points or group
elements, be it to estimate the growth of a group, be it to see how an orbit
looks like, be it to search for a group element with certain properties or be
it for other purposes: 
\subsection{\textcolor{Chapter }{ Ball (for group, element and radius or group, point, radius and action) }}\logpage{[ 3, 3, 9 ]}
\hyperdef{L}{X8735855587CC029F}{}
{
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Ball({\mdseries\slshape G, g, r})\index{Ball@\texttt{Ball}!for group, element and radius}
\label{Ball:for group, element and radius}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Ball({\mdseries\slshape G, p, r, action})\index{Ball@\texttt{Ball}!for group, point, radius and action}
\label{Ball:for group, point, radius and action}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Ball({\mdseries\slshape G, p, r})\index{Ball@\texttt{Ball}!for group, point and radius}
\label{Ball:for group, point and radius}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the ball of radius{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape r}} around the element{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} in the group{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}, respectively the ball of radius{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape r}} around the point{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape p}} under the action{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape action}} of the group{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}, respectively the ball of radius{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape r}} around the point{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape p}} under the action{\nobreakspace}\texttt{OnPoints} of the group{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}, 



 All balls are understood with respect to \texttt{GeneratorsOfGroup(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})}. As membership tests can be expensive, the former method does not check
whether \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} is indeed an element of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. The methods require that element\texttt{\symbol{45}} / point comparisons are
 \index{CyclesOnFiniteOrbit\texttt{CyclesOnFiniteOrbit is an operation \texttt{CyclesOnFiniteOrbit(}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}\texttt{,}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}}\texttt{,}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape n}}\texttt{)} which returns a list of all cycles of the rcwa permutation \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} on the orbit of the point \mbox{\texttt{\mdseries\slshape n}} under the action of the rcwa group \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. Here \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} is assumed to be an element of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}, and the orbit of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape n}} is assumed to be finite. 
related operation \texttt{RestrictedBall(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape r}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape modulusbound}})} specifically for rcwa groups which computes only those elements of the ball
whose moduli do not exceed \mbox{\texttt{\mdseries\slshape modulusbound}}, and which can be reached from \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} without computing intermediate elements whose moduli do exceed \mbox{\texttt{\mdseries\slshape modulusbound}}. The latter operation interprets an option \texttt{"boundaffineparts"}. \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} If this option is set and the group \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} and the element \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} are in sparse representation, then \mbox{\texttt{\mdseries\slshape modulusbound}} is actually taken to be a bound on the number of affine parts rather than a
bound on the modulus. \index{RestrictedBall@\texttt{RestrictedBall}!G, g, r, modulusbound} 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@PSL2Z := Image(IsomorphismRcwaGroup(FreeProduct(CyclicGroup(2),|
  !gapprompt@>| !gapinput@                                                   CyclicGroup(3))));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List([1..10],k->Length(Ball(PSL2Z,[0,1],k,OnTuples)));|
  [ 4, 8, 14, 22, 34, 50, 74, 106, 154, 218 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Ball(Group((1,2),(2,3),(3,4)),(),2:Spheres);|
  [ [ () ], [ (3,4), (2,3), (1,2) ],
    [ (2,3,4), (2,4,3), (1,2)(3,4), (1,2,3), (1,3,2) ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(List([[1,2,4,6],[1,3,2,6],[2,3,4,6]],ClassTransposition));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@B := RestrictedBall(G,One(G),20,36:Spheres);; # try replacing 36 by 72|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(B,Length);|
  [ 1, 3, 6, 12, 4, 6, 6, 4, 4, 4, 6, 6, 3, 3, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ]
  
\end{Verbatim}
 }

 It is possible to determine group elements which map a given tuple of elements
of the underlying ring to a given other tuple, if such elements exist: 

\subsection{\textcolor{Chapter }{RepresentativeAction (G, source, destination, action)}}
\logpage{[ 3, 3, 10 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X87A3462C82FD376E}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{RepresentativeAction({\mdseries\slshape G, source, destination, action})\index{RepresentativeAction@\texttt{RepresentativeAction}!G, source, destination, action}
\label{RepresentativeAction:G, source, destination, action}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 an element of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} which maps \mbox{\texttt{\mdseries\slshape source}} to{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape destination}} under the action given by{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape action}}. 



If element   condition ,
returns \texttt{fail} or runs into an infinite loop. The problem whether \mbox{\texttt{\mdseries\slshape source}} and \mbox{\texttt{\mdseries\)48 () 61((72) 1796)81(), (144, 

 \index{RepresentativeActionPreImage@\texttt{RepresentativeActionPreImage}!G, source, destination, action, F} In cases where rather a word in the java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 156) out of bounds for length 74
those of \texttt{RepresentativeAction}, and the those of \texttt{RepresentativeAction}, and the fifth
the returned word. Note that \texttt{RepresentativeAction} calls \texttt{RepresentativeActionPreImage} and evaluates  arecord containingthe largest java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [68, 67) out of bounds for length 74
most of the time if \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is

Thealgorithmon    {\slshape source}} nd\mbox{texttt{\mdseries\lshape}   intersect \exttt\{}}trivially 
\theoption\{abortat} is set  thenumber  before 
  
  !gapprompt@gap>H !gapinput@a := RcwaMapping([[2,0,3],[4,-1,3],[4,1,3]]);; SetName(a, canbeby \.   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [94, 93) out of bounds for length 182
  !gapprompt@gap>H !gapinput@\V}cjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [30, 29) out of bounds for length 77
  !gapprompt@gap>H !gapinput@ !gap> gjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [29, 28) out of bounds for length 80
  !gapprompt@gap>H !gapinput@Display(elm);H
  
   12
  
          /
          | n-3 if n in 1(6) U 10(12)
          | n+4 if n in 5(12) U 9(12)
   n |-> <  n+1 if n in 4(12)
          | n   if n in 0(6) U 2(6) U 3(n=20:40000, thejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [41, 40) out of bounds for length 63
          |
          \
  
  !gapprompt@gap>H   0525935437431021442346166422201250935268553945158085769924448388724679753\\
  5271669245363980744610119632280105994423399614803956244808653465492205657\\
  !gapprompt@gap>H !gapinput@elm := RepresentativeAction(G,[6,-3,8],[-9,4,11],OnPoints);  8650363041608376587943180444494842094693691286183613056599672737336761093\
  !gapprompt@gap>H !gapinput@Display(elm);H
  
  Rcwa permutation of Z with modulus 12
  
          /
          | 2n/3      if n in 0(6) U 3(12)
          | (4n+1)/3  if n in 2(6) U 11(12)
          | (4n-1)/3  if n in 4(6) U 7(12)
   n
          | (4n-17)/3 if n in 5(12)
          | (4n-15)/3 if n in 9(12)
         |
          \
 
; List,38n-n^elm;# `OnPoints' allows reorderingH
  [ -9, 4, 11 ]
  [ 4, -9, 11 ]
  !gapprompt@gap>H !gapinput@F := FreeGroup("a","bjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [17, 16) out of bounds for length 172
  !gapprompt@gap>H !gapinput@w := RepresentativeActionPreImage(G,[10,-4,9,5],[4,5,13,-8],H
  !gapprompt@>H !gapinput@                                     OnTuples,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0
  a*b^-1*a^-1*(b^-1*a)^2*b*a*b^-2*a*b*a^-1*b
  !gapprompt@gap>H !gapinput@elm := w^phi;H
  <rcwa permutation of Z with modulus 324>
  !gapprompt@gap>H !gapinput@List([10,-4,9,  !gapprompt@gap> !@g := ClassTransposition0,,,)ClassTransposition(0416);
  [ 4, 5, 13, -8 ]
  
{}
 }

 Sometimes an rcwa group fixes a certain partition of the underlying ring into
unions of residue classes. If this happens, then any orbit is clearly a subset
of exactly one of these parts. Further, such a partition often gives rise to
proper quotients of the group: 

\subsection{\textcolor{Chapter }{ProjectionsToInvariantUnionsOfResidueClasses (for rcwa group and modulus)}}
\logpage{[ 3, 3, 11 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X8587246A7F890849}{}
{{$\\texttt({\mdseries\, m})\index{ProjectionsToInvariantUnionsOfResidueClasses@\texttt{Projections}\-\texttt{To}\-\texttt{Invariant}\-\texttt{Unions}\-\texttt{Of}\-\texttt{Residue}\-\texttt{Classes}!for rcwa group and modulus}
\label{ProjectionsToInvariantUnionsOfResidueClasses:for rcwa group and modulus}
\fill{scriptsize(peration)}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the projections of the rcwa group{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape    : 50000  has3947 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [58, 57) out of bounds for length 65



 The partitionof a set of  for residue
classes (mod{\nobreakspace}\  n =100:after 100000 steps the iteratehas7918binarydigits.
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(ClassTransposition(0,2,1,2),     34  ,  , , , ]  ,7] [46    49java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 70 out of bounds for length 70
  !gapprompt@gap>| !gapinput@ProjectionsToInvariantUnionsOfResidueClasses(G,4);|
  [ [ ( 0(2), 1(2) ), ClassShift( 3(4) ) ] -> 
      [ ( 0(4), 1(4) ), IdentityMapping( Integers ) ], 
    [ ( 0(2), 1(2) ), ClassShift( 3(4) ) ] -> 
      [ ( 2(4), 3(4) ), <rcwa permutation of Z with modulus 4> ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(last,phi->Support(Image(phi)));|
  [ 0(4) U 1(4), 2(4) U 3(4) ]
  
\end{Verbatim}
 }

 Given two partitions of the underlying ring into the same number of unions of
residue classes, there is always an rcwa permutation which maps the one to the
other: 

\subsection{\textcolor{Chapter }{RepresentativeAction (for RCWA(R) and 2 partitions of R into residue classes)}}
\logpage{[ 3, 3, 12 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X866843D08213067E}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{RepresentativeAction({\mdseries\slshape RCWA(R), P1, P2})\index{RepresentativeAction@\texttt{RepresentativeAction}!for RCWA(R) and 2 partitions of R into residue classes}
\label{RepresentativeAction:for RCWA(R) and 2 partitions of R into residue classes}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\
 an element of RCWA($}\fill{\scriptsize (operation}\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 35 out of bounds for length 35



 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
is no tame rcwa permutation which maps \mbox{\texttt{\mdseries\slshape \noindenttextcolorFuncColor{\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [47, 46) out of bounds for length 166
Theorem{\nobreakspace}}hfill\criptsize method)}\
affine on any residue class in{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape P1}}. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small\oindent\extcolorFuncColor{\triangleright$enspace\{Ball{p r)i{@t{}for, java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [142, 138) out of bounds for length 150
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@P1 :=\extbf\ndent \ java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 27 out of bounds for length 27
   (,1(), 23 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@P2 := List([[0,2],[1,4],[3,4]],ResidueClass);|
  [ 0(2), 1(4), 3(4) ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@elm := RepresentativeAction(RCWA(Integers),P1,related operation \texttt{RestrictedBall(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape r}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape modulusbound}})} specifically for rcwa groups which computes only those elements of the ball
  <rcwa permutation of Z with modulus 3>
  !gapprompt@gap>| !\begin{Verbatim}[commandchars=small,single,Ejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 77 out of bounds for length 77
  true
!@gap !java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [29, 28) out of bounds for length 42
  false
  !\{textttRepresentativeActionPreImage!,source , ,F   inthe generatorsof{nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} than the actual group element is needed, one should use the operation \texttt{RepresentativeActionPreImage} instead. This operation takes five arguments. The first four are the same as
  <tame rcwa permutation of Z with modulus 24>
  !@gap>| gapinput@P1^elm = P2;
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@elm := RepresentativeAction(RCWA(Integers),|
  !gapprompt algorithm  based on computing radiusaround \{texttt{mdseriesslshapesource}and mbox\{mdseries\lshape } intersect{45} 
!>|!gapinput@            (3,02]]|
  !gapprompt@>| !gapinput@            [ResidueClassUnion(Integers,5,[2,4]),|
  !gapprompt@>| !gapinput@             ResidueClassUnion(Integers!apprompt@ap>H gapinput@ : [2,03,4,1,,3,41,3]); (a"")H
 <   Z
  !gapprompt@gap>| !gapinput@[ResidueClass(1,3),ResidueClassUnion(Integers,3,[0,2])]^elm;|
  [ 2(5) U 4(5), Z \ 2(5) U 4(5) ]
  
\end{Verbatim}
 }

 

\{\extcolor{Chapter }{4,9],nne)H
;
hL}{X82DBAF35788FA239}{}
{  gapprompt@>H!@Displayelm);
\label{CollatzLikeMappingByOrbitTree:for rcwa group, root point and range of radii}
}\hfill{\scriptsize
\textbf{\indent Returns:\ }
 either an rcwa mapping $f$ which maps the sphere of radius $r$ about \mbox{\texttt{\mdseries\slshape n}} under the action of \mbox{\texttt{\mdseries\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 153 out of bounds for length 43



 Obviously not for every rcwajava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 11 out of bounds for length 11
choice of generators of the group. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  gapprompt@gap>A!gapinput@G: ((,21,)ClassTransposition1,2,,)A
  !gapprompt@>A   gapprompt@> =(,10-495][513,8,H
  !gapprompt@gap>A !gapinput@G := SparseRep  !apprompt>H!gapinput@                                    ,F);H
  !@> !@f := CollatzLikeMappingByOrbitTree(G,0,4,10);A
  <rcwa mapping of Z with modulus 4 and 4   gapprompt@gap java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 57 out of bounds for length 57
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Displayjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 78 out of bounds for length 78
  
mappingZ  4 4 affine parts
  
          /
          | n+1      if n in 0(4)
           n/ n 1()
   n |-> <  n/2      if n in 2(4)
          | n-1      if n in 3(4)
          |
          \
  
  gapprompt> gapinput@B: Ball(G,,15Spheres;
  [ [ 0 ], [ 1 ], [ 2 \egin{erbatim}commandchars,=\small,rame,label=]
    [ 5, 19, 31 ], [ 4, 10, 38, 62 ], [ 11, 25, 39, 41, 63 ], 
    [ 22, 24, 40, 50, 78, 82  !@gap> !gapinput@(G,4)|
    [ 32, 46, 66, 102, 158, 166, 254 ], 
    [ 21, 47, 67, 103, 105, 159, 167, 169, 255 ] ]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@List([3..15],i->IsSubset(B[i-1],B[i]^f));A
  [ true, true, true, true, true, true, true, true, true,   !gapprompt@gap>| !gapinput@List(last,phi->Support(Image(phi
    true ]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Trajectory(f,52,[0,1]);A
  [ 52, 53, 80, 81, 122, 61, 92, 93, 140, 141, 212, 213, 320, 321, 482, 241, 
    362, 181, 272, 273, 410, 205, 308, 309, 464, 465, 698, 349, 524\{tjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [23, 22) out of bounds for length 112
,  1778 889,1334, 667, 666, 333,500 ,752 ,1130, 
    565, 848, 849, 1274, 637, 956, 957, 1436, 1437, 2156, 2157, 3236, 3237, 
    4856, 4857, 7286, 3643, 3642, 1821, 2732, 2733, 4100, 4101, 6152
    9230, 4615, 4614, 2307, 2306, 1153, 1730, 865, 1298, 649, 974, 487, 486, 
    243, 242, 121, 182, 91, 90, 45, 68, 69, 104,  element ofRCWA($R)which  partition\obreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape P1}} to{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape P2}}. 
   18 9,14,7,6, 3,2  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 30 out of bounds for length 30
  
\{Verbatim
 }

 }

  
\section{\textcolor{Chapter }{ Special   [0(2), 1(),3(4)]
residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine groups }java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 105 out of bounds for length 105
\logpage{[ 3, 4, 0 ]}
{LX781CBEFA7F39B58D}}
{
  gapprompt@gap> gelm=RepresentativeActionR(Integers,1,:IsTame|
groups. With their help, various structural information about a given such
group can be obtained. We have already seen above that there are for example
methods for \texttt{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [42, 31) out of bounds for length 42
perfectness is currently not always feasible. The purpose of this section is
to  thespecific attributes  tame groups which are needed for these
computations. 
subsection\textcolor{Chapter } RespectedPartition (of a tame rcwa group \texttt{\ymbol{}permutation) }}\logpage{ 3,4 1]
\hyperdef{L}{X7F523A6B87825AB8}{}
{
\\{}$\\enspace\texttt{RespectedPartition({\mdseries\slshape G)\index{RespectedPartition@\textttRespectedPartition}!of a tame rcwa group}
\label{RespectedPartition:of a tame rcwa group}
}\hfill{\scriptsize (attribute)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
\label{RespectedPartition:of a tame rcwa permutation}
}\hfill{\scriptsize (attribute)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 a shortest and coarsest possible respected partition of the rcwa group \mbox{\texttt{\mdseries{textcolor{}{\$enspace{CollatzLikeMappingByOrbitTree\mdseriesslshape, n,min\r max\textunderscorer)\ndex{@\texttt!rcwagroup root  andrange radii}



 A tame element $g${\nobreakspace}$\in${\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 44 out of bounds for length 35
group $G${\nobreakspace}$<${\nobreakspace}RCWA($R$), there is a common\mbox{\\\} under    \{{\slshapeG} ofradius$-$ about mbox\{mdseriesslshape }  everyr ranging\{texttt\slshape {textunderscorer} \mbox\{m\ max\},or. 

 An rcwa group or an rcwa permutation has a respected partition if and only if
it is tame Thisholds  bydefinition or by Theorem{\nobreakspace}2.5.8
in{\nobreakspace}\cite{Kohl05}, depending on how one introduces the notion of tameness. 

 \index{RespectsPartition@\texttt{RespectsPartition}!for an rcwa group} \index{RespectsPartition@\texttt{ \index{RespectsPartition@\texttt{RespectsPartition}!for an rcwa group} \index{RespectsPartition@\texttt{RespectsPartition
\
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(ClassTransposition(0,4,1,6),java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 71 out of bounds for length 56

  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsTame(G);|
true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Size(G);|
  infinity
  !gapprompt@gap>| !gapinput@P := RespectedPartition(G);|
  [ 0(4), 2(4), 1(6), 3(6), 5(6) ]
  
\end}
 }

 
subsection\textcolor{ }{ActionOnRespectedPartition\ KernelOfActionOnRespectedPartition[3, 4 2 ]} ]}
\hyperdef{L}{X831ADC1584DE6113}{}

\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{ActionOnRespectedPartition({\mdseries789 , , 1778,,1334 ,666333 500, 501,752,7531130, 
\label{ActionOnRespectedPartition:for a tame rcwa group565 ,,1274 , ,957 ,1437,2156 , 3236 3237 
}\hfill{\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [76, 14) out of bounds for length 76
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{KernelOfActionOnRespectedPartition({\mdseries\slshape G})\index{KernelOfActionOnRespectedPartition243,242 121 182 91 90 ,68,,104, , ,79,,,38 ,
\label{KernelOfActionOnRespectedPartition:for a tame rcwa group}
}\hfill{\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 17 out of bounds for length 2
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\section{\textcolor{hapter}{ Special attributes of tame
\label{residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine groups }}\label{sec:MethodsForTameGroups}
}\hfill{\scriptsize (attribute)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the action of the tame rcwa group{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} on \texttt{RespectedPartition(\mbox{\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 125 out of bounds for length 21



methodfortextttKernelOfActionOnRespectedPartition}uses  package \textsf{Polycyclic}{\nobreakspace}\cite{Polycyclic}. The rank of the largest free abelian subgroup of the kernel of the action
of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} on its stored respected partition is \texttt{RankOfKernelOfActionOnRespectedPartitioncanbe obtained.Wehave    that arefor
{Verbatim}commandchars=@,fontsize\small,framesingle,Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(ClassTransposition(0,4,1,6),ClassShift(0,2));;|
()|
  Group([ (1,3), (1 
);|
  true
  
  66
  !gapprompt@gap>| !gapinput@K := java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 49 out of bounds for length 47
  <rcwagroup over Zwith generators>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@RankOfKernelOfActionOnRespectedPartition(G);|
  3
  !gapprompt@> !I(G,);java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 41 out of bounds for length 41
  6
  !@> !apinput(GeneratorsOfGroup(K),Factorization);|
  [ [ ClassShift( 0(4) ) ], [ ClassShift( 2(4) ) ], [ ClassShift( 1(6) ) ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Image(IsomorphismPcpGroup(K));|
  Pcp- with orders [0 0 0]
  
\end
 

 or an  permutation   if   if
classesittame  holds definitionor by Theorem{\nobreakspace}2.5.8

index@{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [55, 51) out of bounds for length 607
tamercwa does not determine  integral conjugateuniquely.
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !g> gapinputG: ClassTransposition(0,16,lassShift0,2);java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 87 out of bounds for length 87
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G^IntegralizingConjugator(G) = IntegralConjugate(G);|
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@RespectedPartition(G);|
  [ 0(4), 2(4), 1(6),   !gapprompt@gap>| !gapinput@IsTame(G);|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@RespectedPartition(G)^IntegralizingConjugator(G);|
  [ 0(5), 1(5), 2(5), 3(5), 4(5) ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@last = java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 54 out of bounds for length 10
  true
  
\end{Verbatim}
 }

  
\section{\textcolor{Chapter }{Generating pseudo\texttt{\symbol{45}}random elements of RCWA(R) java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 1
\logpage{[ 3, 5, 0 ]}
\L}X81941A247942FB99}}
{
  \index{Random@\texttt{Random}!RCWA(R)} \index{Random@\texttt{Random}!CT(R)} There are methods for the operation \texttt\noindent\textcolor}{\triangleright$enspacetextttActionOnRespectedPartition({mdseriesslshape }\ActionOnRespectedPartition@t{}!for atame rcwa groupjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 204 out of bounds for length 204
examples. No particular distribution is guaranteed. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@B,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>B !gapinput@elm := Random(RCWA(Integers));;B
h\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [21, 19) out of bounds for length 35
\{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [70, 47) out of bounds for length 70
  permutation ofZ with modulus
 
          /
          | 6n+12     if n in 2(10) U 4(10) U 6(10) U 8(10)
          | 3n+3      if n in 1(20) U 5(20) U 9(20) U 17(20)
          | 6n+10     if n in 0(10)
         |(n+)2if n in 15(60) U2760) U 39(60)U5160)
          | (n+7)/2   if n in 19(60) U 31(60) U 43(60) U 55(60)
          | 3n+1ifin 13(0))
          | (-n+17)/6 if n in 23(180) U 35(180) U 59(180) U 71(180) U 
   n |-> <                    95(180) U 131(180) U 143(180) U 179(180)
          | (-n-1)/6  if n in 11(180) U 47(180) U 83(180) U 155(180)
          | (-n+7)/2  if n in 3(60)
          | (n+3)/2   if n in 7(60)
          | (n-17)/6  if n in 107(180)
          | (-n+11)/6 if n in 119(180)
          | (-n+29)/6 if n in 167(180)
          |
          \
  
\end{Verbatim}
 The elementsjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 3 out of bounds for length 3
class shifts (java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 17) out of bounds for length 3
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap  true
  [ ClassTransposition(0,2,3,4), ClassTransposition(1,2,4,6), ClassShift(0,2), 
    ClassShift(1,3), ClassReflection(2,5), ClassReflection(1,3), 
    ClassReflection(1,2) ]
  
\end{Verbatim}
 }

  
\section{\textcolor{Chapter }{The categories of residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise
affine groups}}\label{sec:CategoriesOfRcwaGroups}
\ogpage[ 3 6 0]}
\hyperdef{L}{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 30) out of bounds for length 2
{
  

\subsection{\textcolor{Chapter }{IsRcwaGroup}}
\logpage{[3,6 1]\
{X84AFBB997B694A3D{
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{IsRcwaGroup({\mdseries\slshape G})\index{IsRcwaGroup@\texttt{IsRcwaGroup}}
\label{IsRcwaGroup}
}\hfill{\scriptsize (filter)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{IsRcwaGroupOverZ({\mdseries\slshape java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 100) out of bounds for length 70
\label
}\hfill{\scriptsize (filter)}}\\
\noindent\\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [20, 19) out of bounds for length 104
\label{IsRcwaGroupOverZuScorepi}
}\hfill{\scriptsize (filter)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{IsRcwaGroupOverGFqx(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
\label{IsRcwaGroupOverGFqx}
}\hfill{\scriptsize (filter)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 \texttt{true} if \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is an rcwa group, an rcwa group over the ring of integers, an rcwa group over
a semilocalization of the ring of integers or an rcwa group over a polynomial
ring in one variable over a finite field, respectively, and \texttt{false} otherwise. 



 \index{IsRcwaGroupOverZOrZ_pi@\texttt{IsRcwaGroupOverZOrZ{\textunderscore}pi}} Often the same methods can be used for rcwa groups over the ring of integers
and over its semilocalizations. For this reason there is a category \texttt{IsRcwaGroupOverZOrZ{\textunderscore}pi} which is the union of \texttt{IsRcwaGroupOverZ} and \texttt{IsRcwaGroupOverZ{\textunderscore}pi}. 

 \index{IsNaturalRCWA@\texttt{IsNaturalRCWA}} \index{IsNaturalCT@\texttt{IsNaturalCT}} To allow distinguishing the groups RCWA($R$) and CT($R$) from others, they have the characteristic property \texttt{IsNaturalRCWA} or \texttt{IsNaturalCT}, respectively. }

 }

  }

       
\chapter{\textcolor{Chapter }{Residue\texttt{\symbol{45}}Class\texttt{\symbol{45}}Wise Affine Monoids}}\label{ch:RcwaMonoids}
\logpage{[ 4, 0, 0 ]}
\hyperdef{L}{X81C90F7C7BA25BDF}{}
{
   In this short chapter, we describe how to compute with
residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine monoids. \index{rcwa monoid@rcwa monoid!definition} \emph{Residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine} monoids, or \emph{rcwa} monoids for short, are monoids whose elements are
residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine mappings.  
\section{\textcolor{Chapter }{Constructing residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine
monoids}}\label{sec:ContructingRcwaMonoids}
\logpage{[ 4, 1, 0 ]}
\hyperdef{Ljava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 21 out of bounds for length 21
{
  \index{Monoid@\texttt{Monoid}} \index{MonoidByGenerators@\texttt{MonoidByGenerators}} As any other monoids in \textsf{GAP}, residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine monoids can
be constructed by \texttt{Monoid} or \texttt{MonoidByGenerators}. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@M := Monoid(RcwaMapping([[ 0,1,1],[1,1,1]]),|
  !gapprompt@>| !gapinput@               RcwaMapping([[-1,3,1],[0,2,1]]));|
  <rcwa monoid over Z with 2 generators>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Size(M);|
  11
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Display(MultiplicationTable(M));|
  [ [   1,   2,   3,   4,   5,   6,   7,   8,   9,  10,  11 ], 
    [   2,   8,   5,  11,   8,   3,  10,   5,   2,   8,   5 ], 
    [   3,  10,  11,   5,   5,   5,   8,   8,   8,   2,   3 ], 
    [   4,   9,   6,   8,   8,   8,   5,   5,   5,   7,   4 ], 
    [   5,   8,   5,   8,   8,   8,   5,   5,   5,   8,   5 ], 
    [   6,   7,   4,   8,   8,   8,   5,   5,   5,   9,   6 ], 
    [   7,   5,   8,   6,   5,   4,   9,   8,   7,   5,   8 ], 
    [   8,   5,   8,   5,   5,   5,   8,   8,   8,   5,   8 ], 
    [   9,   5,   8,   4,   5,   6,   7,   8,   9,   5,   8 ], 
    [  10,   8,   5,   3,   8,  11,   2,   5,  10,   8,   5 ], 
    [  11,   2,   3,   5,   5,   5,   8,   8,   8,  10,  11 ] ]
  
\end{Verbatim}
 \index{View@\texttt{View}!for an rcwa monoid} \index{Display@\texttt{Display}!for an rcwa monoid} \index{Print@\texttt{Print}!for an rcwa monoid} \index{String@\texttt{String}!for an rcwa monoid} There are methods for the operations \texttt{View}, \texttt{Display}, \texttt{Print} and \texttt{String} which are applicable to rcwa monoids. All rcwa monoids over a ring $R$ are submonoids of Rcwa($R$). The monoid Rcwa($R$) itself is not finitely generated, thus cannot be constructed as described
above. It is handled as a special case: 

\subsection{\textcolor{Chapter }{Rcwa (the monoid formed by all rcwa mappings of a ring)}}
\logpage{[ 4, 1, 1 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X7B95FCA279E0D6CC}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Rcwa({\mdseries\slshape R})\index{Rcwa@\texttt{Rcwa}!the monoid formed by all rcwa mappings of a ring}
\label{Rcwa:the monoid formed by all rcwa mappings of a ring}
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the monoid Rcwa(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape R}}) of all residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine
mappings of the ring{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape R}}. 



 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@RcwaZ := Rcwa(Integers);|
  Rcwa(Z)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsSubset(RcwaZ,M);|
  true
  
\end{Verbatim}
 }

 \index{Restriction@\texttt{Restriction}!for an rcwa monoid, by an injective rcwa mapping} \index{Induction@\texttt{Induction}!for an rcwa monoid, by an injective rcwa mapping} In our methods to construct rcwa groups, two kinds of mappings played a
crucial role, namely the restriction monomorphisms (cf.{\nobreakspace}\texttt{Restriction} (\ref{Restriction:of an rcwa group, by an injective rcwa mapping})) and the induction epimorphisms (cf.{\nobreakspace}\texttt{Induction} (\ref{Induction:of an rcwa group, by an injective rcwa mapping})). The restriction monomorphisms extend in a natural way to the monoids Rcwa($R$), and the induction epimorphisms have corresponding generalizations, also.
Therefore the operations \texttt{Restriction} and \texttt{Induction} can be applied to rcwa monoids as well: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@M2 := Restriction(M,2*One(Rcwa(Integers)));|
  <rcwa monoid over Z with 2 generators, of size 11>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Support(M2);|
  0(2)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Action(M2,ResidueClass(1,2));|
  Trivial rcwa monoid over Z
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Induction(M2,2*One(Rcwa(Integers))) = M;|
  true
  
\end{Verbatim}
 }

  
\section{\textcolor{Chapter }{Computing with residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine
monoids}}\label{sec:ComputingWithRcwaMonoids}
\logpage{[ 4, 2, 0 ]}
\hyperdef{L}{X8759954F7EB1A658}{}
{
  \index{Size@\texttt{Size}!for an rcwa monoid} \index{rcwa monoids@\texttt{rcwa monoids}!membership test} \index{IsSubset@\texttt{IsSubset}!for two rcwa monoids} There is a method for \texttt{Size} which computes the order of an rcwa monoid. Further there is a method for \texttt{in} which checks whether a given rcwa mapping lies in a given rcwa monoid
(membership test), and there is a method for \texttt{IsSubset} which checks for a submonoid relation. 

 \index{Support@\texttt{Support}!of an rcwa monoid} \index{Modulus@\texttt{Modulus}!of an rcwa monoid} \index{IsTame@\texttt{IsTame}!for an rcwa monoid} \index{PrimeSet@\texttt{PrimeSet}!of an rcwa monoid} \index{IsIntegral@\texttt{IsIntegral}!for an rcwa monoid} \index{IsClassWiseOrderPreserving@\texttt{IsClassWiseOrderPreserving}!for an rcwa monoid} \index{IsSignPreserving@\texttt{IsSignPreserving}!for an rcwa monoid} There are also methods for \texttt{Support}, \texttt{Modulus}, \texttt{IsTame}, \texttt{PrimeSet}, \texttt{IsIntegral}, \texttt{IsClassWiseOrderPreserving} and \texttt{IsSignPreserving} available for rcwa monoids. 

 \index{rcwa monoid@rcwa monoid!modulus} \index{rcwa monoid@rcwa monoid!tame} \index{rcwa monoid@rcwa monoid!wild} \index{rcwa monoid@rcwa monoid!prime set} \index{rcwa monoid@rcwa monoid!integral} \index{rcwa monoid@rcwa monoid!class-wise order-preserving} \index{rcwa monoid@rcwa monoid!sign-preserving} The \emph{support} of an rcwa monoid is the union of the supports of its elements. The \emph{modulus} of an rcwa monoid is the lcm of the moduli of its elements in case such an lcm
exists and 0 otherwise. An rcwa monoid is called \emph{tame} if its modulus is nonzero, and \emph{wild} otherwise. The \emph{prime set} of an rcwa monoid is the union of the prime sets of its elements. An rcwa
monoid is called \emph{integral}, \emph{class\texttt{\symbol{45}}wise order\texttt{\symbol{45}}preserving} or \emph{sign\texttt{\symbol{45}}preserving} if all of its elements are so. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@f1 := RcwaMapping([[-1, 1, 1],[ 0,-1, 1]]);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@f2 := RcwaMapping([[ 1,-1, 1],[-1,-2, 1],[-1, 2, 1]]);; |
  !gapprompt@gap>| !gapinput@f3 := RcwaMapping([[ 1, 0, 1],[-1, 0, 1]]);; |
  !gapprompt@gap>| !gapinput@N := Monoid(f1,f2,f3);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Size(N);|
  366
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List([Monoid(f1,f2),Monoid(f1,f3),Monoid(f2,f3)],Size);|
  [ 96, 6, 66 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@f1*f2*f3 in N;|
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsSubset(N,M);|
  false
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsSubset(N,Monoid(f1*f2,f3*f2));|
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Support(N);|
  Integers
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Modulus(N);|
  6
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsTame(N) and IsIntegral(N);|
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsClassWiseOrderPreserving(N) or IsSignPreserving(N);|
  false
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Collected(List(AsList(N),Image)); # The images of the elements of N.|
  [ [ Integers, 2 ], [ 1(2), 2 ], [ Z \ 1(3), 32 ], [ 0(6), 44 ], 
    [ 0(6) U 1(6), 4 ], [ Z \ 4(6) U 5(6), 32 ], [ 0(6) U 2(6), 4 ], 
    [ 0(6) U 5(6), 4 ], [ 1(6), 44 ], [ 1(6) U [ -1 ], 2 ], 
    [ 1(6) U 3(6), 4 ], [ 1(6) U 5(6), 40 ], [ 2(6), 44 ], 
    [ 2(6) U 3(6), 4 ], [ 3(6), 44 ], [ 3(6) U 5(6), 4 ], [ 5(6), 44 ], 
    [ 1 ], 
    [ [ -1 ], 1 ], [ [ 0 ], 1 ], [ [ 1 ], 1 ], [ [ 2 ], 1 ], [ [ 3 ], 1 ], 
    [ [ 5 ], 1 ], [ [ 6 ], 1 ] ]
  
\end{Verbatim}
 Finite forward orbits under the action of an rcwa monoid can be found by the
operation \texttt{ShortOrbits}: 

\subsection{\textcolor{Chapter }{ShortOrbits (for rcwa monoid, set of points and bound on length)}}
\logpage{[ 4, 2, 1 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X87DB896687475084}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{ShortOrbits({\mdseries\slshape M, S, maxlng})\index{ShortOrbits@\texttt{ShortOrbits}!for rcwa monoid, set of points and bound on length}
\label{ShortOrbits:for rcwa monoid, set of points and bound on length}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 a list of finite forward orbits of the rcwa monoid{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}} of length at most{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape maxlng}} which start at points in the set{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape S}}. 



 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@ShortOrbits(M,[-5..5],20);|
  [ [ -5, -4, 1, 2, 7, 8 ], [ -3, -2, 1, 2, 5, 6 ], [ -1 .. 4 ] ]
pt@ap>| !apinput@Print(Action(last[])"n);|
 Monoid( [Transformation( [ 2, 3, 4, 3, 6, 3 ] ), 
    Transformation( [ 4, 5, 4, 3, 4, 1 ] ) ] )
  !gapprompt@gap>| !gapinput@orbs := ShortOrbits(N,[0..10],100);|
  [ [ -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 5, 6 ], 
    [ -11, -10, -9, -7, -6, -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 
        11, 12 ], 
    [ -17, -16, -15, -13, -12, -11, -10, -9, -7, -6, -5, -4, -3, -1, 0, 1, 
        2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18 ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@quots := List(orbs,orb->Action(N,orb));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(quots,Size);|
  [ 268, 332, 366 ]
  
\end{Verbatim}
 }

 Balls of given radius around an element of an rcwa monoid can be computed by
the operation \texttt{Ball}. This operation can also be used for computing forward orbits or subsets of
such under the action of an rcwa monoid: 
\subsection{\textcolor{Chapter }{ Ball (for monoid, element and radius or monoid, point, radius and action) }}\logpage{[ 4, 2, 2 ]}
\hyperdef{L}{X787848137DF1C245}{}
{
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Ball({\mdseries\slshape M, f, r})\index{Ball@\texttt{Ball}!for monoid, element and radius}
\label{Ball:for monoid, element and radius}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{Ball({\mdseries\slshape M, p, r, action})\index{Ball@\texttt{Ball}!for monoid, point, radius and action}
\label{Ball:for monoid, point, radius and action}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the ball of radius{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape r}} around the element{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} in the monoid{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}}, respectively the ball of radius{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape r}} around the point{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape p}} under the action{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape action}} of the monoid{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}}. 



 All balls are understood with respect to \texttt{GeneratorsOfMonoid(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}})}. As membership tests can be expensive, the first\texttt{\symbol{45}}mentioned
method does not check whether \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is indeed an element of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}}. The methods require that point\texttt{\symbol{45}} / element comparisons are
cheap. They are not only applicable to rcwa monoids. If the option \mbox{\texttt{\mdseries\slshape Spheres}} is set, the ball is split up and returned as a list of spheres. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List([0..12],k->Length(Ball(N,One(N),k)));|
  [ 1, 4, 11, 26, 53, 99, 163, 228, 285, 329, 354, 364, 366 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Ball(N,[0..3],2,OnTuples);|
  [ [ -3, 3, 3, 3 ], [ -1, -3, 0, 2 ], [ -1, -1, -1, -1 ], 
    [ -1, -1, 1, -1 ], [ -1, 1, 1, 1 ], [ -1, 3, 0, -4 ], [ 0, -1, 2, -3 ], 
    [ 0 .. 3 ], [ 1, -1, -1, -1 ], [ 1, 3, 0, 2 ], [ 3, -4, -1, 0 ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@l := 2*IdentityRcwaMappingOfZ; r := l+1;|
  Rcwa mapping of Z: n -> 2n
  Rcwa mapping of Z: n -> 2n + 1
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Ball(Monoid(l,r),1,4,OnPoints:Spheres);|
  [ [ 1 ], [ 2, 3 ], [ 4, 5, 6, 7 ], [ 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ], 
    [ 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31 ] ]
  
\end{Verbatim}
 }

  }

  }

       
\chapter{\textcolor{Chapter }{ Residue\texttt{\symbol{45}}Class\texttt{\symbol{45}}Wise Affine Mappings,
Groups and Monoids over ${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$ }}\label{ch:ZxZ}
\logpage{[ 5, 0, 0 ]}
\hyperdef{L}{X788EB00B82897762}{}
{
   This chapter describes how to compute with
residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine mappings
of{\nobreakspace}${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$ and with groups and monoids formed by them. 

 The rings on which we have defined
residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine mappings so
far have all been principal ideal domains, and it has been crucial that all
nontrivial principal ideals had finite index. However, the rings ${\ensuremath{\mathbb Z}}^d$, $d > 1$ are not principal ideal domains. Furthermore, their principal ideals have
infinite index. Therefore as moduli of
residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine mappings we
can only use lattices of full rank, for these are precisely the ideals of ${\ensuremath{\mathbb Z}}^d$ of finite index. However, on the other hand we can also be more permissive and
look at ${\ensuremath{\mathbb Z}}^d$ not as a ring, but rather as a free {\ensuremath{\mathbb
Z}}\texttt{\symbol{45}}module. The consequence of this is that then an affine
mapping of ${\ensuremath{\mathbb Z}}^d$ is not just given by $v \mapsto (av+b)/c$ for some $a, b, c \in {\ensuremath{\mathbb Z}}^d$, but rather by $v \mapsto (vA+b)/c$, where $A \in {\ensuremath{\mathbb Z}}^{d \times d}$. Also for technical reasons concerning the implementation in \textsf{GAP}, looking at ${\ensuremath{\mathbb Z}}^d$ as a free {\ensuremath{\mathbb Z}}\texttt{\symbol{45}}module is preferable
\texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} in \textsf{GAP}, \texttt{Integers\texttt{\symbol{94}}d} is not a ring, and multiplying lists of integers means forming their scalar
product.  
\section{\textcolor{Chapter }{ The definition of residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise
affine mappings of ${\ensuremath{\mathbb Z}}^d$ }}\label{sec:DefinitionOfRcwaMappingsOfZxZ}
\logpage{[ 5, 1, 0 ]}
\hyperdef{L}{X781907CA785CC7AC}{}
{
  \index{rcwa mapping@rcwa mapping!of Z x Z, definition} Let $d \in {\ensuremath{\mathbb N}}$. We call a mapping $f: {\ensuremath{\mathbb Z}}^d \rightarrow {\ensuremath{\mathbb Z}}^d$ \emph{residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine} if there is a lattice $L = {\ensuremath{\mathbb Z}}^d M$ where $M \in {\ensuremath{\mathbb Z}}^{d \times d}$ is a matrix of full rank, such that the restrictions of $f$ to the residue classes $r + L \in {\ensuremath{\mathbb Z}}^d/L$ are all affine. This means that for any residue class $r + L \in {\ensuremath{\mathbb Z}}^d/L$, there is a matrix $A_{r+L} \in {\ensuremath{\mathbb Z}}^{d \times d}$, a vector $b_{r+L} \in {\ensuremath{\mathbb Z}}^d$ and a positive integer $c_{r+L}$ such that the restriction of{\nobreakspace}$f$ to $r + L$ is given by $f|_{r + L}: \ r + L \ \rightarrow \ {\ensuremath{\mathbb Z}}^d, \ \ v \
\mapsto \ (v \cdot A_{r+L} + b_{r+L})/c_{r+L}$. For reasons of uniqueness, we assume that $L$ is chosen maximal with respect to inclusion, and that no prime factor of $c_{r+L}$ divides all coefficients of $A_{r+L}$ and{\nobreakspace}$b_{r+L}$. 

 \index{rcwa mapping@rcwa mapping!modulus} \index{rcwa mapping@rcwa mapping!class-wise translating} \index{class-wise translating@class\texttt{\symbol{45}}wise translating!definition} \index{prime set@prime set!definition} We call the lattice $L$ the \emph{modulus} of $f$, written Mod($f$). Further we define the \emph{prime set} of{\nobreakspace}$f$ as the set of all primes which divide the determinant of at least one of the
coefficients $A_{r+L}$ or which divide the determinant of{\nobreakspace}$M$, and we call the mapping{\nobreakspace}$f$ \emph{class\texttt{\symbol{45}}wise translating} if all coefficients{\nobreakspace}$A_{r+L}$ are identity matrices and all coefficients{\nobreakspace}$c_{r+L}$ are equal to{\nobreakspace}1. 

 For the sake of simplicity, we identify a lattice with the Hermite normal form
of the matrix by whose rows it is spanned. }

  
\section{\textcolor{Chapter }{ Entering residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine
mappings of ${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$ }}\label{sec:EnteringRcwaMappingsOfZxZ}
\logpage{[ 5, 2, 0 ]}
\hyperdef{L}{X7A39FCF08030AB9B}{}
{
  Residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine mappings of ${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$ can be entered using the general constructor \texttt{RcwaMapping} (\ref{RcwaMapping:by ring, modulus and list of coefficients}) or the more specialized functions \texttt{ClassTransposition} (\ref{ClassTransposition:r1, m1, r2, m2}), \texttt{ClassRotation} (\ref{ClassRotation:cl, u}) and \texttt{ClassShift} (\ref{ClassShift:cl}). The arguments differ only slightly. 
\subsection{\textcolor{Chapter }{ RcwaMapping (the general constructor; methods for ${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$) }}\logpage{[ 5, 2, 1 ]}
\hyperdef{L}{X790649618012C606}{}
{
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{RcwaMapping({\mdseries\slshape R, L, coeffs})\index{RcwaMapping@\texttt{RcwaMapping}!by ring = Z x Z, modulus and coefficients}
\label{RcwaMapping:by ring = Z x Z, modulus and coefficients}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{RcwaMapping({\mdseries\slshape P1, P2})\index{RcwaMapping@\texttt{RcwaMapping}!by two partitions of Z x Z into residue classes}
\label{RcwaMapping:by two partitions of Z x Z into residue classes}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{RcwaMapping({\mdseries\slshape cycles})\index{RcwaMapping@\texttt{RcwaMapping}!of Z x Z, by residue class cycles}
\label{RcwaMapping:of Z x Z, by residue class cycles}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{RcwaMapping({\mdseries\slshape f, g})\index{RcwaMapping@\texttt{RcwaMapping}!of Z x Z, by projections to coordinates}
\label{RcwaMapping:of Z x Z, by projections to coordinates}
}\hfill{\scriptsize (method)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 an rcwa mapping of ${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$. 



 The above methods return 
\begin{description}
\item[{(a)}  indexSize@\texttt{Size}!for an rcwa monoid} \index{rcwa monoids@\texttt{rcwa monoids}!membership test} \index{IsSubset@\texttt{IsSubset}!for two rcwa monoids} There is a method for \texttt{Size} which computes the order of an rcwa monoid. Further there is a method for \texttt{in} which checks whether a given rcwa mapping lies in a given rcwa monoid
\item[{(b)}]  an rcwa permutation which induces a bijection between the partitions \mbox{\texttt{\mdseries\slshape P1}} and \mbox{\texttt{\mdseries\slshape P2}} of{\nobreakspace}${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$ into residue classes and which is affine on the elements of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape P1}}, 
\item[{(c)}]  an rcwa permutation with ``residue class cycles'' given by a list \mbox{\texttt{\mdseries\slshape cycles}} of lists of pairwise disjoint residue classes of{\nobreakspace}${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$ each of which it permutes cyclically, and 
\item[{(d)}]  the rcwa mapping of{\nobreakspace}${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$ whose projections to the coordinates are given by \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} and{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}}, 
\end{description}
 respectively. 

 The modulus of an rcwa mapping of ${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$ is a lattice of full rank. It is represented by a matrix \mbox{\texttt{\mdseries\slshape L}} in Hermite normal form, whose rows are the spanning vectors. 

 A coefficient list for an rcwa mapping of ${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$ with modulus{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape L}} consists of $|\det(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape L}})|$ coefficient triples \texttt{[}$A_{r+{\ensuremath{\mathbb Z}}^2\mbox{\texttt{\mdseries\slshape L}}}$, $b_{r+{\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 309 out of bounds for length 102
ordering of the representatives of the residue classes $r+{\ensuremath{\mathbb Z}}^2\mbox{\texttt{\mdseries\slshape L}}$ in the sorted list returned by \texttt{AllResidues(Integers\texttt{\symbol{94}}2,\mbox{\texttt{\mdseries\slshape L}})}. 

 The methods for the operation \texttt{RcwaMapping} perform a number of argument checks, which can be skipped by using \texttt{RcwaMappingNC} instead. 

 Last but not least, regarding Method{\nobreakspace}(dexistsand 0otherwise An rcwamonoidis called emphtame ifits modulus is nonzero,  \emph{wild} otherwise. The \emph{prime set} of an rcwa monoid is the union of the prime sets of its elements. An rcwa
that only very special rcwa mappings of{\nobreakspace}${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$ have projections to coordinates. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@E,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>E !gapinput@R := Integers^2;;E
  !gapprompt@gap>E !gapinput@twice := RcwaMapping(R,[[1,0],[0,1]],E
  !gapprompt@>E !gapinput@                          [[[[2,0],[0,2]],[0,0],1]]);       # method (a)E
  Rcwa mapping of Z^2: (m,n) -> (2m,2n)
  !gapprompt@gap>E !gapinput@[4,5]^twice;E
  [ 8, 10 ]
  !gapprompt@gap>E !!gapprompt@gap>| !gapinputNjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 38 out of bounds for length 38
  !gapprompt@>E !gapinput@                           >List[,)Monoid(,)Monoid)|
  Rcwa mapping of Z^2: (m,n) -> (2m,n)
  !gapprompt@gap>E !gapinput@[4,5]^twice1;E
  [ 8, 5 ]
  !gapprompt@gap>E !gapinput@Image(twice1);E
  (0,0)+(2,0)Z+(0,1)Z
  !gapprompt@gap>E !gapinput@hyperbolic := RcwaMapping(R,[[1,0],[0,!gapprompt@gap|!@(,Monoid(f1*f3*f2)|
  !gapprompt@>E !gapinput@                               [[[[4,0],[0,1]],[0, 0],2],E
  !gapprompt@>E !gapinput@                                [[[4,0],[0,1]],[2,-1],2]]); # method (a)E
  <rcwa mapping of Z^2 with modulus (1,0)Z+(0,2)Z>
  !gapprompt@gap>E !gapinput@IsBijective(hyperbolic);E
  true
  !gapprompt@gap>E !gapinput@Display(hyperbolic);E
  
  Rcwa permutation of Z^2 with modulus (1,0)Z+(0,2)Z
  
              /
              | 2,/2if (m,n)  (,)+10Z(,)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 62 out of bounds for length 62
(,)|> <(m1(-1/2  (m,n in (,1)+(1,)+(,)
              |
              \
  
!> ghyperbolic[0,]20;java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 66 out of bounds for length 66
   , 10000]  0  ]  0 2500],  0,1250 ,[ ,625 ] 
    [ 1, 312 ], [ 2, 156 ], [ 4, 78 ], [ 8, 39 ], [ 17, 19 ], [ 35, 9 ], 
    [ 71, 4 ], [ 142    [06)U5(6)(6,4] [ (),44 ],[ 16)U[ - ], 2 ], 
    [ 2276,     [16 U()  ,[ () U(,  ,[2(),44 , 
  !gapprompt@gap>E !gapinput@P1 := AllResidueClassesModulo(R,[[2,1],[0,2]]);E
  [ (0,0)+(2,1)Z+(0,2)Z, (0,1)+(2,1)Z+(0,2)Z, (1,0)+(2,1)Z+(0,2)Z,
   (,)+21)Z+(0,)Z ]
  !gapprompt@gap>E !gapinput@P2 := AllResidueClassesModulo    [5(6 U[ 1 ],2 ],[ [ -5],1],[[ -4 ,  ],[ [- ],1 ] 
  [ (0,0)+(1,0)Z+(0,4)Z, (0,1)+(1,0)Z+(0,4)Z, (0,2)+(1,0)Z+(0,4)Z,
(0,3)+1,)Z+(04) ]
  !gapprompt@gap>E !gapinput@g := RcwaMapping(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 48) out of bounds for length 32
  <rcwa permutation of Z^2 with modulus (2,1)Z+(0,2)Z>
  !gapprompt@gap>E !gapinput@P1^g = P2;E
  true
  !gapprompt@apE !apinputDisplay(:AsTable)E
  
  Rcwapermutation of Z with modulus (2,)+(02)
  
     [m,n] mod (2,1)Z+(0,2)Z   |              Image of [m,n]
  -----------------------------+-------------------------------------------
   [0,0]                       | [m/2,-m+2n]
   []                        [m/,m+2n-1]
   [1,0]                       | [(m-1)/2,-m+2n+3]
   [1,1]                       | [(m-1)/2,-m+2n+2]
  
  !gapprompt@gap>E !gapinput@classes := List([[[0,0],[[2,1],[0,2]]],[[1,0],[[2,1],[0,4]]],E
  !gapprompt@>E !gapinput@                    [[1,1],[[4\extbf{\indent Returns:\ }
  [ (0,0)+(2,1)Z+(0,2)Z, (1,0)+(2,1)Z+(0,4)Z, (1,1)+(4,2)Z+(0,4)Z ]
  !gapprompt@gap>E !gapinput@g := RcwaMapping([classes]);                             # method (c)E
 rcwapermutation of ^2 withmodulus (4,2)Z+(0,4)Z, of order 3>
  !gapprompt@gap>E !gapinput@Permutation(g,classes);E
  (1,2,3)
  !gapprompt@gap>E !gapinput@Support(g);E
  (0,\eginVerbatim}[commandchars=!@|,=small,=single=Example]
  !gapprompt@gap>E !gapinput@Display(g);E
  
  Rcwa permutation of Z^2 with modulus  [[ -,-4,,2, 7, 8 ]  - 2,1,2,5 6 ]  1.   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 65 out of bounds for length 65
  
              /
              |   !gapprompt@gap> !gapinput@orbs := ShortOrbitsN[0.10,100);|
              | (2m-1,(m+2n+1)/2) if (m,n) in (1,0)+(2,1)Z+(0,4)Z
   (m,n) |-> <  ((m-1)/2,(n-1)/2) if (m,n) in (1,1)+(4,2)Z+(0,4)Z
              | (m,n)             otherwise

              \
  
  !gapprompt@gap>E !gapinput@g := RcwaMapping(ClassTransposition(0,2,1,2),E
  !gapprompt@>E !gapinput@                    ClassReflection(0,2));                  # method (d)E
  <rcwa mapping of Z^2 with modulus (2,0)Z+(0,2)Z>
  !gapprompt@gap>E !gapinput@Display(g);E
  
  Rcwa mapping of Z^2 with modulus (2,0)Z+(0,        11  , 
  
              /
              | (m+1,-n) if        2,3 5,6 7 88,9,10, 11 12,,14,15 17, 18 ] java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 63 out of bounds for length 63
              | (m+1,n)  if (m,n) in (0,1)+(2,0)Z+(0,2)Z
   (m,n) |-> <  (m-,-n) if (m,n) in (,0)+(,)Z+(0,)Z
              | (m-1,n)  if (m,n) in (1,1)+(2,0)Z+(0,2)Z
              |
              \
  
!gapprompt@gap>>E!gapinput@g^2;E
  IdentityMapping( ( Integers^2 ) )
  !gapprompt@gap>E !gapinput@List(ProjectionsToCoordinates(g),Factorization);E
  [ [ ( 0(2), 1(2) ) ], [ ClassReflection( 0(2) ) ] ]
  
\end{Verbatim}
 }

 
\subsection{\textcolor{Chapter }{ ClassTransposition (for ${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$) }}\logpage{[ 5, 2, 2 ]}
\hyperdef{L}{X7B450EE17B465E02}{}
{
@texttt{ClassTransposition!r1,L1 r2,( Zx Z}
\label{label{Ball:formonoid, , radiusand 
}h\scriptsize()}\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 34 out of bounds for length 34
\noindent\extcolor{FuncColor}{$\triangleright{ClassTransposition{\mdseries\lshape cl1, cl2})\{ClassTransposition@\texttt{ClassTransposition}!cl1, cl2 (for Z x Z)}
\label{ClassTransposition:cl1, cl2 (for Z x Z)}
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the class transposition $\tau_{r_1+{\ensuremath{\mathbb Z}}^2L_1,r_2+{\ensuremath{\mathbb Z}}^2L_2}$. 



 Let $d \in {\ensuremath{\mathbb N}}$, and let $L_1, L_2 \in {\ensuremath{\mathbb Z}}^{d \times d}$ be matrices of full rank which are in Hermite normal form. Further let $r_1 + {\ensuremath{\mathbb Z}}^d L_1$ and $r_2 + {\ensuremath{\mathbb Z}}^d L_2$ be disjoint residue classes, and assume that the representatives $r_1$ and $r_2$ are reduced modulo{\nobreakspace}${\ensuremath{\mathbb Z}}^d L_1$ and{\nobreakspace}${\ensuremath{\mathbb Z}}^d L_2$, respectively. Then we define the \emph{class transposition} $\tau_{r_1+{\ensuremath{\mathbb Z}}^d L_1, r_2+{\ensuremath{\mathbb Z}}^d L_2}
\in {\rm Sym}({\ensuremath{\mathbb Z}}^d)$ as the involution which interchanges $r_1 + k L_1$ and $r_2 + k L_2$ for all $k \in {\ensuremath{\mathbb Z}}^d$. 

 The class transposition $\tau_{r_1+{\ensuremath{\mathbb Z}}^d L_1, r_2+{\ensuremath{\mathbb Z}}^d L_2}$ interchanges the residue classes $r_1+{\ensuremath{\mathbb Z}}^d L_1$ and $r_2+{\ensuremath{\mathbb Z}}^d L_2$, and fixes the complement of their union pointwise. The set of all class
transpositions of{\nobreakspace}${\ensuremath{\mathbb Z}}^d$ generates the simple group CT(${\ensuremath{\mathbb Z}}^d$) (cf.{\nobreakspace}\cite{Kohl13}). 

Inthe \texttt{\ymbol45}argument form thearguments\mbox\texttt{\mdseries\ r1},\mbox{\texttt{\\slshape }, mbox{\texttt{mdseries r2} and{\\{mdseries\slshape L2}} stand for $r_1$, $L_1$, $r_2$ and{\nobreakspace}$L_2$, respectively. In the two\texttt{\symbol{45}}argument form, the arguments \mbox{\texttt{\mdseries\slshape cl1}} and{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape cl2}} stand for the residue classes $r_1+{\ensuremath{\mathbb Z}}^2 L_1$ and{\nobreakspace}$r_2+{\ensuremath{\mathbb Z}}^2 L_2$, respectively. Enclosing the argument list in list brackets is permitted. The
residue classes $r_1+{\ensuremath{\mathbb Z}}^2 L_1$ and $r_2+{\ensuremath{\mathbb Z}}^2 L_2$ are stored as an attribute \texttt{TransposedClasses}. 

 \index{SplittedClassTransposition@\texttt{SplittedClassTransposition}!for a class transposition of Z x Z} There is also a method for \texttt{SplittedClassTransposition} available for class transpositions of ${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$. This method takes as first argument the class transposition, and as second
argument a list of two integers. These integers are the numbers of parts into
which the class transposition is to be sliced in each dimension. Note that the
product of the returned class transpositions is not always equal to the class
transposition passed as first argument. However this equality holds if the
first entry of the second argument is{\nobreakspace}1. 

 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap> !gapinput@ct := ClassTransposition([0,0],[[2,1],[0,2]],[1,0],[[2,1],[0,4]]);A
  ( (0,0)+(2,1)Z+(0,2)Z, (1,0)+(2,1)Z+(0,4)Z )
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(ct);A
  
  Rcwapermutation of Z^2 with modulus (2,1)Z+(0,4)Z, of order 2
  
              /
              | (m+1,(-m+4n)/2)  if (m,n) in (0,0)+(2,1)Z+(0,2)Z
   (,) |-> <  (m-1,(m+2n-1)/4) if (m,n) in (,)+(2,1)Z+(0,4Z
              | (m,n)            otherwise
              \
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@TransposedClasses(ct);A
  -,3,3, 3, -,-,0 2],[-1, -1 -1,-1,
  !gapprompt@gap>A !gapinput@ct     -1 1 , -1]  -1 1, , ,[-,3, ,  ,[,1,2 3] 
  true
  !gapprompt@gap>A !gapinput@SplittedClassTransposition(ct,[1,2]);A
  [ ( (0,0)+(2,1)Z+(0,4)Z, (1,0)+(2,1)Z+(0,8)Z ), 
    ( (0,2)+(2,1)Z+(0,4)Z, (1,4)+(2,1)Z+(0,8)Z ) ]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Product(last) = ct;A
  true
  !gapprompt@gap>A !gapinput@SplittedClassTransposition  gappromptgap>|!gapinput@BallMonoid(lr,,,OnPoints:Spheres);java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 69 out of bounds for length 69
  [ ( (0,0)+(4,0)Z+(0,2)Z, (1,0)+(4,2)Z+(0,4)Z ), 
    ( (2,1)+(4,0)Z+(0,2)Z, (3,1)+(4,2)Z+(0,4)Z ) ]
  !apprompt@gap>A !gapinput@Product(last) = ct;A
  false
  
\end{Verbatim}
 }

 
\subsection{\textcolor{Chapter }{ ClassRotation (for ${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$) }}\logpage{[ 5, 2, 3 ]}
\hyperdef{L}X828438127DDAEBB4}}
{
\noindent\extcolorFuncColor{\triangleright$\enspace\texttt{ClassRotation({\mdseries\slshaper, , u})\index{ClassRotation@\texttt{ClassRotation}!r, L, u; for Z x Z}
\label{ClassRotation:r, L, u; for Z x Z}
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
\noindent\{FuncColor{$triangleright$$\nspacetextttClassRotation({mdseries\ cl,u)\ndex{lassRotation\texttt{ClassRotation}cl u for Zx Z
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [21, 20) out of bounds for length 38
\{scriptsize (}\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 34 out of bounds for length 34
\textbf{\indent Returns:\ }
 the class rotation $\rho_{r(m),u}$. 



Let d\ {{ }}.Given aresidueclass$+{ensuremath\mathbb }}dL$ \n \rmGL(d{\{\mathbb}}$,  \{classrotation $rho_{+\ensuremath{\athbb }^Lu$ rcwamappingwhichmapsv\ {ensuremath\ Z^dL  vu+r1u$andwhichfixes{mathbb }^ r\ensuremath{\mathbb Z}}^dL$ pointwise. \index{RotationFactor@\texttt{RotationFactor}!of a class of  x} In the two\\texttt{symbol45} form,theargumentnobreakspace}mbox\{mdseriesscl} stands   residue class{nobreakspace}r+\ensuremath{mathbbZ}^dL.Enclosing argument  in  brackets ispermitted. The argument \mbox{\texttt{\mdseries\slshape u}} is stored as an attribute \texttt{RotationFactor}. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@B,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap}hfill{scriptsize(ethod}}\
  ClassRotation( Z^2, [ [ 0, 1 ], [ 1, 0 ] ] )
  !gapprompt@gap>B !gapinput@Display(interchange);B
  Rcwa permutation of Z^2: (label{:of Z x Z, by projections to coordinates}
  !@apB !gapinput@ : AllResidueClassesModulo(Integers^2,[2,1][,3]);
  [ (0,0)+(2,1)Z+(0,3)Z, (0,1)+(2,1)Z+\{indent Returns:\ }
    (1,0)+(2,1)Z+(0,3)Z, (1,1)+(2,1)Z+(0,3)Z, (1,2)+(2,1)Z+(0,3)Z ]
  !gapprompt@gap>B !gapinput@transvection := ClassRotation(classes[5],[[1,1],[0,1]]);B
  ClassRotation((1,1)+(2,1)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 28 out of bounds for length 0
  !gapprompt@gap>B !gapinput@Display(transvection);B
  
  Tame rcwa permutationbegindescription}
  
              /
               m(3+2n3/)if (m, in 1,1+(,)Z++(0,3)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 63 out of bounds for length 63
   (m)|-> < (mn)           otherwise
              java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 15 out of bounds for length 15
              
  
\end{Verbatim}
 }

 
\subsection{\textcolor{Chapter }{ ClassShift (for ${\ensuremath{  coefficientlistfor   of$\{mathbbZ}2  modulus\\{texttt\\ }  of$\(\{mdseriesL}|$triples \[$+ensuremath{mathbb}}^2mbox\extttmdseriesslshape }} b_+\{mathbbZ}\{\textttmdseriesslshapeL}$${+{\{mathbbZ^\\ensuremath{\mathbb Z} ,which using\R}instead 
\hyperdef{L  E !gapinput@ ;java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [47, 48) out of bounds for length 47
{
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{ClassShift({\mdseries\slshape r, L, k})\index{ClassShift@\texttt{ClassShift}!r, L, k; for Z   Rcwa ofZ^ ,n >2,n)
\label{ClassShift:r, L, k; for Z x Z}
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
noindent\extcolorFuncColor}$\triangleright$\nspacetexttt{ClassShift(\mdseries\slshape cl, k)\ndexClassShift@\exttt{lassShift}!l, k forZx }
\label{ClassShift:cl, k; for Z x Z}
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the class shift $\nu_{r+{\ensuremath{\mathbb Z}}^dL,k}$. 



 Let $d \in {\ensuremath{\mathbb N}}$. Given a residue class $r+{\ensuremath{\mathbb Z}}^dL$ and an integer $k \in \{1, \dots, d\}$, the \emph{class shift} $\nu_{r+{\ensuremath{\mathbb Z}}^dL,k}$ is the rcwa mapping which maps $v \in r+{\ensuremath{\mathbb Z}}^dL$ to $v + L_k$ and which fixes ${\ensuremath  0,0)+(,0)+(,)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [21, 22) out of bounds for length 21

 In the two\texttt{\symbol{45}}argument form, the argument{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape cl}} stands for the residue class{\nobreakspace}$r+{\ensuremath{\mathbb Z}}^dL$. Enclosing!gapprompt@E!gapinput                                [4,],[,1],[,1]2]]) # method (a)E
\begin{Verbatim}[commandchars=!@A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@shift1 := ClassShift([0,0],[[1,0],[0,1]],1);A
  ClassShift( Z^2, 1 )
  !gapprompt@  
  Tamercwa permutation of Z^: (mn - (m1,njava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 48 out of bounds for length 48
  !gapprompt@gap>A !gapinput@s := ClassShift(ResidueClass([1,1],[[2,1],[0,2]]),2);A
  ClassShift((1,1)+(2,1)Z+(0,2)Z,2)
!gapA!gapinput@Displays)A
  
  Tame rcwa permutation of Z^2 with modulus (2,1)Z+(0,2)Z, of order infinity
  
              /
              | (m,n+2) if (m,n) in (1,1)+(2,1)Z+(0,2)Z
   m,) |><  (,n)  if(n in (,0)+2,0Z(,1)Z U 
              |                     (1,0)+(2,1)Z+(0,2)Z
              \
  
endV}
 }

 index{sClassTransposition@textttIsClassTransposition}! an rcwa  of   Z} \index{IsClassRotation@\texttt{}!foran rcwa mapping of  x Z} \ndex{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [313, 186) out of bounds for length 313
of{\nobreakspace}${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$ have the distinguishing properties \texttt{IsClassTransposition}, \texttt{IsClassRotation!@apE gapinput@ :=AllResidueClassesModulo(R,[[2,1],[0,2]]);E

  
\section{\textcolor{Chapter }{ Methods for residue\texttt{\symbol{45}}class\texttt{\symbol{45}}wise affine
mappings of ${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$ }}\label{sec:MethodsForRcwaMappingsOfZxZ}
\logpage{[ 5, 3, 0 ]}
\hyperdef{L}{X8531E39785FFF8A7}{}
{
  There   <cwa permutation of Z^2 with modulus (2,1)Z+(0,2)Z>
begin}
\item[{ Output }]  \texttt{View}, \texttt{Display}, \texttt{Print  gapprompt@gap>E !gapinput@Display(g:AsTable);E
\item[{ Access to components }]  \texttt{Modulus}, \texttt{Coefficients}. 
\item[{ Attributes  Rcwa permutation of Z^2 with modulus (2,1)Z+(0,2)Z
\item[{ Properties }]  \texttt{IsInjective}, \texttt{IsSurjective}, \texttt{IsBijective}, \texttt{IsTame}, \texttt{IsIntegral}, \texttt{IsBalanced}, \texttt{IsClassWiseOrderPreserving}, \texttt{IsOne}, \texttt{IsZero}. 
\item[{ Action on ${\ensuremath$}  texttt{\texttt{\symbol{94}}} (for/residue classunions,\texttt{Trajectory},\texttt{ShortCycles}texttt{lassWiseOrderReversingOntexttt{ClassWiseConstantOn}. 
\item[{ Arithmetical operations }]  \texttt{=}, \texttt{*} (multiplication / composition and multiplication by a $2 \times 2$ matrix or an integer), \texttt{\texttt{\symbol{94}}} (exponentiation and conjugation), \texttt{Inverse}, \texttt{+} (addition of a constant). 
\end{description}
 The above operations are documented either in the \textsf{GAP} Reference Manual or earlier in this manual. The operations which are special
for rcwa mappings of{\nobreakspace}${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$ are described in the sequel. 

 

\subsection{\textcolor{Chapter }{ProjectionsToCoordinates (for an rcwa mapping of Z x Z)}}
\logpage{[ 5, 3, 1 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X8408B7837C9EED36}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{ProjectionsToCoordinates({\mdseries\slshape f})\index{ProjectionsToCoordinates@\texttt{ProjectionsToCoordinates}!for an rcwa mapping of Z x Z}
 rcwamapping of Z x Z}
}\hfill{\scriptsize (attribute)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the projections of the rcwa mapping!gapprompt@> !gapinput@                    [[1,1],[[4,2],[0,4]]]],ResidueClass);E



   < permutationofZ2with modulus (,)Z+(,)Z, of  3>
   onlyon the
first / second coordinate of the preimage. Note that  (1,,3)
restrictive condition. 
beginVerbatim[commandchars!@,fontsize=\mallframe=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap  00+,)+(,2ZU(,0(,)+0,) U(,)+(4,2)Z+(0,4)Z
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(f);A
  
  Rcwa mapping of Z^2 with modulus (2,0)Z+(0,2)Z
  
              /
|1,n  (,) in (,)+20)Z+0,)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [56, 57) out of bounds for length 56
              | (m+1,n)  if (m,n) in (0,1)+(2,0)Z+(0,2               21(+n)/) if(,n) in (,0+(,1)+0,Z
   (m,n) |-> <  (m-1,-n) if (m,n) in (1,0)+(2,0)Z+(0,2)Z
              | (m-1,n)  if (m,n) in (1,1)+(2,               (,notherwise
              |
              \
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@List(ProjectionsToCoordinates(f),Factorization);A
  [ [ ( 0(2), 1(2) ) ], [ ClassReflection( 0(2) ) ] ]
  
\end{Verbatim}
 }

 }

  
\section{\textcolor{Chapter }{ Methods for residue\texttt{\symbol{45}}classRcwa of^ with (,0)+0,)Z
groups and \texttt{\symbol{45}}monoids over ${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$ }}\label{sec:MethodsForRcwaGroupsOverZxZ}
\logpage{[ 5, 4, 0 ]}
\hyperdef{L}{X83A1752F7BE9CE85}{}
{
  \index{Rcwa@\texttt{Rcwa}!the monoid formed by all rcwa permutations of Z x Z} \index{RCWA@\texttt{RCWA}!the group formed by all rcwa permutations of Z x Z} \index{CT@\texttt{CT}!the group generated by all class| (m,n  if(m, in(,)20Z0
m)-> <  (m-1,-n) if (m,n) in (1,0)(2,0)+02Z

 \index{Size@\texttt{

 There are methods for \texttt{IsomorphismRcwaGroup} (\ref{IsomorphismRcwaGroup:for a group, over a given
GL(2,{\ensuremath{\mathbb Z}}) into RCWA(${\ensuremath{\  gapprompt@ap gapinputList(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [59, 58) out of bounds for length 78
\subsection{\textcolor{Chapter }{ IsomorphismRcwaGroup (Embeddings of SL(2,{\ensuremath{\mathbb Z}}) and
GL(2,{\ensuremath{\mathbb Z}})) }}\logpage{[ 5, 4, 1 ]}
\hyperdef{L}{X79A8F9AD7E839862}{}
{
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{IsomorphismRcwaGroup({\mdseries\slshape sl2z, cl})\index{IsomorphismRcwaGroup@\texttt{IsomorphismRcwaGroup}!for SL(2,Z) and a residue class}
\label{IsomorphismRcwaGroup:for SL({
}\hfill{\scriptsize (attribute)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{IsomorphismRcwaGroup({\mdseries\slshape gl2z, cl})\index{IsomorphismRcwaGroup@\texttt{IsomorphismRcwaGroup}!for GL(2,Z) and a residue class}
\label{IsomorphismRcwaGroup:for GL(2,Z) and a residue class}
}\hfill{\scriptsize (attribute)}}\\
textbfReturns:\ }
 a monomorphism from \mbox{\texttt{\mdseries\slshape sl2z}} respectively \mbox{\texttt{\mdseries\slshape gl2z}} to{\nobreakspace}RCWA(${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$), such that the support the class transposition $\tau_{r_1+{ensuremath{m Z}}^L_1r_2{\{\mathbb }}2$ 



 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@B,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>B !gapinput@sl := SL(2,Integers);B
2,ntegers
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [13, 12) out of bounds for length 96
    0 1][-,      1,1 ,[0     >java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 57 out of bounds for length 57
   (10+2,2)Z(,)Z,[[,1,-1,0]) 
    ClassRotation((1,0)+(2,2)Z+(0,3)Z,[[1,1],[0,1]]) ]
  !gapprompt@gap>B !gapinput@Support(Image(phi));B
  (1,0)+(2,2)Z+(0,3)Z
!apprompt@>!@l: GL(2,ntegers);
)
  !gapprompt@gap>B !gapinput@phi := IsomorphismRcwaGroup(gl,ResidueClass([1,0],[[2,2],[0,3]]));B
  [ [ [ 0, 1 ], [ 1, 0 ] ], [ [ -1, 0 ], [ 0, 1 ] ], 
    [ [ 1, 1 ], [ 0, 1 ] ] ] -> 
  [ ClassRotation((1,0)+(2,2)Z+(0,3)Z,[[0,1],[1,0]]), 
    ClassRotation((1,0)+(2,2)Z+(0,3)Z,[[-1,0],[0,1]]), 
    ClassRotation((1,)+(,2Z(,1,0
  !B![-,37,61p;B
  ClassRotation((1,0)+(2,2)Z+(0,3)Z,[[-47,-37],[61,48]])
  !gapprompt@gap>B !gapinput@Display(last:AsTable);B
  
  Rcwa permutation of Z^2 with modulus (2,2)Z+(0,3)Z, of order 6
  
     [              |java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 42 out of bounds for length 42
  -----------------------------+---------------------java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
   [0,0] [0,1] [0,2] [1,1]     |
   [1,2]                       | [m,n]
   [1,0]                       | [(-263m+122n+266)/3,(-1147m+532n+1147)/6]
  
\end{Verbatim}
 }

 \index{DrawOrbitPicture@\texttt{DrawOrbitPicture}!!gapprompt@gap>A !gapinput@SplittedClassTransposition,21)A
over{\nobreakspace}${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$. Further there is a function which depicts residue class unions
of{\nobreakspace}${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$ and partitions of{\nobreakspace}${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$ into such: 
\subsection( 21)40Z(,)Z, 3,)+42Z+(0,4) ) ]
\hyperdef{L}{X812135EB87527F01}{}
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 1
\noindent\textcolor{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 1
\abel{DrawGrid:U,yrange,xrange, filename}
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{DrawGrid({\mdseries\slshape P, yrange, xrange, filename})\index{DrawGrid@\texttt{DrawGrid}!P, yrange, xrange, filename}
\label{DrawGrid:P, yrange, xrange, filename}
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 nothing. 



 This function depicts the residue class java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
argument\{\slshape}is ..   , theoutputfile java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [117, 116) out of bounds for length 122
argument is a residue class union, the output picture is
black\texttt{\symbol{45}}and\texttt{\symbol{45}}white, where black pixels
represent members of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape U}} and white pixels represent non\texttt{\symbol{45}}members. If the first
argument is apartition of{nobreakspace}${ensuremath{\mathbb Z}2$into residue classunions, the  picture is colored and different
colors are used to denote membership in different parts   ^2,  0  ,[1,    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 46 out of bounds for length 46

 }

java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 3 out of bounds for length 3

       
chapter{textcolor{Chapter}{Databases  Residue\texttt{symbol{}}lass\texttt{symbol{45}Wise Affine
Groups and \texttt{\symbol{45}}Mappings }}\label{ch:Databases}
\logpage{[ 6, 0, 0 ]}
\hyperdef{L}{X81BA344979567342}{}
{
  The \textsf{RCWA} package contains a number of databases of rcwa groups and rcwa mappings. They
beloaded intoa\textsf}session by the functions described in this chapter.  
\section{\textcolor{Chapter }{The collection of examples}}\label{sec:Examples}
\logpage{[ 6, 1, 0 ]}
\hyperdef{L}{X86CCBF017A746F50}{}
{
  

\          m(m2n-)2)if (,) (,)(2,1),Z
\logpage{[ 6, 1, 1 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X8714254784AFD64B}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{LoadRCWAExamples({\mdseries\slshape })\index{LoadRCWAExamples@\texttt{LoadRCWAExamples}}
\label{LoadRCWAExamples}
}\hfill{\scriptsize (function\ndVerbatim}
\textbf{\indent Returns:\ }
 the name of the variable to which the record containing the collection of
 t\45m loaded  textttrcwaexamplesg .java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 127 out of bounds for length 127



 The components of the examples record are records which contain the individual
groups and mappings. > gapinputs=ClassShiftResidueClass(11],[2,],02],)A
found in Chapter{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@LoadRCWAExamples();|
  "RCWAExamples"                                
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Set(RecNames(RCWAExamples));|
  [ "AbelianGroupOverPolynomialRing", "Basics", "CT3Z", "CTPZ", 
    "CheckingForSolvability", "ClassSwitches", 
    "ClassTranspositionProducts", "ClassTranspositionsAsCommutators", 
    "CollatzFactorizationOld", "CollatzMapping", "CollatzlikePerms", 
    "CoprimeMultDiv", "F2_PSL2Z", "Farkas", "FiniteQuotients", 
    "FiniteVsDenseCycles", "GF2xFiniteCycles", "GrigorchukQuotients", 
    "Hexagon" "HicksMullenYucasZavislak", "HigmanThompson", 
    "LongCyclesOfPrimeLength", \description
    ",",
    "OddNumberOfGens_FiniteOrder", "Semilocals} \textttCoefficients} 
   "SlowlyContractingMappings,","SymmetrizingCollatzTree",java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 71 out of bounds for length 71
T" V," java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 55 out of bounds for length 55
  !gapprompt@gap>| !gapinput@AssignGlobals(RCWAExamples. The operations eitherintextsf  Manualearlier which  
  The following global variables have been assigned:
  [ "T"\:anmappingZxjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 61 out of bounds for length 61
  
\end
  condition

 }

  
\section{\textcolor{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
\logpage{[ 6, 2, 0 ]}
\| -),) in,)(20)Z,2Z
{
  

\subsection{\textcolor{Chapter }{LoadDatabaseOfGroupsGeneratedBy3ClassTranspositions (small database)}}
\logpage{[ 6, 2, 1 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X793E2C5C7FC935B8}{}
noindentt{}$triangleright$\enspacetexttt{LoadDatabaseOfGroupsGeneratedBy3ClassTranspositions(\slshape}\{LoadDatabaseOfGroupsGeneratedBy3ClassTranspositions\texttt{Load\\{atabase\-texttt{}-\extttGroups\-texttt{Generated\texttt}\exttt{}!java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [340, 339) out of bounds for length 349
\label{LoadDatabaseOfGroupsGeneratedBy3ClassTranspositions:small database}
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the name of the variable to which the record containing the database of all
groups generated  class transpositionswhich interchange residue classes
with moduli $\leq 6$ got bound. 



 The java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0
\begindescription}
\item[{\texttt{cts}}]  The list of all 69 class transpositions which interchange residue classes with
moduli $\leq 6$. 
\item[[5, 4, }
finite and 30446 infinite ones. 
\item[{\textttjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 1
\item[{\texttt{mods}}]  The list of moduli of the groups \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} it
is \texttt{Mod(grps[i]) = mods[i]}. 
\item[{\texttt{equalityclasses}}]  A list of lists of indices \texttt{i} of groups which are known to be equal, i.e. if \texttt{i} and \texttt{j} lie in the same list, then \texttt{grps[i] = grps[j]}. 
\item[{\texttt{samegroups}}]  A list of lists, where \texttt{samegroups[i]} is a list of indices of groups which are known to
\item[{\texttt{conjugacyclasses}}]  A list of lists of indices of groups which are known to be conjugate in
\\Z}}) 
\item[{\texttt{
\item  !gappromptgap !gapinput@sl =SL2Integers);
\item[{\texttt{chains}}]  A list of lists, where each list contains the indices of the groups in a
descending chain of subgroups. 
\item[{\texttt{respectedpartitions}}]  The list of shortest respected partitions. If \texttt{grps[i]} is finite, then \texttt{respectedpartitions[i]} is a list of pairs (residue, modulus) for the residue classes in the shortest
partition texttt{[].Iftextttgrps[}  \exttt{respectedpartitions[i] = fail}. 
\item[{\texttt{partitionlengths}}]  The list of lengths of shortest respected partitions. If the group\texttt{grps[i]} is finite then \texttt{partitionlengths[]}isthe length ofthe shortest respectedpartition  \grpsi} If \textttgrps[]}isinfinite,then tpartitionlengths[i] = 0}. 
\[\texttt{degrees}]The ofpermutation ,i..  pointsinthe 
of the finite groups on their shortest  gapB !Support(();java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 50 out of bounds for length 50
respected partition, i.e. if \texttt{grps[i]} is infinite, then \texttt{degrees[i] = 0}. 
\item[{\texttt{orbitlengths}}]  The list of lists of orbit lengths in the action of the finite groups on their
shortest respected partitions. If \texttt{grps[i]} is infinite, then \texttt{orbitlengths[i] = fail}. 
\item[{\texttt{permgroupgens}}]  The list of lists of generators of the isomorphic permutation groups induced
by the finite groups on their shortest respected partitions. If \texttt{grps[i]} is infinite, then \texttt{permgroupgens[i] = fail}. 
\item[{\texttt{stabilize{\textunderscore}digitsum{\textunderscore}base2{\textunderscore}mod2}}]  The list of indices of groups which stabilize the digit sum in base 2
modulo{\nobreakspace}2. 
\item[{\texttt{stabilize{\textunderscore}digitsum{\textunderscore}base2{\textunderscore}mod3}}]  The list of indices of groups which stabilize the digit sum in base 2
modulo{\nobreakspace}3. 
\!gapprompt>![-,37,6148]^phiB
\2. 
\item[{\texttt{freeproductcandidates}}]  A list of indices of groups which may be isomorphic to the free product of 3
copies of thejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
\item[{\texttt{freeproductlikes}}]  A list of indices of groups which are not isomorphic to the free product of 3
opiesof the cyclicgroup  order{\2,but where shortest
relation indicating this is relatively long. 
\item[{  -----------------------------------------java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 75 out of bounds for length 75
groups for which the product of the generators has finite order. 
\item[{\texttt{cyclist}}]  A list described in the comments in \texttt{rcwa/data/3ctsgroups6/spheresizecycles.g}. 
\item[{\texttt{finiteorbits}}]  A record described in the comments in \texttt{rcwa/data/3ctsgroups6/finite\texttt{\symbol{45}}orbits.g 
\{t{ntransitivemodulo}]For  \mfrom1 60,\exttt{ntransitivemodulois the list  indices none  whose orbitson \\mathbb
Z}} has nontrivial intersection with all residue classes modulo{\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 70 out of bounds for length 2
[]Astrings known\textttg[i} java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [122, 121) out of bounds for length 191
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [12, 11) out of bounds for length 24
\item[{\texttt{orbitgrowthtype}}]  A list of integers and lists of integers which encode what has been observed
heuristically on the growth of the orbits of the groups \texttt{grps[i]} on{\nobreakspace}{\ensuremath{\mathbb Z}}. 
\end{description}
 Note that the database contains an java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 41 out of bounds for length 1
3\texttt{\symbol{45}}tuple of distinct class transpositions in \texttt{cts}, which means that it contains }hfill(}\\
\texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} \F$triangleright$\\texttt{{mdseries\lshape P , )\DrawGrid\DrawGrid}P yrange xrange filename

To  example  group\exttt{[44132]might becalled `Collatz group' texttt{symbol45}\\{45} itsaction on the  
integers which are not multiples of 6 is transitive if and only if the Collatz
conjecture holds. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@LoadDatabaseOfGroupsGeneratedBy3ClassTranspositions();|
  "3CTsGroups6"
  !gapprompt@ mbox{\texttt{\mdseries\slshape filename} thename .  fullpath name, ofthe output file. If the first
  The following global variables have been assigned:
  [ "3CTsGroupsWithGivenOrbit", "Id3CTsGroup", 
    "ProbablyFixesDigitSumsModulo", "ProbablyStabilizesDigitSumsModulo", 
    "TriangleTypes", "abc_torsion", "chains", "conjugacyclasses", "cts", 
    "cyclist", "degrees", "epifromfpgroupto_ct23z", 
    "epifromfpgrouptocollatzgroup_c",epifromfpgrouptocollatzgroup_t,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 72 out of bounds for length 72
    "equalityclasses", "finiteorbits", "freeproductcandidates", 
    "freeproductlikes", "groups", "grps", "intransitivemodulo", 
    "minwordlengthcoprimemultdiv", "minwordlengthnonbalanced", "mods", 
    "orbitgrowthtype", "orbitlengths", "partitionlengths", "permgroupgens",
    "redundant_generator", "refinementseqlngs", "respectedpartitions", 
    "samegroups", "shortresidueclassorbitlengths", "sizes", "sizespos", 
    "sizesset", "spheresizebound_12", "spheresizebound_24", 
    "spheresizebound_4", "spheresizebound_6", 
    "stabilize_digitsum_base2_mod2", "stabilize_digitsum_base2_mod3", 
    "stabilize_digitsum_base3_mod2", "subgroups", "supergroups", 
    "trsstatus", "trsstatuspos", "trsstatusset" ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@grps[44132]; # the "3n+1 group"|
  <(2(3),4(6)),(1(3),2(6)),(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
  !gapprompt@gap>| !gapinputB{
  "exceeded memory bound"
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Length(Set(sizes));|
  1066
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Maximum(Filtered(sizes,IsInt}hfill{\scriptsize f)}}\
  7165033589793852697531456980706732548435609645091822296777976465116824959
  2135499174617837911754921014138184155204934961004073853323458315539461543\
  4480515260818409913846161473536000000000000000000000000000000000000000000\
  000000
  !gapprompt@gap>| !gapinput@PrintFactorsInt(last);                                    |
  2^200*3^103*5^48*7^28*11^16*13^13*17^8*19^6*23^6*29
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Positions(sizes,last);                               |
  [ 33814, 36548 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@grps{last};|
  [ <(1(5),4(5)),(0(3),1(6)),(3(4),0(6))>, 
    <(0(5),3(5)),(2(3),4(6)),(0(4),5(6))> ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@samegroups[1];    |
  [ 1, 2, 68 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@grps[1] = grps[68];|
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Maximum(mods);|
  77760
  !gapprompt@gap>| !    "ClassTranspositionProducts","ClassTranspositionsAsCommutators", 
  [ 26311, 26313, 26452, 26453, 26455, 26456, 26457, 26459, 26461, 26462, 
    27781, 27784, 27785, 27786,     "CollatzFactorizationOld", "CollatzMapping", "CollatzlikePerms", 
    30523, 30524, 30525, 30526, 30529, 30530, 30532, 30534, 32924, 32927, 
    32931, 32933 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Set(sizes{last});     |
  [ 45509262704640000 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Collected(mods);|
  [0 30446] 3  ]  4 37 ], 5   [ ,1450 ][,  ,
    [ 10, 45 ], [ 12, 3143 ], [ 15, 165 ], [ 18, 484 ], [ 20, 528 ], 
    [ 24, 1339 ], [ 30, 2751 ], [ 36, 2064 ], [ 40, 26 ], [ 48, 515 ], 
    [ 60, 2322 ], [ 72, 2054 ], [ 80, 44 ], [ 90, 108 ], [ 96, 108 ], 
    [ 108, 114 ], [ 120, 782 ], [ 144, 310 ], [ 160, 26 ], 
    [ 192, 6 ], java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    [ 360, 84 ], [ 432, 36 ], [ 480, 218 ], [ 540, 18 ], [ 720, 120 ], 
    [ 810, 112 ], [ 864, 8 ], [ 960, 94 ], [ 1080, 488 ], [ 1620, 44 ], 
     1920  , [2160,506 ] [3240 34]  3840  , 
    [ 4320, 218 ], [ 4860, 16 ], [ 6480, 282 ], [ 7680, 10 ],  
    [ 8640, 16 ], [ 12960, 120 ], [ 14580, 2 ], [ 25920, 34 ], 
    [ 30720, 2 ], [ 38880, 12 ], [ 51840, 8 ], [ 77760, 32 ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Collected(trsstatus);|
  [ >1 (mod )" 593] 
    [ "Mod(U DecreasingOn) exceeded <maxmod>", 23 ], 
    ["U   exceeded memory ",11 , 
    [ "U DecreasingOn}\fill{\scriptsize (function)}}\
    [ "exceeded memory bound", 497 ], [ "finite", 21948 ], 
    [ "intransitive, but finitely many orbits", 8 ], 
    [ "seemingly only finite orbits (long)", 1227 ], 
    [ "seemingly only finite orbits (java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
[java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [17, 16) out of bounds for length 54
    [ "seemingly only finite orbits (very long)", 230 ], 
    [ "seemingly only finite orbits (very long, very unclear)", 76 ], 
    [ "seemingly only finite orbits (very short)", 208 ], 
    [ "there are infinite orbits which have exponential sphere size growth"
          , 2934 ], 
    [ thereare infinite orbits have  spheresize growth" 
        10881 ],
    [ "there are infinite orbits which have unclear sphere size growth", 
        86]  " 562],java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 37 out of bounds for length 37
    [ "transitive up to one finite orbit", 40 ] ]
  
\end{Verbatim}
 }

 

\subsection{\textcolor{Chapter }{LoadDatabaseOfGroupsGeneratedBy3ClassTranspositions (both databases)}}
\logpage{[ 6, 2, 2 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X7A77F7D57B08E4A5}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{LoadDatabaseOfGroupsGeneratedBy3ClassTranspositions({\mdseries\slshape max{\textunderscore}m})\index{LoadDatabaseOfGroupsGeneratedBy3ClassTranspositions@\texttt{Load}\-\texttt{Database}\-\texttt{Of}\-\texttt{Groups}\-\texttt{Generated}\-\texttt{By3}\-\texttt{Class}\-\texttt{Transpositions}!both databases}
\label{LoadDatabaseOfGroupsGeneratedBy3ClassTranspositions:both databases}
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the name of the variable to which the record containing the database of all
groups generated by 3 class transpositions which interchange residue classes
with moduli less than or equal to \mbox{\texttt{\mdseries\slshape max{\textunderscore}m}} got bound, where \mbox{\texttt{\mdseries\slshape max{\textunderscore}m}} is either 6 or{\nobreakspace}9. 



 If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape max{\textunderscore}m}} is 6, this is equivalent to the call of the function without argument
described above. If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape max{\textunderscore}m}} is 9, the function returns a record with at least the following components (in
the sequel, the indices \texttt{i {\textgreater} j {\textgreater} k} are always integers in the range \texttt{[1..264]}): 
\begin{description}
\item[{\texttt{cts}}]  The list of all 264 class transpositions which interchange residue classes
with moduli $\leq 9$. 
\item[{\texttt{mods}}]  The list of moduli of the groups, i.e. \texttt{Mod(Group(cts\texttt{\symbol{123}}[i,j,k]\texttt{\symbol{125}})) =
mods[i][j][k]}. 
\item[{\texttt{partlengths}}]  The list of lengths of shortest respected partitions of the groups in the
database, i.e. \texttt{Length(RespectedPartition(Group(cts\texttt{\symbol{123}}[i,j,k]\texttt{\symbol{125}})))} \texttt{=} \texttt{partlengths[i][j][k]}. 
\item[{\texttt{sizes}}]  The list of orders of the groups, i.e. \texttt{Size(Group(cts\texttt{\symbol{123}}[i,j,k]\texttt{\symbol{125}}))} \texttt{=} \texttt{sizes[i][j][k]}. 
\item[{\texttt{All3CTs9Indices}}]  A selector function which takes as argument a function \mbox{\texttt{\mdseries\slshape func}} of three arguments \mbox{\texttt{\mdseries\slshape i}}, \mbox{\texttt{\mdseries\slshape j}} and \mbox{\texttt{\mdseries\slshape k}}. It returns a list of all triples of indices \texttt{[\mbox{\texttt{\mdseries\slshape i}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape j}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape k}}]} where $264 \geq i > j > k \geq 1$ for which \mbox{\texttt{\mdseries\slshape func}} returns \texttt{true}. 
\item[{\texttt{All3CTs9Groups}}]  A selector function which takes as argument a function \mbox{\texttt{\mdseries\slshape func}} of three arguments \mbox{\texttt{\mdseries\slshape i}}, \mbox{\texttt{\mdseries\slshape j}} and \mbox{\texttt{\mdseries\slshape k}}. It returns a list of all groups \texttt{Group(cts\texttt{\symbol{123}}[\mbox{\texttt{\mdseries\slshape i}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape j}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape k}}]\texttt{\symbol{125}})} from the database for which \texttt{\mbox{\texttt{\mdseries\slshape func}}(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape i}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape j}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape k}})} returns \texttt{true}. 
\end{description}
 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@LoadDatabaseOfGroupsGeneratedBy3ClassTranspositions(9);|
  "3CTsGroups9"
  !gapprompt@gap>| !gapinput@AssignGlobals(3CTsGroups9);|
  The following global variables have been assigned:
  [ "All3CTs9Groups", "All3CTs9Indices", "cts", "mods", "partlengths", 
    "sizes" ]
  !gapprompt@gap>|chain subgroups. 
  2^1283*3^673*5^305*7^193*11^98*13^84*17^50*19^41*23^25*29^13*31^4
  
\{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [14, 13) out of bounds for length 14
 }

 

\subsection{\textcolor{Chapter }{LoadDatabaseOfGroupsGeneratedBy4ClassTranspositions}}
\logpage{[ 6, 2, 3 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X792C90B48692D0D7}{}
{noindent\FuncColor{\$\enspace\exttt{LoadDatabaseOfGroupsGeneratedBy4ClassTranspositions({\\lshape )\L@\textttLoad}\-{Database\-textttOf\-t{\\Generated}\\B\\{Class\\exttt{ranspositions}java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 334 out of bounds for length 334
\label{LoadDatabaseOfGroupsGeneratedBy4ClassTranspositions}
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 the name of the variable to which the record containing the database of all
groups generated by 4 class transpositions which interchange residue classes
with moduli $\modulo\nobreakspace}. 
bound 



 The record has at least the following components (the index \texttt{i} is always an integer in the range \texttt{[1..140947]}, and the term ``indices'' always refers to list indices in that range): 
\begin{description}
\item[{\texttt{cts} thecyclic \obreakspace2 butthe 
moduli $\leq 6$. 
\[{\texttt{{textunderscore}3finite}}]  The list of all 140947 groups in the database. 
\item[{\texttt{grps4{\textunderscore}3finitepos}}]  The list obtained from \texttt{grps4{\textunderscore}3finite} by replacing every group by the list of positions of its \item[{\texttt{grps4{\textunderscore}3finitepos}}]  The list obtained from \texttt{grps4{\textunderscore}3finite} by replacing every group by the list of positions of its generators
list \texttt{cts}. 
\item[{\texttt{sizes4}}]  The list of group orders \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} it is \texttt{Size(grps4{\textunderscore}3finite[i]\item{\texttt{finiteorbits}}]  A record describedinthe comments in \texttt{rcwa/data/3ctsgroups6/finite\texttt{\symbol{45}}orbits.g}. 
\item[{\texttt{mods4}}]  The list of moduli of the groups \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} it

\item[{\texttt{conjugacyclasses4cts}}]  A list of lists of indices of groups which are known to be conjugate in
(ensuremath{\mathbbZ}.java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 32
\item[{\texttt{grps4{\textunderscore}3finite{\textunderscorecomputationhas . 
e{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [17, 16) out of bounds for length 17
 Note that the database contains an entry for every suitable unordered
4\texttt{ Note thatthe  an forevery unordered
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@LoadDatabaseOfGroupsGeneratedBy4ClassTranspositions(); |
  "4CTsGroups6"
  gapprompt@gap> !gapinput@AssignGlobals(4CTsGroups6);|
  The following global variables have been assigned:
  [ "conjugacyclasses4cts", "cts", "grps4_3finite", "grps4_3finite_reps", 
    "grps4_3finitepos", "mods4", "sizes4", "sizes4pos", "sizes4set" ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Length(grps4_3finite);|
  140947
  gapprompt@| !gapinput@(sizes4);|
  140947
gapprompt|Size[);
8400
  @>| !@sizes41;

  !gapprompt@gap>| !gapinput@Maximum(Filtered(sizes4,IsInt));|
  <integer 420...000 (3852 digits)>
  !gapprompt@gap>| !gapinput"", abc_torsion" c, conjugacyclasses", "java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [73, 70) out of bounds for length 73
  12
  !gapprompt@gap>| !gapinput@mods4[1];|
  12
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Length(Set(sizes4));|
39
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Length(Set    ", "refinementseqlngs", "respectedpartitions", 
  91
  !gapprompt@gap>| !gapinput@conjugacyclasses4cts{   "izesset" "", "spheresizebound_24", 
  [ [ 1, 23, 563, 867 ], [ 2, 859 ], [ 3, 622  "spheresizebound_4" ""
  !gapprompt@gap>| !gapinput@grps4_3finite[1] = grps4_3finite[23];|
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@grps4_3finite[4] = grps4_3finite[16];|
  false
  
\end{Verbatim}
 }

}

  
\section{\textcolor{Chapter }{Databases of rcwa  7165033589793852697531456980706732548435609645091822296777976465116824959
\logpage{[ 6, 3, 0 ]}
\hyperdef{L}{X78A1A8E587C7FFD5}{}
{
  

\subsection{\textcolor{Chapter }{LoadDatabaseOfProductsOf2ClassTranspositions}}
\logpage{[ 6, 3, 1 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X843E94467A1BB86C}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{LoadDatabaseOfProductsOf2ClassTranspositions({\mdseries\slshape })\index{LoadDatabaseOfProductsOf2ClassTranspositions@\texttt{Load}\-\texttt{Database}\-\texttt{Of}\-\texttt{Products}\-\texttt{Of2}\-\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 266 out of bounds for length 18
L
}# the Free Software Foundation; either version 2, or (at your option)
\textbf{\indent Returns
 the nameofthe variable to which record containing the databaseof
products of 2 class transpositions got bound. 



interchangeclasseswith
\6 thusthere total  $ \ 68)=2346 pairsof distinct suchclass transpositions.Looking 
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [13, 12) out of bounds for length 76
residue classes, we can distinguish 17 different ``intersection types'          ,2934 ], 
intersection type does not fully determine the cycle structure of the , 
\}}\{\symbol{} Intotal,  can distinguish 88
different cycle types of products of 2   looking at the text of this script.  This case will never be run,
residue classes with moduli $\leq 6$ else

 Theiftest f "tmpdepfile"; then  # yes, the sourcefile depend on other files
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 364 out of bounds for length 364
omponents, see file \exttt{//data/ctproducts/ctprodclass.g}. 
beginVerbatim}commandchars!|fontsize\small,rame= 
  
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [13, 12) out of bounds for length 77
  "  set_dir_from $l{6 2 2 ]
  "@ -Wc,-A777D57B08E4A5}{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 33 out of bounds for length 33
  [CTPairIntersectionTypejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [27, 5) out of bounds for length 64
    "CTPairsIntersectionTypes", "CTPairsProductClassification", 
    "TPairsProductType", "TProds12", "CTProds32", "OrdersMatrix" ]
  !gapprompt@gap>|urns:\}
  2346## listed in this file.  A plain '-MD' option would be understood by many
!gap>|!gapinputCollected(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 77 out of bounds for length 77
  [ [ 2  "   15
    [ 12, 345 ], [ 15, 4 ], [ 20, 10 ],  sleep 1
    [ infinity, 535 ] ]
  
\end
 }

 

\ubsection\extcolor{hapter}{LoadDatabaseOfNonbalancedProductsOfClassTranspositions}}
\{ 6 ,2]\
L{}{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 33 out of bounds for length 33
\\textcolor{{\$enspacetexttt{LoadDatabaseOfNonbalancedProductsOfClassTranspositions\mdseries\ })\ndexjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
\label{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 49 out of bounds for length 32
}\hfill{\    # $dir$base.o.d dir.libs/$base..  latter is
\textbf{\indent Returns:\ }
 the name the  to whichthe record containingthe  of
non\texttt{symbol{45}balanced products of class transpositions got bound. 



- "tmpdepfile&&break
nterchange residue classes with moduli $\leq 6$ and whose product is not balanced, as well as a list of all 36 essentially
cttriples of such classtranspositions  product has coprime
multiplier and divisor. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [68, 55) out of bounds for length 68
  
  !H
  "CTProductsNB"
  g> !R)|
  [\ogpage 
    "TriplesOfCTsWhoseProductHasCoprimeMultiplierAndDivisor" ]
  gapprompt@gap>|!gapinput@CTProductsNB.PairsOfCTsWhoseProductIsNotBalanced;|
  [ [ (java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
 ((4,16)] 
[(1(2) 0(4)),(0) 3    ill{\criptsize (function)}}\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 34 out of bounds for length 34
    [  0endency as':foo/ar'could beseen as target 'c' otherwise.
    [   <$">$depfile"
(4, () ) ] 
    [ ( (2) 2() ),(3with moduli $leq6$ forwhichall subgroups generated by 3outof the 4 generators are finite got
    [( 1java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 11 out of bounds for length 11
    [ ( 1(2), 0 
      02,16 )(24,6 )] [(02 16)),( (4,1(6 )] 
    [ ( 0(2), 3(6) ),-rch
    [ ( 0(\begin{description}
   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 4 out of bounds for length 4
  
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [36, 14) out of bounds for length 14
 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2

java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2

  }-f$depfile

       
\chapter{\textcolor{Chapter }{Examples}}\label{ch:Examples}
\ogpage{ 7,,0]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 21 out of bounds for length 21
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [10, 9) out of bounds for length 33
{for
 chapter anumberof  rcwa mappings and
;
, and  order  whichtheyappeararbitrary  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 73 out of bounds for length 73
particular   echo "$tab" >

 \index{LoadRCWAExamplesecho" depmodedepmode"2
be{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
containing the examples got assigned to. The global variable assignments made
in a section of this chapter can be made by applying the function \texttt{AssignGlobals} to the respective component of the examples record. The component names are
given at the end of the corresponding sections. 

 The discussions of the examples are typically far from being exhaustive. It is
quite likely that in many instances by just a few little modifications or
additional easy commands you can find out interesting things yourself
\texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} have fun!  
\section{\textcolor{Chapter }{ Thompsonjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 53 out of bounds for length 53
\logpage{[ 7, 1, 0 ] 518400
\hyperdef{L}{X84A058CF7C65A908}{}
{
  Thompson's group V, also known as Higman\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 45 out of bounds for length 4
a12
 Higman.nobreakspace}cite.We showthatthe java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 73 out of bounds for length 73
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt91
  !appromptgap>| !@conjugacyclasses4cts{[1..4];
  <(0(2),1(4)),(0(4),1(4)),(1(4),2(4)),(2(4),3(4))>
  
\end{Verbatim}
 is isomorphic to Thompson's group V. This isomorphism has been pointed out by
John P. McDermott
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@k := ClassTransposition(0,2,1,2);;|

  !gapprompt@gap>| !gapinput@m := ClassTransposition(0,2,1,4);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@n := ClassTransposition(1,4,2,4);;|
  \}{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 33 out of bounds for length 33
  <(0(2),1(2)),(1(2),2(4)),(0(2),1(4)),(1(4),2(4))>
  !logpage[ , 3  }nobreak
  true
  
\end{Verbatim}
 Now we verify that our four generators satisfy the relations given on
page{\nobreakspace}50 in{\nobreakspace}\cite{Higman74}, when we read \texttt{k} as{\nobreakspace}$\kappa$, \texttt{l} as{\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 124 out of bounds for length 33
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@HigmanThompsonRels :=|
  !gapprompt@>| !gapinput@[ k^2, l^2, m^2, n^2,                           # (1) in Higman's book|
  !gapprompt@>| !gapinput@  l*k*m*k*l*n*k*n*m*k*l*k*m,                    # (2)        "|
  !gapprompt@>| !gapinput@  k*n*l*k*m*n*k*l*n*m*n*l*n*m,                  # (3)        "|
  !java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 146 out of bounds for length 146
  !
  !gapprompt@>| !classes with moduli $\leq,functions textttCTPairsIntersectionTypes, \CTPairIntersectionType}and texttt{},as@f\,=single]
  !gapprompt@>| !gapinput@  (l*k*n*k*l*n)^3*k*n*k*(m*k*n*k*m*n)^3*k*n*k*n,# (7)        "|
  !gapprompt@>| !gapinput@  ((l*k*m*n)^2*(m*k*l*n)^2)^3,                  # (8)        "|
  !gapprompt@>| !gapinput@  (l*n*l*k*m*k*m*n*l*n*m*k*m*k)^4,              # (9)        "|
  !gapprompt@>| !gapinput@  (m*n*m*k*l*k*l*n*m*n*l*k*l*k)^4,              #(10)        "|
  !gapprompt@>| !gapinput@  (l*m*k*l*k*m*l*k*n*k)^2 ",CTProds12","CTProds32" OrdersMatrix]
  !gapprompt@>| !gapinput@  (m*l*k*m*k*l*m*k*n*k)^2 ];                    #(12)        "|
  [ IdentityMapping(   !gapprompt@gap>| !gapinput@ollected((.,l>[2])  order stats|
    IdentityMapping( Integers ), IdentityMapping( Integers ), 
    IdentityMapping( Integers ), IdentityMapping( Integers ), 
    IdentityMapping( Integers ), IdentityMapping( Integers ), 
    IdentityMapping( Integers ), IdentityMapping( Integers ), 
    IdentityMapping( Integers ),     IdentityMapping( Integers ), IdentityMapping
    IdentityMapping( Integers ), IdentityMapping( Integers ), 
    IdentityMapping( Integers ), IdentityMapping( Integers ) ]
  
\{textcolor{Chapter{}}
 We conclude that our group is an homomorphic image of Thompson's group V. But
since Thompson's group V is simple and our group is not trivial, this means
indeed that the two groups are isomorphici\oindent\textcolor{FuncColor}$\triangleright$\enspacetextttLoadDatabaseOfNonbalancedProductsOfClassTranspositions({\mdseries\slshape })\index{LoadDatabaseOfNonbalancedProductsOfClassTranspositions@\texttt{Load}\-\texttt{Database}\-\texttt{Of}\-\texttt{Nonbalanced}\-\texttt{Products}\-\texttt{Of}\-\texttt{Class}\-\texttt{Transpositions}}

\label{LoadDatabaseOfNonbalancedProductsOfClassTranspositions}
residueclassespowers {}.First  checkthat\{} contains all class  which  classes
2or\4: 
  name   variable towhich the record containing the database of
  
  g@>!@ =Filtered(istClassPairs(),lassTransposition,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 83 out of bounds for length 83
  !gapprompt@>| !gapinput@                 ct->Mod(ct) in [2,4]);|
  [ ( 0(2), 1(2) ), ( 0(2), 1(4) ), ( 0(2), 3(4) ), ( 0(4), 1(4) ), 
    ( 0(4), 2(4) ), (   $leq whose  balanced  well aswellasa  36 essentially
    ( 1(4), 2(4) ), ( 1(4), 3(4) ), ( 2(4), 3(4) of java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [46, 45) out of bounds for length 71
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsSubset(G,S);|
  true
  
\end{Verbatim}
 ""
\begin{Verbatim}[commandchars!|,=smallf=,= code]
  
  ReducingConjugator := function ( tau )
  
    local  w, F, g1, g2, g3, g4, h1, h2, h, cls, cl, r;
  
    g1 := ClassTransposition(0,2,1,4); h1 := ClassTransposition(0,4,1,4);
    g2 := ClassTransposition(0,2,3,4); h2 := ClassTransposition(1,4,2,4);
    g3 := ClassTransposition(1,2,0,4);
    g4 := ClassTransposition(1,2,2,4);
  
    F := FreeGroup("g1","g2","g3","g4","h1","h2");
  
    w := One(F); if Mod(tau) <= 4 then return w; fi;
  
    # Before we can reduce the moduli of the interchanged residue classes,
    # we must make sure that both of them have at least modulus 4.
    cls := TransposedClasses(tau);
    if Mod(cls[1]) = 2 then
      if Residue(cls[1]) = 0 then
        if Residue(cls[2]) mod 4 = 1 then tau := tau^g2; w := w * F.2;
                                     else tau := tau^g1; w := w * F.1; fi;
      else
        if Residue(cls[2]) mod 4 = 0 then tau := tau^g4; w := w * F.4;
 w := w * F.3; fi;
      fi;
    fi;
  
    while Mod(tau) > 4 do # Now we can successively reduce the moduli.
      if not ForAny(AllResidueClassesModulo(2),
                    cl -> IsEmpty(Intersection(cl,Support(tau))))
      then
        cls := TransposedClasses(tau);
        h := Filtered([h1,h2],
               hi->Length(Filtered(cls,cl->IsSubset(Support(hi),cl)))=1);
        h := h[1]; tau := tau^h;
        if h = h1 then w := w * F.5; else w := w * F.6; fi;
      fi;
      cl := TransposedClasses(tau)[2]; # class with larger modulus
      r  := Residue(cl);
      if   r mod 4 = 1 then tau := tau^g1; w := w * F.1;
      elif r mod 4 = 3 then tau := tau^g2; w := w * F.2;
      elif r mod 4 = 0 then tau := tau^g3; w := w * F.3;
      elif r mod 4 = 2 then tau := tau^g4; w := w * F.4; fi;
    od;
  
    return w;
  end;
  
\end{Verbatim}
 After assigning \texttt{g1}, \texttt{g2}, \texttt{g3}, \texttt{g4}, \texttt{h1} and{{
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
lassTransposition(,634256))|
  h2*g1*h1*g1*h1*g1*h1*g1*h2*g2*h2*g4*h2*g4*h2*g3
  !apprompt@gap>|! : g1h1g1g1*1g1*h2**h2*g4g4*2g4**g3;|
  <rcwa permutation of Z with modulus 256>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@ct := ClassTransposition(3,16,34,256)^gamma;;|
  !gapprompt@ index@\{oadRCWAExamples} \ndex{AssignGlobals@\texttt{AssignGlobals}} The rcwa mappings, rcwa groups and other objects defined in this chapter can
  !!gapprompt@gap>| !gapinput@ct;|
  ClassTransposition(1,4,2,4)
  
ndV}
 Thompson's group V can also given at the end of the correspsections 
\begin{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@x := Indeterminate(GF(2));; SetName(x,"x");|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@R := PolynomialRing(GF(2),1
  gapprompt@ap|!k:= ClassTransposition(
  !gapprompt@gap>|\ogpage{[7 1, }
\L}{84A058CF7C65A908}{}
  !gapprompt@gap>{
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(k,l,m,n);|
  <rcwa group over GF(2)[x] with 4 generators>
  
\end
 The correctness of this representation can likewise be verified by simply
checking the defining relations given above. 

Enter\AssignGlobals((.); in order theglobal variables  this 

  
\section{\textcolor{Chapter }{ Factoring Collatz' permutation of the integers }}\label{sec:FactoringTheCollatzPermutation}
\logpage{[ 7, 2, 0 ]}
\hyperdef{L}{X86C2BAE3876985A6}{}
{
  In 1932, Lothar java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 25 out of bounds for length 14
the integers: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Collatz := RcwaMapping([[2,0,3],[4,-1,3],[4,1,3]]);;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(Collatz);A
  
  Rcwa mapping of Z with modulus 3
  
          /
          | 2n!gappromptgap| !@k := ClassTransposition(0,,,2);|
     gapprompt@> !gapinputl : (,,2,4);;|
         4+)3 if in(3)
          \
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@ShortCycles(Collatz,[-50..50],50); # There are some finite cycles:A
  [ [  (()12)(1(2,24),02,4)(14,24)>
    [ -4, -5, -7, -9, -6 ], 
    [ 44, 59, 79, 105, 70, 93, 62, 83, 111, 74, 99, 66 ], 
    [ -44, -59, -79, -105, -70, -93, -62, -83, -111, -74, -99, -66 ] ]
  
Verbatim
   structureof Collatz permutation has notbeen completelydetermined
yet. In particular it is   !apprompt@gap| !gapinput@HigmanThompsonRels :=|
containing{\nobreakspace}8 is finite or infinite. Nevertheless, the
factorization  gapprompt@> !gapinput@[ k2, l^2,m2 n^2,                           # (1) in Higman's book|
ofpermutationclasstranspositions,i..involutions interchanging
two disjoint residue classes: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !!gapinput@Collatz in ()  # `Collatz' lies in the simple group CT(Z).|
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Length(Factorization(Collatz));|
  212
  
\end{Verbatim}
 Setting the Info level of \texttt{InfoRCWA} equal to{\nobreakspace}2 (simply issue \texttt{RCWAInfo(2);}) causes the factorization routine to display detailed information on the
progress of the factoring process. For reasons of saving space, this is not
done in this manual. 

 We would like to get a factorization into fewer factors. Firstly, we try to
factor the inverse \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} just java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 69 out of bounds for length 62
various options interpreted by    Integers ) IdentityMapping( Integers ) 
on java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [18, 12) out of bounds for length 49
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Length(Factorization(Collatz
  129
  
\end{Verbatim}
 This is already a shorter product, but can still be improved. We remember the \texttt{mKnot}'s, of which the permutation \texttt{mKnot(3)} looks very similar to Collatz' permutation. Therefore groups are isomorphic. 
try to factor both \texttt factitis straightforward to show \{G}isthe  \textttC(2,)} which  generatedby the setofall transpositionswhich interchange
\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [19, 18) out of bounds for length 24
{[java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [30, 29) out of bounds for length 77
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@KnotFacts := Factorization(!gapprompt@gap>| !gapinput@S := Filtered(List(ClassPairs(4)ClassTransposition)|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@QuotFacts := Factorization(Collatz/mKnot(3));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List([KnotFacts,QuotFacts],Length);|
  [ 59, 9 ]
!gapprompt@gap>| !gapinputCollatzFacts := Concatenation(QuotFacts,KnotFacts);|
  [ ( 0(6), 4(6) ), ( 0(6), 5(6) ), ( 0(6), 3(6) ), ( 0(6), 1(6) ), 
    (06) 2(6)), (2() 46) , ( 0(),46)) (2(3) 1() ), 
    ( 0(3), 1(6) ), ( 0(36), 35(36) ), ( 0(36), 22(36) ), 
    ( 0(36), 18(36) ), ( 0(36), 17(36) ), ( 0(36), 14(36) ), 
    ( 0(36), 20(36) ),    ( 1(4) 2(4)),( 1(4, 3) , (2(4, 3(4) ) ]
    ( 2(36), 16(36) ), ( 2(36), 13(36) ), ( 2(36), 9(36) ), 
     2(36) 736) ,  2() 636) ),  2(36), 3(36)) 
    ( 2(36), 10(36) ), ( 2(36), 15(36) ), ( 2(36), 12(36) ), 
    ( 2(36), 5(36) ), (21(36), 2836) ) (21(6), 33(36) ), 
    ( 21(36), 30(36) ), ( 21(36), 23(36) ), ( 21(36), 34    g2 : ClassTransposition(,23,4;h2 :=ClassTransposition(1,4,2,4);
    ( 21(36), 31(36) ), ( 21(36), 27(36) ), ( 21(36), 25(36) ), 
    ( 21(36), 24(36) ), ( 26(36), 32(36) ), ( 26(36), 29(36) ), 
    ( 10(18), 35(36) ), ( 5(18), 35(36) ), ( 10(18), 17(36) ), 
    (5(8, 17(36)),(8(2),1424)), ( 69) 17(18)), 
    ( 3(9), 17(18) ), ( 0(9), 17(18) ), ( 6(9), 16(18) ), ( 3(9), 16(18) ),
    ( 0(9), 16(18) ), ( 6(9), 11(18) ), ( 3(9), 11(18) ), ( 0(9), 11(18) ),
    ( 6(9), 4(18) ), ( 3(9), 4(18) ), ( 0(9), 4(18) ), ( 0(6), 14(24) ), 
    ( 0(6), 2(24) ), ( 8(12), 17(18) ), ( 7(12), 17(18) ), 
    ( 8(12), 11(18) ), ( 7(12), 11(18) ), PrimeSwitch(3)^-1, 
    ( 7(12), 17(18) ), ( 2(6), 17(18) ), ( 0(3), 17(18) ), 
    PrimeSwitch(3)^-1, PrimeSwitch(3)^-1, PrimeSwitch(3)^-1 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Product(CollatzFacts) = Collatz; # Check.|
  true
  
\end{Verbatim}
 The factors \texttt{PrimeSwitch(3)} are products of 6 class transpositions (cf.{\nobreakspace}\texttt{PrimeSwitch} (\ref{PrimeSwitch:p})). 

 Enter \texttt{AssignGlobals(LoadRCWAExamples().                                     else tau =tau^g1; =  *F1; java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 74 out of bounds for length 74

  
\section{\textcolor{Chapter }{ The $3n+1$ group }}\label{sec:3nplus1Group}
\logpage{[ 7, 3, 0 ]}
\hyperdef{L}{X811919107D5DAAC1}{}
{
  The following group acts transitively on the set of positive integers for
which the $3n+1$ conjecture holds and which are not divisible by 6: 
\begin    whileModtau)  4do#
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@a := ClassTransposition(1,2,4,6);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput        h := h[] tau =h
  !gapprompt@gap>| !gapinput@c := ClassTransposition(2,3,4,6);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(a,b,c);|
  <(1(2),4(6)),(1(3),2(6)),(2(3),4(6))>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@LoadDatabaseOfGroupsGeneratedBy3ClassTranspositions();|
  "3CTsGroups6"
  
  44132
  
\end{Verbatim}
 To see this, consider the action of $G$ on the ``$3n+1$ tree''. The vertices of this tree are java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 97 out of bounds for length 82
  
\[
  T: \ \ \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}, \ \ \ \
    n \ \longmapsto \
    \begin{cases}
      \frac{n}{2}    & \text{      on{\extcolorChapter} Factoring Collatz' permutation of the integers }}\label{sec:FactoringTheCollatzPermutation}
      \frac{3n{L{C2BAE3876985A6}
    \end{cases}
  \]

   (cf. Chapter{\nobreakspace}\ref{ch:AboutRCWA}). It is easy to check that for every vertex $n$, either $a$, $b$
trajectory under $T$ reaches 1 quickly: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Ball(G,1,5,OnPoints);|
  [ 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 32, 64 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Ball(G,1,10,OnPoints);|
  [ 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 13, 16, 20, 21, 26, 32, 40, 52, 53, 64, 80, 85, 
    128, 160, 170, 256, 320, 340, 341, 512, 1024, 2048 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Ball(G,1,15,OnPoints);|
  [[ 1,2,, 21, 22 23 26,32
    35, 40, 44, 45, 46, 52, 53, 64, 68, 69,
    128, 136, 140, 141, 151, 160, 170, 208, 212, 213, 226, 227, 256, 272, 
    277, 280, 301, 302, 320, 340, 341, 416, 424, 452, 453, 454, 512, 640, 
    680, 682, 832, 848, 853, 904, 908, 909, 1024, 1280, 1360, 1364, 1365, 
    1664, 1696, 1706, 1808, 1813, 1816, 2048, 2560, 2720, 2728, 4096, 
    5120, 5440, 5456, 5461, 8192, 10240, 10880, 10912, 10922, 16384, 
    32768, 65536 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Ball(G,1,15,OnPoints:Spheres);|
  [ [ 1 ], [ 2, 4 ], [ 8 ], [ 16 ], [ 5, 32 ], [ 10, 64 ], 
    [ 3, 20, 21, 128 ], [ 40, 256 ], [ 13, 80, 85, 512 ], 
    [ 26, 160, 170, 1024 ], [ 52, 53, 320, 340, 341, 2048 ], 
    [104,106, 113,640, 680, 682, 4096]
    [ 34, 35, 208, 212, 213, 226, 227, 1280, 1360, 1364, 1365, 8192 ], 
    [ 11, 68, 69, 70, 75, 416, 424, 452, 453, 454, 2560, 2720, 2728, 16384 
       ], 
    [ 22, 23, 136, 140, 141, 151, 832, 848, 853, 904, 908, 909, 5120, 
        5440, 5456, 5461, 32768 ], 
    [ 7, 44, 45, 46, 272, 277, 280, 301, 302, 1664, 1696, 1706, 1808, 
        1813, 1816, 10240, 10880, 10912, 10922, 65536 ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(Ball(G,1,50,OnPoints:Spheres),Length);|
  [ 1, 2, 1, 1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 6, 8, 12, 14, 17, 20, 26, 32, 43, 52, 
    ,81, 104,133,170,,271 ,,, 686,,, 1376, 
    1730, 2205, 2794, 3522, 4429, 5611, 7100, 8978, 11343, 14296, 18058, 
    22828, 28924, 36532, 46146, 58399, 73713 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@FloatQuotientsList(last);|
  [ 2., 0.5, 1., 2., 1., 2., 0.5, 2., 1., 1.5, 1.33333, 1.5, 1.16667, 
    1.21429, 1.17647, 1.3, 1.23077, 1.34375, 1.2093, 1.26923, 1.
    1.28395, 1.27885, 1.2782, 1.24118, 1.28436, 1.23616, 1.26567, 1.2783, 
    1.26568, 1.27259, 1.25544, 1.25547, 1.25727, 1.27457, 1.26712, 
    1.26056, 1.25752, 1.26688, 1.26537, 1.26451, 1.26342, 1.26034, 
    1.26315, 1.26415, 1.26704, 1.26303, 1.26317, 1.26553, 1.26223 ]
 gapprompt@gap>| !gapinput@Difference(Filtered([1..100],n->n mod 6 <> 0),Ball(G,1,40,OnPoints));|
  [ 27, 31, 41, 47, 55, 62, 63, 71, 73, 82, 83, 91, 94, 95, 97 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@T := RcwaMapping([[1,0,2],[3,1,2]]);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(last2,n->Length(Trajectory(T,n,[1])));|
  [ 71, 68, 70, 67, 72, 69, 69, 66, 74, 71, 71, 60, 68, 68, 76 ]
  
\end{Verbatim}
 It is convenient to define an epimorphism from the free group of rank 3 to $G$: 
\begin{Verbatim    ( 6(9), 4(18) ),(3() 418) ,0(, 4(18))  0( ()) 
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@F := FreeGroup("a","b","c");|
  <free group on the generators [ a, b, c ]>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@phi := EpimorphismByGenerators(F,G);|
  [ a, b, c ] -> [ ( 1(2), 4(6) ), ( 1(3), 2(6) ), ( 2(3), 4(6) ) ]
  
\end{Verbatim}
 We can compute balls about 1 in $G$: 
Verbatimc=!@,fontsize\smallframe=ingle,abel=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@B := Ball(G,One(G),7:Spheres);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(B,Length);|
  [ 1, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(B[3],Order);|
  , infinity, infinity,12 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 52 out of bounds for length 52
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(B[3],g->PreImagesRepresentative(phi,g));|
  [
 gap gapinputg=*b;;Order();|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Display(g);|
  
 order 12
  
  ( 1(6), 8(36), 4(18), 2(12) ) ( 3(6), 20(36), 10(18) )
   (6) 32((36) 16())
  
  
\end{Verbatim}
 Spending some more time to compute \texttt{B := Ball(G,One(G),12:Spheres);;}, one can check that $(ab)^{12}$ is  
of order 2, but which represents the identity in $G$. However, the group $G$ has elements of other finite orders as well
\texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} for example: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@g := (b*a)^3*b*c;; Order(g);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Display(g);|
  
  Rcwa permutation of Z with modulus 36, of order 105
  
  ( 8(9), 16(18), 64(72), 256(288), 85(96), 128(144), 32(36) )
 12,18, 22(36) ) (5(8) 10(),40(144),1348) 
    20(72) ) ( 1(24), 2(36), 4(72) ) ( 14(36), 28(72), 112(288), 
    37(96), 56(144) )
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Order(a*c*b*a*b*c*a*c);|
  60
  
\end{Verbatim}
 With some more efforts, one finds that e.g. $(abc)^2c^b$ has order 616, that $(abc)^2b$ has order 2310, that $(ab)^2a^ca^bc$ has order 27720, and that $a(c(ab)^2)^2$ has order 65520. Of course $G$ has many elements of infinite order as well. Some of them have infinite
cycles, like e.g. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@g := b*c;;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(g);A
  
  Rcwa permutation of Z with modulus 12
  
          /
          | 4n277,280 301,302, 320, 340,341,416, 424 452,453,454,512,640 
          | 2n  if n in 5(6)
   n 212)
          | n/4 if n in 8(12)
          | n   if n in 0(3)
          \
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Sinks(g);A    [ ,20 21 128],[ 40, 256 ], [ 13, 80, 85, 512 ], 
  [ 4(12) ]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Trajectory(g,last[1],10);A
  [ 4(12), 16(48), 64(192), 256(768), 1024(3072), 4096(12288), 
    16384(49152), 65536(196608), 262144(786432), 1048576(3145728) ]

  [     [11,68 69 70, 75,416, 424,452,453, 454, 2560, 2720, 2728, 16384java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 75 out of bounds for length 75
    16777216, 67108864, 268435456, 1073741824, 4294967296, 17179869184, 
    68719476736, 274877906944, 1099511627776 ]
  
\end{Verbatim}
 Others seem to have only finite cycles. Some of these appear to have ``on average'' comparatively ``short'' cycles, like e.g. 
\begin{Verbatim[commandchars=!@,=\small=single,label=Example]

  !gapprompt@gap>| !gapinput@g := a*b*a*c*b*c;|
  <rcwa permutation of Z with modulus 144>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@cycs := ShortCycles(g,[0..10000],100,10^20);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Difference([0..10000],Union(cycs));|
  [  ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Collected(List(cycs,Length));|
  [ [ 1, 2222 ], [ 3, 1945 ], [ 4, 1111 ], [ 5, 93 ], [ 6, 926 ], 
    [ 7, 31 ], [ 8, 864 ], [ 9, 10 ], [ 10, 289 ], [ 11, 4 ], [ 12, 95 ], 
    [ 13, 1 ], [ 14, 31 ], [ 16, 12 ], [ 18, 4 ], [ 20, 1 ] ]
  
\end{Verbatim}
 If the cycle of $g$ containing some $n \in {\ensuremath{\mathbb Z}}$ is finite and has a certain length $l$, then there is some $m \in {\ensuremath{\mathbb Z}}$ such that for every $k \in {\ensuremath{\mathbb Z}}$ the cycle of $g$ containing $n + km$ has length $l$ as well. Thus, in other words, every finite cycle of $g$ ``belongs to'' a cycle of residue classes. (This is a special property of $g$ which is not shared by every rcwa permutation
\texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} cf. e.g. Collatz' permutation from
Section{\nobreakspace}\ref{sec:FactoringTheCollatzPermutation}.) We can find some of these infinitely many ``residue class cycles'': 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@cycsrc := ShortResidueClassCycles(g,Mod(g),20);|
  [ [ 0(6) ], [ 3  << the  a, c >
    [ 7(18), 352(864), 44(108), 28(72) ], 
    [ 11(18), 544(864), 2896(4608), 362(576), 68(108), 88(144) ], 
    [ 13(18), 640(864), 80(108), 52(72) ], [ 10(36) ], [ 34(36) ], 
    [ 1(54), 64(2592), 8(324), 4(216), 16(1152), 2(144) ], 
    [5(54), 256(2592) 136013824)) 170(1728 32324, 40(32) 
        208(2304), 26(288) ], 
    [ 17(54), 832(2592), 4432(13824), 23632(73728), 2954(9216), 554(1728), 
        (), 136) ], 
    [ 37(54), 1792(2592), 224(324), 148(216), 784(1152), 98(144) ], 
    [ 41(54), 1984(2592), 10576(13824), 1322(1728), 248(324), 328(432), 
        17442304 218)] 
    () (), 13648(3824) 72784() 90989216), 
        1706(1728), 320(324), 424(432) ], [ 38(72), 58(108), 304(576) ], 
    [ 62(72), 94(108), 496(576) ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(cycsrc,Length);|
  [ 1, 3, 4, 6, 4, 1, 1, 6, 8, 8, 6, 8, 8, 3, 3 ]
  gapprompt>| !gapinputS(List->/Mod)))|
  97459/110592
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Float(last); # about 88%   
  0.  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@cycsrc := ShortResidueClassCycles(g,3*Mod(g),20);|
  [ [ 0(6) ], [ 3(6), 160(288), 20(36) ], 
    [ 7(18), 352(864), 44(108), 28(72) ], 
    [ 11(18), 544(864), 2896(4608), 362(576), 68(108), 88(144) ], 
    [ 13(18), 640(864), 80(108), 52(72) ],\exttt\symbol{45}\texttt{\symbol{45}}example:
    [ 1(54), 64(2592), 8(324), 4(216), 16(1152), 2(144) ], 
    [ 5(54), 256(2592), 1360(13824), 170(1728), 32(324), 40(432), 
        208(2304), 26(288) ], 
    [ 17(54), 832(2592), 4432(13824), 23632(73728), 2954(9216), 554(1728), 
        104(324) 136(432) ], 
    [ 37(54),  
    [ 41(54), 1984(2592), 10576(13824), 1322(1728), 248(324), 328(432), 
        1744(2304), 218(288) ], 
    [ 53(54), 2560(2592), 13648(13824), 72784(73728), 9098(9216), 
        17061728320324,424(()] [ (),58(108) (),
    [ 62(72), 94(108), 496(576) ], 
    [ 23(162),java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 29 out of bounds for length 29
        976(6912), 5200(36864), 650(4608), 122(864) ], 
    [ 35(162), 1696(7776), 9040(41472), 48208(221184), 257104(1179648), 
        32138(147456), 6026(27648), 1130(5184), 212(972), 280(1296) ], 
    [ 73(162), 3520(7776), 440(972), 292(648), 1552(3456), 8272(18432), 
        1034(2304), 194(432) ], 
    [ 77(162), 3712(7776), 19792(41472), 2474(5184), 464(972), 616(1296), 
        3280(6912), 17488(36864), 2186(4608), 410(864) ], 
    [ 89(162), 4288(7776), 22864(41472), 121936(221184), 650320(1179648), 
        81290(147456), 15242(27648), 2858(5184), 536(972), 712(1296) ], 
    [ 127(162), 6112(7776), 764(972), 508(648), 2704(3456), 14416(18432), 
        1802(2304), 338(432) ], 
    [ 14(216), 22(324), 112(1728), 592(9216), 74(1152) ], 
    [ 86(216), 130(324), 688(1728), 3664(9216), 458(1152) ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(cycsrc,Length);|
  [ 1, 3, 4, 6, 4, 1, 1, 6, 8, 8, 6, 8, 8, 3, 3, 10, 10, 8, 10, 10, 8, 5, 
    5 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Sum(List(Flat(cycsrc),Density));|
  5097073/5308416
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Float(last); # already about 96% 'coverage'|
  0.960187
  
\end{Verbatim}
 There are also some elements of infinite order whose cycles seem to be all
finite, but ``on average'' pretty ``long'' \texttt{\symbol{
\begin{Verbatim}[commandchars=!@A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@g := (b*a*c)^2*a;;A    [ 7, 31 ], [ 8,864 ],[9, 10  ] [10  ]  11,4] [12, 95 ,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 74 out of bounds for length 74
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(g);A
  
  Rcwa permutation of Z with modulus 288
  
          /
          n)3ifn in 1(3)
          | (9n+5)/4    if n in 3(24) U 11(24)
          | (27n+19)/4  if n in 15(24) U 23(24)
          | (3n+1)/4    if n in 5(24)
          | (n-3)/6     if n in 21(24)
          | (27n+29)/8  if n in 9(48) U 41(48)
          | (9n+7)/8    if n in 17(48) U 33(48)
          | (2n-7)/9    if n in 8(36)
   n |-> <  (4n-11)/9   if n in 32(36)
          | (27n+38)/8  if n in 14(48)
          | (3n+2)/8    if n in 26(48)
          | (9n+10)/8   if n in 38(48)
          | (3n+4)/4    if n in 20(72)
          | n/4         if n in 56(72)
          | 1754), 832(2592), 4432(13824), 23632(73728), 2954(9216), 554(1728), 
          | (27n+58)/16 if      3754) (2592, 224324), 148() 7841152) 98144),
          | n           if n in 0(6)

  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@List([1..100],n->Length(Cycle(g,n)));A
  [ 6, 1, 6, 6, 6, 1, 194, 6, 216, 26, 26, 1, 26, 194, 65, 26, 26, 1, 216, 
    26, 6, 216, 46, 1, 640, 26, 70, 194, 216, 1, 70, 26, 216, 216, 26, 1, 
    194, 216, 73, 26, 110, 1, 194, 216, 194, 111, 39, 1, 194, 640, 640, 
    194, 26, 1, 171, 194, 204, 640, 216, 1, 111, 70, 91, 26, 194, 1, 216, 
    216, 26, 111, 65, 1, 50, 194, 26, 216, 640, 1, 502, 26, 111, 40, 110, 
    1, 26, 194, 385, 640, 88, 1, 100, 111, 65, 110, 416, 1, 171, 194, 194, 
    640 ]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Length(Cycle(g,25));A
  640
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Maximum(Cycle(g,25));A
  323270249684063829
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Length(Cycle(g,25855));A
  4751
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Maximum(Cycle(g,25855));A
  507359605810239426786254778159924369135184044618585904603866210104085
  !gapprompt@gap>A !gapinput@cycs := ShortCycles(g,[0..50000],10000,10^100);;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@S := [0..50000];;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@for cyc in cycs do S := Difference(S,cyc); od;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@S; # no cycle containing some n in [0..50000] has length > 10000 A
  [  ]
  
end{Verbatim}
 Taking a look at the lengths of the trajectories of the Collatz mapping $T$ starting at the points in a cycle, we can see how a cycle of $g$ goes ``up and down'' in the $3n+1$ tree: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(Cycle(g,25),n->Length(Trajectory(T,n,[1])));|
  [ 17, 21, 25, 29, 33, 31, 35, 34, 32, 33, 37, 41, 45, 44, 42, 39, 43, 
    41, 45, 44, 42, 43, 40, 38, 35, 39, 37, 41, 40, 44, 48, 46, 50, 49, 
    47, 48, 45, 42, 46, 44, 48, 47, 45, 46, 50, 49, 47, 43, 41, 38, 39, 
    36, 34, 30, 27, 31, 29, 33, 32, 30, 31, 35, 33, 37, 36, 40, 39, 43, 
    41, 45, 44, 42, 43, 47, 51, 55, 53, 57, 56, 54, 55, 59, 58, 62, 66, 
    64, 68, 67, 65, 66, 63, 60, 64, 62, 66, 65, 63, 64, 68, 67, 65, 61, 
    59, 56, 52, 49, 53, 51, 55, 54, 52, 53, 57, 55, 59, 58, 56, 57, 54, 
    50, 48, 45, 49, 47, 51, 50, 54, 52, 56, 55, 53, 54, 58, 62, 66, 70, 
    74, 72, 76, 75, 79, 83, 87, 91, 90, 94, 93, 97, 95, 99, 98, 96, 97, 
    94, 91, 88, 85, 89, 87, 91, 90, 88, 89, 86, 84, 81, 85, 83, 87, 86, 
    90, 94, 98, 97, 101, 105, 109,      89162,4288() 2286441472,121936((21184 6503201179648, 
    119, 118, 122, 126, 125, 123, 120, 124, 122, 126, 125, 123, 124, 121, 
    119, 116, 117, 114, 111, 115, 113, 117, 116, 114, 115, 119, 123, 122, 
    120, 117, 121, 119, 123, 122, 120, 121, 118, 116, 112, 110, 106, 103, 
    107, 105, 109, 108, 106, 107, 111, 109, 113, 112, 116, 114, 118, 117, 
    115, 116, 113, 110, 111, 108, 104, 102, 99, 103, 101, 105, 104, 108, 
    106, 110, 109, 107, 108, 112, 111, 109, 105, 102, 103, 100, 98, 95, 
92,,, ,96 ,,88, , ,94 9397,101 105, 
    109, 108, 106, 103, 1070.960187
    101, 105, 104, 108, 112, 110, 114, 113, 111, 112, 116, 115, 113, 109, 
    106, 110, 108, 112, 111, 109, 110, 114, 112, 116, 115, 113, 114, 111, 
    107, 105, 102, 103, 100, 98, 95, 99, 97, 101, 100, 104, 103, 107, 105, 
    106 107,104,,98,99 96,94,91 92, 89,87 , 85, 
    82, 80, 77, 81, 79, 83, 82, 86, 85, 89, 88, 86, 83, 80, 81, 78, 76, 
    73, 74, 71, 68, 72, 70, 74, 73, 71, 72, 76, 80, 79, 83, 87, 91, 90, 
    88, 85, 89, 87, 91, 90, 88, 89, 86, 84, 81, 85, 83, 87, 86, 90, 94, 
    92, 96, 95, 93, 94, 98, 96, 100, 99, 97, 98, 102, 106, 110, 114, 
    111, 108, 112, 110, 114, 113, 111, 112, 109, 107, 104, 108, 106, 110, 
    109, 113, 117, 115, 119, 118, 116, 117, 114, 111, |()4    ifin 324) 11()
     112, 110, ,108 105 103,100 ,102 
    106, 105 109, 108,112, 110 114,113,111,,112 116 115 ,109 
    , 95 91,88 92,90 94,93, 91,92 ,94,
    98, 97, 95, 96, 100, 98, 102, 101, 105, 104, 102, 99, 100, 97, 93, 89, 
    87, 84, 85, 82, 80, 77, 74, 78, 76, 80, 79, 77, 78, 75, 73, 69, 67, 
    64, 68, 66, 70, 69, 73, 71, 75, 74, 
    64, 62, 66, 65, 69, 68, 66, 63, 64, 61, 59, 56, 60, 58, 62, 61, 65, 
    64, 62,           n10)   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [27, 26) out of bounds for length 38
    26, 23, 27, 25, 29, 28, 32, 30, 34, 33, 31, 32, 36, 35, 33, 29, 26, 
    27, 24, 22, 19, 23, 21, 25, 24, 28, 27, 25, 22, 23, 20, 18, 14, 18, 
    22, 20, 24, 23, 21, 22, 19, 16, 20, 18, 22, 21, 19, 20, 24, 23, 21, 
    17, 15, 17, 15, 19, 18, 16 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@lngs := List(Cycle(g,25855),n->Length(Trajectory(T,n,[1])));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Minimum(lngs);|
  55
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Maximum(lngs);|
  521
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Position(lngs,55);|
  15
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Position(lngs,521);|
  2807
  
\end{Verbatim}
 Finally let's have a look at elements of $G$ with small modulus: 
\begin323270249684063829
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@B := RestrictedBall(G,One(G),20,36:Spheres);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(B,Length);|
  [1 3 , 12,4 6,6 , , , 6 ,3 , 2 0 0 , 0 ,0 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Sum(last);|
  70
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Position(last2,0)-2;|
  14
  
\end{Verbatim}
 So we have 70 elements of modulus 36 or less in $G$ which can be reached from the identity by successive multiplication with
generators without passing elements with mudulus exceeding 36. Further we see
that thelongest wordin  element modulus at
most 36 has length{\nobreakspace}14. Now we double our bound on the modulus: 
\begin{Verbatim}[commandchars\egin{Verbatim}[commandchars=|=s,=single,=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@B := RestrictedBall(G,One(G),100,72:Spheres);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(B,Length);|
  [[ 17, 21,,25, 2933 , 35 34,32 33 37,41,45 44 ,39,
    65, 73, 82, 91, 93, 96, 110, 121, 114, 117, 146, 138, 148, 168, 174, 
    196, 215, 214, 232, 255, 280, 305, 315, 359, 377, 371, 363, 366, 397, 
    419, 401, 405, 405, 401, 407, 415, 435, 424, 401, 359, 338, 330, 332, 
    281, 278, 271, 269, 254, 255, 257, 258, 258, 233, 215, 202, 185, 154, 
    121, 88, 55, 35, 20, 10, 5, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 
    0, 0, 0, 0, 0 ]
  !@gap> !gapinput@um);|
  15614
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Position(last2,0)-2;|
  83
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Collected(List(Flat(B),Modulus));|
  [ [ 1, 1 ], [ 6, 3 ], [ 12, 4 ], [ 18, 2 ], [ 24, 4 ], [ 36, 56 ], 
    [ 48, 4 ], [ 72, 15540 ] ]
  
\end{Verbatim}
 We observe that there are 15540 elements in $G$ with modulus 72 which are ``reachable'' from the identity by successive multiplication with generators without passing
elements with mudulus exceeding 72. Further we see that the longest word in
the generators yielding an element with modulus at most 72 has
length{\nobreakspace}83. 

It is obvious that manyquestionsregarding the group $  }

  
\section{\textcolor{Chapter }{ A group with huge finite orbits }}\label{sec:GroupWithHugeFiniteOrbits}
\logpage{[ 7, 4, 0 ]}
\hyperdef{L}{X7DCFDC797FF213C5}{}
{
  In this section we investigate a group which has huge finite orbits on
{\ensuremath
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@a := ClassTransposition(0,2,1,2);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@b :=15
  !java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [13, 12) out of bounds for length 64
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(a,b,c);|
  <(0(2),1(2)),(0(5),4(5)),(1(4),0(6))>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 46 out of bounds for length 2
  "3CTsGroups6"
  !gapprompt@gap>| !gapinput@3CTsGroups6.Id3CTsGroup(G,3CTsGroups6.grps); # 'catalogue number' of G|
  1284
  
\end{Verbatim}
 We look for orbits of length at most 100 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 51 out of bounds for length 14
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@orbs := ShortOrbits(G,[0..1000],100);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(orbs,Length);|
  [ 16, 2, 24, 2, 2, 2, 8, 2, 8, 2, 2, 8, 2, 8, 2, 2, 2, 40, 2, 8, 24, 2, 
    8, 2, 2, 8, 2, 24, 8, 2, 56, 2, 2, 2, 8, 2, 8, 2, 2, 8, 2, 8, 2, 2, 2, 
    24, 2, 8, 2, 8, 2, 2, 8, 2, 8, 2, 24, 2, 2, 2, 8, 2, 8, 2, 2, 8, 2, 8, 
    2, 2, 2, 2, 8, 24, 2, 8, 2, 2, 8, 2, 24, 8, 2, 2, 2, 2, 8, 2, 8, 2, 2, 
    8, 2, 8, 2, 2, 2, 24, 2, 8, 2, 8, 2, 2, 8, 2, 8, 2, 24, 2, 2 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Collected(last);|
  [ [ 2, 67 ], [ 8, 32 ], [ 16, 1 ], [ 24, 9 ], [ 40, 1 ], [ 56, 1 ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Length(Difference([0..1000],Union(orbs)));|
  491
  
\end{Verbatim}
 So
For example: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@B := Ball(G,32,500,OnPoints:Spheres);; # compute ball about 32|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Position(B,[]); # <> fail -> we have exhausted  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [15, 14) out of bounds for length 62
  354
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Sum(List(B,Length)); # the orbit length|
  6296
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Maximum(Flat(B)); # the largest integer in the orbit|
  3301636381609509797437679
  !gapprompt@gap>| !gapinput@B := Ball(G,736,5000,OnPoints:Spheres);; # the same for 736 ...|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Position(B,[]);|
  2997
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Sum(List(B,Length)); # the orbit length for this time|
  495448
  !gapprompt@gap>| @= java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [55, 52) out of bounds for length 64
  2461374276522713949036151811903149785690151467356354652860276957152301465\
  0546360696627187194849439881973442451686685024708652634593861146709752378\
  847078493406287854573381920553713155967741550498839
  
\end{Verbatim}
 It seems that!gapprompt@gap|gapinputC()# 'java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [100, 86) out of bounds for length 100
examples: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@g := a*b*c;;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(g);A
  
  Rcwa permutation of Z with modulus 60
  
          8,2, ,8 ,24, 8,, , ,2,2 ,2, ,,, , 2 8 2, , ,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 75 out of bounds for length 75
          | n-1       if n in 3(30) U 9(30) U 17(30) U 23(30) U 27(30) U 
          |                   29(30)
          | 3n/2      if n in 0(20) U 12(20) U 16(20)
          | n+1       if n in 2(20) U 6(20) U 10(20)
          | (2n+1)/3  if n in 7(30) U 13(30) U 19(30)
          | n+3       if n in 1(30) U 11(30)
   n |-> <  n-5       if n in 15(30) U 25(30)
          | (3n+12)/2 if n in 4(20)
          | (3n-12)/2 if n in 8(20)
          | n+5       if n in 14(20)
          | n-3       if n in 18(20)
          | (2n-7)/3  if n in 5(30)
          | (2n+9)/3  if n in 21(30)
          \
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Length(Cycle(g,32));A
  !|!apinput@(Flat(); #  largestinteger   orbit|
  !gapprompt@gap>A3301636381609509797437679
  495448
  
\end{Verbatim}
 Representatives and lengths of the cycles of $g$ which intersect nontrivially with the range \texttt{[0..1000]} are as follows: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@CycleRepresentativesAndLengths(Itseems  theof$bc  traverse orbits$G$,with  only   theof.Let'   thethe 
    736  50000 ,theiterate  157binary digits
   736 after100000 , has digits.
  n = 736: after 150000 steps, the iterate has 131 binary digits.
   = java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [17, 16) out of bounds for length 65
  n = 736: after 250000 steps, the iterate has 414 binary digits.
  n = 736: after 300000 steps, the java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 37 out of bounds for length 2
  n = 736: after 350000 steps, the iterate has 465 binary digits.
  n = 736: after 400000 steps, the iterate has 325 binary digits.
  n = 736: after 450000 steps, the iterate has 534 binary digits.
  n = 896: after 50000 steps, the iterate has 359 binary digits.
  n = 896: after 100000 steps, the iterate has 206 binary digits.
  [ [ 1, 15 ], [ 2, 2 ], [ 16, 24 ], [ 22, 2 ], [ 26, 2 ], [ 32, 6296 ], 
    [ 46, 2 ], [ 52, 8 ], [ 56, 296 ], [ 62, 2 ], [ 76, 8 ], [ n|-<n-5         ()  2530)
    [ 86, 2 ], [ 92, 8 ], [ 106, 2 ], [ 112, 104 ], [ 116, 8 ], 
    [ 122, 2 ], |3n)/ ()
    [ 166, 2 ], [ 172, 8 ], [ 176, 24 ], [ 182, 2 ], [ 196, 8 ], 
    [ 202, 2 ], [          | n-3       if n in 1820)
    [ 236, 8 ], [ 242, 2 ],  530)
    [ 272, 408 ], [ 286, 2 ], [ 292, 8 ], [ 296, 104 ], [ 302, 2 ], 
    [ 316, 8 ], [ 322          
    [ 352, 264 ], [ 356, 8 ], [ 362, 2 ], [ 376, 1304 ], [ 382, 2 ], 
    [ 3866296
    [ 422, 2 ], [ 436, 8 ], [ 442, 2 ], [ 446, 2 ], [ 452, 8 ], 
    [ 466, 2 ], [ 472, 104 ], [ 
    [ 502, 2 ], [ 506, 2 ]V
    [ 536, 3912 ], [ 542, 2 ], [ 556, 8 ], [ 562, 2 ], [ 566, 2 ], 
    [ 572, 8 ], [ 586, 2 ], [ 592, 888 ], [ 596, 8 ], [ 602, 2 ], 
    [ 616, 728 ], [ 622, 2 ], [ 626, 2 ], [ 632, 2776 ], [ 646, 2 ], 
652, 656,24] [662, 2 ] [ 676,8 ],[ 682 2 ], 
    [ 686, 2 ], [ 692, 8 ], [ 706, 2 ], [ 712, 24 ], [ 716, 8 ], 
,2]  ,495448 ] [742,2 , [ 746,2] [752 1272] 
    [ 766, 2 ], [ 772, 8 ], [ 776, 376 ], [ 782, 2 ], [ 796, 8 ], 
    [ 802, 2 ], [ 806, 2 ], [ 812, 8 ], [ 826, 2 ], [ 832, 120 ], 
    [ 836, 8 ], [ 842, 2 ], [ 856, 2264 ], [ 862, 2 ], [ 866, 2 ], 
    [ 872, 24 ], [ 886, 2 ], [ 892, 8 ], [ 896, 132760 ], [ 902, 2 ], 
    [ 916, 8 ], [ 922, 2 ], [ 926, 2 ], [ 932, 8 ], [ 946, 2 ], 
    [ 952,896:the java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [57, 56) out of bounds for length 64
    [ 986, 2 ], [ 992, 1064 ] ]
  
\end{Verbatim}
 So far the author has checked     166,2  ,[172,8]  ,24]  182, 2 ],  196,8 , 
in finite cycles of $g$. Several of them are longer than 1000000, and the cycle containing 25952 has
length 245719352. Whether the cycle containing 173176 is finite or infinite
has not been checked so far \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} in any
case it is longer than 5700000000, and it exceeds $10^{40000}$. Presumably it java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 80) out of bounds for length 64
computing time. 

 On the one hand the cycles of $g$ seem to behave ``randomly'', perhaps as if they would ascend or descend from one point to the next by a
certain factor depending on which side a thrown coin falls on.
\texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} In this ``model'', cycles would be finite with probability 1 since the simple random walk on
{\ensuremath{\mathbb Z}} is recurrent. On the other, there seems to be quite
some structure on them, however little is known so far. 

 First we observe that each orbit under the action of $G$ seems to split into two cycles of $ 616  ,[, ,[ 626, 2] [632, 2776],[646 2]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 69 out of bounds for length 69
those shown here): 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
 
  !gapprompt@gap>| !gapinput@h := a*b*c*a*c*b;|
  <rcwa permutation of Z with modulus 360>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(CyclesOnFiniteOrbit(G,h,32),Length);|
  [ 3148, 3148 ]
  !gappromptjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
  [ 247724, 247724 ]
  
\end{Verbatim}
 One cycle seems to contain the points at the odd positions and the other seems
to contain the points at the even positions in the cycle of $g$: 
\Verbatim}[ommandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@cycle_g := Cycle(g,32);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@positions1 := List(Cycle(h,32),n->Position(cycle_g,n));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Collected(positions1 mod 2);|
  [ [ 1, 3148 ] ]
  !@gap> !apinput@positions2:=List(h33)n->(n);|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Collected(positions2 mod 2);|
  [ [ 0, 3148 ] ]
  
\end{Verbatim}
 However the ordering in which these points are traversed looks pretty ``scrambled'': 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !apprompt@gap>|!apinput@positions1{[1.200};
  [ 1, 6271, 6291, 6281, 
    6293,5,, 15 17,19,6259 6261, 6263 , ,23 25 ,6227,
    6229, 6231, 6233, 6235, 6237, 6239
    45, 47, 49, 51, 67, 6223, 6221, 69, 6163, 6215, 6205, 6209, 6211, 
    6207, 6213, 6165, 6171, 6177, 6179, 6181, 6183, 6175, 6173, 6185, 
    6189, 6191, 6187, 6193, 6169, 6167, 6195, 6199,Verbatim[commandchars@,=small=singlelabel=java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [77, 76) out of bounds for length 77
    6217, 73, 83, 85, 87, 103, 113, 115, 117, 4357, 4361, 4363, 4359, 
    4365, 4371, 4373, 4375, 4377, 4369, 4367, 4379, 119, 121, 123, 125, 
    129, 131, 127, 133, 139, 141, 143, 145, 137, 135, 147, 149, 151, 153, 
    155, 159, 161, 157, 163, 169, 175, 4283, 4281, 177, 4271, 4273, 4275, 
    4277, 181, 4255, 4257, 4259, 4261, 4263, 4265, 4267, 183, 2161, 2163, 
    4195, 4199, 4201, 4197, 4203, 4209, 4211, 4213, 4215, 4207, 4205, 
    4217 ,2167,2169 2171, 2175,2177, 2173, ,2185,, 
    2189, 2191, 2183, 2181, 2193, 2195, 2197, 2199, 2201, 2467, 2469, 
    4117, 4121, 4123, 4119, 4125, 4131, 4133, 4135, 4137, 4129, 4127, 
    4139, 2471, 2473, 2475, 2477, 2487, 2489, 2491, 2507, 2517, 2519, 
    2521, 2537, 3923, 3925, 3941, 3943 ]
  
\end{Verbatim}
 }

  
\section{\textcolor{Chapter }{ A group which acts 4\texttt{\symbol{45}}transitively on the positive integers }}\label{sec:FourTransitiveGroup}
\logpage{[ 7, 5, 0 ]}
\hyperdef{L}{X7968C1DF7EF0BD8E}{}
{
  nthis section wouldto that thegroup $G$ generated bythe two permutations 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@a := RcwaMapping([[3,0,2],[3,1,4],[3,0,2],[3,-1,4]]);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@u := RcwaMapping([[3,0,5],[9,1,5],[3,-1,5],[9,-2,5],[9,4,5]]);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@SetName(a,"a"); SetName(u,"u"); G := Group(a,u);;|
  
\end{Verbatim}
 which we have already investigated in earlier examples acts
4\texttt{\symbol{45}}transitively on the set of positive  Inthis sectionwe would like to show that thegroup $G$ generated by the two permutations 
it acts on the set of positive integers. First we show that this action is
transitive. We start by checking in which residue classes sufficiently large
positive integers are mapped to smaller ones by a suitable group element: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example\eginVerbatim}commandchars=!|fontsize\mall=,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [77, 68) out of bounds for length 77
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List([a,a^-1,u,u^-1],DecreasingOn);|
   1(),0(3), 0(5)U (5),2()]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Union(last);|
  Z \ 4(30) U 16(30) U 28(30)
  
\end{Verbatim}
 We see that we cannot always choose such a group element from the set of
generators and their inverses \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}}
otherwise the union would be \texttt{Integers}. 
\begin{Verbatim}[commandchars=@|A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  @gapprompt|gap>A @gapinput|List([a,a^-1,u,u^-1,a^2,a^-2,u^2,u^-2],DecreasingOn);A
  [ 1(2), 0(3), 0(5) U 2(5), 2(3), 1(8) U 7(8), 0(3) U 2(9) U 7(9), 
    0(25) U 12(25) U 17(25) U 20(25), 2(3) U 1(9) U 3(9) ]
  @gapprompt|gap>A @gapinput|Union(last); # Still not enough ...A
  Z \ 4(90) U 58(90) U 76(90)
  @gapprompt|gap>A @gapinput|List([a,a^-1,u,u^-1,a^2,a^-2,u^2,u^-2,a*u,u*a,(a*u)^-1,(u*a)^-1],A
  @gapprompt|>A @gapinput|        DecreasingOn);A
  [ 1(2), 0(3), 0(5) U 2(  
    0(25) U 12(25) U 17(25) U 20(25), 2(3) U 1(9) U 3(9), 
    3(5) U 0(10) U 7(20) U 9(20), 0(5) U 2(5), 2(3), 3(9) U 4(9) java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [2, 1) out of bounds for length 2
  @gapprompt|gap>A @gapinput|Union(last); # ... but that's it!A
  Integers
  
\end{Verbatim}
 Finally, we have to deal with ``small'' integers. We use the notation for the coefficients of rcwa mappings introduced
at the beginning of this manual. Let $c_{r(m)} > a_{r(m)}$. Then we easily see that $(a_{r(m)}n+b_{r(m)})/c_{r(m)} > n$ implies $n < b_{r(m)}/(c_{r(m)}-a_{r(m)})$. Thus we can restrict our considerations to integers $n < b_{\rm max}$, where $b_{\rm max}$ is the largest second entry of a coefficient triple of one of the group
elements in our list: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List([a,a^-1,u,u^-1,a^2,a^-2,u^2,u^-2,a*u,u*a,(a*u)  gapprompt| @List[a,^-,,^1,a^,^2^,^2
  !gapprompt@>| !gapinput@        f->Maximum(List(Coefficients(f),c->c[2])));|
  [     025)  1225  17(25)U(25) 2()U 19) U 3() java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 58 out of bounds for length 58
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Maximum(last);|
  56
  
\end{Verbatim}
 Thusthis upper56Trest 
\texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} all we have to do is to check that
the orbit containing{\nobreakspace}1 contains also all other positive integers
less than or equalto\}56 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S := [1];;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@while not IsSubset(S,[1..56]) do|
  !gapprompt@>| !gapinput@     S := Union(S,S^a,S^u,S^(a^-1),S^(u^-1));|
  !gapprompt@>| !gapinput@   od;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsSubset(S,[1..56]);|
  true
  
\end{Verbatim}
 Checking 2\texttt{\symbol{45}}transitivity is computationally harder, and in
the sequel we will omit some steps which are in practice needed to find out ``what{\nobreakspace}to{\nobreakspace}do''. The approach taken here is to show that the stabilizer of{\nobreakspace}1
in{\nobreakspace}$G$ acts transitively on the set of positive integers greater
than{\nobreakspace}1. We do this by similar means as used above for showing
hetransitivity  theaction of$$on positiveintegers.We bydetermining all    most
generators and their inverses, which stabilize{\nobreakspace}1 (taking at most
4\texttt{\symbol{45}}generator products would not suffice!): 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@gens := [a,u,a^-1,u^-1];;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@tups := Concatenation(List([1..5],k->Tuples([1..4],k)));;|
!@gap> gapinputLengthtups;
  1364
  @gap>| !gapinput@tups := Filtered(tups,tup->ForAll([[1,3],[3,1],[2,4],[4,2]],|
  !gapprompt@>| !gapinput@                                     l->PositionSublist(tup,l)=fail));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Length(tups);|
  484
  !gapprompt@gap>| !gapinput@stab := [];;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@for tup in tups do|
  !gapprompt@>| !gapinput@     n := 1;|
  !gapprompt@>| !gapinput@     for i in tup do n := n^gens[i];   !gapprompt@>| !gapinput@     for i in tup do n := n^gens[i]; odjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 77 out of bounds for length 77
  !gapprompt@>| !gapinput@     if n = 1 then Add(stab,tup); fi;|
  !gapprompt@>| !gapinput@   od;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Length(stab);|
  118
  !gapprompt@gap>| !gapinput@stabelm := List(stab,tup->Product(List(tup,i->gens[i])));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@ForAll(stabelm,elm->1^elm=1); # Check.|
  true
  
\end{Verbatim}
 The resulting products have various different not quite small moduli: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(stabelm,Modulus);|
  [ 4, 3, 16, 25, 9, 81, 64, 100, 108, 100, 25, 75, 27, 243, 324, 243, 
    256, 400, 144, 400, 100, 432, 324, 400, 80, 400, 625, 25, 75, 135, 
    150, 75, 225, 81, 729, 486, 729, 144, 144, 81, 729, 1296, 729, 6561, 
    1024, 1600, 192, 1600, 400, 576, 432, 1600, 320, 1600, 2500, 100, 100, 
    180, 192, 192, 108, 972, 1728, 972, 8748, 1600, 400,
    2500, 300, 2500, 625, 625, 75, 675, 75,
    1875, 75, 225, 405, 225, 225, 675, 243, 2187, 729, 2187, 216, 216, 
    243, 2187, 1944, 2187, 19683, 576, 144, 576, 432, 81, 81, 729, 2187, 
    5184, 324, 8748, 243, 2187, 19683, 26244, 19683 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Lcm(last);|
  12597120000
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Collected(Factors(last));|
  [ [ 2, 10 ], [ 3, 9 ], [ 5, 4 ] ]
  
\end{Verbatim}
 Similar as before, we determine for any of the above mappings the residue
classes whose elements larger than the largest $b_{r(m)}$ \texttt{\symbol{45}} coefficient of the respective mapping are mapped to
smaller integers: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,labeljava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 75 out of bounds for length 75
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@decs := List(stabelm
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(decs,Modulus);|
  [ 2, 3, 8, 25, 9, 9, 16, 100, 12, 50, 25, 75, 27, 81, 54, 81, 64, 400, 
    48, 200, 100, 72, 108, 400, 80, 200, 625, 25, 75, 45, 75, 75, 225, 81, 
    243, 81, 243, 144, 144, 81, 243, 216, 243, 243, 128, 1600, 64, 400, 
    400, 48, 144, 1600, 320, 400, 2500, 100, 100, 60, 96, 192, 108, 324, 
    144, 324, 972, 400, 400, 80, 80, 400, 2500, 100, 1250, 625, 625, 25, 
    75, 75, 75, 45, 135, 600, 120, 150, 1875, 75, 225, 135, 225, 225, 675, 
    243, 729, 243, 729, 108, 216, 243, 729, 162, 729, 2187, 144, 144, 144, 
    144, 81, 81, 243, 729, 1296, 324, 972, 243, 729, 2187, 1458, 2187 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Lcm(last);|
  174960000
  
\end{Verbatim}
 Since the least common multiple of the moduli of these unions of residue
classes is as large as 174960000, directly forming their union and checking
whether it is equal to the set of integers would take relatively much time and
memory. However, starting with the set of integers and subtracting the above
sets one\texttt{\symbol{45}}by\texttt{\symbol{45}}one in a suitably chosen
order is cheap: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@SortParallel(decs,stabelm,|
  !gapprompt@>| !gapinput@     function(S1,S2)|
  !gapprompt@>| !gapinput@       return First([1..100],k->Factorial(k) mod Modulus(S1)=0)|
  !gapprompt@>| !gapinput@            < First([1..100],k->Factorial(k) mod Modulus(S2)=0);|
  !gapprompt@>| !gapinput@     end);|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S := Integers;;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@for i in [1..Length(decs)] do|
  !gapprompt@>| !gapinput@     S_old := S; S := Difference(S,decs[i]);|
  !gapprompt@>| !gapinput@     if S <> S_old then ViewObj(S); Print("\n"); fi;|
  !gapprompt@>| !gapinput@     if S = [] then maxind := i; break; fi;|
  !gapprompt@>| !gapinput@   od;|
  0(2)
  2(6) U 4(6)
  <union of 19 residue classes (mod 60) (6 classes)>
  <union of 8 residue classes (mod 30)>
  <union of 120 residue classes (mod 720)>
  <union of 112 residue classes (mod 720)>
  <union of 80 residue classes (mod 720)>
  <union of 24 residue classes (mod 720)>
  <union of 16 residue classes (mod 720) (12 classes)>
  <union of 8 residue classes (mod 720)>
  <union of 6 residue classes (mod 720)>
  4(720) U 94(720) U 148(720) U 238(720)
  <union of 24 residue classes (mod 5760)>
  <union of 72 residue classes (mod 51840)>
  <union of 48 residue classes (mod 51840)>
  <union of 204 residue classes (mod 259200)>
  <union of 144 residue classes (mod 259200)>
  <union of 120 residue classes (mod 259200)>
  <union of 84 residue classes (mod 259200)>
  <union of 72 residue classes (mod 259200)>
  <union of 48 residue classes (mod 259200)>
  <union of 24 residue classes (mod 259200)>
  <union of 12 residue classes (mod 259200) (6 classes)>
  <union of 30 residue classes (mod 777600)>
  54004(64800) U 151204(259200) U 216004(259200)
  [  ]
  
\end{Verbatim}
 Similar as above, it remains to check that the ``small'' integers all lie in the orbit containing{\nobreakspace}2. Obviously, it is
sufficient to check that any integer greater than{\nobreakspace}2 is mapped to
a smaller one by some suitably chosen element of the stabilizer under
consideration: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Maximum(List(stabelm{[1..maxind]},|
  !gapprompt@>| !gapinput@                f->Maximum(List(Coefficients(f),c->c[2]))));|
  6581
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Filtered([3..6581],n->Minimum(List(stabelm,elm->n^elm))  gapprompt@gap> gapinput@java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [33, 32) out of bounds for length 59
  [ 4 ]
  
eVerbatim
 We have to treat 4 separately: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@1^(u*a*u^2*a^-1*u);|
  1
  !gapprompt@gap>| !gapinput@4^(u*a*u^2*a^-1*u);|
  3
  
\end{Verbatim}
 Now we know that any positive integer greater than{\nobreakspace}1 lies in the
same orbit under the action of the stabilizer  02)
in{\nobreakspace}$G$ as{\nobreakspace}2, thus that this stabilizer acts transitively on ${\ensuremath{\mathbb N}} \setminus \{1\}$. But this means that we have established the
2\texttt{\symbol{45}}transitivity of the action of $G$ on{\nobreakspace}{\ensuremath{\mathbb N}}. 

 In the following, we essentially repeat the above steps to show that this
action is indeed 3\texttt{\symbol{45}}transitive: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@tups := Concatenation(List([1..6],k->Tuples([1..4],k)));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@tups := Filtered(tups,tup->ForAll([[1,3],[3,1],[2,4],[4,2]],|
  !gapprompt@>| !gapinput@                                     l->PositionSublist(tup,l)=fail));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@stab := [];;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@for tup in tups do|
  !gapprompt@>| !gapinput@     l := [1,2];|
  !gapprompt@>| !gapinput@     for i in tup do l := List(l,n->n^gens[i]); od;|
  !gapprompt@>| !gapinput@     if l = [1,2] then Add(stab,tup); fi;|
  !gapprompt@>| !gapinput@   od;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Length(stab);|
  212
  !gapprompt@gap>| !gapinput@stabelm := List(stab,tup->Product(List(tup,i->gens[i])));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@decs := List(stabelm,DecreasingOn);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@SortParallel(decs,stabelm,function(S1,S2)|
  !gapprompt@>| !gapinput@     return First([1..100],k->Factorial(k) mod Mod(S1)=0)|
  !gapprompt@>| !gapinput@          < First([1..100],k->Factorial(k) mod Mod(S2)=0); end);|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S := Integers;;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@for i in [1..Length(decs)] do|
  !gapprompt@>| !gapinput@     S_old := S; S := Difference(S,decs[i]);|
  !gapprompt@>| !gapinput@     if S <> S_old then ViewObj(S); Print("\n"); fi;|
  !gapprompt@>| !gapinput@     if S = [] then break; fi;|
  !gapprompt@>| !gapinput@   od;|
  Z \ 1(8) U 7(8)
  <union of 424 residue classes (mod 720)>
  <union of 169 residue classes (mod 720)>
  <union of 51 residue classes (mod 720)>
  <union of 45 residue classes (mod 720)>
  <union of 42 residue classes (mod 720)>
  <union of 35 residue classes (mod 720)>
  <union of 30 residue classes (mod 720)>
  <union of 16 residue classes (mod 720) (10 classes)>
  <union of 11 residue classes (mod 720) (7 classes)>
  <union of 8 residue classes (mod 720) (6 classes)>
  148(360) U 238(360) U 4(720) U 454(720)
  238(360) U 4(720) U 148(720) U 454(720)
  <union of 28 residue classes (mod 5760)>
  <union of 24 residue classes (mod 5760)>
  < 23 residue classes(od5760)>
  <union of 22 residue classes (mod 5760)>
  <union of 20 residue classes (mod 5760) (14 classes)>
  <union of 19 residue classes (mod 5760) (14 classes)>
  <union of 16 residue classes (mod 5760) (12 classes)>
  <union of 112 residue classes (mod 51840)>
  <union of 96 residue classes (mod 51840)>
  <union of 90 residue classes (mod 51840)>
  <union of 51 residue classes (mod 51840)>
  <union of 21 residue classes (mod 51840)>
  <union of 19 residue classes (mod 51840) (15 classes)>
  <union of 16 residue classes (mod 51840) (12 classes)>
  <union of 54 residue classes (mod 259200)>
  <union of 53 residue classes (mod 259200)>
 union of50 residue classes (od 259200>
  <union of 38 residue classes (mod 259200)>
  <union of 35 residue classes (mod 259200)>
  <union of 32 residue classes (mod 259200)>
  <union of 24 residue classes (mod 259200)>
  <union of 22 residue classes (mod 259200)>
  <union of 20 residue classes (mod 259200) (16 classes)>
  <union of 18 residue classes (mod 259200) (15 classes)>
  <union of 16 residue classes (mod 259200) (13 classes)>
  <union of 15 residue classes (mod 259200) (12 classes)>
  <union of 12 residue classes (mod 259200) (10 classes)>
  <union of 7 residue classes (mod 259200)>
  2164(259200) U 66964(259200) U 228964(259200)
  [  ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Maximum(List(stabelm,f->Maximum(List(Coefficients(f),c->c[2]))));|
  515816
  !gapprompt@gap>| !gapinput@smallnum := [4..515816];;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@for i in [1..Length(stabelm)] do|
  !gapprompt@>| !gapinput@     smallnum := Filtered(smallnum,n->n^stabelm[i]>=n);|
  !gapprompt@>| !gapinput@   od;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@smallnum;|
  [  ]
  
\end{Verbatim}
 The same for 4\texttt{\symbol{45}}transitivity: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@tups := Concatenation(List([1..8],k->Tuples([1..4],k)));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@tups := Filtered(tups,tup->ForAll([[1,3],[3,1],[2,4],[4,2]],|
  !gapprompt@>| !gapinput@                                     l->PositionSublist(tup,l)=fail));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@stab := [];;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@for tup in tups do|
  [,,];|
  !gapprompt@>| !gapinput@     for i in tup do l := List(l,n->n^gens[i]); od;|
  !gapprompt@>| !gapinput@     if l = [1,2,3] then Addconsideration:
   !>|!apinput@   od;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Length(stab);|
  528
  !gapprompt@gap>| !gapinput@stabelm := [];;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@for i in [1..Length(stab)] do|
  !gapprompt@>| !gapinput@     elm := One(G);|
  !apprompt@|!gapinput@     for jin [i do|
  !gapprompt@>| !java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [2, 1) out of bounds for length 7
  !gapprompt@>| !gapinput@       elm Wehave to treat 4 separately: 
  !gapprompt@>| !gapinput@     od;|
  !gapprompt@>| !gapinput@     if elm< then s,;;|
  !!gapprompt@ap gapinput@1(u*a*^2*a-*u;java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 49 out of bounds for length 49
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Length(stabelm);|
  334
  !gapprompt@gap>| !gapinput@decs := List(stabelm,DecreasingOn);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@SortParallel(decs,stabelm,|
  !gapprompt@>| !gapinput@     function(S1,S2)|
  !gapprompt@>| !gapinput@       return First([1..100],k->Factorial(k) mod Modulus(S1
  g>|!gapinput@<First(1.],->Factorialk modModulus()=)|
  !gapprompt2\texttt{\symbol{}transitivity of theaction of$$on{\nobreakspace}{ensuremath{mathbb N}}. 
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S := Integers;;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@for i in [1..Length(decs)] do|
  !gapprompt@>| !gapinput@     S_old := S; S := Difference(S,decs[i]);|
  !gapprompt@>| !gapinput@     if S <> S_old then ViewObj(S); Print("\n"); fi;|
  !gapprompt@>| !gapinput@     if S = [] then maxind := i; break; fi;|
  !gapprompt@>| !gapinput@   od;|
  Z \ 1(8) U 7(8)
  <union of 24 residue classes (mod 72)>
  <union of 22 residue classes (mod 72)>
  <union of 17 residue classes (mod 72) (9 classes)>
  4(18)
  <union of 28 residue classes (mod 576)>
  <union of 26 residue classes (mod 576)>
  <union of 21 residue classes (mod 576)>
  union of 20residue classes ()(7 classes>
  <union of 18 residue classes (mod 576) (8 classes)>
  <union of 16 residue classes (mod 576) (6 classes)>
  <union of 15 residue classes (mod 576) (6 classes)>
  <nion 120 residueclasses(mod 5184>
  <union of 45 residue classes (mod 5184)>
  <union of 30 residue classes (mod 5184)>
  <union of 28 residue classes (mod 5184)>
  <union of 6 residue classes (mod 1296)>
  <union of 116 residue classes (mod 32400)>
  <union of 104 residue classes (mod 32400)>
  <unionof 92 residueclasses ( 32400
  !apprompt> !      S () Print"n"; java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 79 out of bounds for length 79
  <union of 80 residue classes (mod 32400)>
  <union of 210 residue classes (mod 129600)>
  <union of 189 residue classes (mod 129600)>
  <union of 160 residue classes (mod 129600)>
  <union of 136 residue classes (mod 129600)>
  <union of 133 residue classes (mod 129600)>
  <union of 122 residue classes (mod 129600)>
  <union of 114 residue classes (mod 129600)>
  <union of 106 residue classes (mod 129600)>
  <union of 104 residue classes (mod 129600)>
  <union of 100 residue classes (mod 129600)>
  <union of 96 residue classes (mod 129600)>
  <union of 60 residue classes (mod 129600)>
  <union of 52 residue classes (mod 129600)>
  <union of 48 residue classes (mod 129600)>
  <union of 40 residue classes (mod 129600)>
  <union of 36 residue classes (mod 129600)>
  <union of 32 residue classes (mod 129600)>
  <union of 24 residue classes (mod 129600)>
  <union of 16 residue classes (mod 129600) (10 classes)>
  <union of 12 residue classes (mod 129600)>
  <union of 10 residue classes (mod 129600)>
  <union of 8 residue classes (mod 129600)>
  <union of 6 residue classes (mod 129600)>
  57406(129600) U 63076(129600) U 115006(129600) U 120676(129600)
  57406(129600) U 115006(129600) U 192676(259200) U 250276(259200)
  <union of 15 residue classes (mod 777600) (6 classes)>
  <union of 9 residue classes (mod 777600) (6 classes)>
  <union of 30 residue classes (mod 3110400)>
  <union of 26 residue classes (mod 3110400)>
  <union of 22 residue classes (mod 3110400)>
  <union of 19 residue classes (mod 3110400) (10 classes)>
  <union of 14 residue classes (mod 3110400) (8 classes)>
  705406(777600) U 2007076(3110400) U 2649406(3110400) U 2784676(3110400)
  <union of 14 residue classes (mod 9331200) (8 classes)>
  1483006(2332800) U 2649406(9331200) U 2784676(9331200) U 5117476(9331200)
  <union of 16 residue classes (mod 27993600) (6 classes)>
  2784676(9331200) U 5117476(9331200)
  [  ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Maximum(List(stabelm{[1..maxind]},|
  !gapprompt  238(360) U 4(720 U 148(720)U454(720)
  37387
  !gapprompt@gap>| !gapinput@smallnum := [5..37387];;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@for i in [1..maxind] do|
  !gapprompt@>| !gapinput@     smallnum := Filtered(smallnum,n->n^stabelm[i]>=n);|
  !gapprompt@>| !gapinput@   od;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@smallnum;|
  [  ]
  
\end{Verbatim}
 There is even some evidence that the degree of transitivity of the action of $G$ on the positive integers is higher than{\nobreakspace}4: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@phi := EpimorphismFromFreeGroup(G);|
  [ a, u ] -> [ a, u ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@F := Source(phi);|
  <free group on the generators [ a, u ]>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List([5..20],|
  !gapprompt@>| !gapinput@        n->RepresentativeActionPreImage(G,[1,2,3,4,5],|
  !gapprompt@>| !gapinput@                                          [1,2,3,4,n],OnTuples,F));|
  [ <identity ...>, a^-3*u^4*a*u^-2*a^2, a^-1*(a^-1*u)^4*a^-1*u^-1*a, 
    a^4*u^-2*a^-4, a^-1*u^-4*a, (u^2*a^-1)^2*u^-2, u^-2*a^-2*u^4, 
    a^-1*u^2*a, a^-1*u^-6*a, a^2*u^4*a^2*u^2, u^-4*a*u^-2*a^-3, 
    a^-1*u^-2*a^-3*u^4*a^2, a^2*(a*u^2)^2, (a*u^-4)^2*a^-2, 
    u^-2*a*u^2*a*u^-2, u^-4*a^2*u^2 ]
  
\end{Verbatim}
 Enter \texttt{AssignGlobals(LoadRCWAExamples().CollatzlikePerms);}   <nion of residue classesmod 51840java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 43 out of bounds for length 43

  
\section{\textcolor{Chapter }{ A group which acts 3\texttt{\symbol{45}}transitively, but not
4\texttt{\symbol{45}}transitively on {\ensuremath{\mathbb Z}} }}\label{sec:ThreeButNotFourTransitiveGroup}
\logpage{[ 7, 6, 0 ]}
\hyperdef{L}{X85C529088050BEA3}{}
{
  In this section, we would like to show that the group $G$ generated by the two permutations $n \mapsto n + 1$ and $\tau_{1(2),0(4)}$ acts 3\texttt{\symbol{45}}transitively, but not
4\texttt{\symbol{45}}transitively on the set of integers. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@G := Group(ClassShift(0,1),ClassTransposition(1,2,0,4));A
  <rcwa group over Z with 2 generators>
  !gapprompt@gap>A !gapinput@IsTame(G);A
  false
  !gapprompt@gap>A !gapinput@(G.1^-2*G.2)^3*(G.1^2*G.2)^3; # G <> the free product C_infty * C_2.A
  IdentityMapping( Integers )
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(G:CycleNotation:=false);A
  
  Wild rcwa group over Z, generated by
  
  [
  Tame rcwa permutation of Z: n -> n + 1
  
  Rcwa permutation of Z with modulus 4, of order 2
  
          /
          | 2n-2    if n in 1(2)
   n |-> <  (n+2)/2 if n in 0(4)
          | n       if n in 2(4)
          \
  
  ]
  
\end{Verbatim}
 This group acts transitively on{\nobreakspace}{\ensuremath{\mathbb Z}}, since
already the cyclic group generated by the first of the two generators does so.
Next we have to show that it acts 2\texttt{\symbol{45}}transitively. We
essentially proceed as in the example in the previous section, by checking
that the stabilizer of{\nobreakspace}0 acts transitively on ${\ensuremath{\mathbb Z}} \setminus \{0\}$. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@gens := [ClassShift(0,1)^-1,ClassTransposition(1,2,0,4),|
  !gapprompt@>| !gapinput@            ClassShift(0,1)];;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@tups := Concatenation(List([1..6],k->Tuples([-1,0,1],k)));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@tups := Filtered(tups,tup->ForAll([[0,0],[-1,1],[1,-1]],|
  !gapprompt@>| !gapinput@                                     l->PositionSublist(tup,l)=fail));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Length(tups);|
  189
  !gapprompt@gap>| !gapinput@stab := [];;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@for tup in tups do|
  !gapprompt@>| !gapinput@     n := 0;|
  !gapprompt@>| !gapinput@     for i in tup do n := n^gens[i+2]; od;|
  !gapprompt@>| !gapinput@     if n = 0 then Add(stab,tup); fi;|
  !gapprompt@>| !gapinput@   od;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@stabelm := List(stab,tup->Product(List(tup,i->gens[i+2])));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Collected(List(stabelm,Modulus));|
  [ [ 4, 6 ], [ 8, 4 ], [ 16, 3 ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@decs := List(stabelm,DecreasingOn);|
  [ 0(4), 3(4), 0(4), 3(4), 2(4), 0(4), 4(8), 2(4), 2(4), 0(4), 1(4), 
    0(8), 3(8) ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Union(decs);|
  Integers
  
\end{Verbatim}
 Similar as in the previous section, it remains to check that the integers with ``small'' absolute value all lie in the orbit containing{\nobreakspace}1 under the
action of the stabilizer of{\nobreakspace}0: 
\begin{Verbatim}[commandchars=@|B,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  @gapprompt|gap>B @gapinput|Maximum(List(stabelm,f->Maximum(List(Coefficients(f),B
  @gapprompt|>B @gapinput|                                        c->AbsInt(c[2])))));B
  21
  @gapprompt|gap>B @gapinput|S := [1];;B
  @gapprompt|gap>B @gapinput|for elm in stabelm do S := Union(S,S^elm,S^(elm^-1)); od;B
  @gapprompt|gap>B @gapinput|IsSubset(S,Difference([-21..21],[0])); # Not yet ..B
  false
  @gapprompt|gap>B @gapinput|for elm in stabelm do S := Union(S,S^elm,S^(elm^-1)); od;B
  @gapprompt|gap>B @gapinput|IsSubset(S,Difference([-21..21],[0])); # ... but now!B
  true
  
\end{Verbatim}
 Now we have to check for 3\texttt{\symbol{45}}transitivity. Since we cannot
find for every residue class an element of the pointwise stabilizer of $\{0,1\}$ which properly divides its elements, we also have to take additions and
subtractions into consideration. Since the moduli of all of our stabilizer
elements are quite small, simply looking at sets of representatives is cheap: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@tups := Concatenation(List([1..10],k->Tuples([-1,0,1],k)));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@tups := Filtered(tups,tup->ForAll([[0,0],[-1,1],[1,-1]],|
  !gapprompt@>| !gapinput@                                     l->PositionSublist(tup,l)=fail));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Length(tups);|
  3069
  !gapprompt@gap>| !gapinput@stab := [];;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@for tup in tups do|
  !gapprompt@>| !gapinput@     l := [0,1];|
  !gapprompt@>| !gapinput@     for i in tup do l := List(l,n->n^gens[i+2]); od;|
  !gapprompt@>| !gapinput@     if l = [0,1] then Add(  !union of 54 residue classes (mod 259200)>
  !gapprompt@>| !gapinput@   od;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Length(stab);|
  10
  !gapprompt@gap>| !gapinput@stabelm := List(stab,tup->Product(List(tup,i->gens[i+2])));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Maximum(List(stabelm,Modulus));|
  8
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Maximum(List(stabelm,|
  !gapprompt@>| !gapinput@                f->Maximum(List(Coefficients(f),c->AbsInt(c[2])))));|
  8
  !gapprompt@gap>| !gapinput@decsp := List(stabelm,elm->Filtered([9..16],n->n^elm<n));|
  [ [ 9, 13 ], [ 10, 12, 14, 16 ], [ 12, 16 ], [ 9, 13 ], [ 12, 16 ], 
    [ 9, 11, 13, 15 ], [ 9, 11, 13, 15 ], [ 12, 16 ], [ 12, 16 ], 
    [ 9, 11, 13, 15 ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Union(decsp);|
  [ 9 .. 16 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@decsm := List(stabelm,elm->Filtered([-16..-9],n->n^elm>n));|
  [ [ -15, -13, -11, -9 ], [ -16, -12 ], [ -16, -12 ], [ -15, -11 ], 
    [ -16, -14, -12, -10 ], [ -15, -11 ], [ -15, -11 ], 
    [ -16, -14, -12, -10 ], [ -16, -14, -12, -10 ], [ -15, -11 ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Union(decsm);|
  [ -16 .. -9 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S := [2];;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@for elm in stabelm do S := Union(S,S^elm,S^(elm^-1)); od;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsSubset(S,Difference([-8..8],[0,1]));|
  true
  
\end{Verbatim}
 At this point we have established 3\texttt{\symbol{45}}transitivity. It
remains to check that the group $G$ does not act 4\texttt{\symbol{45}}transitively. We do this by checking that it
is not transitive on 4\texttt{\symbol{45}}tuples (mod{\nobreakspace}4). Since $n${\nobreakspace}mod{\nobreakspace}8 determines the image of $n$ under a generator of $G$ (mod{\nobreakspace}4), it suffices to compute (mod{\nobreakspace}8): 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@orb := [[0,1,2,3]];;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@extend := function ()|
  !gapprompt@>| !gapinput@     local gen;|
  !gapprompt@>| !gapinput@     for gen in gens do|
  !gapprompt@>| !gapinput@       orb := Union(orb,List(orb,l->List(l,n->n^gen) mod 8));|
  !gapprompt@>| !gapinput@     od;|
  !gapprompt@>| !gapinput@   end;;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@repeat|
  !gapprompt@>| !gapinput@     old := ShallowCopy(orb);|
  !gapprompt@>| !gapinput@     extend(); Print(Length(orb),"\n");|
  !gapprompt@>| !gapinput@   until orb = old;|
  7
  27
  97
  279
  573
  916
  1185
  1313
  1341
  1344
  1344
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Length(Set(List(orb,l->l mod 4)));|
  120
  !gapprompt@gap>| !gapinput@last < 4^4;|
  true
  
\end{Verbatim}
 This shows that $G$ acts not 4\texttt{\symbol{45}}transitively
on{\nobreakspace}{\ensuremath{\mathbb Z}}. The corresponding calculation for
3\texttt{\symbol{45}}tuples looks as follows: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@orb := [[0,1,2]];;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@repeat|
  !gapprompt@>| !gapinput@     old := ShallowCopy(orb);|
  !gapprompt@>| !gapinput@     extend(); Print(Length(orb),"\n");|
  !gapprompt@>| !gapinput@   until orb = old;|
  7
  27
  84
  207
  363
  459
  503
  512
  512
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Length(Set(List(orb,l->l mod 4)));|
  64
  !gapprompt@gap>| !gapinput@last = 4^3;|
  true
  
\end{Verbatim}
 Needless to say that the latter kind of argumentation is not suitable for
proving, but only for disproving $k$\texttt{\symbol{45}}transitivity. }

  
\section{\textcolor{Chapter }{ An rcwa mapping which seems to be contracting, but very slow }}\label{sec:SlowlyContractingMapping}
\logpage{[ 7, 7, 0 ]}
\hyperdef{L}{X878499AF7889FD9E}{}
{
  The iterates of an integer under the Collatz mapping $T$ seem to approach its contraction centre
\texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} this is the finite set where all
trajectories end up after a finite number of steps
\texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} rather quickly and do not get very
large before doing so (of course this is a purely heuristic statement as the $3n+1$ conjecture has not been proved so far!): 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@T := RcwaMapping([[1,0,2],[3,1,2]]);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S0 := LikelyContractionCentre(T,100,1000);|
  #I  Warning: `LikelyContractionCentre' is highly probabilistic.
  The returned result can only be regarded as a rough guess.
  See ?LikelyContractionCentre for more information.
  [ -136, -91, -82, -68, -61, -55, -41, -37, -34, -25, -17, -10, -7, -5, 
    -1, 0, 1, 2 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S0^T = S0; # This holds by definition of the contraction centre.|
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List([1..30],n->Length(Trajectory(T,n,S0)));|
  [ 1, 1, 5, 2, 4, 6, 11, 3, 13, 5, 10, 7, 7, 12, 12, 4, 9, 14, 14, 6, 6, 
    11, 11, 8, 16, 8, 70, 13, 13, 13 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Maximum(List([1..1000],n->Length(Trajectory(T,n,S0))));|
  113
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Maximum(List([1..1000],n->Maximum(Trajectory(T,n,S0))));|
  125252
  
\end{Verbatim}
 The following mapping seems to be contracting as well, but its trajectories
are much longer: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@f6 := RcwaMapping([[ 1,0,6],[ 5, 1,6],[ 7,-2,6],A
  !gapprompt@>A !gapinput@                      [11,3,6],[11,-2,6],[11,-1,6]]);;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(f6);A
  
  Rcwa mapping of Z with modulus 6
  
          /
          | n/6       if n in 0(6)
          | (5n+1)/6  if n in 1(6)
          | (7n-2)/6  if n in 2(6)
   n |-> <  (11n+3)/6 if n in 3(6)
          | (11n-2)/6 if n in 4(6)
          | (11n-1)/6 if n in 5(6)
          |
          \
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@S0 := LikelyContractionCentre(f6,1000,100000);;A
  #I  Warning: `LikelyContractionCentre' is highly probabilistic.
  The returned result can only be regarded as a rough guess.
  See ?LikelyContractionCentre for more information.
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Trajectory(f6,25,S0);A
  [ 25, 21, 39, 72, 12, 2 ]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@List([1..100],n->Length(Trajectory(f6,n,S0)));A
  [ 1, 1, 3, 4, 1, 2, 3, 2, 1, 5, 7, 2, 8, 17, 3, 16, 1, 4, 17, 6, 5, 2, 
    5, 5, 6, 1, 4, 2, 15, 1, 1, 3, 2, 5, 13, 3, 2, 3, 4, 1, 8, 4, 4, 2, 7, 
    19, 23517, 3, 9, 3, 1, 18, 14, 2, 20, 23512, 14, 2, 6, 6, 1, 4, 19, 
    12, 23511, 8, 23513, 10, 1, 13, 13, 3, 1, 23517, 7, 20, 7, 9, 9, 6, 
    12, 8, 6, 18, 14, 23516, 31, 12, 23545, 4, 21, 19, 5, 1, 17, 17, 13, 
    19, 6, 23515 ]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Maximum(Trajectory(f6,47,S0));A
  7363391777762473304431877054771075818733690108051469808715809256737742295\
  45698886054
  
\end{Verbatim}
 Computing the trajectory of 3224 takes quite a while
\texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} this trajectory ascends to about $3 \cdot 10^{2197}$, before it approaches the fixed point{\nobreakspace}2 after 19949562 steps. 

 When constructing the mapping \texttt{f6}, the denominators of the partial mappings have been chosen to be equal and
the numerators have been chosen to be numbers coprime to the common
denominator, whose product is just a little bit smaller than the \texttt{Modulus(f6)}th power of the denominator. In the example we have $5 \cdot 7 \cdot 11^3 = 46585$ and $6^6 = 46656$. 

 Although the trajectories of \texttt{T} are much shorter than those of \texttt{f6}, it seems likely that this does not make the problem of deciding whether the
mapping{\nobreakspace}\texttt{T} is contracting essentially easier \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}}
even for mappings with much shorter trajectories than{\nobreakspace}\texttt{T} the problem seems to be equally hard. A solution can usually only be found in
trivial cases, i.e. for example when there is some $k$ such that applying the $k$th power of the respective mapping to any integer decreases its absolute
value. 

 Enter \texttt{AssignGlobals(LoadRCWAExamples().SlowlyContractingMappings);} in order to assign the global variables defined in this section. }

  
\section{\textcolor{Chapter }{Checking a result by P. Andaloro}}\label{sec:AndaloroResult}
\logpage{[ 7, 8, 0 ]}
\hyperdef{L}{X84A915BA833E0BDE}{}
{
  In \cite{Andaloro00}, P.{\nobreakspace}Andaloro has shown that proving that trajectories of
integers $n \in 1(16)$ under the Collatz mapping always contain{\nobreakspace}1 would be sufficient
to prove the $3n+1$ conjecture. In the sequel, this result is verified by \textsf{RCWA}. Checking that the union of the images of the residue class 1(16) under
powers of the Collatz mapping{\nobreakspace}$T$ contains ${\ensuremath{\mathbb Z}} \setminus 0(3)$ is obviously enough. Thus we put $S := 1(16)$, and successively unite the set{\nobreakspace}$S$ with its image under{\nobreakspace}$T$: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@T := RcwaMapping([[1,0,2],[3,1,2]]);|
  <rcwa mapping of Z with modulus 2>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S := ResidueClass(Integers,16,1);|
  1(16)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S := Union(S,S^T);|
  1(16) U 2(24)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S := Union(S,S^T);|
  1(12) U 2(24) U 17(48) U 33(48)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S := Union(S,S^T);|
  <union of 30 residue classes (mod 144)>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S := Union(S,S^T);|
  <union of 42 residue classes (mod 144)>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S := Union(S,S^T);|
  <union of 172 residue classes (mod 432)>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S := Union(S,S^T);|
  <union of 676 residue classes (mod 1296)>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S := Union(S,S^T);|
  <union of 810 residue classes (mod 1296)>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S := Union(S,S^T);|
  <union of 2638 residue classes (mod 3888)>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S := Union(S,S^T);|
  <union of 33 residue classes (mod 48)>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S := Union(S,S^T);|
  <union of 33 residue classes (mod 48)>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Union(S,ResidueClass(Integers,3,0)); # Et voila ...|
  Integers
  
\end{Verbatim}
 Further similar computations are shown in Section{\nobreakspace}\ref{sec:CollatzImagesAndPreImages}. 

 Enter \texttt{AssignGlobals(LoadRCWAExamples().CollatzMapping);} in order to assign the global variables defined in this section. }

  
\section{\textcolor{Chapter }{Two examples by Matthews and Leigh}}\label{sec:MatthewsLeighExamples}
\logpage{[ 7, 9, 0 ]}
\hyperdef{L}{X7E8CD9B67ED78735}{}
{
  In \cite{MatthewsLeigh87}, K.{\nobreakspace}R.{\nobreakspace}Matthews and
G.{\nobreakspace}M.{\nobreakspace}Leigh have shown that two trajectories of
the following (surjective, but not injective) mappings are acyclic
(mod{\nobreakspace}$x$) and divergent: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@x := Indeterminate(GF(4),1);; SetName(x,"x");A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@R := PolynomialRing(GF(2),1);A
  GF(2)[x]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@ML1 := RcwaMapping(R,x,[[1,0,x],[(x+1)^3,1,x]]*One(R));;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@ML2 := RcwaMapping(R,x,[[1,0,x],[(x+1)^2,1,x]]*One(R));;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(ML1);A
  
  Rcwa mapping of GF(2)[x] with modulus x
  
          /
          | P/x                     if P in 0(x)
   P |-> <  ((x^3+x^2+x+1)*P + 1)/x if P in 1(x)
          |
          \
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(ML2);A
  
  Rcwa mapping of GF(2)[x] with modulus x
  
          /
          | P/x               if P in 0(x)
   P |-> <  ((x^2+1)*P + 1)/x if P in 1(x)
          |
          \
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@List([ML1,ML2],IsSurjective);A
  [ true, true ]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@List([ML1,ML2],IsInjective);A
  [ false, false ]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@traj1 := Trajectory(ML1,One(R),16);A
  [ 1, x^2+x+1, x^4+x^2+x, x^3+x+1, x^5+x^4+x^2, x^4+x^3+x, x^3+x^2+1, 
    x^5+x^2+1, x^7+x^6+x^5+x^3+1, x^9+x^7+x^6+x^5+x^3+x+1, 
    x^11+x^10+x^8+x^7+x^6+x^5+x^2, x^10+x^9+x^7+x^6+x^5+x^4+x, 
    x^9+x^8+x^6+x^5+x^4+x^3+1, x^11+x^8+x^7+x^6+x^4+x+1, 
    x^13+x^12+x^11+x^8+x^7+x^6+x^4, x^12+x^11+x^10+x^7+x^6+x^5+x^3 ]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@traj2 := Trajectory(ML2,(x^3+x+1)*One(R),16);A
  [ x^3+x+1, x^4+x+1, x^5+x^3+x^2+x+1, x^6+x^3+1, x^7+x^5+x^4+x^2+x, 
    x^6+x^4+x^3+x+1, x^7+x^4+x^3+x+1, x^8+x^6+x^5+x^4+x^3+x+1, 
    x^9+x^6+x^3+x+1, x^10+x^8+x^7+x^5+x^4+x+1, 
    x^11+x^8+x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1, x^12+x^10+x^9+x^8+x^7+x^5+1, 
    x^13+x^10+x^7+x^4+x, x^12+x^9+x^6+x^3+1, 
    x^13+x^11+x^10+x^8+x^7+x^5+x^4+x^2+x, 
    x^12+x^10+x^9+x^7+x^6+x^4+x^3+x+1 ]
  
\end{Verbatim}
 The pattern which Matthews and Leigh used to show the divergence of the above
trajectories can be recognized easily by looking at the corresponding Markov
chains with the two states 0{\nobreakspace}mod{\nobreakspace}$x$ and 1{\nobreakspace}mod{\nobreakspace}$x$: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@traj1modx := Trajectory(ML1,One(R),400,x);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@traj2modx := Trajectory(ML2,(x^3+x+1)*One(R),600,x);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(traj1modx{[1..150]},val->Position([Zero(R),One(R)],val)-1);|
  [ 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 
    1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 
    1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 
    1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 
    1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 
    1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 
    1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(traj2modx{[1..150]},val->Position([Zero(R),One(R)],val)-1);|
  [ 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 
    1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 
    1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 
    1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 
    1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 
    1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 
    0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1 ]
  
\end{Verbatim}
 What is important here are the lengths of the intervals between two changes
from one state to the other: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@ChangePoints := l->Filtered([1..Length(l)-1],pos->l[pos]<>l[pos+1]);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Diffs := l->List([1..Length(l)-1],pos->l[pos+1]-l[pos]);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Diffs(ChangePoints(traj1modx)); # The pattern in the first ...|
   4 2, ,4 8,,4, 8,16 8,, ,32,16 16,32 64 32,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 75 out of bounds for length 75
    32, 64 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Diffs(ChangePoints(traj2modx)); # ... and in the second example.|
  [ 1, 7, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 25, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 
    1, 1, 1, 1, 1, 1, 49, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 
    1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 97, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 
    1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 
    1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 
    1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 193, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 
    1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 
   1,1, 1, 1,1, 1,1 1, ,1,,,1 1,1 1,1, ,11,1,1,1 
    1 1 ,1 , , , ,1,1,1,,1 1 ,1,,1,1 ,1 1 1 
    1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Diffs(ChangePoints(last)); # Make this a bit more obvious.|
   1 3,1, 7 1,15,1,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 40 out of bounds for length 40
  
\end{Verbatim}
 This looks clearly acyclic, thus the trajectories diverge. Needless to say
however that this computational evidence does not replace the proof along
these lines given in the article cited above, but just sheds a light on the
idea behind it. 

  texttt{ssignGlobals(LoadRCWAExamples().MatthewsLeigh);} in order to assign the global variables defined in this section. }

 
\section{\textcolor{Chapter }{Orders of commutators}}\label{sec:java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 69 out of bounds for length 2
\logpage{[ !gapprompt@ gapinput@:= ()|
\hyperdef{L}{X854E9F65817E4F63}{}
{
  We enter some wild rcwa permutation: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@u := RcwaMapping([[3,0,5],[9,1,5],[3,-1,5],[9,-2,5],[9,4,5]]);;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@IsTame(u);;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(u);A
  
  Wild rcwa permutation of Z with modulus 5
  
          /
          | 3n/5     if n          
          | (9n+1)/5 if n in 1(5)
   n |-> <  (3n-1)/5 if n in 2(5)
          | (9n-2)/5 if n in 3(5)
          | (9n+4)/5 if n in 4(5)
          \
  
\end{Verbatim}
 We would like to compute the order of $[u,n \mapsto n + k]$ and $[u^2,n \mapsto n + k]$ for different values of{\nobreakspace
\begin{Verbatim}[commandchars=@|A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  @gapprompt|gap>A @gapinput|nu := ClassShift(0,1);; # n -> n + 1A
  @gapprompt|gap>A @gapinput|l := Filtered([0..100],k->IsTame(Comm(u,nu^k)));A
  [ 0, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 13, 15, 17, 18, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 30, 
    32, 33, 35, 36, 39, 40, 42, 43, 45, 47, 48, 50, 51, 54, 55, 57, 58, 
    60, 62, 63, 65, 66, 69, 70, 72, 73, 75, 77, 78, 80, 81, 84, 85, 87, 
    88, 90, 92, 93, 95, 96, 99, 100 ]
  @gapprompt|gap>A @gapinput|List(l,k->Order(Comm(u,nu^k)));A
  [ 1, 6, 5, 3, 5, 5, 3, infinity, 7, infinity, 7, 5, 3, infinity, 
    infinity, 3, 5, 7, infinity, 7, infinity, 3, 5, 5, 3, 5, infinity, 
    infinity, infinity, 5, 3, 5, 5, 3, infinity, 7, infinity, 7, 5, 3, 
    infinity207
    infinity, infinity, infinity, 5, 3, 5, 5, 3 ]
  @gapprompt|gap>A @gapinput|u2 := u^2;A
  <wild rcwa permutation of Z with modulus 25>
  @gapprompt|gap>A @gapinput|Filtered([1..16],k->IsTame(Comm(u2,nu^k))); # k<15->[u^2,nu^k] wild!A
  [ 15 ]
  @gapprompt|gap>A @gapinput|Order(Comm(u2,nu^15));A
  infinity
  @gapprompt|gap>A @gapinput|u2nu17 := Comm(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 46 out of bounds for length 41
  <rcwa permutation of Z with modulus 81>
  @gapprompt|gap>A @gapinput|cycs := ShortCycles(u2nu17,[-100..100],100);;A
  @gapprompt|gap>A @gapinput|List(cycs,Length);A
  [ 72, 73, 72, 72, 72, 73, 72, 72, 73, 72, 72, 73, 72, 72, 73, 72, 72, 
    73, 72, 72, 73, 72, 72 ]
  @gapprompt|gap>A @gapinput|Lcm(last);A
  5256
  @gapprompt|gap>A @gapinput|u2nu17^5256; # This element has indeed order 2^3*3^2*73 = 5256.A
  IdentityMapping( Integers )
  @gapprompt|gap>A @gapinput|u2nu18 := Comm(u2,nu^18);A
  <rcwa permutation of Z with modulus 81>
  @gapprompt|gap>A @gapinput|cycs := ShortCycles(u2nu18,[-100..100],100);;A
  @gapprompt|gap>A @gapinput|List(cycs,Length);A
  [ 21, 22, 22, 22, 21, 22, 22, 21, 22, 22, 21, 22, 21, 22, 22, 21, 22, 
    22, 21, 22, 22, 21, 22 ]
  @gapprompt|gap>A @gapinput|Lcm(last);A
  462
  @gapprompt|gap>A @gapinput|u2nu18^462; # This is an element of order 2*3*7*11 = 462.A
  IdentityMapping( Integers )
  @gapprompt|gap>A @gapinput|List([Comm(u2,nu^20),Comm(u2,nu^25),Comm(u2,nu^30)],Order);A
  [ 29, 9, 15 ]
  
\\exttt{\symbol{45}texttt{\ymbol{45}}}} this isthe  set where all
 We observe that our commutators have various different orders, and that the
primefactors of these orders are not all ``very small''. 

 Enter \texttt{AssignGlobals(LoadRCWAExamples().CollatzlikePerms);} in order to assign the global variables defined in this section. }

  
\section{\textcolor{Chapter }{ An infinite subgroup of CT(GF(2)[x]) with many torsion elements }}\label{sec:OddNumberOfGens_FiniteOrder}
\logpage{[ 7, 11, 0 ]}
\hyperdef{L}{X7F085B867D799293}{}
{
  In this section, we have a look at the following subgroup of CT(GF(2)[x]): 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@A,  
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@x := Indeterminate(GF(2));; SetName(x,"x");A
  !    11, 11 8,16 8 70,13 ,13
  GF(2)[x]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@a := ClassTransposition(0,x,1,x);;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@b := ClassTransposition(0,x^2+1,1,x^2+1);;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@c := ClassTransposition(1,x,0,x^2+x);;A
  !are muchlonger 
  <rcwa group over GF(2)[x] with 3 generators>
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(G!apprompt@ap>A !java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [29, 28) out of bounds for length 78
  
  Rcwa group over GF(2)[x], generated by
  
  [
  Rcwa permutation of GF(2)[x]: P -> P + Z(2)^0
  
  Rcwa permutation of GF(2)[x] with modulus x^2+1, of order 2
  
          /
          | P + 1 if P in 0(x^2+1) U 1(x^2+1)
   P |-> <  P     if P in x(x^2+1) U x+1(x^2+1)
          |
          \
  
  
  Rcwa permutation of GF(2)[x] with modulus x^2+x, of order 2
  
          /
          | (x+1)*P + x+1   if P in 1(x)
   P |-> <  (P + x+1)/(x+1) if P in 0(x^2+x)
          | P               if P in x(x^2+x)
          \
  
  ]
  
\end{Verbatim}
 We can easily find 2 normal subgroups of{\nobreakspace}\texttt{G}: 
\=\small=single,label=Example]
  
  !gapprompt@ap>|!gapinput@: Subgroup,*b*c]|
  <rcwa group over GF(2)[x] with 2 generators>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsNormal(G,N1);|
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Index(G,N1);|
  2
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G/N1;|
  Group([ (1,2), (1,2), (1,2) ])
  !@gap| !gapinput@ : (G[abca);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsNormal(G,N2);|
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsSubgroup(N1,N2);|
  false
  
\end{Verbatim}
 Products of even numbers of generators of{\nobreakspace}\texttt{G} may have infinite order. For example, we have 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small 
  
 !java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [13, 12) out of bounds for length 41
  2
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Order(a*c);|
  infinity
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Order(b*c);|
  infinity
  
\end{Verbatim}
 We would like to have a look at orders of products of odd numbers of
generators. In order to restrict our considerations to ``essentially different'' products (as far as we can easily do this), we use the following auxiliary
function: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=GAP code]
  
  NormedWords := function ( F, lng )
  
    local  words, gens, tuples, w;
  
    gens   := GeneratorsOfGroup(F);
    tuples := EnumeratorOfTuples([1..3],lng);
    words  := [];
  
    for w in tuples do
      if    (w[1] = 1 or not 1 in w)
        and PositionSublist(w,[1,1]) = fail1(12  2)U  ()
        and PositionSublist(w,[2,2]) = fail
        and PositionSublist(w,[3,3]) = fail
        and PositionSublist(w,[2,1]) = fail
        and w[1] < w[lng]
        and w{[1,lng]} <> [1,2]
        and (w{[1..3]} = [1,2,3] or PositionSublist(w,[1,2,3]) = fail)
      then Add(words,w); fi;
    od;
  
    words := word>(Listi]));
    return words;
  end;
  
\end{Verbatim}
 Now let's compute the possible orders of products of 3, 5, 7 or 9 generators: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@F := FreeGroup("a","b","c");;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@phi := EpimorphismByGenerators(F,G);|
  [ a, b, c ] -> 
  [ java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [99, 19) out of bounds for length 99
    ClassTransposition(1,x,0,x^2+x) ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@B3 := NormedWords(F,3);|
  [ a*b*c ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@B3 := List(B3,g->g^phi);|
  [ <rcwa permutation of GF(2)[x] with modulus x^3+x> ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(B3,Order);|
  [ 20 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@B5 := NormedWords(F,5);|
  [ a*b*c*a*c, a*b*c*b*c ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@B5 := List(B5,g->g^phi);|
  [ <rcwa permutation of GF(2)[x] with modulus x^3+x>, 
    <rcwa permutation of GF(2)[x] with modulus x^4+x^3+x^2+x> ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(B5,Order);|
  [ 12, 12 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@B7 := NormedWords(F,7);|
  [ a*b*c*a*c*a*c, a*b*c*a*c*b*c, a*b*c*b*c*a*c, a*b*c*b*c*b*c ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@B7 := List(B7,g->g^phi);|
  [ <rcwa permutation of GF(2)[x] with modulus x^4+x^3+x^2+x>, 
    <rcwa permutation of GF(2)[x] with modulus x^5+x>, 
    <rcwa permutation of GF(2)[x] with modulus x^4+x^3+x^2+x>, 
    <rcwa permutation of GF(2)[x] with modulus x^5+x> ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(B7,Order);|
  [ 12, 12, 12, 30 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@B9 := NormedWords(F,9);|
  [ a*b*c*a*b*c*a*b*c, a*b*c*a*c*a*c*a*c, a*b*c*a*c*a*c*b*c, a*b*c*a*c*b*c*a*c, 
    a*b*c*a*c*b*c*b*c, a*b*c*b*c*a*c*a*c, a*b*c*b*c*a*c*b*c, a*b*c*b*c*b*c*a*c, 
    a*b*c*b*c*b*c*b*c ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@B9 := List(B9,g->g^phi);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(B9,Order);|
  [ 20, 4, 30, 12, 42, 30, 4, 42, 12 ]
  
\{}
 Entertexttt{ssignGlobals()OddNumberOfGens\extunderscore}initeOrder)}in order toassign globalvariables  in thissection }

  
\section{\textcolor{Chapter }{An abelian rcwa group over a polynomial!apprompt@gap> !apinput@traj2 := Trajectory(ML2,(x^3+x+1)*One(R),16);A
\logpage{[ 7, 12, 0 ]}
\hyperdef{L}{X7A8605E680F664BF}{}
{
  We enter a 2\texttt{\symbol{45}}generated abelian wild rcwa group over GF(4)[$x$]: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@x := Indeterminate(GF(4),1);; SetName(x,"x^9+x6+x3x+,x10x^8x+x^5x4x1,
  !gapprompt@gap>| !gapinput@R := PolynomialRing(GF(4),1);|
  GF(2^2)[x]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@e := One(GF(4));;|
  gapprompt@gap>| !gapinput@p := x^2 + x +e;;    q: ^2+e;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@r := x^2 + x + Z(4);; s := x^2 + x + Z(4)^2;;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@cg := List( AllResidues(R,x^2), pol -> [ p, p * pol mod q, q ] );;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@ch := List( AllResidues(R,x^2), pol -> [ r, r * pol mod s, s ] );;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@g := RcwaMapping( R, q, cg );|
  <rcwa mapping of GF(2^2)[x] with modulus x^2+1>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@h := RcwaMapping( R, s, ch );|
  <rcwa mapping of GF(2^2)[x] with modulus x^2+x+Z(2^2)^2>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List([g,h],IsTame);|
  [ false, false ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(g,h);|
  <rcwa group over GF(2^2)[x] with 2 generators>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsAbelian(G);|
true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsTame(G);|
  false
  
\end{Verbatim}
 It is easy to see that all orbits on GF(4)[$x$] under the action of \texttt{G} are finite. 

 Now we compute the action of the group \texttt{G} on one of its orbits, and java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 80 out of bounds for length 40
\begin{Verbatim}[[, 11, ,,,1 ,,,, ,0, 1,0,1 ,,,1 ,1 ,
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@orb := Orbit(G,x^5);|
  [ x^5, x^51 1 1 ,,,1 ,1,,1 , ,0 ,, 1,0,,0 
    x^5+x^4+x^3+x^2+Z(2^2)^2*x+Z(2^2)^2, x^5+x, x^5+x^4+x^3, 
    x^5+x^2+Z(2^2)^2*x, x^5+x^4+x^2+x, x^5+x1,,1, ,1,,1, 1 ,1 ,,,1 ,1 ,1,1,1 , , ,
    x^5+x^4+Z(2^2)*x+Z(2^2), x^5+x^3+x, x^5+x^4+x^3+x^2+Z(2^2)*x+Z(2^2), 
    x^5+x^4+x^3+x+1, x^5+x^2+Z(2^2)*x, x^5+x^4+Z(2^2)^2*x+Z(2^2)^2 ]
  !gapprompt  isherearethe lengths of the   
  Group([ (1,2,4,7,6,9,12,14)(3,5,8,11,10,13,15,16), 
    (1,3,6,10)(2,5,9,13)(4,8,12,15)(7,11,14,16) ])
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsAbelian(H); # check ...|
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [6, 7) out of bounds for length 6
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsCyclic(H);  # H, and therefore also G, is not cyclic|
  false
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Exponent(H);|
  8
  !1 ,,,,,49 1 ,1,1,,,, ,,, ,,1, ,1 1, 
4 ] 824  
  
\end{Verbatim}
 Changing the generators a little changes the structure of the group and its
action on the underlying ring a lot: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@cg[1     1 1, 1,1,,1 1, 1 1,1 1 1,1 1 ,1 ,,1 111java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 73 out of bounds for length 73
  !gapprompt@gap>| !gapinput@ch[7][2] := ch[7][2]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@g := RcwaMapping( R, q, cg );; h := RcwaMapping
  !gapprompt@gap| (()  this bit more|
  <rcwa group over GF(2^2)[x] with 2 generators>
  !  [1 3 1 ,1 15 1 ,631 
  false
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Support(G);|
  GF(2^2)[x] \ [ 1, Z(2^2), Z(2^2)^2 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@orb := Orbit(G,Zero(R));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Length(orb);|
  87
  !gapprompt@gap>| !gapinput@StructureDescription(Action(G,orb));|
  "A87"
 > !gapinputListorb);
  [ [ -infinity, 1 ], [ 1, 2 ], [ 2, 4 ], [ 3, 16 ], [ 4, 64 ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput{
  !gapprompt@gap>| !gapinput@orbs := ShortOrbits(G,S,-1:finite);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(orbs,Length);|
  [ 87, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 20, 4, 12, 4, 20, 4, 4, 12, 8, 8, 
    48, 48, 16,  gapprompt@Ag@();A
    16, 16, 96, 32, 192, 32, 16, 16, 416, 16, 48, 16, 16, 880, 16, 16, 16, 
    16, 16, 16, 16, 16, 16, 848, 16, 16, 32, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Position(last,880);|
  55
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Set(orbs[55],DegreeOfLaurentPolynomial); # all elm's have same degree|
  [ 5 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@H := Action(G,orbs[55]);;\nd{}
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsPrimitive(H,MovedPoints(H));|
  false
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(Blocks(H,MovedPoints(H)),Length);|
  [ 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110 ]
  
\end{Verbatim}
 nter {LoadRCWAExamples;  order assign java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [112, 111) out of bounds for length 148

  
\section{\textcolor{Chapter }{Checking for solvability}}\label{sec:CheckingForSolvability}
\logpage{[ 7, 13, 0 ]}
\hyperdef{L}{X78DFE4B4821E07A6 rcwa Z modulus 25>
{
  Presently there is no general method available for testing wild rcwa groups
for solvability. However, @gapprompt|gap>A @gapinput|OrderComm(,nu15)A
answered anyway. In the example below, the idea is to find a
subgroup{\nobreakspace}\mbox{\texttt@gappromptgap>A@apinput|u2nu17 := Comm(u2,nu^17);A
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@a := RcwaMapping([[|gap> @apinputListcycsLengthA
  !gapprompt@gap>| !gapinput@b := RcwaMapping([[3,0,2],[3,13,4],[3,0,2],[3,-1,4]]);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Group(a,b);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@ShortOrbits(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 43 out of bounds for length 6
  [ [ -10 ], [ -9 ], [ -30, -21, -14, -13, -11, -8 ], [ -7 ], [ -6 ], 
    [gapprompt|Au2nu18# This an element of order 2*3*7*11 = 462.A
    [ 4, 5, 6, 7, 10, 15 ], [ 8 ], [ 9 ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S := [ 4, 5, 6, 7, 10, 15 ];;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Cycle(Comm(a,b),4);|
  [ 4, 7, 10, 15, 5, 6 ]
  !gapprompt@gap  observethat our commutators havevarious different,andthat java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 76 out of bounds for length 76
  <rcwa permutation of Z with modulus 81>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(S,n->n^elm);|
  [ 7, 5, 6, 4, 10, 15 ]
 gap> g@: (omm,be)|
  <rcwa group over Z with 2 generators>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Action(U,S);|
  Group([ (1,4,5,6,2,3), (1,4) ])
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsNaturalSymmetricGroup(last);|
  true
  
\end{Verbatim}
 Thus the subgroup \mbox{\texttt{\mdseries\slshape U}} induces on \mbox{\texttt{\mdseries\slshape S}} a natural symmetric group of degree{\nobreakspace}6. Therefore the
group{\slshape G}}is solvable. We conclude example by factoring the group element \mbox{\texttt{\mdseries\slshape elm}} into generators: 
\begin{Verbatim}[java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 29 out of bounds for length 10
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@F := FreeGroup("a","b");|
  <free group on the generators [ a, b ]>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@RepresentativeActionPreImage(G,S,Permuted(S,(1,4)),OnTuples,F);|
  a^-2*b^-2*a*b*a^-1*b*a*b^-2*a
  !gapprompt@gap>| !gapinput@a^-2*b^-2*a*b*a^-1*b*a*bjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 53 out of bounds for length 3
  true
  
\end{Verbatim}
 Enter \texttt{AssignGlobals(LoadRCWAExamples().CheckingForSolvability);} in order to assign the global variables defined in this section. }

  
\section{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
\logpage[ 7 14  ]}
\hyperdef{L}{X783D54DC7A646273}{}
{
  We start with something one can observe when trying to ``transfer'' an rcwa mapping from the ring of integers to one of its localizations: 
\begin{Verbatim}[commandchars=@|C,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  @gapprompt|gap>C @gapinput|a := RcwaMapping([[3,0,2],[3,1,4],[3,0,2],[3,-1,4]]);;C
  @gapprompt|gap>C @gapinput|IsBijective(a);C
  true
  @gapprompt|gap>C @gapinput|a2 := LocalizedRcwaMapping(a,2);C
  <rcwa mapping of Z_( 2 ) with modulus 4>
  @> a2; As 
  true
  @gapprompt|gap>C @gapinput|IsInjective(a2); # Why not??C
  false
  @gapprompt|gap>C @gapinput|0^a2;C
  0
  @gapprompt|gap>C @gapinput|(1/3)^a2; # That's the reason!C
  0
  
\end{Verbatim}
 The above can also be explained easily by pointing out that the modulus of the
inverse of \texttt{a} is{\nobreakspace}3, and that 3 is a unit of{\nobreakspace}${\ensuremath{\mathbb Z}}_{(2)}$. Moving to ${\ensuremath{\mathbb Z}}_{(2,3)}$ solves this problem: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 67 out of bounds for length 48
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@a23 := SemilocalizedRcwaMapping(a,[2,3]);|
  <rcwa mapping of Z_( 2, 3 ) with modulus 4>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsBijective(a23);|
  true
  
\end{Verbatim}
 We get additional finite cycles, e.g.: 
\begin{Verbatim}[commandchars(bc)|
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(ShortOrbits(Group(a23),[0..50]/5,50),orb->Cycle(a23,orb[1]));|
  [ [ 0 ], [ 1/5, 2/5, 3/5 ], 
    [ 4/5, 6/5, 9/5, 8/5, 12/5, 18/5, 27/5, 19/5, 13/5, 11/5, 7/5 ], 
    [ 1 ], [ 2, 3 ], [ 14/5, 21/5, 17/5 ], 
    [ 16/5, 24/5, 36/5, 54/5, 81/5, 62/5, 93/5, 71/5, 52/5, 78/5, 117/5, 
        89/5, 68/5, 102/5, 153/5, 116/5, 174/5, 261/5, 197/5, 149/5, 
        113/5, 86/5, 129/5, 98/5, 147/5, 109/5,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 43 out of bounds for length 43
        51/5, 37/5, 29/5, 23/5 ], [ 4, 6, 9, 7, 5 ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(last,Length);|
  [ 1, 3, 11, 1, 2, 3, 34, 5 ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(ShortOrbits(Group(a23),[0..50]/7,50),orb->Cycle(a23,orb[1]));|
  [ [ 0 ], [ -1/7, 1/7 ], [ 2/7, 3/7, 4/7, 6/7, 9/7, 5/7 ], [ 1 ], 
    [ 2, 3 ], [ 4, 6, 9, 7, 5 ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(last,Length);|
  [ 1, 2, 6, 1, 2, 5 ]
  
\end{Verbatim}
 However the structure of a group with prime set $\mathbb{P}$ remains invariant under the ``transfer'' from {\ensuremath{\mathbb Z}} to{\nobreakspace}${\ensuremath{\mathbb Z}}_{(\mathbb{P})}$. 

 ``Transferring'' a non\texttt{\symbol{45}}invertible rcwa mapping from the ring of integers to
  ()localizationscan also turn it intoan invertible one 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@E,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>E !gapinput@v := RcwaMapping([[6,0,1],[1,-7,2],[6,0,1],[1,-1,1],E
  !gapprompt@>E !gapinput@                     [6,0,1],[1, 1,2],[6,0,1],[1,-1,1]]);;E
  !gapprompt@gap>E !gapinput@Display(v);E
  
  Rcwa mapping of Z with modulus 8
  
          
          | 6n      if n in 0(2)
          | n-1     if n in 3(4)
   n |-> <  (n-7)/2 if n in 1(8)
          | (n+1)/2 if n in 5(8)
          |
          \
  
  !gapprompt@gap>E !gapinput@IsInjective(v);E
  true
  !gapprompt@gap>E !gapinput@IsSurjective(v);E
  false
  !gapprompt@gap>E !gapinput@Image(v);E
  Z \ 4(12) U16, 16 16, 16 ,16 848, ,16 ,16 16 ,16 16,16 16 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 73 out of bounds for length 73
  !gapprompt@gap>E !gapinput@Difference(Integers,last);E
  4(12) U 8(12)
  !gapprompt@gap>E !gapinput@v2 := LocalizedRcwaMapping(v,2);E
  <rcwa mapping of Z_( 2 ) with modulus 8>
  !gapprompt@gap>E !gapinput@IsBijective(v2);E
  true
  !gapprompt@gap>E !gapinput@Display(v2^-1);E
  
  Rcwa permutation of Z_( 2 ) with modulus 4
  
          /
          | 1/3 n / 2 if n in 0(4)
          | 2 n + 7   if n in 1(4)
   n |-> <  n + 1     if n in 2(4)
          | 2 n - 1   if n in 3(4)
          |
          \
  
  !gapprompt@gap>E !gapinput@S := ResidueClass(Z_pi(2),2,0);; l := [S];;E
  !gapprompt@gap>E !gapinput@for i in [1..10] do Add(l,l[Length(l)]^v2); od;E
  !gapprompt@gap>E !gapinput@l; # Visibly v2 is wild ...E
  [ 0(2), 0(4), 0(8), 0(16), 0(32), 0(64), 0(128), 0(256), 0(512),
    0(1024), 0(2048) ]
  !gapprompt@gap>E !gapinput@w2 := RcwaMapping(Z_pi(2),[[1,0,2],[2,-1,1],[1,1,1],[2,-1,1]]);;E
  !gapprompt@gap>E !gapinput@v2w2 := Comm(v2,w2);; v2w2^-1;;E
  !gapprompt@gap>E !gapinput@Display(v2w2);E
  
  Rcwa permutation of Z_( 2 ) with modulus 8
  
          /
          | 3 n   if n in 2(4)
          | n + 4 if n in 1(8)
   n |-> <  n - 4 if n in 5(8)
          | n     if n in 0(4) U 3(4)

          \
  
\end{Verbatim}
 Again, viewed as an rcwa mapping of the integers the commutator given at the
end of the example would not be surjective. 

 Enter \texttt{AssignGlobals(LoadRCWAExamples().Semilocals);} in order to assign the global variables defined in this section. }

  
\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 8 out of bounds for length 0
\logpage{[ 7, 15, 0 ]}
\hyperdef{L}{X846D7D087861E0AC}{}
{
  We define an rcwa mapping \mbox{\texttt{\mdseries\slshape x}} of order{\nobreakspace}257 with modulus{\nobreakspace}32. The easiest way to
construct such a mapping is to prescribe a transition graph and then to assign
suitable affine mappings to its vertices. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@x_257 := RcwaMapping(A
  !gapprompt@>A !gapinput@     [[ 16,  2,  1], [ 16, 18,  1], [  1, 16,  1], [ 16, 18,  1],A
  !gapprompt@>A !gapinput@      [  1, 16,  1], [ 16, 18,  1], [  1, 16,  1], [ 16, 18,  1],A
  !gapprompt@>A !gapinput@      [  1, 16,  1], [ 16, 18,  1], [  1, 16,  1], [ 16, 18,  1],A
g@@     [  1 1],[16 ,  1] [  , 16  1 [16 18,1,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [92, 93) out of bounds for length 92
  g> !gapinput      [1,0 16] [16 ,  1,[   1-14 1], [16,18, ]A
  !gapprompt@>A !gapinput@      [  1,-14,  1], [ 16, 18,  1], [  1,-14,  1], [ 16, 18,  1],A
  !gapprompt@>A !gapinput@      [  1,-14,  1], [ 16, 18,  1], [  1,-14,  1], [ 16, 18,  1],A
  !gapprompt@>A !gapinput@      [  1,-14,  1], [ 16, 18,  1], [  1,-14,  1], [  1,-31,  1]]);;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Order(x_257);; Display(x_257:CycleNotation:=false);A
  
  Rcwa permutation of Z0
  
          /
          | 16n+18 if n in 1(2) \ 31(32)
          | n+16   if n in 2(32) U 4(32) U 6(32) U 8(32) U 10(32) U 
          |                12(32)  The above can also be explained eaabovealsobe  easilyby pointing that modulus of the
          | n-14   if n in 18(32) U 20(32) U 22(32) U 24(32) U 26(32) U 
   n |-> <                 28(32) U 30(32)
          | 16n+2  if n in 0(32)
          | n/16   if n in 16(32)
          | n-31   if n in 31(32)
          |
          \
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(x_257);A
  
  Rcwa permutation of Z with modulus 32, of order 257
  
  ( 0(32), 2(512), 18(512), 4(512), 20(512), 6(512), 22(512), 
    8(512), 24(512), 10(512), 26(512), 12(512), 28(512), 14(512), 
    30(512), 16(512), 1(32), 34(512), 50(512), 36(512), 52(512), 
    38(512), 54(512), 40(512), 56(512), 42(512), 58(512), 44(512), 
    60(512), 46(512), 62(512), 48(512), 3(32), 66(512),         89/ 685 /153/,116/,174/ /, 1975,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 69 out of bounds for length 69
    68(512), 84(512), 70(512), 86(512), 72(512), 88(512), 74(512), 
    90(512), 76(512), 92(512), 78(512), 94(512), 80(512), 5(32), 
    98(512), 114(512), 100(512), 116(512), 102(512), 118(512), 
    104(512), 120(512), 106(512), 122(512), 108(512), 124(512), 
512 512,112(12, (32)) 130(12) 146(512,
    132(512), 148(512), 134(512), 150(512), 136(512), 152(512), 
    138(512), 154(512), 140(512), 156(512), 142(512), 158(512), 
    144(512), 9(32), 162(512), 178(512), 164(  
    166(512), 182(512), 168(512), 184(512), 170(512), 186(512), 
    172(512), 188(512), 174(512), 190(512), 176(512), 11(32), 
    194(512), 210(512), 196(512), 212(512), 198(512), 214(512), 
    200(512), 216(512), 202(512), 218(512), 204(512), 220(512), 
    206(512), 222(512), 208(512), 13(32), 226(512), 242(512), 
    228(512), 244(512), 230(512), 246(512), 232(512), 248(512), 
    234512)250512) 236(12, 252512) ()254(512)
    240512)1532) 258512) (), 260() 276(512,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 62 out of bounds for length 62
    262(512), 278(512), 264(512), 280(512), 266(512), 282(512), 
    268(512), 284(512), 270(512), 286(512), 272(512), 17(32), 
    290(512), 306(512), 292(512), 308(512), 294(512), 310(512), 
    296(512), 312(512), 298(512), 314(512), 300(512), 316(512), 
    302(512), 318(512), 304(512), 19(32), 322(512), 338(512), 
    324(512), 340(512), 326(512), 342(512), 328(512), 344(512), 
    330(512), 346(512), 332(512), 348(512),          |2 n ()
    336(512), 21(32), 354(512), 370(512), 356(512), 372(512), 
    358(512), 374(512), 360(512), 376(512), 362(512), 378(512), 
    364(512), 380(512), 366(512), 382(512), 368(512), 23(32), 
    386(512), 402(512), 388(512), 404(512), 390(512), 406(512), 
    392(512), 408(512), 394(512), 410(512), 396(512), 412(512), 
    398(512), 414(512), 400(512), 25(32), 418(512), 434(512), 
    420(512), 436(512), 422(512), 438(512), 424(512), 440(512), 
    426(512),  !apprompt@gap gapinput@sSurjective)E
    432(512), 27(32), 450(512), 466(512), 452(512), 468(512), 
    454(512), 470(512), 456(512), 472(512), 458(512), 474(512), 
    460(512), 476(512), 462(512), 478(512), 464(512), 29(32), 
    482(512), 498(512), 484(512), 500(512), 486(512), 502(512), 
    488(512), 504(512), 490(512), 506(512), 492(512), 508(512), 
    494(512), 510(512), 496(512), 31(32) )
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Length(Cycle(x_257,0));A
  257
  
\end{Verbatim}
 Enter \texttt{AssignGlobals(LoadRCWAExamples().LongCyclesOfPrimeLength);} in order to assign the global variables defined in this section. }

  
\section{\textcolor{Chapter }{ The behaviour of the moduli of powers }}\label{sec:ModuliOfPowers}
\logpage{[ 7, 16, 0 ]}
\hyperdef{L}{X78D5DC93845CA6A0}{}
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 1
  We give some examples of how the series of the moduli of powers of a given
rcwa mapping of the integers can look like. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@a := RcwaMapping([[3,0,2],[3, 1,4],[3,0,2],[3,-1,4]]);;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@List([0..4],i->Modulus(a^i));A
  [ 1, 4, 16, 64, 256 ]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@e1 := RcwaMapping([[1,4,1],[2,0,1],[1,0,2],[2,0,1]]);;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@e2 := RcwaMapping([[1,4,1],[2,0,1],[1,0,2],[1,0,1],A
  !gapprompt@>A !gapinput@                      [1,4,1],[2,0,1],[1,0,1],[1,0,1]]);;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@List([e1,e2],Order);A
  [ infinity, infinity ]
  ggapA!apinputList[..0,->Moduluse1i);
  [ 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4 ]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@List([1..20],i->Modulus(e2^i));A
   ,4, 8,4,8 4, ,4,8 4 8, 4, 8, 4,8 ,8 4 8 4 
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(e2);A
  
  Rcwa permutation of Z with modulus 8, of order infinity
  
          /
          | n+4 if n in 0(4)
          | 2n  if n in 1(4)
   n |-> <  n/2 if n in 2(8)
          | n   if n in 3(4) U 6(8)
          |
          \
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@e2^2 = Restriction(RcwaMapping([[1,2,1]]),RcwaMapping([[4,0,1]]));A
  true
  !gapprompt@gap>A !gapinput@g:=RcwaMapping([[2,2,1],[1, 4,1],[1,0,2],[2,2,1],[1,-4,1],[1,-2,1]]);;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@h:=RcwaMapping([[2,2,1],[1,-2,1],[1,0,2],[2,2,1],[1,-1,1],[1, 1,1]]);;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@List([0..7],i->Modulus(g^i));A
  [ 1, 6, 12, 12, 12, 12, 6, 1 ]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@List([1..18],i->Modulus((g^3*h)^i));A
  [ 12, 6, 12, 12, 12, 6, 12, 6, 12, 12, 12, 6, 12, 6, 12, 12, 12, 6 ]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@u := RcwaMapping([[3,0,5],[9,1,5],[3,-1,5],[9,-2,5],[9,4,5]]);;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@List([0..3],i->Modulus(u^i));A
  [ 1, 5, 25, 125 ]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@v6 := RcwaMapping([[-1,2,1],[1,-1,1],[1,-1,1]]);;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@List([0..6],i->Modulus(v6^i));A
  [ 1, 3, 3, 3, 3, 3, 1 ]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@w8 := RcwaMapping([[-1,3,1],[1,-1,1],[1,-1,1],[1,-1,1]]);;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@List([0..8],i->Modulus(w8^i));A
  [ 1, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 1 ]
  !gapprompt@gap>A !gapinput@z := RcwaMapping([[2,1,1],[1, 1,1],[2,-1,1],[2, -2,1],A
  !gapprompt@>A !gapinput@                     [1,6,2],[1, 1,1],[1,-6,2],[2,  5,1],A
  !gapprompt@>A !gapinput@                     [1,6,2],[1, 1,1],[1, 1,1],[2, -5,1],A
  !gapprompt@>A !gapinput@                     [1,0,1],[1,-4,1],[1, 0,1],[2,-10,1]]);;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@IsBijective(z);A
  true
  !gapprompt@gap>A !gapinput@List([0..25],i->Modulus(z^i));A
  [ 1, 16, 32, 64, 64, 128, 128, 128, 128, 128, 128, 256, 256, 256, 256, 
    256, 256, 512, 512, 512, 512, 512, 512, 1024, 1024, 1024 ]
  
\end{Verbatim}
 Enter \texttt{AssignGlobals(LoadRCWAExamples().ModuliOfPowers);} in order to assign the global variables defined in this section. }

  
\section{\textcolor{Chapter }{ Images and preimages under the Collatz mapping }}\label{sec:CollatzImagesAndPreImages}
\logpage{[ 7, 17, 0 ]}
\hyperdef{L}{X855A3CD88459958B}{}
{
  We have a look at the images of the residue class 1(2) under powers of the
Collatz mapping. 
beginVerbatimcommandchars!@fontsize=small=ingle,abelExample]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@T := RcwaMapping([[1,0,2],[3,1,2]]);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S0 := ResidueClass(Integers,2,1);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S1 := S0^T;|
  2(3)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S2 := S1^T;|
  1(3) U 8(9)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S3 := S2^T;|
  2(3) U 4(9)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S4 := S3^T;|
  Z \ 0(3) U 5(9)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S5 := S4^T;|
  Z \ 0(3) U 7(9)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S6 := S5^T;|
  Z \ 0(3)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S7 := S6^T;|
  Z \ 0(3)
  
\end{Verbatim}
 Thus the image gets stable after applying the mapping $T$ for   330(512)), 346(12) 332() 348() 334() 350(),
1(3) and 2(3), which $T$ stabilizes setwise. Now we would like to determine the preimages of 1(3) and
2(3) in 1(2) under $T^6$. The residue class 1(2) has to be the disjoint union of these sets. 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@U := Intersection(PreImage(T^6,ResidueClass(Integers,3,1)),S0);|
  <union of 11 residue classes (mod 64)>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@V := Intersection(PreImage(T^6,ResidueClass(Integers,3,2)),S0);|
  <union of 21 residue classes (mod 64)>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@AsUnionOfFewClasses(U);|
  [ 1(64), 5(64), 7(64), 9(64), 21(64), 23(64), 29(64), 31(64), 49(64), 
    51(64), 59(64) ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@AsUnionOfFewClasses(V);|
  [ 3(32), 11(32), 13(32), 15(32), 25(32), 17(64), 19(64), 27(64), 33(64), 
    37(64), 39(64), 41(64), 53(64), 55(64), 61(64)  !appromptgap>A g@((,)A
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Union(U,V) = S0 and Intersection(U,V) = [];  # consistency check|
  true
  
\end{Verbatim}
 The images of the residue class 0(3) under powers of{\nobreakspace}$T$ look as follows: 
\begin{\section{textcolor { The behaviour of the  }label{:}
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S0 := ResidueClass(Integers,3,0);|
  0(3)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S1 := S0^T;|
  0()U (9)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S2 := S1^T;|
  0(3) U 5(9) U 7(9) U 8(27)
  g@ap !apinput@@S3 : S2^T|
  <union of 20 residue classes (mod 27) (6 classes)>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S4 := S3^T;|
  <union of 73 residue  !gapprompt@gap>A !gapinput@e1 := RcwaMapping([[1,4,1],[2,0,1],[1,0,2],[2,0,1]]);;A
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S5 := S4  !gapprompt@gapA!@e2: ([1,41][01,102,1,]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [81, 82) out of bounds for length 81
  Z \ 10(81) U 37(81)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S6 := S5^T;|
  Integers
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S7 := S6^T;|
  Integers
  
\end{Verbatim}
 Thus every integer is the image of a multiple of{\nobreakspace}3
under{\nobreakspace}$T^6$. This means that it would be sufficient to prove the $3n+1$ conjecture for multiples of{\nobreakspace}3. We can obtain the corresponding
result for multiples of{\nobreakspace}5 as follows: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S := [ResidueClass(Integers,n |-> <n2if 2(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 28 out of bounds for length 28
 0( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 10 out of bounds for length 10
  !gapprompt@gap>| !gapinput@for i in [1..12] do Add(S,S[i]^T); od;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@for s in S do View(s); Print("\n"); od;|
  0(5)
  5) 8(15)
  0(5) U 4(15) U 8(15)
  0(5) U 2(15) U 4(15) U 8(15) U 29(45)
  <union of 73 residue classes (mod 135)>
  <union of 244 residue classes (mod 405)>
  <  [ 12 12 ,12 , ,6 ,6 12, , ,, 612 ,, ]
  <union of 824 residue classes (mod 1215)>
  <union of 2593 residue classes (mod 3645)>
  <union of 2647 residue classes (mod 3645)>
  <union of 2665 residue classes (mod 3645)>
  <union of 2671 residue classes (mod 3645)>
  1(3) U 2(3) U 0(15)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Union(S[13],ResidueClass(Integers,3,0));|
  Integers
  !gapprompt@gap>| !gapinput@ List(S,Si->Float(Density(Si)));|
  [ 0.2, 0.266667, 0.333333, 0.422222, 0.540741, 0.602469, 0.645267, 
    0.678189, 0.711385, 0.7262, 0.731139, 0.732785, 0.733333 ]
  
\end{Verbatim}
 Enter \texttt{AssignGlobals(LoadRCWAExamples().CollatzMapping);} in order to assign the global variables defined in this section. }

  
\section{\textcolor{Chapter }{ An extension of the Collatz mapping T to a permutation of ${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$ }}\label{sec:Sigma_T}
\logpage\nd{Verbatim}
\hyperdef{L}{X84B6A498838A5509}{}
{
llatz{nobreakspace$Tis surjective but injective:
\begin{Verbatim}[commandchars=!@A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@T := RcwaMapping([[1,0,2],[3,1,2]]);;A
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(T);A
  
  Rcwa mapping of Z with modulus 2
  
          /
          | n/2      if n in 0(2)
   n |-> <  (3n+1)/2 if n in 1(2)
          |
          \
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@IsInjective(T); IsSurjective(T);A
  false
  true
  !gapprompt@gap>A !gapinput@PreImages(T,2);A
  [ 1, 4 ]
  
\end{Verbatim}
 , withjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [39, 38) out of bounds for length 68
mapping{\nobreakspace}$T$ can be extended in natural ways to permutations of{\nobreakspace}${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$. For example, the following permutation acts on the second coordinate just
like{\nobreakspace}$T$: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Sigma_T := RcwaMapping( Integers^2, [[1,0],[0,6]],A
  !gapprompt@>A !gapinput@                           [[[[2,0],[0,1]],[0,0],2],A
  !gapprompt@>A !gapinput@                            [[[4,0],[0,3]],[2,1],2],A
  !gapprompt@>A !gapinput@                            [[[2,0],[0,1]],[0,0],2],A
  !gapprompt@>A !gapinput@                            [[[4,0],[0,3]],[2,1],2],A
  !gapprompt@>A !gapinput@                            [[[4,0],[0,1]],[0,0],2],A
  !gapprompt@>A !gapinput@                            [[[4,0],[0,3]],[2,1],2]] );A
  <rcwa mapping of Z^2 with modulus (1,0)Z+(0,6)Z>
  !gapprompt@gap>A !gapinput@IsBijective(Sigma_T);A
  true
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(Sigma_T);A
  
  Rcwa permutation of Z^2 with modulus (1,0)Z+(0,6)Z
  
              /
              | (2m+1,(3S7 : T|
              | (m,n/2)         if (m,n) in (0,0)+(1,0)Z+(0,6)Z U 
   (m,n) |-> <                              (0,2)+(1,0)Z+(0,6)Z
              | (2m,n/2)        if (m,n) in (0,4)+(1,0)Z+(0,6)Z
              |
              \
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(Sigma_T^-1);A
  
  Rcwa permutation of Z^2 with modulus (2,0)Z+(0,3)Z
  
              /
              | (m,2n)             if (m,n) in (0,0)+(1,0)Z+(0,3)Z U 
              |                                (0,1)+(1,0)Z+(0,3)Z
   (m,n) |-> <  (m/2,2n)           if (m,n) in (0,2)+(2,0)Z+(0,3)Z
              | ((m-1)/2,(2n-1)/3) if (m,n) in (1,2)+(2,0)Z+(0,3)Z
              |
              \
  
\end{Verbatim}
 Now, the $3n+1$ conjecture is equivalent to the assertion that the line $n=4$ is a set of representatives for the cycles of \texttt{Sigma{\textunderscore}T} on the half plane $n > 0$. 

 Let's have a look at a part of a cycle of \texttt{Sigma{\textunderscore}T}: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Trajectory(Sigma_T,[0,27],75);|
  [ [ 0, 27 ], [ 1, 41 ], [ 3, 62 ], [ 3, 31 ], [ 7, 47 ], [ 15, 71 ], 
    [ 31, 107 ], [ 63, 161 ], [ 127, 242 ], [ 127, 121 ], [ 255, 182 ], 
    [ 255, 91 ], [ 511, 137 ], [ 1023, 206 ], [ 1023, 103 ], 
    [ 2047, 155 ], [ 4095, 233 ], [ 8191, 350 ], [ 8191, 175 ], 
    [ 16383, 263 ], [ 32767, 395 ], [ 65535, 593 ], [ 131071, 890 ], 
    [ 131071, 445 ], [ 262143, 668 ], [ 262143, 334 ], [ 524286, 167 ], 
    [ 1048573, 251 ], [ 2097147, 377 ], [ 4194295, 566 ], [ 4194295, 283 ], 
    [ 8388591, 425 ], [ 16777183, 638 ], [ 16777183, 319 ], 
    [ 33554367, 479 ], [ 67108735, 719 ], [ 134217471, 1079 ], 
    [ 268434943, 1619 ], [ 536869887, 2429 ], [ 1073739775, 3644 ], 
    [ 1073739775, 1822 ], [ 2147479550, 911 ], [ 4294959101, 1367 ], 
    [ 8589918203, 2051 ], [ 17179836407, 3077 ], [ 34359672815, 4616 ], 
    [ 34359672815, 2308 ], [ 68719345630, 1154 ], [ 68719345630, 577 ], 
    [ 137438691261, 866 ], [ 137438691261, 433 ], [ 274877382523, 650 ], 
    [ 274877382523, 325 ], [ 549754765047, 488 ], [ 549754765047, 244 ], 
    [ 1099509530094, 122 ], [ 1099509530094, 61 ], [ 2199019060189, 92 ], 
    [ 2199019060189, 46 ], [ 4398038120378, 23 ], [ 8796076240757, 35 ], 
    [ 17592152481515, 53 ], [ 35184304963031, 80 ], 
    [70368609926062,20 ]  70368609926062,10] [140737219852124,5 ] 
    [281474439704249,8] [281474439704249,4] [562948879408498,2 ] 
    [ 562948879408498, 1 ], [ 1125897758816997, 2 ], 
    [ 1125897758816997, 1 ], [ 2251795517633995, 2 ], 
    [ 2251795517633995, 1 ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Trajectory(Sigma_T^-1,[0,27],20);|
  [ [ 0, 27 ], [ 0, 54 ], [ 0, 108 ], [ 0, 216 ], [ 0, 432 ], [ 0, 864 ], 
    [ 0, 1728 ], [ 0, 3456 ], [ 0, 6912 ], [ 0, 13824 ], [ 0, 27648 ], 
    [ 0, 55296 ], [ 0, 110592 ], [ 0, 221184 ], [ 0, 442368 ], 
    [ 0, 884736 ], [ 0, 1769472 ], [ 0, 3538944 ], [ 0, 7077888 ], 
    [ 0, 14155776 ] ]
  
\end{Verbatim}
 While it seems easy to make conjectures regarding the behaviour of cycles of \texttt{Sigma{\textunderscore}T}, obtaining results on it is apparently hard. We observe however that \texttt{Sigma{\textunderscore}T} can be written as a product of two permutations of{\nobreakspace}${\ensuremath{\mathbb Z}}^2$ whose cycles can be described easily: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@A,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@a := RcwaMapping(Integers^2,[[1,0],[0,2]],[[[[4,0],[0,1]],[0, 0],2],A
  !gapprompt@>A !gapinput@                                              [[[4,0],[0,1]],[2,-1],2]]);A
  <rcwa mapping of Z^2 with modulus (1,0)Z+(0,2)Z>
  !gapprompt@gap>A !gapinput@b := a^-1*Sigma_T;A
  <rcwa permutation of Z^2 with modulus (2,0)Z+(0,3)Z>
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(a);A
  
  Rcwa permutation of Z^2 with modulus (1,0)Z+(0,2)Z
  
              /
              | (2m,n/2)       if (m,n) in (0,0)+(1,0)Z+(0,2)Z
   (m,n) |-> <  (2m+1,(n-1)/2) if (m,n) in (0,1)+(1,0)Z+(0,2)Z
              |
              \
  
  !gapprompt@gap>A !gapinput@Display(b);A
  
  Rcwa permutation of Z^2 with modulus (2,0)Z+(0,3)Z
  
              /
              | (m,3n+2) if (m,n) in (1,0)+(2,0)Z+(0,1)Z
              | (m/2,n)  if (m,n) in (0,0)+(2,0)Z+(0,3)Z U 
   (m,n) |-> <                       (0,1)+(2,0)Z+(0,3)Z
              (,if mn in (,)+2,)+(,)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [56, 57) out of bounds for length 56
              |
              \
  
\end{Verbatim}
is easy to that both\exttta}and\obreakspace}texttt{b haveinfiniteorder. cyclesof{nobreakspacetexttt{} have roughly shapeandrun so  speak from$0\pm \nfty)to$\ \nfty0$   containsonly finitelymany pointsbothof whosecoordinates
arenonzero Thefixed points{nobreakspace\texttt{aare(,0  \texttt\symbol45},texttt{symbol{5}}) We have alookat
anexampleofa of{nobreakspace\exttt{a}:
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Trajectory(a,[1000,1000],15);|
  [ [ 1000, 1000 ], [ 2000, 500 ], [ 4000, 250 ], [ 8000, 125 ], 
    [ 16001, 62 ], [ 32002, 31 ], [ 64005, 15 ], [ 128011, 7 ], 
    [ 256023, 3 ], [ 512047, 1 ], [ 1024095, 0 ], [ 2048190, 0 ], 
    [ 4096380, 0 ], [ 8192760, 0 ], [ 16385520, 0 ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Trajectory(a^-1,[1000,1000],15);|
  [ [ 1000, 1000 ], [ 500, 2000 ], [ 250, 4000 ], [ 125, 8000 ], 
    [ 62, 16001 ], [ 31, 32002 ], [ 15, 64005 ], [ 7, 128011 ], 
    [ 3, 256023 ], [ 1, 512047 ], [ 0, 1024095 ], [ 0, 2048190 ], 
   ,]  ,8192760, ,16385520java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 53 out of bounds for length 53
  
\end{Verbatim}
 It is left as an easy exercise to the reader to find out how the cycles
of{\nobreakspace}\texttt{b} look like. 

 Enter \texttt{AssignGlobals(LoadRCWAExamples().ZxZ);} in order to assign the global variables defined in this section. }

  
\section{\textcolor{Chapter }{ Finite quotients of Grigorchuk groups }}\label{sec:GrigorchukGroups}
\logpage{[ 7, 19, 0 ]}
\hyperdef{L}{X81EB8D397898C6B2}{}
{
  In this section, we show how to construct finite quotients of the two infinite
by Rostislav Grigorchuk in{nobreakspace}\cite{rigorchuk80}with thehelpof \textsf{CWA} The firstthese nowadays known as``rigorchuk group',is investigated in an givenon the\extsf{}website \exttt\symbol{5}texttt{symbol{5}  \href{https://www.gap-system.org/Doc/Examples/grigorchuk.html} {\texttt{https://www.gap\texttt{\symbol{45}}system.org/Doc/Examples/grigorchuk.html}}. The \textsf{RCWA} package permits a simpler and more elegant construction of the finite
quotients of this group: The function \texttt{TopElement} given on the mentioned webpage gets unnecessary, and the function \texttt{SequenceElement} can be simplified as follows: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=]
  
  SequenceElement := function ( r, level )
  
    return Permutation(Product(Filtered([1..level-1],k->k mod 3 <> r),
                               k->ClassTransposition(    2^(k-1)-1,2^(k+1),
                                                     2^k+2^(k-1)-1,2^(k+1))),
                       [0..2^level-1]);
  end;
  
\end{Verbatim}
 The actual constructors[  ,[68719345630 ,[ 68719345630577,
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=]
  
  a := level -> Permutation(ClassTransposition(0,2,1,2),[0..2^level-1]);
  b := level -> SequenceElement(0,level);
  c := level -> SequenceElement(2,level);
  d := level -> SequenceElement(1,level);
  
\end{Verbatim}
 All computations given on the webpage can now be done just as with the ``original'' construction of the quotients of the Grigorchuk group. In the sequel, we
construct finite quotients of the second group introduced in{\nobreakspace}\cite{Grigorchuk80}: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@FourCycle := RcwaMapping((4,5,6,7),[4..7]);|
  ( 0(4), 1(4), 2(4), 3(4) )
  !gapprompt@gap>| !gapinput@GrigorchukGroup2Generator := function ( level )|
  !gapprompt@>| !gapinput@     if level = 1 then return FourCycle; else|
  !gapprompt@>| !gapinput@       return   Restriction(FourCycle, RcwaMapping([[4,1,1]]))|
  !gapprompt@>| !gapinput@              * Restriction(FourCycle, RcwaMapping([[4,3,1]]))|
  !gapprompt@>| !gapinput@              * Restriction(GrigorchukGroup2Generator(level-1),|
  !gapprompt@>| !gapinput@                            RcwaMapping([[4,0,1]]));|
  !gapprompt@>| !gapinput@     fi;|
  !gapprompt@>| !gapinput@   end;;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@GrigorchukGroup2 := level -> Group(FourCycle,|
  !gapprompt@>| !gapinput@                                      GrigorchukGroup2Generator(level));;|
  
\end{Verbatim}
 We can do similar things as shown in the example on the \textsf{GAP} webpage for the ``first'' Grigorchuk group: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := List([1..4],lev->GrigorchukGroup2(lev)); # The first 4 quotients.|
  [ <rcwa group over Z with 2 generators>, 
    <rcwa group over Z with 2 generators>, 
    <rcwa group over Z with 2 generators>, 
    <rcwa group over Z with 2 generators> ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@H := List([1..4],lev->Action(G[lev],[0.java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 68 out of bounds for length 53
  [ Group([ (1,2,3,4), (1,2,3,4) ]), 
    Group([ (1,2,3,4)(5,6,7,8)(9,10,11,12)(13,14,15,16), 
        (1,5,9,13)(2,6,10,14)(4,8,12,16) ]), 
    <permutation group with
    <permutation group with 2 generators> ]
  !0]
  ,,4294967296
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(last,n->Collected(Factors(n)));|
  [ [ [ 2, 2 ] ], [ [ 2, 10 ] ], [ [ 2, 32 ] ], [ [ 2, 120 ] ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(H,NilpotencyClassOfGroup);      |
  [ 1, 6, 14, 40 ]
  
\end{Verbatim}
 Enter \texttt{AssignGlobals(LoadRCWAExamples().GrigorchukQuotients);} in order to assign the global variables defined in this section. }


\section{\textcolor{Chapter }{ Forward orbits of a monoid with 2 generators }}\label{sec:ForwardOrbit}
\logpage{[ 7, 20, 0 ]}
\hyperdef{L}{X7DD9502F80364631}{}
{
  The $3n+1$ conjecture asserts that the forward orbit of any positive integer under the
Collatz mapping $T$ contains{\nobreakspace}1. In contrast, it seems likely that ``most'' trajectories of the two mappings 
  
\[
  T_5^\pm: \ \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}, \ \ \ \
    n \ \longmapsto \
    \begin{cases}
      \frac{n}{2}        & \text{if} \ n \ \text{even}, \\
      \frac{5n \pm 1}{2} & \text{if} \ n \ \text{odd}
    \end{cases}
  \]

   diverge. However we can show by means of computation that the forward orbit of
any positive integer under the action of the monoid generated by the two
mappings $T_5^-$ and{\nobreakspace}$T_5^+$ indeed contains{\nobreakspace}1. First of all, we enter the generators: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@T5m := RcwaMapping([[1,0,2],[5,-1,2]]);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@T5p := RcwaMapping([[1,0,2],[5, 1,2]]);;|
  
\end{Verbatim}
 We look for a number $k$ such that for any residue class $r(2^k)$ there is a product{\nobreakspace}$f$ of $k${\nobreakspace}mappings $T_5^\pm$ whose restriction to $r(2^k)$ is given by $n \mapsto (an+b)/c$ where $c>a$: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@k := 1;;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@repeat|
  !gapprompt@>| !gapinput@     maps := List(Tuples([T5m,T5p],k),Product);|
  !gapprompt@>| !gapinput@     decr := List(maps,DecreasingOn);|
  !gapprompt@>| !gapinput@     decreasable := Union(decr);|
  !gapprompt@>| !gapinput@     Print(k,": "); View(decreasable); Print("\n");|
  !gapprompt@>| !gapinput@     k := k + 1;|
  !gapprompt@>| !gapinput@   until decreasable = Integers;|
  1: 0(2)
  2: 0(4)
  3: Z \ 1(8) U 7(8)
  4: 0(4) U 3(16) U 6(16) U 10(16) U 13(16)
  5: Z \ 7(32) U 25(32)
  6: <union of 48 residue classes (mod 64)>
  7: Integers
  
\end{Verbatim}
 Thus $k=7$ serves our purposes. To be sure that for any positive integer $n$ our monoid contains a mapping $f$ such that $n^f<n$, we still need to check this condition for ``small''{\nobreakspace}$n$. Since in case $c>a$ we have $(an+b)/c \geq n$ if only if $n \leq b/(c-a)$, we only need to check those $n$ which are not larger than the largest coefficient $b_{r(m)}$ occurring in any of the products under consideration: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@maxb := Maximum(List(maps,f->Maximum(List(Coefficients(f),t->t[2]))));|
  25999
  !gapprompt@gap>| !gapinput@small := Filtered([1..maxb],n->ForAll(maps,f->n^f>=n));|
  [ 1, 7, 9, 11 ]
  
\end{Verbatim}
 This means that except of{\nobreakspace}1, only for $n \in \{{7,9,11\}}$ there is no product of 7 mappings $T_5^\pm$ which maps $n$ to a smaller integer. We check that also the forward orbits of these three
integers contain{\nobreakspace}1 by successively computing preimages
of{\nobreakspace}1: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@S := [1];; k := 0;;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@repeat|
  !gapprompt@>| !gapinput@     S := Union(S,PreImage(T5m,S),PreImage(T5p,S));|
  !gapprompt@>| !gapinput@     k := k+1;|
  !gapprompt@>| !gapinput@   until IsSubset(S,small);|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@k;|
  17
  
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 22 out of bounds for length 14
 Enter \texttt{AssignGlobals(LoadRCWAExamples().CollatzMapping);} in order to assign the global variables defined in this section. }

  
\
\logpage{[ 7, 21, 0 ]}
\hyperdef{L}{!gapprompt@gap| !java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [35, 34) out of bounds for length 85
{
  The free group of rank{\nobreakspace}2 embeds into RCWA({\ensuremath\nd{erbatim}
Z}}) \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} in fact it embeds even in the
subgroup which is generated by all class transpositions. An explicit embedding
can be constructed by transferring the construction of the
so\texttt{\symbol{45}}called ``Schottky groups'' (cf.{\nobreakspace}\cite{LaHarpe00}, page{\nobreakspace}27) from PSL(2,{\ensuremath{\mathbb C}}) to
RCWA({\ensuremath{\mathbb Z}}) (we use the notation from the cited book): 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@D := AllResidueClassesModulo(4);|
  [ 0(4), 1(4), 2(4), 3(4) ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@gamma1 := RepresentativeAction(RCWA(Integers),|
  !gapprompt@>| !gapinput@                                  Difference(Integers,D[1]),D[2]);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@gamma2 := RepresentativeAction(RCWA(Integers),|
  !gapprompt@>| !gapinput@                                  Difference(Integers,D[3]),D[4]);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@F2 := Group(gamma1,gamma2);|
  <rcwa group over Z with 2 generators>
  
\end{Verbatim}
 We can do some checks: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize  !apprompt@>|!gapinput@    IsSubset(small;
  
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 4 out of bounds for length 4
  !gapprompt@gap>| !gapinput@    IsSubset(X1,X2^gamma1  X^-1java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 88 out of bounds for length 88
  !gapprompt@>| !gapinput@   and IsSubset(X2,X1^gamma2) and IsSubset(X2,X1^(gamma2^-1));|
  true
  
}
 The generators are products of 3 class transpositions, each: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Factorization(gamma1);|
  [ ( 0(2), 1(2) ), ( 3(4), 5(8) ), ( 0(2), 1(8) ) ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Factorization(gamma2);|
  [ ( 0(2), 1(2) ), ( 1(4), 7(8) ), ( 0(2), 3(8) ) ]
  
\end{Verbatim}
 The above construction is used by \texttt{IsomorphismRcwaGroup} (\ref{IsomorphismRcwaGroup:for a group}) to embed free groups of any rank{\nobreakspace}$\geq 2$. 

 We give another only slightly different representation of the free group of
rank{\nobreakspace}2. We verify that it really is one by applying the
so\texttt{\symbol{45}}called \emph{Table\texttt{\symbol{45}}Tennis Lemma} (see e.g.{\nobreakspace}\cite{LaHarpe00}, Section{\nobreakspace}II.B.) to the infinite cyclic groups generated by the
two generators and to the same two sets \texttt{X1} and \texttt{X2} as above: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@r1 := ClassTransposition(0,2,1,2)*ClassTransposition(0,2,1,4);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@r2 := ClassTransposition(0,2,1,2)*ClassTransposition(0,2,3,4);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@F2 := Group(r1^2,r2^2);;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(GeneratorsOfGroup(F2),IsTame);|
  [ false, false ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@    IsSubset(X1,X2^F2.1) and IsSubset(X1,X2^(F2.1^-1))|
  !gapprompt@>| !gapinput@   and IsSubset(X2,X1^F2.2) and IsSubset(X2,X1^(F2.2^-1));|
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@[Sources(r1),Sinks(r1),Loops(r1)]; # compare with X1|
  [ [ 0(4) ], [ 1(4) ], [ 0(4), 1(4) ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@[Sources(r2),Sinks(r2),Loops(r2)]; # compare with X2|
  [ [ 2(4) ], [ 3(4) ], [ 2(4), 3(4) ] ]
  !gapprompt@gap>| !gapinput@   IsSubset(X1,Union(Sinks(r1))) and IsSubset(X1,Union(Sinks(r1^-1)))|
g@gap gapinput@    X1X2^amma1) and (1,X21)
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsSubset(Union(Sinks(r1)),X2^F2.1) and|
  !java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsSubset(Union(Sinks(r2)),X1^F2.2) and|
  !gapprompt@>| !gapinput@   IsSubset(Union(Sinks(r2^-1)),X1^(F2.2^-1));|
  true
  
\end{Verbatim}
 Drawing the transition graphs of \texttt{r1} and \texttt{r2} for modulus{\nobreakspace}4 may help to understand what is actually done in
this calculation. It is easy to see that the group generated by \texttt{r1} and{\nobreakspace}\texttt{r2} is \emph{not} free: 
\begin{ 
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@Order(r1/r2);|
  3
  
\end{Verbatim}
 The modular group PSL(2,{\ensuremath{\mathbb Z}}) embeds into
CT({\ensuremath{\mathbb Z}}) as well. We give an embedding, and check that it
really is one by applying the Table Tennis Lemma as above: 
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@PSL2Z := |
  !gapprompt@>|java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
  !gapprompt@>| !gapinput@           ClassTransposition(1,3,0,6) * ClassTransposition(2,3,3,6));;|
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(GeneratorsOfGroup(PSL2Z),Order);|

  !gapprompt@gap>| !gapinput@X1 := Difference(Integers,ResidueClass(0,3));|
  Z \ 0(3)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@X2 := ResidueClass(0,3);|
  0(3)
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsSubset(X1,X2^PSL2Z.1) and IsSubset(X1,X2^(PSL2Z.1^2));|
  true
  !gapprompt@gap>| !gapinput@IsSubset(X2,X1^PSL2Z.2);|
  true
  
\end{Verbatim}
 A slightly different representation of PSL(2,{\ensuremath{\mathbb Z}}) can be
obtained by using \textsf{RCWA}'s general method for \texttt{IsomorphismRcwaGroup} for free products of finite java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 115 out of bounds for length 68
\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  
  !gapprompt@gap>| !gapinput@G := Image(IsomorphismRcwaGroup(FreeProduct(CyclicGroup(3),|\begin{Verbatim}[commandchars=!@|,fontsize=\small,frame=single,label=Example]
  !gapprompt@>|  
  <wild rcwa group over Z with 2 generators>
  !gapprompt@gap>| !gapinput@List(GeneratorsOfGroup(G),Factorization);|
  [ [ ( 0(4), 2(4) ), ( 1(2), 0(4) ) ], [ ( 0(2), 1(2) ) ] ]
  
\end{Verbatim}
 Enter \texttt{AssignGlobals(LoadRCWAExamples().F2{\textunderscore}PSL2Z);} in order to assign the global variables defined in this section.  }

  }

       
\chapter{\textcolor{Chapter }{The Algorithms Implemented in RCWA}}\label{ch:algorithms}
\logpage{[ 8, 0, 0 ]}
\hyperdef{L}{X79EA0B717B045756}{}
{
  This chapter lists brief descriptions of the algorithms and methods
implemented in this package. These descriptions are kept very informal and
terse, and some of them provide only rudimentary information. They are listed
in alphabetical order. The word ``trivial'' as a description means that essentially nothing is done except of performing
I/O operations, storing or recalling one or several values or doing very basic
computations, and ``straightforward'' means that no sophisticated algorithm is used. Note that ``trivial'' and ``straightforward'' are to be read as \emph{mathematically} trivial respectively straightforward, and that the code of a function or
method attributed in this way can still be reasonably long and complicated.
Longer and better descriptions of \emph{some} of the algorithms and methods can be found in{\nobreakspace}\cite{Kohl08b}. 
\begin{description}
\item[{ \texttt{ActionOnRespectedPartition(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  ``Straightforward'' after having computed a respected partition by \texttt{RespectedPartition}. 
\item[{ \texttt{AllElementsOfCTZWithGivenModulus(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}})} }]  This function first determines a list of all unordered partitions $\mathcal{P}$ of {\ensuremath{\mathbb Z}} into java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 2
\item[{ \texttt{Ball(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape r}})} }]  ``Straightforward''. 
\item  !apprompt@ap> !apinput@SL2Z : java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 39 out of bounds for length 39
\item[{ \texttt{ClassPairs(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}})} }]  Runs a loop over all 4\texttt{\symbol{45}}tuples of nonnegative integers less
than \mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}}, and filters by congruence criteria and ordering of the entries. 
\item[{ \texttt{ClassReflection(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape r}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{ClassRotation(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape r}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape u}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{ClassShift(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape r}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{ClassTransposition(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape r1}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape m1}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape r2}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape m2}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{ClassWiseOrderPreservingOn(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})}, etc. }]  Forms the union of the residue classes modulo the modulus of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} in whose corresponding coefficient triple the first entry is positive, zero or
negative, respectively. 
\item[{ \texttt{Coefficients(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{CommonRightInverse(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape l}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape r}})} }]  See \texttt{RightInverse}. 
\item[{ \texttt{CT(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape R}})} }]  Attributes and properties are set according to{\nobreakspace}\cite{Kohl09}. 
\item[{ \texttt{CycleRepresentativesAndLengths(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape S}})} }]  ``Straightforward''. 
\item[{ \texttt{CyclesOnFiniteOrbit(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape n}})} }]  ``Straightforward''. 
\item[{ \texttt{DecreasingOn(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  Forms the union of the residue classes which are determined by the
coefficients as indicated. 
\item[{ \texttt{DerivedSubgroup(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  No genuine method \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} \textsf{GAP} Library methods already work for tame groups. 
\item[{ \texttt{Determinant(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}})} }]  Evaluation of the given expression. For the mathematical meaning
(epimorphism!), see Theorem{\nobreakspace}2.11.9 in{\nobreakspace}\cite{Kohl05}. 
\item[{ \texttt{DifferencesList(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape l}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{DirectProduct(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G1}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G2}}, ... )} }]  Restricts the groups \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G1}}, \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G2}}, ... to disjoint residue classes. See \texttt{Restriction} and Corollary{\nobreakspace}2.3.3 in{\nobreakspace}\cite{Kohl05}. 
\item[{ \texttt{Display(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{DistanceToNextSmallerPointInOrbit(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape n}})} }]  ``Straightforward'' \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} computes balls of radius $r$ about \mbox{\texttt{\mdseries\slshape n}} for $r = 1, 2, \dots$ until a point smaller than $n$ is found. 
\item[{ \texttt{Divisor(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  Lcm of coefficients, as indicated. 
\item[{ \texttt{DrawGrid(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape U}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape range{\textunderscore}y}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape range{\textunderscore}x}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape filename}})} }]  ``Straightforward''. 
\item[{ \texttt{DrawOrbitPicture} }]  Compute spheres of radius $1, \dots, r$ around the given point(s). Choose the origin either in the lower left corner
of the picture (if all points lie in the first quadrant) or in the middle of
the picture (if they don't). Mark points of the ball with black pixels in case
of a monochrome picture. Choose colors from the given palette depending on the
distance from the starting points in case of a colored picture. 
\item[{ \texttt{EpimorphismFromFpGroup(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape r}})} }]  Computes orders of elements in the ball of radius{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape r}} about{\nobreakspace}1 in{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}, and uses the corresponding relations if they affect the abelian invariants
of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}, \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G'}}, \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G''}}, etc.. 
\item[{ \texttt{Exponent(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  Check whether \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is finite. If it is, then use the \textsf{GAP} Library method, applied to \texttt{Image(IsomorphismPermGroup(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}))}. Check whether \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is tame. If yes, return \texttt{infinity}. If not, run a loop over \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} until finding an element of infinite order. Once one is found, return \texttt{infinity}. 

 The final loop to find a non\texttt{\symbol{45}}torsion element can be left
away under the assumption that any finitely generated wild rcwa group has a
wild element. It looks likely that this holds, but currently the author does
not know a proof. 
\item[{ \texttt{ExtRepOfObj(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{FactorizationIntoCSCRCT(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}})}, {\nobreakspace} \texttt{Factorization(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}})} }]  The method used here is rather sophisticated, and will likely some time be
published elsewhere. At the moment termination is not guaranteed, but in case
of termination the result is certain. The strategy is roughly first to make
the mapping class\texttt{\symbol{45}}wise order\texttt{\symbol{45}}preserving
and balanced, and then to remove all prime factors from multiplier and divisor
one after the other in decreasing order by dividing by appropriate class
transpositions. The remaining integral mapping can be factored in a similar
way as a permutation of a finite set can be factored into transpositions. 
\item[{ \texttt{FactorizationOnConnectedComponents(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}})} }]  Calls \textsf{GRAPE} to get the connected components of the transition graph, and then computes a
partition of the suitably ``blown up'' coefficient list corresponding to the connected components. 
\item[{ \texttt{FixedPointsOfAffinePartialMappings(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  ``Straightforward''. 
\item[{ \texttt{FixedResidueClasses(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape maxmod}})}, {\nobreakspace} \texttt{FixedResidueClasses(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape maxmod}})} }]  Runs a loop over all moduli $m \leq$ \mbox{\texttt{\mdseries\slshape maxmod}} and all residues $r$ modulo these moduli, and selects those residue classes $r(m)$ which are mapped to itself by \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}}, respectively, by all generators of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. 
\item[{ \texttt{FloatQuotientsList(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape l}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{GluckTaylorInvariant(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape a}})} }]  Evaluation of the given expression. 
\item[{ \texttt{GroupByResidueClasses(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape classes}})} }]  Finds all pairs of residue classes in the list \mbox{\texttt{\mdseries\slshape classes}} which are disjoint, forms the corresponding class transpositions and returns
the group generated by them. 
\item[{ \texttt{GuessedDivergence(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  Numerical computation of the limit of some series, which seems to converge ``often''. Caution!!! 
\item[{ \texttt{Image(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})}, {\nobreakspace} \texttt{Image(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape S}})} }]  ``Straightforward'' if one can compute images of residue classes under affine mappings and unite
and intersect residue classes (Chinese Remainder Theorem). See
Lemma{\nobreakspace}1.2.1 in{\nobreakspace}\cite{Kohl05}. 
\item[{ \texttt{ImageDensity(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  Evaluation of the given expression. 
\item[{ \texttt{\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} in \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}} (membership test for rcwa groups) }]  Test whether the mapping \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} or its inverse is in the list of generators of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. If it is, return \texttt{true}. Test whether its prime set is a subset of the prime set of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. If not, return \texttt{false}. Test whether the multiplier or the divisor of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} has a prime factor which does not divide the multiplier of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. If yes, return \texttt{false}. Test if \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is class\texttt{\symbol{45}}wise order\texttt{\symbol{45}}preserving, and \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} is not. If so, return \texttt{false}. Test if the sign of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} is{\nobreakspace}\texttt{\symbol{45}}1 and all generators of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} have sign{\nobreakspace}1. If yes, return \texttt{false}. Test if \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is class\texttt{\symbol{45}}wise order\texttt{\symbol{45}}preserving, all
generators of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} have determinant{\nobreakspace}0 and \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} has determinant{\nobreakspace}$\neq 0$. If yes, return \texttt{false}. Test whether the support of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} is a subset of the support of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. If not, return \texttt{false}. Test whether \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} fixes the nonnegative integers setwise, but{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} does not. If yes, return \texttt{false}. 

 If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is tame, proceed as follows: Test whether the modulus of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} divides the modulus of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. If not, return \texttt{false}. Test whether \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is finite and \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} has infinite order. If so, return \texttt{false}. Test whether \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} is tame. If not, return \texttt{false}. Compute a respected partition \texttt{P} of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} and the finite permutation group \texttt{H} induced by \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} on it (see \texttt{RespectedPartition}). Check whether \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} permutes \texttt{P}. If not, return \texttt{false}. Let \texttt{h} be the permutation induced by \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} on \texttt{P}. Check whether \texttt{h} lies in \texttt{H}. If not, return \texttt{false}. Compute an element \texttt{g1} of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} which acts on{\nobreakspace}\texttt{P} like{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}}. For this purpose, factor \mbox{\texttt{\mdseries\slshape h}} into generators of{\nobreakspace}\texttt{H} using \texttt{PreImagesRepresentative}, and compute the corresponding product of generators of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. Let \texttt{k := g/g1}. The mapping \texttt{k} is always integral. Compute the kernel{\nobreakspace}\texttt{K} of the action of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} on{\nobreakspace}\texttt{P} using \texttt{KernelOfActionOnRespectedPartition}. Check whether \texttt{k} lies in{\nobreakspace}\texttt{K}. This is done using the package \textsf{Polycyclic}{\nobreakspace}\cite{Polycyclic}, and uses an isomorphism from a supergroup of {\nobreakspace}\texttt{K} which is isomorphic to the \texttt{|P|}\texttt{\symbol{45}}fold direct product of the infinite dihedral group and
which always contains{\nobreakspace}\texttt{k} to a polycyclically presented group. If{\nobreakspace}\texttt{k} lies in{\nobreakspace}\texttt{K}, return \texttt{true}, otherwise return \texttt{false}. 

 If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is not tame, proceed as follows: Look for finite orbits of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. If some are found, test whether \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} acts on them, and whether the induced permutations lie in the permutation
groups induced by{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. If for one of the examined orbits one of the latter two questions has a
negative answer, then return \texttt{false}. Look for a positive integer{\nobreakspace}$m$ such that \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} does not leave a partition of{\nobreakspace}{\ensuremath{\mathbb Z}} into
unions of residue classes (mod{\nobreakspace}$m$) invariant which is fixed by{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. If successful, return \texttt{false}. If not, try to factor \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} into generators of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} using \texttt{PreImagesRepresentative}. If successful, return \texttt{true}. If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} is in \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}, this terminates after a finite number of steps. Both run time and memory
requirements are exponential in the word length. If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} is not in \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} at this stage, the method runs into an infinite loop. 
\item[{ \texttt{\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} in \mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}}} (membership test for rcwa monoids) }]  Test whether the mapping \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is in the list of generators of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. If it is, return \texttt{true}. Test whether the multiplier of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is zero, but all generators of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}} have nonzero multiplier. If yes, return \texttt{false}. Test if neither{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} nor any generator of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}} has multiplier zero. If so, check whether the prime set of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is a subset of the prime set of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}}, and whether the set of prime factors of the multiplier of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is a subset of the union of the sets of prime factors of the multipliers of
the generators of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}}. If one of these is not the case, return \texttt{false}. Check whether the set of prime factors of the divisor of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is a subset of the union of the sets of prime factors of the divisors of the
generators java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 13 out of bounds for length 10
 checkm{texttt{mdseries\lshape }}not \texttt{symbol{45}iseorder\{symbol{45}preserving, but \box{texttt{mdseries\lshape M}}{\nobreakspace}is. If so, return \texttt{false}. 

 If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is not injective, but all generators of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}} are, then return \texttt{false}. If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is not surjective, but all generators of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}} are, then return \texttt{false}. If the support of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is not a subset of the support of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}}, then return \texttt{false}. If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is not sign\texttt{\symbol{45}}preserving, but \mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}} is, then return \texttt{false}. Check whether \mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}} is tame. If so, then return \texttt{false} provided that one of the following three conditions hold: 1.{\nobreakspace}The
modulus of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} does not divide the modulus of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}}. 2.{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is not tame. 3.{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}} is finite, and \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is bijective and has infinite order. If membership has still not been decided,
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [4, 3) out of bounds for length 307

 Finally compute balls of increasing radius around{\nobreakspace}1 until \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is found to lie in one of them. If that happens, return \texttt{true}. If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is an element of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}}, this will eventually terminate, but if at this stage \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is not an element of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}}, this will run into an infinite loop. 
\item[{ \texttt{\mbox{\texttt{\mdseries\slshape point}} in \mbox{\texttt{\mdseries\slshape orbit}}} (membership test for orbits) }]  Uses the equality test for orbits: The orbit equality test computes balls of
increasing radius around the orbit representatives until they intersect
non\texttt{\symbol{45}}trivially. Once they do so, it returns \texttt{true}. If it finds that one or both of the orbits are finite, it makes use of that
information, and returns \texttt{false} if appropriate. In between, i.e. after having computed balls to a certain
extent depending on the properties of the group, it chooses a suitable
modulus{\nobreakspace}$m$ and computes orbits (modulo{\nobreakspace}$m$). If the representatives of the orbits to be compared belong to different
orbits (mod{\nobreakspace}$m$), it returns \texttt{false}. If this is not the case although the orbits are different, the equality test
runs into an infinite loop. 
\item[{ \texttt{IncreasingOn(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  Forms the union of the residue classes which are determined by the
coefficients as indicated. 
\item[{ \texttt{Index(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape H}})} }]  In general, i.e. if the underlying ring is
not{\nobreakspace}{\ensuremath{\mathbb Z}}, proceed as follows: If both groups \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} and{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape H}} are finite, return the quotient of their orders. If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is infinite, but \mbox{\texttt{\mdseries\slshape H}} is finite, return \texttt{infinity}. Otherwise return the number of right cosets of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape H}} in{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}, computed by the \textsf{GAP} Library function \texttt{RightCosets}. 

 If the underlying ring is{\nobreakspace}{\ensuremath{\mathbb Z}}, do
additionally the following before attempting to compute the list of right
cosets: If the group \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is class\texttt{\symbol{45}}wise order\texttt{\symbol{45}}preserving, check
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [87, 88) out of bounds for length 87
generators of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape H}} have determinant{\nobreakspace}zero. If so, then return \texttt{infinity}. Check whether \mbox{\texttt{\mdseries\slshape H}} is tame, but \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is not. If so, then return \texttt{infinity}. If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is tame, thenjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 1
the kernel of the action of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} on a respected partition is higher than the corresponding rank
for{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape H}}. For this check, use \texttt{RankOfKernelOfActionOnRespectedPartition}. If it is, then return \texttt{infinity}. 
\item[{ \texttt{Induction(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  Computes \texttt{f * g * RightInverse(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})}. 
\item[{ \texttt{Induction(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  Gets a set of generators by applying \texttt{Induction(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} to the generators \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. 
\item[{ \texttt{InjectiveAsMappingFrom(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  The function starts with the entire source of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} as ``preimage'' \texttt{pre} and the empty set as ``image''{\nobreakspace}\texttt{im}. It loops over the residue classes (mod{\nobreakspace}\texttt{Mod(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})}). For any such residue class \texttt{cl} the following is done: Firstly, the image of \texttt{cl} under{\nobreakspacejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 470 out of bounds for length 78
of \texttt{cl} under \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} and \texttt{im} under \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} and \texttt{cl} is subtracted from{\nobreakspace}\texttt{pre}. 
\item[{ \texttt{IntegralConjugate(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})}, {\nobreakspace} \texttt{IntegralConjugate(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  Uses the algorithm described in the proof of Theorem{\nobreakspace}2.5.14
in{\nobreakspace}\cite{Kohl05}. 
\item[{ \texttt{IntegralizingConjugator(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})}, {\nobreakspace} \texttt{IntegralizingConjugator(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  Uses the algorithm described in the proof of Theorem{\nobreakspace}2.5.14
in{\nobreakspace}\cite{Kohl05}. 
\item[{ \texttt{Inverse(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  Essentially inversion of affine mappings. See Lemma{\nobreakspace}1.3.1,
Part{\nobreakspace}(b) in{\nobreakspace\egin{description}
\item[{ \texttt{IsBalanced(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  Checks whether the sets of prime factors of the multiplier and the divisor
of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} are\tem[{\Ajava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [43, 42) out of bounds for length 181
\item[{ \texttt{IsBijective(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  ``Trivial'', respectively, see \texttt{IsInjective} and \texttt{IsSurjective}. 
\tem[ \exttt{sClassReflection(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}})} }]  Computes the support of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}}, and compares{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} with the corresponding class reflection. 
\{\mdseries\slshapeg}}) }  Computes the supportof{nobreakspace}\mbox{texttt{\mdseries\slshape g}}, extracts the possible rotation factor from the coefficients and
compares{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} with the corresponding class rotation. 
\item[{ \texttt{IsClassShift(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}})} }]  Computes the support of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}}, and compares{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} with the corresponding class shift. 
\item[{ \texttt{IsClassTransposition(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}}), {\nobreakspace} IsGeneralizedClassTransposition(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}})} }]  Computes the support of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}}, writes it as a disjoint union of two residue classes and
compares{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} with the class transposition which interchanges them. 
\{\texttt{IsClassWiseOrderPreserving\{texttt{\mdseries\slshape f}})}, {\nobreakspace} \texttt{IsClassWiseTranslating(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{IsConjugate(RCWA(Integers),\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}})} }]  Test whether \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} and \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} have the same order, and whether either both or none of them is tame. If not,
return \texttt{false}. 

 the mappings are wild, use \texttt{ShortCycles} to search for finite cycles not belonging to an infinite series, until their
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 202 out of bounds for length 78
it terminates, return \texttt{false}. 

 If the mappings
Theorem{\nobreakspace}2.5.14 in{\nobreakspace}\cite{Kohl05} to construct integral conjugates of \mbox{\texttt{\mdseries\slshapejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 137 out of bounds for length 137
nobreakspace26.in\nobreakspace}cite{}  `standard representatives'of theconjugacy classeswhich the integral conjugatesof mbox{\texttt{mdseries\slshape f}} and \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} belong to. Finally compare these standard representatives, and return \texttt{true} if they are equal and \texttt{false} if not. 
\item[{ \texttt{IsInjective(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  See \texttt{Image}. 
\item[{ \texttt{IsIntegral(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{IsNaturalCT(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})}, {\nobreakspace} \texttt{IsNaturalRCWA(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  Only checks a set flag. 
\item[{ \texttt{IsomorphismMatrixGroup(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  Uses the algorithm described in the proof of Theorem{\nobreakspace}2.6.3
in{\nobreakspace}\cite{Kohl05}. 
\item[{ \texttt{IsomorphismPermGroup(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  If the group \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is finite and class\texttt{\symbol{45}}wise
order\texttt{\symbol{45}}preserving, use \texttt{ActionOnRespectedPartition}. If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is finite, but not class\texttt{\symbol{45}}wise
order\texttt{\symbol{45}}preserving, compute the action on the respected
partition which is obtained by splitting any residue class $r(m)$ in \texttt{RespectedPartition(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} into three residue classes $r(3m), r+m(3m), r+2m(3m)$. If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is infinite, there is no isomorphism to a finite permutation group, thus
return \texttt{fail}. 
\item[{ \texttt{IsomorphismRcwaGroup(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  The method for finite groups uses \texttt{RcwaMapping}, Part{\nobreakspace}(d). 

 The method for free products of finite groups uses the
Table\texttt{\symbol{45}}Tennis Lemma (which is also known as \emph{Ping\texttt{\symbol{45}}Pong Lemma}, cf. e.g. Section{\nobreakspace}II.B. in{\nobreakspace}\cite{LaHarpe00}). It uses regular permutation representations of the factors $G_r$ ($r = 0, \dots ,m-1$) of the free product on residue classes modulo $n_r := |G_r|$. The basic idea is that since point stabilizers in regular permutation groups
are trivial, all non\texttt{\symbol{45}}identity elements map any of the
permuted residue classes into their complements. To get into a situation where
the Table\texttt{\symbol{45}}Tennis Lemma is applicable, the method computes
conjugates of the images of the mentioned permutation representations under
rcwa permutations $\sigma_r$ which satisfy $0(n_r)^{\sigma_r} = {\ensuremath{\mathbb Z}} \setminus r(m)$. 

 The method for free groups uses an adaptation of the construction given on
page{\nobreakspace}27 in{\nobreakspace}\cite{LaHarpe00} from PSL(2,{\ensuremath{\mathbb C}}) to RCWA({\ensuremath{\mathbb Z}}). As an
equivalent for the closed discs used there, the method takes the residue
classes modulo two times the rank of the free group. 
\item[{ \texttt{IsOne(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{IsPerfectGroup(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  If the group \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is trivial, then return \texttt{true}. Otherwise if it is abelian, then return \texttt{false}. 

 If the underlying ring is{\nobreakspace}{\ensuremath{\mathbb Z}}, then do the
following: If one of the generators of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} has sign{\nobreakspace}\texttt{\symbol{45}}1, then return \texttt{false}. If{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is class\texttt{\symbol{45}}wise order\texttt{\symbol{45}}preserving and one
of the generators has nonzero determinant, then return \texttt{false}. 

 If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is wild, and perfectness has not been decided so far,points    )or in middle 

 If the group{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is tame and if it acts transitively on its stored respected partition, then
return \texttt{true} or \texttt{false} depending on whether the finite permutation group \texttt{ActionOnRespectedPartition(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} The final loop to  anon\exttt\45}torsionelement can beleft
\item[{ \texttt{IsPrimeSwitch(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}})} }]  Checks whether the multiplier of{\nobreakspace}\mbox\ild element.Itlooks likelythatthis   currentlythe  does
\item[{ \texttt{IsSignPreserving(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is not class\texttt{\symbol{45}}wise order\texttt{\symbol{45}}preserving, then
return \texttt{false}. Otherwise let $c \geq 1$ be greater than or equal to the maximum of the absolute values of the
coefficients $b_{r(m)}$ of the affine partial mappings of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}}, and check whether the minimum of the image of $\{0, \dots, c\}$ under{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is nonnegative and whether the maximum of the image of $\{-c, \dots, -1\}$ under{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is negative. If both is the case, then return \texttt{true}, otherwise return \texttt{false}. 
\item[{ \texttt{IsSolvableGroup(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is abelian, then return \texttt{true}. If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is tame, then return \texttt{true} or \texttt{false} depending on whether \texttt{ActionOnRespectedPartition(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} is solvable or not. If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is wild, then give up. 
\item[{ \texttt{IsSubset(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshapetranspositions  canfactoredina

  m\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [19, 17) out of bounds for length 925

 Finally use the membership test to check whether all generators
of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape H}} lie in{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}, and return \texttt{true} or \texttt{false} accordingly. 
\item[{ \texttt{IsSurjective(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  See \texttt{Image}. 
\item[{ \texttt{IsTame(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  Checks whether the modulus of the group is nonzero. 
\item[{ \texttt{IsTame(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  Application of the criteria given in Corollary{\nobreakspace}2.5.10
and{\nobreakspace}2.5.12 and Theorem{\nobreakspace}A.8 and{\nobreakspace}A.11
in{\item[{ \exttt{FixedResidueClasses\\{dseries\slshapeg}\\{mdseries\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [104, 103) out of bounds for length 543
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [14, 11) out of bounds for length 47
weakly\texttt{\symbol{45}}connected component which is not
strongly\texttt{\symbol{45}}connected (cf. Theorem{\nobreakspace}A.11
in{\nobreakspace}\cite{Kohl05}). 
\item[{ \texttt{IsTransitive(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},Integers)} }]  Look for finite orbits, using \texttt{ShortOrbits} on a couple of intervals. If a finite orbit is found, return \texttt{false}. Test if \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is finite. If yes, return \texttt{false}. 

 Search for an element \texttt{g} and a residue class $r(m)$ such that the restriction of \texttt{g} to $r(m)$ is given by $n \mapsto n + m$. Then the cyclic group{}.21{}citeKohl05} 
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [10, 9) out of bounds for length 77
loop, as there is no guarantee that the group has a suitable element. 

 If suitable \texttt{g} and $r(m)$ are found, proceed as follows: 

 Put $g$ of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G},and repeat this until $S$ remains constant. This may run into an infinite loop. 

itjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [109, 17) out of bounds for length 109
\item[{ \texttt{IsTransitiveOnNonnegativeIntegersInSupport(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }If \mbox{texttt\mdseries\slshape G}}isnot tame,proceed as follows: Look for finite orbits of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. If some are found, test whether \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} acts on them, and whether the induced permutations lie in the permutation
the union of the sets where the elements of these balls are decreasing or
shifting down equals the support of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. If a positive answer is found, transitivity on ``small'' points (nonnegative integers less than an explicit bound) is verified. 
\item[{ \texttt{IsZero(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{KernelOfActionOnRespectedPartition(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  First determine the abelian invariants of the kernel{\nobreakspace}\texttt{K}. For this, compute sufficiently many quotients of orders of permutation
groups induced by{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} on refinements of the stored respected partition{\nobreakspace}\texttt{P} by the order of the permutation group induced by{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} on{\nobreakspace}\texttt{P} itself. Then use a random walk through the group \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. Compute powers of elements encountered along the way which
fix{nobreakspace}\texttt{P}. Translate these kernel elements into elements of a polycyclically presented
group isomorphic to the \texttt{|P|}\texttt{\symbol{45}}fold direct the generators of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}}. If one of these is not the case, return \texttt{false}. Check whether the set of prime factors of the divisor of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is a subset of the union of the sets of prime factors of the divisors of the
\item[{ \texttt{LargestSourcesOfAffineMappings(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} thereof,then check whether \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is not class\texttt{\symbol{45}}wise order\texttt{\symbol{45}}preserving, but \mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}}{\nobreakspace}is. If so, return \texttt{false}. 
orresponding coefficient triples are equal.
\item[{ \texttt{LaTeXStringRcwaMapping(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})}, {\nobreakspace} \texttt{LaTeXAndXDVI(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  Collects residue classes those corresponding coefficient triples are equal. 
\item[{ \texttt{LikelyContractionCentre(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape maxn}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape bound}}use texttt{ShortOrbits}tolookfor finite orbits of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}}, and check whether \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} fixes all of them setwise. If a finite orbit is found which \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} does not map to itself, then return \texttt{false}. 
cycle is reached. Aborts if the trajectory exceeds the prescribed bound. Form
theunion of the detected cycles. 
\item[{ \texttt{LoadDatabaseOf...()}, {\nobreakspace} \texttt{LoadRCWAExamples()} }]  ``Trivial''. \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} These functions do nothing more
than reading in certain files. 
\item[{ \texttt{LocalizedRcwaMapping(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape p}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{Log2HTML(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape logfilename}})} }]  Straightforward string operations. 
\item[{ \texttt{Loops(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  Runs over the residue classes modulo the modulus of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}}, and selects those of them which \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} does not map to themselves, but which intersect
non\texttt{\symbol{45}}trivially with their images under{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}}. 
\item[{ \texttt{MaximalShift(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{MergerExtension(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape points}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape point}})} }]  As described in \texttt{MergerExtension} (\ref{MergerExtension:for finite permutation groups}). 
\item[{ \texttt{Mirrored(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}})}, {\nobreakspace} \texttt{Mirrored(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  Conjugates with $n \mapsto -n - 1$, as indicated in the definition. 
\item[{ \texttt{mKnot(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}})} }]  ``Straightforward'', following the definition given in \cite{Keller99}. 
\item[{ \texttt{Modulus(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  Searches for a wild element in the group. If unsuccessful, tries to construct
a respected partition (see \texttt{RespectedPartition}). 
\item[{ \texttt{Modulus(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{MovedPoints(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  Needs only forming unions of residue classes and determining fixed points of
affine mappings. 
\item[{ \texttt{Multiplier(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  Lcm of coefficients, as indicated. 
\item[{ \texttt{Multpk(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape p}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape k}})} }]  Forms the union of the residue classes java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 182) out of bounds for length 142
which are determined by the given divisibility criteria for the coefficients
of the corresponding affine mapping. 
\item[{ \texttt{NrClassPairs(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}})} }]  Relatively straightforward. \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} Practical
for values of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}} ranging up into the hundreds and corresponding counts of
\$10\texttt{\symbol{94}}9\$ and more. 
\item[{ \texttt{NrConjugacyClassesOfCTZOfOrder(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape ord}})}, }]  Evaluation of the expression \texttt{Length(Filtered(Combinations(DivisorsInt(ord)), l
\texttt{\symbol{45}}{\textgreater} l {\textless}{\textgreater} [] and Lcm(l) =
ord))}. 
\ java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [27, 26) out of bounds for length 73
in{\nobreakspace}\cite{Kohl05}. 
\item[{ \texttt{ObjByExtRep(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape fam}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape l}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{One(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})}, {\nobreakspace} \texttt{One(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})}, }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{Orbit(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape  kernel of the action of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} on a respected partition is higher
as a list. Otherwise test whether the group \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is tame or wild. 

 If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is tame, then test whether \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is finite. If yes, then compute the orbit by the \textsf{GAP} Library method. \item[{ \texttt{Induction(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  Gets a set of generators by applying \texttt{Induction(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape{java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [275, 274) out of bounds for length 341
partition{\nobreakspace}$\mathcal{P}$ of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. Use{\nobreakspace}$\mathcal{P}$ to find a residue class{\nobreakspace}$r(m)$ which is a subset of the orbit to be computed. In general, $r(m)$ will not be one of the residue classes in{\nobreakspace}$\mathcal{P}$, but a subset of one of them. Put $\Omega := r(m)$. Unite the set{\nobreakspace}$\Omega$ with its images under all the generators of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 482 out of bounds for length 178

 If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is wild, then return an orbit object which stores the group{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}, the java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 169) out of bounds for length 32
\item[{ \texttt{OrbitsModulo(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}})} }]  Uses \textsf{GRAPE} to compute the connected components of the transition graph. 
\slshape m}})} }]  `Straightforward'. 
\item[{ \texttt{Order(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  Test for \texttt{IsTame}. If the mapping is not tame, then return \texttt{infinity}. Otherwise use Corollary{\nobreakspace}2.5.10 in{\nobreakspace}\cite{Kohl05}. 
\item[{ \texttt{PermutationOpNC(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape sigma}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape P}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape act}})} }]  Several different methods for different types of arguments, which either
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [23, 7) out of bounds for length 69
directly, or just delegate to \texttt{PermutationOp}. 
\item[{ \texttt{PreImage(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape S}})} }]  See \texttt{Image}. 
\item[{ \texttt{PreImagesRepresentative(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape phi}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}})}, {\nobreakspace} \texttt{PreImagesRepresentatives(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape phi}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}})} }]  As described in the documentation of these methods. The underlying idea to
successively compute two balls around{\nobreakspace}1 and{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} until they intersect non\texttt{\symbol{45}}trivially is standard in
computational group theory. For rcwa groups it would mean wasting both memory
and run time to actually compute group elements. Thus only images of tuples of
points are computed and stored. 
\item[{ \texttt{PrimeSet(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})}, {\nobreakspace} \texttt{PrimeSet(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  ``Straightforward''. 
\item[{ \texttt{PrimeSwitch(\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0
\item[{ \texttt{Print(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}}*\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}}} }]  Essentially composition of affine mappings. See Lemma{\nobreakspace}1.3.1,
Part{\nobreakspace}(a) in{\nobreakspace}\cite{Kohl05}. 
\item[{ \texttt{ProjectionsToCoordinates(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  Straightforward coefficient operations. 
\item[{ \texttt{ProjectionsToInvariantUnionsOfResidueClasses(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}})} }]  Use \texttt{OrbitsModulo} to determine the supports of the images of the epimorphisms to be determined,
and use \texttt{RestrictedPerm} to compute the images of the generators of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} under these epimorphisms. 
\item[{ \texttt{QuotientsList(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape l}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{Random(RCWA(Integers))} }]  Computes a product of ``randomly'' chosen class shifts, class reflections and class transpositions. This seems to
be suitable for generating reasonably good examples. 
\item[{ \texttt{RankOfKernelOfActionOnRespectedPartition(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  Performs the first part of the computations done by \texttt{KernelOfActionOnRespectedPartition}. 
\item[{ \texttt{Rcwa(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape R}})} }]  ``Trivial''. \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} Attributes and properties set can
be derived easily or hold by definition. 
\item[{ \texttt{RCWA(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape R}})} }]  Attributes and properties are set according to Theorem{\nobreakspace}2.1.1,
Theorem{\nobreakspace}2.1.2, Corollary{\nobreakspace}2.1.6 and
Theorem{\nobreakspace}2.12.8 in{\nobreakspace}\cite{Kohl05}. 
\item[{ \texttt{RcwaGroupByPermGroup(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  Uses \texttt{RcwaMapping}, Part{\nobreakspace}(d). 
\item[{ \texttt{RCWAInfo(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape n}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{RcwaMapping} }]  (a)\texttt{\symbol{45}}(c): ``trivial'', (d): \texttt{n\texttt{\symbol{94}}perm \texttt{\symbol{45}} n} for determining the coefficients, (e): ``affine mappings by values at two given points'', (f) and (g): ``trivial'', (h) and (i): correspond to Lemma{\nobreakspace}2.1.4 in{\nobreakspace}\cite{Kohl05}, (j): uses a simple parser for the permitted expressions. 
\item[{ \texttt{RCWATestAll()}, {\nobreakspace} \texttt{RCWATestInstall()} }]  Just read in files running / containing the tests. 
\item[{ \texttt{RCWATestExamples()} }]  Runs the example tester from the \textsf{GAPDoc} package. 
\item[{ \texttt{RepresentativeAction(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape src}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape dest}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape act}})}, {\nobreakspace} \texttt{RepresentativeActionPreImage} }]  As described in the documentation of these methods. The underlying idea to
successively compute two balls around \mbox{\texttt{\mdseries\slshape src}} and \mbox{\texttt{\mdseries\slshape dest}} until they intersect non\texttt{\symbol{45}}trivially is standard in
computational group theory. Words standing for products of generators of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} are stored for every image of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape src}} or \mbox{\texttt{\mdseries\slshape dest}}. 
\item[{ \texttt{RepresentativeAction(RCWA(Integers),\mbox{\texttt{\mdseries\slshape P1}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape P2}})} }]  Arbitrary mapping: see Lemma{\nobreakspace}2.1.4 in{\nobreakspace}\cite{Kohl05}. Tame mapping: see proof of Theorem{\nobreakspace}2.8.9 in{\nobreakspace}\cite{Kohl05}. The former is almost trivial, while the latter is a bit complicated and
takes usually also much more time. 
\item[{ \texttt{RepresentativeAction(RCWA(Integers),\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}})} }]  The algorithm used by \texttt{IsConjugate} constructs actually also an element \texttt{x} such that \texttt{\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}}\texttt{\symbol{94}}x = \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}}}. 
\item[{ \texttt{RespectedPartition(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})}, {\nobreakspace} \texttt{RespectedPartition(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  There are presently two sophisticated algorithms implemented for finding
respected partitions. One of them has evolved from the algorithm described in
the proof of Theorem{\nobreakspace}2.5.8 in{\nobreakspace}\cite{Kohl05}. The other one starts with the coarsest partition of the base ring such that
every generator of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is affine on every part. This partition is then refined successively until a
respected partition is obtained. The refinement step is basically as follows:
Take the images of the partition under all generators of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. This way one obtains as many further partitions of the base ring as there
are generators of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. Then the ``new'' partition is the coarsest common refinement of all these partitions. 
\item[{ \texttt{RespectsPartition(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape P}})} }]  ``Straightforward''. 
\item[{ \texttt{RestrictedBall(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape r}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape modulusbound}})} }]  ``Straightforward''. 
\item[{ \texttt{RestrictedPerm(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape S}})} }]  ``Straightforward''. 
\item[{ \texttt{Restriction(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  Computes the action of \texttt{RightInverse(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}}) * g * f} on the image of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}}. 
\item[{ \texttt{Restriction(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  Gets a set of generators by applying \texttt{Restriction(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} to the generators \mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}} of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}. 
\item[{ \texttt{RightInverse(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  ``Straightforward'' if one knows how to compute images of residue classes under affine mappings,
and how to compute inverses of affine mappings. 
\item[{ \texttt{Root(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape k}})} }]  If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} is bijective, class\texttt{\symbol{45}}wise
order\texttt{\symbol{45}}preserving and has finite order: 

 Find a conjugate of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} which is a product of class transpositions. Slice cycles $\prod_{i=2}^l \tau_{r_1(m_1),r_i(m_i)}$ of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}} a respected partition $\mathcal{P}$ into cycles $\prod_{i=1}^l \prod_{j=0}^{k-1} \tau_{r_1(km_1),r_i+jm_i(km_i)}$ of the \mbox{\texttt{\mdseries\slshape k}}\texttt{\symbol{45}}fold length on the refined partition which one gets from $\mathcal{P}$ by decomposing any $r_i(m_i) \in \mathcal{P}$ into residue classes (mod{\nobreakspace}$km_i$). Finally conjugate the resulting permutation back. 

 Other cases seem to be more difficult and are currently not covered. 
\item[{ \texttt{RotationFactor(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{RunDemonstration(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape filename}})} }]  ``Trivial'' \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} only I/O operations. 
\item[{ \texttt{SemilocalizedRcwaMapping(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape pi}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{ShiftsDownOn(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})}, {\nobreakspace} \texttt{ShiftsUpOn(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  Straightforward coefficient\texttt{\symbol{45}} and residue class operations. 
\item[{ \texttt{ShortCycles(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape maxlng}})} }]  Looks for fixed points of affine partial mappings of powers of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}}. 
\item[{ \texttt{ShortCycles(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape S}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape maxlng}})}, {\nobreakspace} \texttt{ShortCycles(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape S}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape maxlng}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape maxn}})} }]  ``Straightforward''. 
\item[{ \texttt{ShortOrbits(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape S}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape maxlng}})}, {\nobreakspace} \texttt{ShortOrbits(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape S}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape maxlng}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape maxn}})} }]  ``Straightforward''. 
\item[{ \texttt{ShortResidueClassCycles(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape modulusbound}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape maxlng}})} }]  Different methods \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} see source code in \texttt{pkg/rcwa/lib/rcwamap.gi}. 
\item[{ \texttt{ShortResidueClassOrbits(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape modulusbound}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape maxlng}})} }]  Different methods \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} see source code in \texttt{pkg/rcwa/lib/rcwagrp.gi}. 
\item[{ \texttt{Sign(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}})} }]  Evaluation of the given expression. For the mathematical meaning
(epimorphism!), see Theorem{\nobreakspace}2.12.8 in{\nobreakspace}\cite{Kohl05}. 
\item[{ \texttt{Sinks(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  Computes the strongly connected components of the transition graph by the
function \texttt{STRONGLY{\textunderscore}CONNECTED{\textunderscore}COMPONENTS{\textunderscore}DIGRAPH}, and selects those which are proper subsets of their preimages and proper
supersets of their images under{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}}. 
\item[{ \texttt{Size(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} (order of an rcwa group) }]  Test whether one of the generators of the group{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} has infinite order. If so, return \texttt{infinity}. Test whether the group \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is tame. If not, return \texttt{infinity}. Test whether \texttt{RankOfKernelOfActionOnRespectedPartition(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} is nonzero. If so, return \texttt{infinity}. Otherwise if \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is class\texttt{\symbol{45}}wise order\texttt{\symbol{45}}preserving, return
the size of the permutation group induced on the stored respected partition.
If \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} is not class\texttt{\symbol{45}}wise order\texttt{\symbol{45}}preserving,
return the size of the permutation group induced on the refinement of the
stored respected partition which is obtained by splitting each residue class
into three residue classes with equal moduli. 
\item[{ \texttt{Size(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}})} (order of an rcwa monoid) }]  Check whether \mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}} is in fact an rcwa group. If so, use the method for rcwa groups instead. Check
whether one of the generators of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}} is surjective, but not injective. If so, return \texttt{infinity}. Check whether for all generators{\nobreakspace}$f$ of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}}, the image of the union of the loops of{\nobreakspace}$f$ under{\nobreakspace}$f$ is finite. If not, return \texttt{infinity}. Check whether one of the generators of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}} is bijective and has infinite order. If so, return \texttt{infinity}. Check whether one of the generators of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}} is wild. If so, return \texttt{infinity}. Apply the above criteria to the elements of the ball of
radius{\nobreakspace}2 around{\nobreakspace}1, and return \texttt{infinity} if appropriate. Finally attempt to compute the list of elements
of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape M}}. If this is successful, return the length of the resulting list. 
\item[{ \texttt{SmallGeneratingSet(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  Eliminates generators $g$ which can be found to be redundant \emph{easily}, i.e. by checking whether the balls about 1 and $g$ of some small radius $r$ in the group generated by all generators of \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} except for $g$ intersect nontrivially. 
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [6, 5) out of bounds for length 139
function \texttt{STRONGLY{\textunderscore}CONNECTED{\textunderscore}COMPONENTS{\textunderscore}DIGRAPH}, and selects those which are proper supersets of their preimages and proper
subsets of their images under{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}}. 
\item[{ \texttt{SparseRep(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})}, {\nobreakspace} \texttt{StandardRep(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  Straightforward coefficient operations. 
\item[{ \texttt{SplittedClassTransposition(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape ct}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape k}})} }]  ``Straightforward''. 
\item[{ \texttt{StructureDescription(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  This method uses a combination of techniques to obtain some basic information
on the structure of an rcwa group. The returned description reflects the way
the group has been built (\texttt{DirectProduct}, \texttt{WreathProduct}, etc.). 
\item[{ \texttt{\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}}+\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}}} }]  Pointwise addition of affine mappings. 
\item[{ \texttt{String(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape obj}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{Support(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}})} }]  ``Straightforward''. 
\item[{ \texttt{Trajectory(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape n}},...)} }]  Iterated application of an rcwa mapping. In the methods computing ``accumulated coefficients'', additionally composition of affine mappings. 
\item[{ \texttt{TransitionGraph(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}})} }]  ``Straightforward'' \texttt{\symbol{45}}\texttt{\symbol{45}} just check a sufficiently long
interval. 
\item[{ \texttt{TransitionMatrix(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape m}})} }]  Evaluation of the given expression. 
\item[{ \texttt{TransposedClasses(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape g}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{View(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  ``Trivial''. 
\item[{ \texttt{WreathProduct(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape P}})} }]  Uses \texttt{DirectProduct} to embed the \texttt{NrMovedPoints(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape P}})}th direct power of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}}, and \texttt{RcwaMapping}, Part{\nobreakspace}(d) to embed the finite permutation group{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape P}}. 
\item[{ \texttt{WreathProduct(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape Z}})} }]  Restricts \mbox{\texttt{\mdseries\slshape G}} to the residue class{\nobreakspace}3(4), and encodes the generator
of{\nobreakspace}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape Z}} as $\tau_{0(2),1(2)} \cdot \tau_{0(2),1(4)}$. It is used that the images of{\nobreakspace}3(4) under powers of this
mapping are pairwise disjoint residue classes. 
\item[{ \texttt{Zero(\mbox{\texttt{\mdseries\slshape f}})} }]  ``Trivial''. 
\end{description}


       
\chapter{\textcolor{Chapter }{Installation and Auxiliary Functions}}\label{ch:InstallationAndAuxiliaryFunctions}
\logpage{[ 9, 0, 0 ]}
\hyperdef{L}{X859F6BF88754E5CC}{}
{
   
\section{\textcolor{Chapter }{Requirements}}\label{sec:Requirements}
\logpage{[ 9, 1, 0 ]}
}}{
{
  This version of \textsf{RCWA} needs at least \textsf{GAP}{\nobreakspace}4.9.0 in 64\texttt{\symbol{45}}bit mode, \textsf{ResClasses}{\nobreakspace}4.7.0, \textsf{GRAPE}{\nobreakspace}4.7{\nobreakspace}\cite{GRAPE}, \textsf{Polycyclic}{\nobreakspace}2.11{\nobreakspace}\cite{Polycyclic}, \textsf{FR}{\nobreakspace}2.2.1{\nobreakspace}\cite{FR}, \textsf{GAPDoc}{\nobreakspace}1.5.1{\nobreakspace}\cite{GAPDoc}, and \textsf{Utils}{\nobreakspace}0.40{\nobreakspace}\cite{Utils}. With possible exception of the most recent version of java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 531 out of bounds for length 70
up\texttt{\symbol{45}}to\texttt{\symbol{45}}date standard \textsf{GAP} installation. The \textsf{RCWA} package is completely written in the \textsf{GAP} language and can be used on all platforms for which \textsf{GAP} is available. }

  
\section{\textcolor{Chapter }{Installation}}\label{sec:Installation}
\logpage{[ 9, 2, 0 ]}
\hyperdef{L}{X8360C04082558A12}{}
{
  Like any other \textsf{GAP} package, \textsf{RCWA} is usually installed in the \texttt{pkg} subdirectory of the \textsf{GAP} distribution. This is accomplished by extracting the distribution file in this
directory. If you have done this, you can load the package as usual via \texttt{LoadPackage( "rcwa" );}. }

  
\section{\textcolor{Chapter }{The testing routines}}\label{sec:TheTestingRoutines}
\logpage{[ 9, 3, 0 ]}
\hyperdef{L}{X865D6A49826B92EC}{}
{
  

\subsection{\textcolor{Chapter }{RCWATestInstall}}
\logpage{[ 9, 3, 1 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X8314E1597BF1555B}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{RCWATestInstall({\mdseries\slshape })\index{RCWATestInstall@\texttt{RCWATestInstall}}
\label{RCWATestInstall}
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 \texttt{true} if no errors were found, and \texttt{false} otherwise. 



 Performs a nontrivial computation to check whether an installation of \textsf{RCWA} appears to work. Errors, i.e. differences to the correct results of the test
computation, are reported. The processed test file is \texttt{pkg/rcwa/tst/testinstall.tst}. }

 

\subsection{\textcolor{Chapter }{RCWATestAll}}
\logpage{[ 9, 3, 2 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X877DDD787E4ABDC2}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{RCWATestAll({\mdseries\slshape })\index{RCWATestAll@\texttt{RCWATestAll}}
\label{RCWATestAll}
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 \texttt{true} if no errors were found, and \texttt{false} otherwise. 



 Runs the full test suite of the \textsf{RCWA} package. Any differences to the supposed results of the test computations are
reported. The processed test files are in the \texttt{tst} subdirectory of the package directory. 

 Please note that the test suite is a tool for developing. The tests are
deliberately very volatile to allow to spot possible problems of any kind also
in other packages or in the \textsf{GAP} Library. For this reason you may see reports of differences which simply
reflect improved methods in other packages or in the \textsf{GAP} Library (for example an object may already know more of its attributes or
properties than it is expected to, or an object may be represented in a better
way), or which are caused by changes of the way certain objects are printed,
and which are therefore harmless. However if the correct and the actual output
look different mathematically or if you see error messages or if \textsf{GAP} crashes, then something went wrong. Also, reports about significantly
increased run times of individual commands as well as run times of test files
which are much longer than the predicted times shown may indicate a problem. }

 

\subsection{\textcolor{Chapter }{RCWATestExamples}}
\logpage{[ 9, 3, 3 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X799793987AA3F34C}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{RCWATestExamples({\mdseries\slshape })\index{RCWATestExamples@\texttt{RCWATestExamples}}
\label{RCWATestExamples}
}\hfill{\scriptsize (function)}}\\
\textbf{\indent Returns:\ }
 nothing. 



 Runs all examples in the manual of the \textsf{RCWA} package, and reports any differences between the actual output and the output
printed in the manual. }

 }

  
\section{\textcolor{Chapter }{The Info class of the package}}\label{sec:TheInfoClass}
\logpage{[ 9, 4, 0 ]}
\hyperdef{L}{X7A31FA44791E93C5}{}
{
  

\subsection{\textcolor{Chapter }{InfoRCWA}}
\logpage{[ 9, 4, 1 ]}\nobreak
\hyperdef{L}{X7BAF5F4986288983}{}
{\noindent\textcolor{FuncColor}{$\triangleright$\enspace\texttt{InfoRCWA\index{InfoRCWA@\texttt{InfoRCWA}}
\label{InfoRCWA}
\scriptsize(nfo class)}\\


 This is the Info class of the \textsf{RCWA} package. See section \emph{Info Functions} in the \textsf{GAP} Reference Manual for a description of the Info mechanism. For convenience: \texttt{RCWAInfo(}\mbox{\texttt{\mdseries\slshape n}}\texttt{)} is a shorthand for \texttt{SetInfoLevel(InfoRCWA},\mbox{\texttt{\mdseries\slshape n}}\texttt{)}. \index{RCWAInfo@\texttt{RCWAInfo}} }

 }

  }

  \def\bibname{References\logpage{[ "Bib", 0, 0 ]}
\hyperdef{L}{X7A6F98FD85F02BFE}{}
}

\bibliographystyle{alpha}
\bibliography{rcwabib.xml}

\addcontentsline{toc}{chapter}{References}

\def\indexname{Index\logpage{[ "Ind", 0, 0 ]}
\hyperdef{L}{X83A0356F839C696F}{}
}

\cleardoublepage
\phantomsection
\addcontentsline{toc}{chapter}{Index}


\printindex

\immediate\write\pagenrlog{["Ind", 0, 0], \arabic{page},}
\newpage
\mmediate\write\agenrlog{"nd",\rabic{};java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 52 out of bounds for length 52
\immediate\closeout\pagenrlog
\end{document}