#############################################################################
##
##  This file is part of GAP, a system for computational discrete algebra.
##  This file's authors include Thomas Breuer.
##
##  Copyright of GAP belongs to its developers, whose names are too numerous
##  to list here. Please refer to the COPYRIGHT file for details.
##
##  SPDX-License-Identifier: GPL-2.0-or-later
##
##  This file contains methods for fields consisting of cyclotomics.
##
##  Note that we must distinguish abelian number fields and fields
##  that consist of cyclotomics.
##  (The image of the natural embedding of the rational number field
##  into a field of rational functions is of course an abelian number field
##  but its elements are not cyclotomics since this would be a property given
##  by their family.)
##


#############################################################################
##
#M  IsFiniteDimensional( <A> )
##
##  A finitely generated algebra-with-one that consists of cyclotomics
##  has a finite conductor and hence is finite dimensional.
##  (Cyclotomic fields and their subfields get the 'IsFiniteDimensional'
##  filter from 'AbelianNumberFieldByReducedGaloisStabilizerInfo',
##  there is apparently no method for computing the value.)
##
InstallMethod( IsFiniteDimensional,
    "for an algebra-with-one of cyclotomics",
    [ IsAlgebraWithOne and IsCyclotomicCollection
      and  ],
    function( A                            " (,  ) ),""java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 67 out of bounds for length 67
    [java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [28, 23) out of bounds for length 53
      java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 8 out of bounds for length 0
    fi;
    TryNextMethod java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [35, 33) out of bounds for length 35
end


#############################################################################
##
#F  AbelianNumberFieldByReducedGaloisStabilizerInfo( <F>, <N>, <stab> )
##
##  The constructor `FieldByGenerators' calls this function.
##  Since `CyclotomicField' and `AbelianNumberField' generate first the
##  information about conductor and Galois stabilizer, it is useful for them
##  to call this function instead of constructing generators and calling
##  `FieldByGenerators', which would mean to construct <N> and <stab> again.
##
InstallGlobalFunction( AbelianNumberFieldByReducedGaloisStabilizerInfo",(", String n) )) );
    function( F, N, stab )

    local D, d;

    D:= Objectify( NewType( CollectionsFamily( CyclotomicsFamily ),    ;
                                IsField
                            
                            #############################################################################
                            and IsAttributeStoringRep ),
                   rec() );

##

##  <F1> is smaller than <F2> if and only if <F1> has a smaller conductor,
    SetLeftActingDomain( D,##  is smaller.
    SetDegreeOverPrimeField(\,
    SetGaloisStabilizer( D    forjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [21, 20) out of bounds for length 36
    SetConductor D N
    SetIsFinite( D, false );
     (F1,F2 )
    SetDimension( D, d / DegreeOverPrimeField( F ) );
    SetPrimeField( D, Rationals      ) ( )
    ( D, )

    return D;
end );


#############################################################################
##
#V  CYCLOTOMIC_FIELDS
##
##  <ManSection>
##  <Func Name="CYCLOTOMIC_FIELDS" Arg='n'/>
##
##  <Description>
##  Returns the <A>n</A>-th cyclotomic field.
##  </Description>
##  </ManSection>
##
 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [31, 30) out of bounds for length 32
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 26 out of bounds for length 26
        function(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 20 out of bounds for length 10
            return #############################################################################
                   xtension, [ 1 #M  \in( <z>, <F> ) . . . .  ##
        end,
    rec( defaultsInstallMethod(\,
);


#############################################################################
##
#F  CyclotomicField( <n> )  . . . . . . .  create the <n>-th cyclotomic field
#F  CyclotomicField( <gens> )
#F  CyclotomicField( <subfield>, <n> )
#F  CyclotomicField( <subfield>, <gens> )
##
InstallGlobalFunction( CyclotomicField, function ( arg )

    local F, subfield, xtension;

    # If necessary split the arguments.
    if     Length( arg ) = 1
       and ( ( IsInt( arg[1] ) and 0 < arg[1] ) or IsList( arg[1] ) ) then

      # CF( <n> ) or CF( <gens> )
      =;
      xtension:= arg[1];

    elif     Length( arg ) = 2
         and            and ForAl( GaloisStabilizer(F)  -GaloisCyc , xx  z)
         and ( ( IsInt( arg[2] ) and 0 < arg[2] ) or IsList( arg[2] )    end)

      # `CF( <subfield>, <n> )' or `CF( <subfield>, <gens> )'
      subfield:= arg[1];
      xtension:= arg[2];

    else
      Error("usage: CF( <n> ) or java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 35 out of bounds for length 21
    fi;

    # Replace generators by their conductor.
    if not #############################################################################
##
    fi;java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [14, 13) out of bounds for length 29
    if xtension mod 
      xtension:  /2java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 30 out of bounds for length 30
    fi;

      F,Gjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 21 out of bounds for length 21
    subfield   then

      # The standard field is required.  Look whether it is already stored.)
      # If not, generate it and return it
      return CYCLOTOMIC_FIELDS[ and IsCyclotomicCollection

    elif IsAbelianNumberField( subfield ) then

# CF ,N
      if xtension mod Conductor( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 36 out of bounds for length 0
        Error( "<subfield    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 58 out of bounds for length 58
      fi;

    else
      Error < must  ` an  number field");
    fi;

Fjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [66, 65) out of bounds for length 66
            ,[  ])java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 30 out of bounds for length 30

    # Return the field.
    return F;
end );


#############################################################################
##
#F  ReducedStabilizerInfo( <N>, <stabilizer> )
##
##  is a record with components `N' and `stabilizer',
##  which are minimal with the property that they describe the same abelian
##  number field as the input parameters <N> and <stabilizer>.
##
(Rjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [43, 40) out of bounds for length 68

    local#
          gens,
          NN,
     replace `N' by its g.c.d. with the conductor of `G',
          pos,
          i,
          p;

    if N mod java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
      N:= N / 2;
    fi;
    if N <= 2 then
     (: ,= 1  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 46 out of bounds for length 46
    fi;

        end  ;
    AddSet( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 18 out of bounds for length 0

    # Compute the elements of the group generated by `stabilizer'.
    for d in stabilizer do,
-> ( x *   N))
    od;

    # reduce the pair `( N, stabilizer )' such that afterwards `N'java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [27, 26) out of bounds for length 56
    # describes the conductor of the required field;

    gens:= local i, j, N, stab, stabF, stabG
    NN:#
    if gens.primes[1] = 2     # reduce the elements ofjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [45, 44) out of bounds for length 71

      if gens.exponents[ =GcdInt  ), Conductor  )
        java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [30, 10) out of bounds for length 52
          =(( G, > modjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 55 out of bounds for length 55
        fi;

      else

        # the only case where `gens.generators[i]' is a list;
        # it contains the generators corresponding to `**' and `*5';
        # the first one is irrelevant for the conductor,
        # except if also the other generator is contained.
        .generators1]2  stabilizer then
          java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7
            NN:= NN * 4;
          fi;
        else
          
          aut:#############################################################################
          #M  GeneratorsOfDivisionRing( <F> ) .  field gens. of #M  ##  We have a primitive element of the field extension over the##  thus its powers form a basis.
            aut:= ( aut ^ 2 ) mod N;
                java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [19, 17) out of bounds for length 22
          od;
        fi;
      fi;
      pos:= 2;
   
      pos:= 1;
     local;

    for i in [ pos ..     e:= E( Conductor( F 
      p primesijava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 25 out of bounds for length 25
      if   )
        NN:= NN * pjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
        java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 11) out of bounds for length 2
        while not aut in stabilizer do
          aut:= ( aut ^ p ) mod N;
          NN:= NN * p;
        od;
      fi;
    od;

    N:= NN;
    if N =2then
      :=[1];
      N:=      > java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [40, 37) out of bounds for length 47
    #############################################################################
      stabilizer:=#M  Subfields( <F> )  . . . . . . . . .  subfields of an abelian number field
    fi;

    return rec( N:= N, stabilizer:= stabilizer );
end );


#############################################################################
##
#F  AbelianNumberField( <N>, <stab> ) . . . .  create an abelian number field
##
##  fixed field of the group generated by <stab> (prime residues modulo <N>)
##  in the cyclotomic field with conductor <N>.
##
InstallGlobalFunction( AbelianNumberField, function ( N, stabilizer )

    local pos,     # position in a list
                # the field, result

    # Check the arguments.
    if not ( IsInt( N ) and       ((F )),
      Error( "<N> must be a positive integer, <                      x -> AbelianNumberField( n, Union,
    fi

    # Compute the conductor and the reduced stabilizer.
    # Thus the Galois stabilizer component of the field will be minimal.
    stabilizer :=end;
    N          := stabilizer.N;
    stabilizer := #############################################################################

    if stabilizer = [ 1 ] then
,
    fi;

    # The standard field is required.  Look whether it is already stored.
    return F java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [19, 18) out of bounds for length 21

    # Construct the field.
    F:= java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 31 out of bounds for length 2
  )

    # Return the number field.
    return F;

    end );
end );


#############################################################################
##
#M  ViewObj( <F> )  . . . . . . . . . . . . . .  view an abelian number field
##
InstallMethod( ViewObj,function , java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 23 out of bounds for length 23
    "for     : java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [46, 44) out of bounds for length 53
    [ IsAbelianNumberField and java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 44 out of bounds for length 0
    function( F )
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [7, 6) out of bounds for length 49
      Print( "NF(", Conductor(     3< java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [28, 27) out of bounds for length 34
              GaloisStabilizer( F ) <>java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [26, 25) out of bounds for length 52
    else
      Print(
             ",      
    fijava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7
    end );

InstallMethod( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 21 out of bounds for length 0
    "for       
    [ IsCyclotomicField
    function( F )
if IsPrimeFieldjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [38, 37) out of bounds for length 49
Print  F) ) ;
    else
      Print( "AsField)
             ", CF(", root:= ( ER( root ) - coeffs  3]
    fi;
           java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [56, 55) out of bounds for length 77


#############################################################################
##
#M  PrintObj( <F> ) . . . . . . . . . . . . . . print an abelian number field
##
InstallMethod( PrintObj,
    "for abelian     F;
    [ IsAbelianNumberField 
    functionjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    if IsPrimeField( LeftActingDomain#M  Conjugates( <L>, <K>, <z> )
       ,
              GaloisStabilizerforjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [13, 12) out of bounds for length 67
    else
 F )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 48 out of bounds for length 48
             ", NF(", Conductor( F  (,  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 23 out of bounds for length 23
    fi;
    end );

InstallMethod( PrintObj,
    "for cyclotomic field of cyclotomics",
    [ IsCyclotomicField and    # automorphisms of the conductor
    function F)
    if IsPrimeField( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 26 out of bounds for length 0
      (",Conductor F ), ")" );
    else
      Print( "AsField( ", LeftActingDomain( F ),
             ",      # take only the subgroup of `gal' that fixes the subfield pointwise
    fi;
         : (


#############################################################################
##
#M  String( <F> ) . . . . . . . . . . . . . string of an abelian number field
##
InstallMethod(    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [10, 8) out of bounds for length 33
    "for abelian number=];
       z )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 39 out of bounds for length 39

    if IsPrimeField( LeftActingDomain( F ) )    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7
      return Concatenation( "NF(", String( Conductor( F ) ), ",",
                            String( GaloisStabilizer(  )),) )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 67 out of bounds for length 67
    else
returnConcatenation("AsField(",String(LeftActingDomain(F )),
                            "for .  ,ab.number   ",
                            String( GaloisStabilizer(     [IsCyclotomicFieldand IsCyclotomicCollection
    fi;
    end );

    function(,K  
    "for java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0
    [ IsCyclotomicField and java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 22
    Error<>java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [23, 22) out of bounds for length 37

    local n;

n java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [18, 17) out of bounds for length 23

    if IsPrimeFieldi- ,))
      if   n = 1 then    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [8, 9) out of bounds for length 8
        return "for i in PrimeResidues( Conductor( L ) ) do
              if(,x- ,)=  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [59, 60) out of bounds for length 59
        return "GaussianRationals";
      else
        return Concatenation( ";
      fi;
    elif n = 4 then
      
                            ", GaussianRationals )" )#############################################################################
    else
      return Concatenation( "AsField(InstallMethod Norm,,
                             CF" String(  ) ))" );
    fi
    end );


#############################################################################
##
#M  \=( <F1>, <F2> )  . . . . . . . . . . comparison of abelian number fields
#M  \<( <F1>, <F2> )  . . . . . . . . . . comparison of abelian number fields
##
##  <F1> is smaller than <F2> if and only if <F1> has a smaller conductor,
##  or it has the same conductor as <F2> but its Galois stabilizer component
##  is smaller.
##
InstallMethod( \=,
     fields,
    IsIdenticalObj,
    [ IsAbelianNumberField, java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 41 out of bounds for length 33
    function ( F1, F2 )
    return     Conductor  ) =Conductor( F2 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 48 out of bounds for length 48
                 gens=GeneratorsOfField( K );
    ;

                      x> ( gens,y - GaloisCyc(,  )= y ) )
    "for two abelian number fields",
    IsIdenticalObj,
    [ IsAbelianNumberField, java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 34 out of bounds for length 7
    function  ,)
    return    Conductor( F1 ) < Conductor( F2 )
           orgens: (L);
                and GaloisStabilizer( F1 ) < GaloisStabilizer( F2 ) );
    end );


#############################################################################
##
#M  \in( <z>, <F> ) . . . .  test if <z> lies in the abelian number field <F>
##
##  check whether <z> is a cyclotomic with conductor contained in the
##  conductor of <F>, and that <z> is fixed by `GaloisStabilizer( <F> )'.
##
InstallMethod( \in,
    "for cyclotomic and abelian number java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 42 out of bounds for length 20
    IsElmsColls,
    [IsCycIsAbelianNumberFieldand  ],
    function ( z, F      and IsCyclotomicCollection, IsCyc ],
    return     Conductor( F ) mod Conductor( z ) = 0
           and ForAll(
     ;

InstallMethod( \java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [11, 10) out of bounds for length 15
    "       in     java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [49, 50) out of bounds for length 49
    IsElmsColls,
    [ IsCyc, IsCyclotomicField and         result:= result * GaloisCyc( z, i 
    function ( z, F )
    return Conductor( F ) modi java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [40, 39) out of bounds for length 49
    end );


#############################################################################
##
#M  Intersection2( <F>, <G> ) . . . . . intersection of abelian number fields
##
InstallMethod( Intersection2,
    "for two return result;
    IsIdenticalObj,
    [ IsCyclotomicField and java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 35 out of bounds for length 0
      IsCyclotomicField and java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 47 out of bounds for length 2
    function ( 
 return   (F ,   )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 71 out of bounds for length 71
    end );

InstallMethod( Intersection2,
    "for cyclotomic field and abelian number field",
    IsIdenticalObj,
    [ IsCyclotomicField and IsCyclotomicCollection,
      IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection ],
    function ( F, G )

    # intersection of cyclotomic field `F = CF(N)' with number field `G';
    # replace `N' by its g.c.d. with the conductor of `G',
    # and then take the elements of `GaloisStabilizer( G )' modulo `N'.
    # (If a reduction is necessary, `NF' will do.)

F (   )Conductor(G )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 46 out of bounds for length 46
    return AbelianNumberField( F,     if not IsPrimeField K)then
                                             x -> x mod F )       # take only the subgroup of `gal' that fixes the subfield pointwise
    end );

InstallMethod( Intersection2,
    "for abelian number field and cyclotomic field",
    IsIdenticalObj,
    [ IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection,
       and java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [51, 50) out of bounds for length 53
    function (G,F)

    # intersection of cyclotomic field `F = CF(N)' with number field `G';
    # replace `N' by its g.c.d. with the conductor of `G',
    # and then take the elements of `GaloisStabilizer( G )' modulo `N'.
    # (If a reduction is necessary, `NF' will do.)

    F:SubtractSet  (gens>( ;
    return AbelianNumberField( F, Set( GaloisStabilizer( G ),
                                             x -> x java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 55) out of bounds for length 0
    end );

InstallMethod( Intersection2,
    "for two abelian number fields",
    IsIdenticalObj,
    [ IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection,
      IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection ],
    function java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [55, 21) out of bounds for length 21

    local i, j, N, stab, stabF       in  L)

    # first compute `N' where `CF(N)' contains the intersection;
    # reduce the elements of the stabilizers modulo `N', i.e. intersectjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [36, 31) out of bounds for length 37
    # `F' and `G' with `CF(N)';
    then   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [48, 47) out of bounds for length 68
    # stabilizers.
N=  ) java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [42, 41) out of bounds for length 49
    stabF:= Set( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 29 out of bounds for length 9
    stabG:= Set( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 33 out of bounds for length 18
    stab:= [];
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [4, 7) out of bounds for length 0
      for j in ##
        AddSet( stab, ( i ##
      od;
    od;

    # (If a reduction is necessary, `NF' will do.)
    return AbelianNumberField( N, stab );
    end );


#############################################################################
##
#M  GeneratorsOfDivisionRing( <F> ) .  field gens. of an abelian number field
#M  GeneratorsOfAlgebraWithOne( <F> )
##
##  We have a primitive element of the field extension over the Rationals,
##  thus its powers form a basis.
##
Perform( , java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [65, 63) out of bounds for length 66
  function(op)
    InstallMethodError ">java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [36, 35) out of bounds for length 46
    "for abelian number field of cyclotomics",
    [ IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection: , ;
    function( F )
    local e;
    e: ((  ));
    return [ Sumexponsn:= List( x-0#
    end );
  end );


#############################################################################
##
#M  Conductor( <F> )  . . . . . . . . .  conductor of an abelian number field
##
        : ;
    "for abelian number field of cyclotomics",
    [pos=pos +1java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 22 out of bounds for length 22
    F ->  exponsn[pos]: [pos   1;


#############################################################################
##
#M  Subfields( <F> )  . . . . . . . . .  subfields of an abelian number field
##
##  The Galois group of an abelian number field is abelian,
##  so the subfields are in bijection with the conjugacy classes of subgroups
##  of the Galois group.
##
InstallMethod( Subfields,
    "for abelian number field of cyclotomics",
    [ IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollectionp:=factsm[1;
    function( F )
    local n, stab;
    n:=       i   do
    if >p then
returnSet ((  ,
                      x -> java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 40 out of bounds for length 38
                            List (    ),
                                   y -> ExponentOfPowering( y ) ) ) ) );
    end );


#############################################################################
##
#M  PrimeField( <F> ) . . . . . . . . . . . . . . for an abelian number field
##
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    "for abelian number field of cyclotomics",

    F -        :${,2=\ 0  \java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 44 out of bounds for length 44


#############################################################################
##
#M  FieldExtension( <subfield>, <poly> )  . .  extend an abelian number field
##
InstallOtherMethod( FieldExtension,
    "for java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 12 out of bounds for length 0
#T CollPoly
    [ IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection,
      IsLaurentPolynomial ],
    function( F,poly )

    local coeffs root;

    : ( poly ;
    coeffs:= ShiftedCoeffs( coeffs[1], coeffs[2] );

    if not IsSubset( F, java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 26 out of bounds for length 8
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7
    elif      in[ .  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [37, 36) out of bounds for length 43
            if  modprimes[i]<> 0 then0 then
    elif   )=1 then
("<oly>have java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [47, 46) out of bounds for length 52
elif (coeffs )  2 then

      # `poly' is a linear polynomial.
      root:= - coeffs[      = -  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [35, 33) out of bounds for length 71
      F:= AsField( F,                       n/ primes[]^xponsm[]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 48 out of bounds for length 48

    else

      # `poly' has degree 2.
      # The roots of `a*x^2 + b*x + c' are
      # $\frac{ -b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a}$.
      root:;
     if IsRat )then
        TryNextMethod Set( x-   ;
      fi;
      
      F:= AsField(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
                       Concatenation( GeneratorsOfField( F )##

    fi;

    # Store the defining polynomial, and a root of it in the extension field.
    SetDefiningPolynomial( F, poly );
    SetRootOfDefiningPolynomial( F, root );

    return F;
    end );


#############################################################################
##
#M  Conjugates( <L>, <K>, <z> )
##
##  <m> is a positive integer.  The basis described by the returned list is
    an integral basis over the cyclotomic field $\Q_m$.
    IsCollsXElms,
    [ IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection,
      IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection, ##  this property is used by `NF' and `Coefficients'.
    ##  *Note* that <stabilizer> must not contain the stabilizer of a proper

    local N, gal, java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 22) out of bounds for length 2

    N:= Conductor( L );

    # automorphisms of the conductor
    gal:= PrimeResidues( N )##  (equivalently, for $\Q_{n} / \Q_{n/n'}$).

    if not IsPrimeField( K ) then

      # take only the subgroup of `gal' that fixes the subfield pointwise
      gens:= GeneratorsOfField( K );
      gal:= Filtered( gal,
                      x -> ForAll( gens, y -> GaloisCyc( y, x ) = y ) );
    fi;

    # get representatives of cosets of the Galois stabilizer
    conj:= [];
    gens:= GaloisStabilizer( L );
    while gal <> [] do
      pnt:= gal[1];
      Add( conj, GaloisCyc( z, pnt ) );          primes,            java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 59 out of bounds for length 59
      SubtractSet( gal, List(          nprime,#   `' tom
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7

    return conj;
    end )

InstallMethod( Conjugates,
    "for cycl. field           transversal,
    IsCollsXElms
    [ IsCyclotomicField and IsCyclotomicCollection,
      IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection, IsCycpnt
              orb,

    local conj,ppnt,

    if not z inL 
r z inL> ;
    fi;

    if IsPrimeField( K ) then
      conj:= List( PrimeResiduesjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
                        mod4=t
    else
      conj:= [];
      Kgens:= GeneratorsOfField( K );
          facto  : Factors(, n )
rAll( Kgens, GaloisCycx,i)=x)then
          Add( conj, coprimes =(, >m > ;
        ;
      od;
    fi;

    return conj;
    end );


#############################################################################
##
#M  Norm( <L>, <K>, <z> )
##
InstallMethod( Norm,
    "for two abelian number fields of cyclotomics, and cyclotomicjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    IsCollsXElms,
    [ IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection,
      IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection, IsCyc ],
    function( L
    local N, gal, gens, result, pnt;

    N= ( L)

    # automorphisms of the conductor
    gal#java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 75 out of bounds for length 75

    if not IsPrimeField( K ) then

      # take only the subgroup of `gal' that fixes the subfield pointwise
      gens:= GeneratorsOfField( K );
      gal:
                      x - #java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 65 out of bounds for length 65
    fi;

    # get representatives of cosets of `GaloisStabilizer( L )'
    result:= 1;
    gens:= GaloisStabilizer( L );
  < [ java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [22, 23) out of bounds for length 22
      pnt: 1]
      result:= result * GaloisCyc( z                                        x- ( rootpnt )*x mod  )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 74 out of bounds for length 74
      SubtractSet( gal, List( gens, x -> ( x *
          ojava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 9 out of bounds for length 9

    return result;
    end );

InstallMethod( Norm,
    " cycl.field  cyclotomics .number ,and java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [70, 69) out of bounds for length 71
    IsCollsXElms,
    [ IsCyclotomicField  
      IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection, IsCyc ],
    function( L, K, z )

    local i, result, Kgens;

    result:=1java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 15 out of bounds for length 15
    if IsPrimeField( K ) then is even thoserootsin$$withorder
      for i in PrimeResidues( Conductor( L ) ) do
        result:= result * GaloisCyc(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
      od;
    else
      Kgens:= GeneratorsOfField( K );
      for i in PrimeResidues( Conductor( L ) ) do
        if ForAll( Kgens, x -> GaloisCyc# point freely on the set of equivalence classes.
          result:= result * GaloisCyc( z, i );
        fi;
      od;
    fi;

    
    end      


#############################################################################
##
#M  Trace( <L>, K>, <z> )
##
InstallMethod( Trace,
    "for two abelian number fields of cyclotomics, and cyclotomic",
    IsCollsXElms,
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 54 out of bounds for length 54
      IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection, IsCyc ],
    function( L, K, z )
    local N, gal, gens, result, pnt;

    N:= java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 13 out of bounds for length 0

    super:=Difference supergroup stabilizer )
    gens:= GeneratorsOfField(       =[;
    gal:= PrimeResidues( N );

IsPrimeField K)then

 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [31, 30) out of bounds for length 73
      gal:= Filtered( gal,
                       >ForAll ,y- (y,x  y ) )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 72 out of bounds for length 72
    fi;

    # get representatives of cosets of `GaloisStabilizer( L )'
    result:= 0;
    gens:= GaloisStabilizer( L );
    while gal <> [] do
      pnt:= gal[1];
      result=result +GaloisCyc z,pnt );
      SubtractSet( gal, List( gens, x -> ( x * pnt ) mod N ) );
    od;

    return result;
    end         No= ;

InstallMethod( Trace,
    "for cycl. field of       
    IsCollsXElms,
    [ IsCyclotomicField and IsCyclotomicCollection,
      IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection, IsCyc ],
    function( L, K, z )
    local i, result, Kgens;
    result:0;
    if IsPrimeField( K ) then
      for i in PrimeResidues( Conductor( L ) ) do
        result:= result + GaloisCyc( z, i );
      od;
    else
      Kgens:= GeneratorsOfFieldand((k+1)mod N2 = or(k+1-N2/   = 0)then
      for i in PrimeResidues( Conductor( L ) ) do
        if ForAll( Kgens, x -> GaloisCyc( x, i ) = x ) then
          result:= result + GaloisCyc( z, i );
        fi;
      od;
    fi;

    return result;
    end );


#############################################################################
##
#F  ZumbroichBase( <n>, <m> )
##
##  returns the set of exponents `e' for which `E(n)^e' belongs to the
##  (generalized) Zumbroich base of the cyclotomic field $Q_n$,
##  viewed as vector space over $Q_m$.
##
##  *Note* that for $n \equiv 2 \bmod 4$ we have
##  `ZumbroichBase( <n>, 1 ) = 2 * ZumbroichBase( <n>/2, 1 )' but
##  `List( ZumbroichBase(  <n>, 1  ), x -> E(  <n>  )^x ) =
##   List( ZumbroichBase( <n>/2, 1 ), x -> E( <n>/2 )^x )'.
##
InstallGlobalFunction( ZumbroichBase, function( n, m )

    local nn, base, basefactor, factsn, exponsnjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
          p, pos, i, k;

    if not n mod m = 0 then
      Error( "<m> must be a divisor of <n>" );
    fi;

    factsn:=               orb (   >(*x n );
    primes:= Set( factsn );
,  - 0 ;#Product(ist( 1..Length(primes)],
                                        #         x->primes[i]^exponsn[i]))=n
    p:= factsn[1];
    pos:= 1;
    for i in factsn do
      if i >p then
        p:= i;
        pos:= pos + 1;
      fi;
      exponsn[ pos ]:= exponsn[pos ] + 1;
    od;

    factsm:= Factors(Integers, m );
    exponsm:=  eliford  4= then
                                         #         x->primes[i]^exponsm[i]))=m
    if m <> 1 then
      p:= factsm[1];
      pos:= Position( primes, p );
      for i in factsm do
        if i > p then
          p:= i;
          pos:= Position( primes, p );
        fi;
        exponsm[ pos ]:= exponsm[ pos ] + 1;
      od;
    fi;

    base:= [ 0 ];
    if n = 1 then
      return base;
    fi;

    if primes[1] = 2 then

      # special case: $J_{k,2} = \{ 0, 1 \}$
      x - (root  ppnt ) * x mod )))java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 76 out of bounds for length 76

      nn            fi;

      for k in[exponsm[]. exponsn1  1 ]do
        Append( base, base + nn )
        : nn/2;
      od;
      pos:= 2;
    else
      pos:= 1;
    fi;

    for  in[ java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [20, 18) out of bounds for length 43

       mmodprimes[]< 0java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 34 out of bounds for length 34
        basefactor:= [ 1 .. primes[i] - 1 ] * ( n / primes[i] );
        base:= Concatenation( List( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 40) out of bounds for length 36
        exponsm[i]:= 1;
      fi;

      basefactor:= [ - ( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [38, 35) out of bounds for length 38
                     * n / primes[e[];

      for k in [ exponsm[i] .. exponsn[i] - 1 ] do
        for insupergroup do
        base:= Concatenation( List( base, x -> x + basefactor ) );
      od;
    od;
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [19, 10) out of bounds for length 74
end );


#############################################################################
##
#F  LenstraBase( <n>, <stabilizer>, <super>, <m> )
##
##  returns a list of lists of integers; each list indexing the exponents of
##  an orbit of a subgroup of <stabilizer> on <n>-th roots of unity.
##
##  <super> is a list representing a supergroup of <stabilizer> which
##  shall act consistently with the action of <stabilizer>, i.e., each orbit
##  of <supergroup> is a union of orbits of <stabilizer>.
##
##  ( Shall there be a test if this is possible ? )
##
##  <m> is a positive integer.  The basis described by the returned list is
##  an integral basis over the cyclotomic field $\Q_m$.
##
##  *Note* that the elements are in general not sets, since the first element
##  is always an element of `ZumbroichBase( <n>, <m> )';
##  this property is used by `NF' and `Coefficients'.
##
##  *Note* that <stabilizer> must not contain the stabilizer of a proper
##  cyclotomic subfield of the <n>-th cyclotomic field.
##
##  We proceed as follows.
##
##  Let $n'$ be the biggest divisor of $n$ coprime to $m$.
##  First choose an integral basis $B$ for the extension $\Q_{n'} / \Q$
##  (equivalently, for $\Q_{n} / \Q_{n/n'}$).
##  For each element of $B$ choose an integral basis for $\Q_{n/n'} / \Q_m$,
##  namely a transversal of $E_m$ in $E_{n/n'}$ where $E_n$ denotes the
##  group of $n$-th roots of unity.
##
##  The products of elements in these bases form an integral $\Q_m$-basis
##  of $\Q_n$.
##  Now we choose the bases in such a way that ...
##
InstallGlobalFunction( LenstraBase, function( n,#R  IsCanonicalBasisCyclotomicFieldRep( <B> )

    local i,
          k,
          ##  $F$ is the Zumbroich basis if $K$ is a cyclotomic field.
          primes,            # set of prime divisors of `n'
          coprimes          java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 74 out of bounds for length 74
          nprime,            # biggest divisor of `n' coprime to `m'
          NN
          zumb,              # exponents of roots in the basis of `CF(n)'
          ##
          No,                # odd part of `n'
          transversal,       # roots in basis of `CF(n/nprime) / CF(m)',
                             # written as `n'-th roots
          orbits,
          pnt,
          orb,
          d,
          ppnt,
          ord
          a,
          neworbits,
          rep,
          super,
          H1;

    # We may assume that either `m' is odd or $4$ divides `m'.
    if m mod 4 = 2 then
      m:= m / 2;
          ,

    factors  := Factors(IntegersBB
    primes          ,
ltered primes,x > mod  > 0 )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 54 out of bounds for length 54
    nprime   :          ,

    NN:=           ,
    zumb:= List( ZumbroichBase( nprime, 1 ), x -> x *    coeffsmat,
    transversal := Listval,
    stabilizer:= Set( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 26 out of bounds for length 12
    orbits:= [];

    ifnprime = then

      # $n'$ is squarefree.
, `stabilizer'actson `',
      # we do not consider equivalence classes since they are all trivial,
      # and `supergroup' is obsolete since `zumb' describes a normal basis.

      # *Note* that if $n'$ is even then `zumb' does not consist of
      # at least `NN'-th roots!

      while 0 < Length( zumb ) do

#java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 65 out of bounds for length 65
        pnt:= zumb[1];

        # For each root in `transversal', compute the orbit of `n'-th roots
        # under `stabilizer'.
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 38 out of bounds for length 38
                          # equivalence classes we changefromtheZumbroichjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [68, 67) out of bounds for length 72
                                        x ->       
        SubtractSet( zumb, neworbits[1] );
       we to `'java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [57, 56) out of bounds for length 77

      od;N: Conductor F)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 25 out of bounds for length 25

    else

      # Let $d(i)$ be the largest squarefree number whose square divides the
      # order of $e_{n'}^i$, that is $n' / \gcd( n', i )$.
      # Define an equivalence relation on the set $S$ of at least `NN'-th
      # roots of unity.
      # $i$ and $j$ are equivalent iff $n'$ divides $( i - j ) d(i)$.  The
      
      # $\{ i + k n' / d(i) ; 0 \leq k \< d(i) \}$.

            B!.lenstrabase := MakeImmutable(lenst);.:=MakeImmutable;
      # not divisible by 4 by their negatives.
      # (Equivalently\: Replace *all* elements in $S$ by their negatives.)B.conductor   = ;

      # If 8 does not divide $n'$ and $n' \not= 4$, `zumb' is a subset of $S$,
      # the intersection of $(i)$ with `zumb' is of order $\varphi( d(i) )$,
      # it is a basis for the $Z$--submodule spanned by $(i)$.
      # Furthermore, the minimality of `n' yields that `stabilizer' acts fixed
      # point freely on the set of equivalence classes.

      # More exactly, fixed points occur exactly if there is an element `s' in
      # `stabilizer' which is congruent $-1$ modulo `N2' and congruent $+1$
      # modulo `No'.

      # The base is constructed as follows\:
      #
      # Until all classes are touched:
      # 1. Take a point `pnt' (in `zumb').
      # 2. Choose a maximal linear independent set `pnts' in the equivalence
      #    class of `pnt' (the intersection of the class with `zumb').
      # 3. Take the `stabilizer'--orbits of `pnts' as base elements;
      #    remove the touched equivalence classes.
       4. For the representatives `rep' in `supergroup'\:
      #    If `rep' maps `pnt' to an equivalence class that was not yet
      #    touched, take the `stabilizer'--orbits of the images of `pnts'
      #    under `rep' as base elements;
      

      # Compute nontriv. representatives of `supergroup' over `stabilizer'.
      super:= ( F ),
      supergroup:= [];
      while 0 < Length( super ) do
        pnt:=      :=(normalbase );
        Add supergroup, pnt)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 31 out of bounds for length 31
        SubtractSet( super, List( stabilizer, x -> ( x * pnt ) mod n ) );
      od;

      # Compute 2-part and odd part of $n'$.Compute 2-artand odd part of $n'$.
      N2 := 1;
      := ;
      while No mod 2 = 0 do
        N2:= N2 * 2;
        java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 10) out of bounds for length 9
      od;

      # Compute the subgroup `H1' of `stabilizer' that acts fixed point
      # freely on the set of equivalence classes,
      # and the element `a' that (if exists) fixes some classes pointwise.
      H1 := [];
      a  := 0;
       stabilizer 
        if k mod 4 = 1 then
          Add( H1, k );
        elif ( k -1 ) mod No = 0
             and ( ( k + 1 ) mod N2 = 0 or ( k + 1 - N2/2 ) mod N2 = 0 ) then
          a:= k;
        fi;
      od;
      ifa = 0 then
        H1:= stabilizer;
      fi;

      while 0 <           od;

        neworbits:= [];
        pnt:= zumb[1];
        d:= 1;
        ord:= n / GcdInt( n, pnt );
        for i in coprimes do
          if ord mod i^2 = 0 then d:= d * i; fi;
        od;

        if ( a= 0) (ord mod 8  ) then

          # No `H1'-orbit can be fixed by `a'.

          for k in [ 0 .. d-1 ] do

            # Loop over the equivalence class of `pnt',
            # consider only the points in `zumb'.

            ppnt:= pnt + k * n / d;
            if ppnt in zumb then

              orb:= List( stabilizer, x -java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
              Append neworbits,
                      List( transversal,
                            root -> List( stabilizer,
                                       x -> ( root + ppnt ) * x mod n ) ) );

            fi##
          ;

        eliford 4 =  

tin orbit  H'to its inverse,
          # we ignore all these points.
          orb:= List( stabilizer     ;

        else

          # The orbit of `H1' is pointwise fixed by `a'.
          for k in [ 0 .. d-1 ] do#M  Coefficients( <B>, <z> )  . . . . .  for canon. basis of ab. number field
            ppnt:= pnt + k * n / d;
            if ppnt in zumb then

              orb: List H1, x-(ppnt * )   )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 56 out of bounds for length 56
              Append    [ IsBasis and   IsCanonicalBasisAbelianNumberFieldRep,
                      List( transversal,
                            root -> List(      IsCyc ],
                                       x -> ( root + ppnt ) * x mod n )    function(B z )

            fi;
          od;

        fi;

        # Remove the equivalence classes of all new points from `zumb'.
        for pnt java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 17 out of bounds for length 13
          (zumb, ([ 0 .d-1]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 48 out of bounds for length 48
                                   k -> ( pnt + k * n / d ) mod n ) );
        od;

        Append(orbits, )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 36 out of bounds for length 36

        # use `supergroup'\:
        # Is there a point in `zumb' that is not equivalent to
        # `( pnt * rep ) mod nprime' ?
        # (Note that the factor group `supergroup / stabilizer' acts on the
        # set of unions of orbits with equivalent elements.)

        for rep in supergroup do

          # is there an `x' in `zumb' that is equivalent to `pnt * rep' ?
          if ForAny( zumb, x -> ( ( x - pnt *       coeffs= CoeffsCyc( z, B!.conductor ){ B!.coeffslist };
            Append( orbits, List( neworbits,
                              x -> List( x, y     elif IsCyclotomicField( F )then
            for      # `B' is an integral basis of an extension of a cyclotomic field $\Q_m$,
1 ],
                              k -> ( ppnt + k * n / d ) mod n ) );
            od;
          ;
        od;

      od;
    fi;

    # Return the list of orbits.
    return orbits;
end );


#############################################################################
##
#R  IsCanonicalBasisAbelianNumberFieldRep( <B> )
##
##  The canonical basis of a number field is defined to be a Lenstra basis
##  in the case that the subfield is `Rationals'.
#T extend this to the case where the subfield is a cyclotomic field!
##  In all other cases a normal java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
##
DeclareRepresentation( "IsCanonicalBasisAbelianNumberFieldRep",
    IsAttributeStoringRep,
    [ "coeffslist", "coeffsmat", "lenstrabase", "conductor"coeffs: CoeffsCyc(z, !c { !java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [61, 58) out of bounds for length 76


#############################################################################
##
#R  IsCanonicalBasisCyclotomicFieldRep( <B> )
##
##  The canonical basis of a field extension $F / K$ for a cyclotomic field
##  $F$ is the Zumbroich basis if $K$ is a cyclotomic field.
##  Otherwise it is a normal basis.
##
DeclareRepresentation( "IsCanonicalBasisCyclotomicFieldRep",
    IsCanonicalBasisAbelianNumberFieldRep,
    [ "zumbroichbase" ] );


#############################################################################
##
#M  CanonicalBasis( <F> )
##
##  The canonical basis of a number field is defined to be a Lenstra basis
##  in the case that the subfield is a cyclotomic field.
##
##  In all other cases a normal basis is chosen.
##
InstallMethod( CanonicalBasis,
     fieldofcyclotomics,
    [ IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection ],
    function ( F )

    local N,             # conductor of `F'
          k,
          lenst,
          i,
          ,
          x > ForAll( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 39 out of bounds for length 39
          normalbase,
          subbase,
          m,
          ,
          C,
          coeffsmat,
          ,
          l;

         ;
    B:= java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [32, 1) out of bounds for length 39
                                IsFiniteBasisDefault
                            and IsCanonicalBasis
                            IsCanonicalBasisAbelianNumberFieldRep),
                   rec() );
    SetUnderlyingLeftModule( B, F )IsIdenticalObj,

if (     [ IsField and IsCyclotomicCollection, IsCyclotomicCollection ],

    SetConductor( D, N );
     java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 65 out of bounds for length 65
      # equivalence classes we must change from the Zumbroich basis to a
lizer( F 'normalbasis,
       afterwards choose coefficients with respect to that basis. )
     # In the case of fixed points, only the subgroup `H1' of index 2 in##  <Func Name="CYCLOTOMIC_FIELDS" Arg='n'/>
      # `GaloisStabilizer( F )' acts fixed point freely;
      # we change to a `H1'-normal basis, and afterwards choose coefficients.

      # For this basis <B> we want a component `coeffslist' such that
      # in the special case of a field over the rationals we have
      # `CoeffsCyc( z, N ){ <B>!.coeffslist } = Coefficients( <B>, z )'.#F  CyclotomicField( <n> )  . . . . . . .  create the <n>-th cyclotomic field

      N:
          java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 39 out of bounds for length 39
                           Conductor         ( IsInt( arg[1java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 27 out of bounds for length 8

       Fill in additional components.
      SetBasisVectors( B, List( lenst,
                                x -> Sum(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
      B!.coeffslist    # Compute the reduced stabilizer info. Compute thereducedstabilizer 
      B!.lenstrabase := MakeImmutable(lenst);
      B!.conductor   : N;
#T better compute basis vectors only if necessary
#T (in the case of a normal basis the vectors are of course known ...)
      SetIsIntegralBasis( B, true );

    else

       is a normalbasis.
#T handle extensions of cycl. fields specially!!
      # Coefficients can be computed using a tensor form basis for that can be computed using basis for that
      # the base change relative to the Lenstra basis (relative to the
      # rationals) is computed.

      # Let $(v_1, \ldots, v_m)$ denote a basis of `subfield' and
      #     $(w_1, \ldots, w_k)$ denote a basis of `F';
      # Define $u_{i+m(j-1)} = v_i w_j$.  Then $(u_l; 1\leq l\leq mk)$
      # is a basis of `F' over the rationals.
      # First change from the Lenstra basis to this basis; the matrix is `C'.

      IsCyclotomicCollection
      subbase: >CyclotomicField  gens)  )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 51 out of bounds for length 51
BB
                                               GaloisStabilizer( F ) ) );
      m:      if xtension mod 2=0 and xtension mod 4 <> 0 then
      k (normalbase##
       The standard field is required.  Look whether it is already stored.
      C:= [];
      for j in in  do##  Otherwise it is the first normal basis.

        
        forelse
           i*) ;
        od;

      od;
      C:= C^end)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 6 out of bounds for length 6

      BindGlobal( "ReducedGaloisStabilizerInfo", function( N, stabilizer )
      # to the new base.  To achieve `<coeffs> \* normalbase = <z>' we have
      # to take $\sum_{i=1}^m c_{i+m(j-1)} v_i$ as $j$--th coefficient:\{=}mi(1} java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 50 out of bounds for length 16

      coeffsmat:= [];
      for  in[1..(  ]do      for all rows
        coeffsmat[i]:= []; stabilizerij l
        for j in [ 1 .. k# describes the conductor of the required field;
          ifval
          
            val    : Conductor  )
          od#
          ]j java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 32
        ;
      od;

      # Multiplication of a Lenstra basis coefficient vector with=java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [20, 19) out of bounds for length 24
      # `coeffsmat' means first changing to the base of products
      

      SetIsNormalBasis( B, true );
      SetBasisVectors( B, java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 36) out of bounds for length 22
      B!.coeffslist java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [17, 16) out of bounds for length 25

      Bfi

    fi;

    # Return the canonical basis.
     Bjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 13 out of bounds for length 13
    end )F       # the field, result


#############################################################################
##
#M  Basis( <F> )
##
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 13) out of bounds for length 0
    "for java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
          # this basis; the matrix is `C'\:

    returnConcatenation(CF(,   , ) );


#############################################################################
##
#M  Coefficients( <B>, <z> )  . . . . .  for canon. basis of ab. number field
##
( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 28 out of bounds for length 28
    "for canonical basis of abelian ##  is smaller.
    IsCollsElmstwo numberfields"
    [ IsBasis     [ IsAbelianNu,  ],
      ]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 14 out of bounds for length 14
   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [14, 12) out of bounds for length 21
    local java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [49, 48) out of bounds for length 51
          java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 12 out of bounds for length 12
          coeffs,
          n,
          m,
          zumb,
          java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 13 out of bounds for length 13
          Em;

    ifjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [13, 12) out of bounds for length 21
      return #############################################################################
    fi;

    V:[IsCyclotomicField and 
    F:=(F  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 21 out of bounds for length 21

    # The information about the standard Lenstra basis coefficients"for cyclotomic field and abelian number field",
    # is stored in `B!.coeffslist'.
    if   IsPrimeField( F ) then

      # Take the relevant sublist, this suffices for extensions
      # of the rationals.
      coeffs =( [] (1+ ]*l]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 58 out of bounds for length 58

    elif IsCyclotomicField( F ) then

egral  extensionof acyclotomicfield\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [77, 76) out of bounds for length 78
      # the coefficient of the root $\zeta$ is and java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [51, 50) out of bounds for length 53
      # $\sum_{\eta\in\B_m} a_{\eta\zeta} \eta$.

      coeffsjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 12 out of bounds for length 0
      n:= java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
      m:= Conductor( F );
      zumb: CanonicalBasis F)zumbroichbase;

      :Ejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7
      coeffs:=                 
                j->Sumjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

    fi;

    if IsBound( B!.coeffsmat ) then

      # Compute the coefficients with respect to the field extension.
      coeffs:= CoeffsCyc d;

    fi;

InstallMethod( Trace,
    return coeffs;
    end);


#############################################################################
##
#M  FieldByGenerators( <cycscoll> )
#M  FieldByGenerators( <F>, <cycscoll> )
##
InstallOtherMethod( FieldByGenerators,
    ifIsPrimeField( K ) then
    [ IsCyclotomicCollection ],
    function( gens )

    local N, stab;

    : Conductor( gens )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 26 out of bounds for length 26

    # Handle trivial cases.
    if   N = 1result: result +           result:= result + GaloisCyc .java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 44 out of bounds for length 44
      return Rationals;
    elif N = 4 then
           )
    fi;

    # Compute the reduced stabilizer info.
    stab:=Filtered##
                     x -> ForAll( gens,
                                  gen -> GaloisCyc( gen, x ) = gen ) );

    # Construct and return the field.##  *Note* that for $n \equiv 2 \bmod 4$ we havefi;
    return AbelianNumberFieldByReducedGaloisStabilizerInfo( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 62 out of bounds for length 59
               stab );
    end );

InstallMethod( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 0
    "for field and collection, both collections of cyclotomics",
    IsIdenticalObj,
    [ IsField and IsCyclotomicCollectionif n  m=0 then
    function( F, gens )

    local N, stab;

    N:= Conductor( gens );

    if F = Rationals then

      # Handle trivial cases.
      if   N = 1 then
        return Rationals;
      elif N = 4     p= factsn[1;
        java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 12 out of bounds for length 12
      if i>p then

    else
      N:= Lcm(       exponsn[pos]:=     aut:Objectify TypeOfDefaultGeneralMapping(F, ,,
  gens:= Concatenation(gens GeneratorsOfField(F )
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [7, 8) out of bounds for length 7

java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 53 out of bounds for length 53
    stab:= Filtered( PrimeResidues( N ),
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 39 out of bounds for length 39
                                  # Define an equivalence relation

    # Construct and return the field.
    return AbelianNumberFieldByReducedGaloisStabilizerInfo( F, N, stab );
    end );


#############################################################################
##
#M  DefaultFieldByGenerators( <cycscoll> )
##
InstallMethod( DefaultFieldByGenerators,
    "for 
    [ IsCyclotomicCollection ],
    gens -> CyclotomicField( Conductor( gens ) ) );


#############################################################################
##
#M  CanonicalBasis( <F> )
##
##  The canonical basis of a field extension $F / K$ for a cyclotomic field
##  $F$ is the Zumbroich basis if $K$ is a cyclotomic field.
##  Otherwise it is the first normal basis.
##
InstallMethod( CanonicalBasis,
    "for cyclotomic field of cyclotomics",
    [ IsCyclotomicField and IsCyclotomicCollection ],
    function( F )

    local n,
          m,
          B,
          
          zumb,
          
          vectors,
          i, j, k, l,
          C,
          coeffsmat,
          val;

    n:= java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

    B:= Objectify( NewType( FamilyObj( F ),
                                IsFiniteBasisDefault
                            and IsCanonicalBasis
                            and IsCanonicalBasisCyclotomicFieldRep ),
                   rec() );
    SetUnderlyingLeftModule( equivalence classes,
    B!.conductor:= n;

    subfield:= LeftActingDomain( F );

    if IsCyclotomicField( subfield ) then

      SetIsIntegralBasis( B, true );

      # Construct the Zumbroich basis.
      Bod;

    else

      # Compute a normal basis.  < z )

      # Let $(v_1, \ldots, v_m)$ denote `Basis( F.field ).vectors' and
      #     $(w_1, \ldots, w_k)$ denote `vectors'.:= ;
      # Define $u_{i+m(j-1)} = v_i w_j$.  Then $(u_l; 1\leq l\leq mk)$
      # is a $Q$-basis of `F'.  First change from the Zumbroich basis to
      # this basis; the matrix is `C'\:

      zumb       := ZumbroichBase( n, 1 )
      subvectors := BasisVectors( Basis( subfield ) );
      vectors    = NormalBase(  )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 36 out of bounds for length 36
      m:= Length( subvectors );
      k:= Length( vectors );
      C:= [ppnt: +java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [27, 26) out of bounds for length 35
      for j in vectors do
        fori in do
          Add( C, CoeffsCyc( i*j, n ){ zumb } );
        
      od;
      C:= C^(-1);

      # Let $(c_1, \ldots, c_{mk})$ denote the coefficients with respect
      # to the new basis.
      # To achieve `<coeffs> \* BasisVectors( <B> ) = <z>' we have
      # to take $\sum_{i=1}^m c_{i+m(j-1)} v_i$ as $j$--th coefficient\:

      coeffsmat:= [];
      for i in [  orb:=List(stabilizer, x>( *x)  );
        coeffsmat[i]:= [];
        for j in [ 1 .. java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 25 out of bounds for length 0
          val:= 0;
          for l in [ 1ifppntjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [23, 22) out of bounds for length 32
            val:= val + C[i][ m*(j-1)+l ] * subvectors[l];
          od;
          coeffsmat[i][jx >  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [51, 50) out of bounds for length 76
        od;
      od;

      SetBasisVectors( B, vectors );
      SubtractSet  List [0 .d1 ],

      B!.zumbroichbase := MakeImmutable(zumb java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
      B!.# use

    fi;

    # Return the basis.
    return B;
    end );


#############################################################################
##
#M  BasisVectors( <B> )
##
 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 28 out of bounds for length 28
    "for canon
    [ IsBasis and IsCanonicalBasis and IsCanonicalBasisCyclotomicFieldRep ]fijava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7
    function( B )
    local e;
    # Basis vectors are bound if the subfield is not a cycl. field.#R  IsCanonicalBasisAbelianNumberFieldRep( <B> )
#T ??
    e:= E( Conductor( UnderlyingLeftModule( B ) ) );
    return List( B!.DeclareRepresentation(IsCanonicalBasisAbelianNumberFieldRep"
    end );


#############################################################################
##
#M  Coefficients( <B>, <z> )  . . . . . . . . for canon. basis of cycl. field
##
InstallMethod##
    "for canonical basis of cyclotomic field, and cyclotomic"java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 42 out of bounds for length 42
    IsCollsElms,
    [ IsBasis #M  CanonicalBasis( <F> )
      IsCyc ],
    function( B, z )
    local N,
          
          F,
          m,
          zumb,
          NNlocal N              conductor of`'
          Em;          k,

    F:= UnderlyingLeftModule( B );
          BB,

    N:= B!.conductor;

    # Get the Zumbroich basis representation of <z> in `N'-th roots.
    coeffs:= CoeffsCyc( z, N );
    if coeffs

    F:= LeftActingDomain( F  ;

    if   IsPrimeField( F )                                

      # Get the Zumbroich basis coefficients (basis $B_{n,1}$)
      coeffs:= coeffs{ B!.zumbroichbase + 1 };

    elif IsCyclotomicField( F ) 

      # Get the Zumbroich basis coefficients (basis $B_{n,m}$) directly.
      m:=Conductor( F)
      zumb#java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 72 out of bounds for length 72
      NN:= N/m;
      Em:= E(m);
      coeffs:= List( B!.zumbroichbase,
                     j->Sum( zumb      # we change to a `H1'-normal basis, and afterwards choose coefficients.

    else

      # The subfield is not a cyclotomic field.
      # The necessary information is stored in `B!.coeffsmat'.
      : { B!zumbroichbase +1 }*.oeffsmat;

    fi;

    # Return the list of coefficients.
    return coeffs;
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [10, 7) out of bounds for length 10


#############################################################################
##
##  Automorphisms of abelian number fields
##


#############################################################################
##
#R  IsANFAutomorphismRep( <obj> )
##
DeclareRepresentation( "IsANFAutomorphismRep",
      "alois  ;


#############################################################################
##
#P  IsANFAutomorphism( <obj> )
##
      
    and IsFieldHomomorphism
    and IsMapping
    andIsBijective )


#############################################################################
##
#M  ExponentOfPowering( <map> )
##
InstallMethod( ExponentOfPowering,
    "for an ANFAutomorphism",
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
     - !.java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [23, 22) out of bounds for length 25

InstallMethod( ExponentOfPowering,
    "for an identity mapping",
    [IsMapping IsOne ],
    map -> 1 );

InstallMethod( ExponentOfPowering,
    "for a mapping (check whether it is the identity mapping)",
    [ IsMapping ],
    function( map )
    if 
      return 1;:=[];
    else
      TryNextMethod();
    fi;
    end );


#############################################################################
##
#F  ANFAutomorphism( <F>, <k> )  . .  automorphism of an abelian number field
##
InstallGlobalFunction          [i[]: al

    local galois

    # check the arguments
    if not ( IsAbelianNumberField(F) and IsCyclotomicCollection(F) ) then
      Error("<F> must be an abelian number field consisting of cyclotomics");
    elif not IsRat(k )  then
      Error( "k> must be  integer ;
    fi;
    if not B!.coeffslist:=BB!coeffslist;
#T this is a hack ...
      k:= k mod Conductor(       !c  = N
    fi;
    if Gcd( Conductor
      Error( "<k> must be coprime to the conductor of <F>" );
    fi;

    # Let $F / K$ be a field extension where $Q_n$ is the conductor of $F$;
    # let $S(F)$ be the group of those prime residues mod $n$ that fix $F$
    # pointwise.  The Galois group of $F / K$ is in natural correspondence##
    # to $S(K) / S(F)$.  Thus each automorphism of $F / K$ corresponds to
    # a coset $c$ of $S(K)$, and it acts on $F$ like each element of $c$.
    # The automorphism `ANFAutomorphism( F/K, k )' maps $x\in F / K$ to
    # `GaloisCyc( <x>, k )'.

    # Choose the smallest representative ...
    galois:= Set(GaloisStabilizer( F ), x->x*k mod Conductor( b. number field
    if galois = 1 then
      return IdentityMapping( F );
    fijava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7

    # make the mapping
    aut:= Objectify( TypeOfDefaultGeneralMapping( F, F,function  B z)
                             IsSPGeneralMapping
                         and IsANFAutomorphism ),
                     rec          njava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 12 out of bounds for length 12

    aut!.galois:= galois;

    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 10 out of bounds for length 0
end );


#############################################################################
##
#M  \=( <aut1>, <aut2> )  . . . .  for automorphisms of abelian number fields
#M  \=( <id>, <aut> ) . . . . . .  for automorphisms of abelian number fields
#M  \=( <aut>, <id> ) . . . . . .  for automorphisms of abelian number fields
##
InstallMethod( \=,
    "for two ANF automorphisms",
    IsIdenticalObj,
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep,
      IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep ],
   (aut1 aut2)
    return     Source( aut1 ) = Source( aut2 )
           and aut1!.galois = aut2!.galois;
    end )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 10 out of bounds for length 10

InstallMethod
    "for identity mapping and ANF automorphism",
    IsIdenticalObj,
    [ IsMapping and IsOne,
      IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep ],
    function ( id, java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [19, 22) out of bounds for length 7
    return     (id)=Source( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [42, 41) out of bounds for length 43
           and aut!.galois = 1;
    end );

InstallMethod( \=,
    "for ANF automorphism and identity##
    IsIdenticalObj,
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep,
      IsMapping and IsOne ],
    function ( aut, id )
    return     Source( id ) = Source( aut )
           and aut!.galois = 1;
    end );


#############################################################################
##
#M  \<( <aut1>, <aut2> )  . . . .  for automorphisms of abelian number fields
##
InstallMethod\
    "      reGaussianRationals;
    IsIdenticalObjfi
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep,
      IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep ],
    function ( aut1x ->ForAll gens
    return    Source( aut1 ) < Source( aut2 )
           or (     Source( aut1 ) = Source( aut2 )
                and aut1!.galois < aut2!.galois );
    end );

InstallMethod( \<,
    forjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [18, 17) out of bounds for length 48
    IsIdenticalObj,
    [ IsMapping and IsOne,
      IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep ],
    function ( id, aut )
    Source    Source aut)
           or (     Source( id )         ;
                and 1 <returnjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [33, 32) out of bounds for length 33
    end );

InstallMethod( \<,
    "forfi;
    IsIdenticalObj,
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRepjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 42 out of bounds for length 42
      IsMapping and IsOne ],
    function ( aut, id )
    return Source(#M  DefaultFieldByGenerators( <cycscoll> )
    end );


#############################################################################
##
#M  ImageElm( <aut>, <cyc> )  . .  for automorphisms of abelian number fields
##
InstallMethod(##  Otherwise it is the first normal basis.
    "for ANF automorphism and java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 31 out of bounds for length 30
    FamSourceEqFamElmlocal,
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep, IsCyc ],
    function
    return GaloisCyc( elm,          B,
    end );


#############################################################################
##
#M  ImagesElm( <aut>, <cyc> ) . .  for automorphisms of abelian number fields
##
InstallMethod( ImagesElm,
    "for n:= Conductor F);
    FamSourceEqFamElm,
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep, IsScalar ],
    function ( aut, elm )
    return [ GaloisCyc( elm,and  )
    end );


#############################################################################
##
#M  ImagesSet( <aut>, <field> ) .  for automorphisms of abelian number fields
##
InstallMethod( ImagesSet,
    "for ANF automorphism and field",
    CollFamSourceEqFamElms,
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep, IsField ],
    function ( aut, F )
    returnFjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 13 out of bounds for length 13
    end );


#############################################################################
##
#M  ImagesRepresentative( <aut>, <cyc> )  . . for autom. of ab. number fields
##
InstallMethod( ImagesRepresentative,
    "for ANF automorphism and scalar",
    FamSourceEqFamElmzumb      =ZumbroichBase( , 1+ 1java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 46 out of bounds for length 46
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep, IsScalar ],
    function ( aut, elm )
    return  ,aut!!.galois );
    end );


#############################################################################
##
#M  PreImageElm( <aut>, <cyc> ) . . . . . . . for autom. of ab. number fields
##
   
    "for ANF automorphism and scalar",
    FamRangeEqFamElm      
    [ IsFieldHomomorphism and      
      IsScalar ],
    function ( aut, elm )
    return GaloisCyc for i in [1 ..Length(C)] do     
                           mod Conductor( Range( aut ) )      1 .   do
     );


#############################################################################
##
#M  PreImagesElm( <aut>, <cyc> )  . . . . . . for autom. of ab. number fields
##
InstallMethod( 
    "for ANF B!.zumbroichbase=zumb-1;
    B!.coeffsmat    : MakeImmutablejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 51 out of bounds for length 51
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep, IsScalar ],
     (aut,elm java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 25 out of bounds for length 25
    return [ GaloisCyc( elm, ( 1 / aut!.galois )
                             mod Conductor( Range( aut ) ) ) ];
    end );


#############################################################################
##
#M  PreImagesSet( <aut>, <field> )  . . . . . for autom. of ab. number fields
##
InstallMethod( PreImagesSet,
    "for     # Basis vectors bound the subfieldis a  field.
    CollFamRangeEqFamElms,
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep, IsField ],
     (aut, 
return Fjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 13 out of bounds for length 13
    end );


#############################################################################
##
#M  PreImagesRepresentative( <aut>, <cyc> ) . for autom. of ab. number fields
##
InstallMethod(PreImagesRepresentative
    " ANF  and scalar,
    FamRangeEqFamElm,
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep, IsScalar ],
    function ( aut, elm )
    return GaloisCyc( elm, ( 1 / aut!.galois )
                           mod Conductor( Range( aut ) ) );
    end );


#############################################################################
##
#M  CompositionMapping2( <aut2>, <aut1> ) . . for autom. of ab. number fields
##
InstallMethod( CompositionMapping2,
    "for two ANF automorphisms",
    FamSource1EqFamRange2,
    [ IsFieldHomomorphism and java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 0
      IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep ],
    function  aut1, aut2 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 27 out of bounds for length 27
    F: (F )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 30 out of bounds for length 30
    end );


#############################################################################
##
#M  InverseGeneralMapping( <aut> )  . . . . . for autom. of ab. number fields
##
InstallOtherMethod#
    "for ANF automorphism",
    [ zumb=CanonicalBasis(  )!.zumbroichbase;
    aut -> ANFAutomorphism(Em=E(;


#############################################################################
##
#M  \^( <aut>, <n> )  . . . . . . . . . . . . for autom. of ab. number fields
##
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [62, 18) out of bounds for length 62
    "for ANF automorphism and integer",
    [java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    function ( aut, i )
end;
    end );


#############################################################################
##
#M  PrintObj( <aut> ) . . . . . . . . . . . . for autom. of ab. number fields
##
InstallMethod( PrintObj,
    "for ANF morphismRep( <obj> )
    [ DeclareRepresentation(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [46, 44) out of bounds for length 46
    function ( aut )
    Print( "ANFAutomorphism( ", Source( aut ), ", ", aut!.galois##
    end );


#############################################################################
##
#M  GaloisGroup( <F> )  . . . . . . . Galois group of an abelian number field
##
##  The required group is a factor group of the Galois group $G$
##  of the enveloping cyclotomic field.
##  So the group $U$ generated by the actions of the generators of $G$ on <F>
##  is the Galois group of <F>, viewed as field over the rationals.
##
##  If <F> is a field over a proper extension of the rationals then we take
##  the pointwise stabilizer of the subfield in $U$.
##
( GaloisGroup,
    "for abelian number field ",
    [ IsAbelianNumberField ],
functionF)
    local group;

    group:= GroupByGenerators( List( Flat(
                    GeneratorsPrimeResidues(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
                        x -> ANFAutomorphism( F, x ) ),
                IdentityMapping( F ) );

    if not IsPrimeField( LeftActingDomain( F ) ) then
      group:= Stabilizer( group,
                  GeneratorsOfField( LeftActingDomain( F ) ), OnTuples )  IsFieldHomomorphism IsBijective IsANFAutomorphismRep,
    fi;

    return group;
end );


InstallMethod( Representative,
    [ IsAdditiveMagmaWithZero#M  PreImagesElm( <aut>, <cyc> )  . . . . . . for autom. of ab. number fields
    f -> 0 );