#############################################################################
##
##  This file is part of GAP, a system for computational discrete algebra.
##  This file's authors include Thomas Breuer.
##
##  Copyright of GAP belongs to its developers, whose names are too numerous
##  to list here. Please refer to the COPYRIGHT file for details.
##
##  SPDX-License-Identifier: GPL-2.0-or-later
##
##  This file contains methods for fields consisting of cyclotomics.
##
##  Note that we must distinguish abelian number fields and fields
##  that consist of cyclotomics.
##  (The image of the natural embedding of the rational number field
##  into a field of rational functions is of course an abelian number field
##  but its elements are not cyclotomics since this would be a property given
##  by their family.)
##


#############################################################################
##
#M  IsFiniteDimensional( <A> )
##
##  A finitely generated algebra-with-one that consists of cyclotomics
##  has a finite conductor and hence is finite dimensional.
##  (Cyclotomic fields and their subfields get the 'IsFiniteDimensional'
##  filter from 'AbelianNumberFieldByReducedGaloisStabilizerInfo',
##  there is apparently no method for computing the value.)
##
InstallMethod( IsFiniteDimensional,
    "for an algebra-with-one of cyclotomics",
    [ IsAlgebraWithOne and IsCyclotomicCollection
      and HasGeneratorsOfAlgebraWithOne ],
    function( A )
    if IsFinite( GeneratorsOfAlgebraWithOne( A ) ) then
      return true;
    fi;
    TryNextMethod();
    end );


#############################################################################
##
#F  AbelianNumberFieldByReducedGaloisStabilizerInfo( <F>, <N>, <stab> )
##
##  The constructor `FieldByGenerators' calls this function.
##  Since `CyclotomicField' and `AbelianNumberField' generate first the
##  information about conductor and Galois stabilizer, it is useful for them
##  to call this function instead of constructing generators and calling
##  `FieldByGenerators', which would mean to construct <N> and <stab> again.
##
InstallGlobalFunction( AbelianNumberFieldByReducedGaloisStabilizerInfo,
    function( F, N, stab )

    local D, d;

    D:= Objectify( NewType( CollectionsFamily( CyclotomicsFamily ),
                                IsField
                            and IsFiniteDimensional
                            and IsAbelianNumberField
                            and IsAttributeStoringRep ),
                   rec() );

    d:= Phi(N) / Length( stab );

    SetIsCyclotomicField( D, Length( stab ) = 1 );
    SetLeftActingDomain( D, F );
    SetDegreeOverPrimeField( D, d );
    SetGaloisStabilizer( D, stab );
    SetConductor( D, N );
    SetIsFinite( D, false );
    SetSize( D, infinity );
    SetDimension( D, d / DegreeOverPrimeField( F ) );
    SetPrimeField( D, Rationals );
    SetIsWholeFamily( D, false );

    return D;
end );


#############################################################################
##
#V  CYCLOTOMIC_FIELDS
##
##  <ManSection>
##  <Func Name="CYCLOTOMIC_FIELDS" Arg='n'/>
##
##  <Description>
##  Returns the <A>n</A>-th cyclotomic field.
##  </Description>
##  </ManSection>
##
BindGlobal( "CYCLOTOMIC_FIELDS",
    MemoizePosIntFunction(
        function(xtension)
            return AbelianNumberFieldByReducedGaloisStabilizerInfo( Rationals,
                   xtension, [ 1 ] );
        end,
    rec( defaults := [ Rationals, Rationals,, GaussianRationals ] ) )
);


#############################################################################
##
#F  CyclotomicField( <n> )  . . . . . . .  create the <n>-th cyclotomic field
#F  CyclotomicField( <gens> )
#F  CyclotomicField( <subfield>, <n> )
#F  CyclotomicField( <subfield>, <gens> )
##
InstallGlobalFunction( CyclotomicField, function ( arg )

    local F, subfield, xtension;

    # If necessary split the arguments.
    if     Length( arg ) = 1
       and ( ( IsInt( arg[1] ) and 0 < arg[1] ) or IsList( arg[1] ) ) then

      # CF( <n> ) or CF( <gens> )
      subfield:= Rationals;
      xtension:= arg[1];

    elif     Length( arg ) = 2
         and IsField( arg[1] )
         and ( ( IsInt( arg[2] ) and 0 < arg[2] ) or IsList( arg[2] ) ) then

      # `CF( <subfield>, <n> )' or `CF( <subfield>, <gens> )'
      subfield:= arg[1];
      xtension:= arg[2];

    else
      Error("usage: CF( <n> ) or CF( <subfield>, <gens> )");
    fi;

    # Replace generators by their conductor.
    if not IsInt( xtension ) then
      xtension:= Conductor( xtension );
    fi;
    if xtension mod 2 = 0 and xtension mod 4 <> 0 then
      xtension:= xtension / 2;
    fi;

    # The subfield is given by `Rationals' denoting the prime field.
    if subfield = Rationals then

      # The standard field is required.  Look whether it is already stored.
      # If not, generate it and return it
      return CYCLOTOMIC_FIELDS( xtension );

    elif IsAbelianNumberField( subfield ) then

      # CF( subfield, N )
      if xtension mod Conductor( subfield ) <> 0 then
        Error( "<subfield> is not contained in CF( <xtension> )" );
      fi;

    else
      Error( "<subfield> must be `Rationals' or an abelian number field" );
    fi;

    F:= AbelianNumberFieldByReducedGaloisStabilizerInfo( subfield,
            xtension, [ 1 ] );

    # Return the field.
    return F;
end );


#############################################################################
##
#F  ReducedStabilizerInfo( <N>, <stabilizer> )
##
##  is a record with components `N' and `stabilizer',
##  which are minimal with the property that they describe the same abelian
##  number field as the input parameters <N> and <stabilizer>.
##
BindGlobal( "ReducedGaloisStabilizerInfo", function( N, stabilizer )

    local d,
          gens,
          NN,
          aut,
          pos,
          i,
          p;

    if N mod 2 = 0 and N mod 4 <> 0 then
      N:= N / 2;
    fi;
    if N <= 2 then
      return rec( N:= 1, stabilizer:= [ 1 ] );
    fi;

    stabilizer:= Set( stabilizer );
    AddSet( stabilizer, 1 );

    # Compute the elements of the group generated by `stabilizer'.
    for d in stabilizer do
      UniteSet( stabilizer, List( stabilizer, x -> ( x * d ) mod N ) );
    od;

    # reduce the pair `( N, stabilizer )' such that afterwards `N'
    # describes the conductor of the required field;

    gens:= GeneratorsPrimeResidues( N );
    NN:= 1;
    if gens.primes[1] = 2 then

      if gens.exponents[1] < 3 then
        if not gens.generators[1] in stabilizer then
          NN:= NN * 4;
        fi;

      else

        # the only case where `gens.generators[i]' is a list;
        # it contains the generators corresponding to `**' and `*5';
        # the first one is irrelevant for the conductor,
        # except if also the other generator is contained.
        if gens.generators[1][2] in stabilizer then
          if not gens.generators[1][1] in stabilizer then
            NN:= NN * 4;
          fi;
        else
          NN:= NN * 4;
          aut:= gens.generators[1][2];
          while not aut in stabilizer do
            aut:= ( aut ^ 2 ) mod N;
            NN:= NN * 2;
          od;
        fi;
      fi;
      pos:= 2;
    else
      pos:= 1;
    fi;

    for i in [ pos .. Length( gens.primes ) ] do
      p:= gens.primes[i];
      if not gens.generators[i] in stabilizer then
        NN:= NN * p;
        aut:= ( gens.generators[i] ^ ( p - 1 ) ) mod N;
        while not aut in stabilizer do
          aut:= ( aut ^ p ) mod N;
          NN:= NN * p;
        od;
      fi;
    od;

    N:= NN;
    if N <= 2 then
      stabilizer:= [ 1 ];
      N:= 1;
    else
      stabilizer:= Set( stabilizer, x -> x mod N );
    fi;

    return rec( N:= N, stabilizer:= stabilizer );
end );


#############################################################################
##
#F  AbelianNumberField( <N>, <stab> ) . . . .  create an abelian number field
##
##  fixed field of the group generated by <stab> (prime residues modulo <N>)
##  in the cyclotomic field with conductor <N>.
##
InstallGlobalFunction( AbelianNumberField, function ( N, stabilizer )

    local pos,     # position in a list
          F;       # the field, result

    # Check the arguments.
    if not ( IsInt( N ) and 0 < N and IsList( stabilizer ) ) then
      Error( "<N> must be a positive integer, <stabilizer> a list" );
    fi;

    # Compute the conductor and the reduced stabilizer.
    # Thus the Galois stabilizer component of the field will be minimal.
    stabilizer := ReducedGaloisStabilizerInfo( N, stabilizer );
    N          := stabilizer.N;
    stabilizer := stabilizer.stabilizer;

    if stabilizer = [ 1 ] then
      return CyclotomicField( N );
    fi;

    # The standard field is required.  Look whether it is already stored.
    return GET_FROM_SORTED_CACHE( ABELIAN_NUMBER_FIELDS, [N, stabilizer], function()

    # Construct the field.
    F:= AbelianNumberFieldByReducedGaloisStabilizerInfo( Rationals,
            N, stabilizer );

    # Return the number field.
    return F;

    end );
end );


#############################################################################
##
#M  ViewObj( <F> )  . . . . . . . . . . . . . .  view an abelian number field
##
InstallMethod( ViewObj,
    "for abelian number field of cyclotomics",
    [ IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection ],
    function( F )
    if IsPrimeField( LeftActingDomain( F ) ) then
      Print( "NF(", Conductor( F ), ",",
              GaloisStabilizer( F ), ")" );
    else
      Print( "AsField( ", LeftActingDomain( F ),
             ", NF(", Conductor( F ), ",", GaloisStabilizer( F ), ") )" );
    fi;
    end );

InstallMethod( ViewObj,
    "for cyclotomic field of cyclotomics",
    [ IsCyclotomicField and IsCyclotomicCollection ],
    function( F )
    if IsPrimeField( LeftActingDomain( F ) ) then
      Print( "CF(", Conductor( F ), ")" );
    else
      Print( "AsField( ", LeftActingDomain( F ),
             ", CF(", Conductor( F ), ") )" );
    fi;
    end );


#############################################################################
##
#M  PrintObj( <F> ) . . . . . . . . . . . . . . print an abelian number field
##
InstallMethod( PrintObj,
    "for abelian number field of cyclotomics",
    [ IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection ],
    function( F )
    if IsPrimeField( LeftActingDomain( F ) ) then
      Print( "NF(", Conductor( F ), ",",
              GaloisStabilizer( F ), ")" );
    else
      Print( "AsField( ", LeftActingDomain( F ),
             ", NF(", Conductor( F ), ",", GaloisStabilizer( F ), ") )" );
    fi;
    end );

InstallMethod( PrintObj,
    "for cyclotomic field of cyclotomics",
    [ IsCyclotomicField and IsCyclotomicCollection ],
    function( F )
    if IsPrimeField( LeftActingDomain( F ) ) then
      Print( "CF(", Conductor( F ), ")" );
    else
      Print( "AsField( ", LeftActingDomain( F ),
             ", CF(", Conductor( F ), ") )" );
    fi;
    end );


#############################################################################
##
#M  String( <F> ) . . . . . . . . . . . . . string of an abelian number field
##
InstallMethod( String,
    "for ##
    ###  This file contains methods for fields consisting of cyclotomics.
    function( F )
##  that consist of cyclotomics.
      return Concatenation( "NF(", ##  into a field of rational functions is of course an abelian number field
                            String( GaloisStabilizer( F ##  by their family.)
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 6 out of bounds for length 2
      HasGeneratorsOfAlgebraWithOne
                            ,NF" String( Conductor(F ",
                            String( GaloisStabilizer( F ) ), ") )" );
    fi;
    end );

InstallMethod( String,
    "for cyclotomic field of cyclotomics",
     IsCyclotomicField and IsCyclotomicCollection ],
    function( F )

    local n;

    n:= Conductor( F );

    if IsPrimeField( LeftActingDomain( F ) ) then
      if   n = 1 then
        return "Rationals";
      elif n = 4 then
        return"GaussianRationals";
      else
        return Concatenation(    end );
      fi;
    #F  AbelianNumberFieldByReducedGaloisStabilizerInfo( <F>, <N>, <stab> )
      return Concatenation( "##  Since `CyclotomicField' and `AbelianNumberField' generate first the
                            ", GaussianRationals )" );
    else
      return Concatenation( "AsField##
                             CF( )" ")java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 58 out of bounds for length 58
fijava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7
    end );


#############################################################################
##
#M  \=( <F1>, <F2> )  . . . . . . . . . . comparison of abelian number fields
#M  \<( <F1>, <F2> )  . . . . . . . . . . comparison of abelian number fields
##
##  <F1> is smaller than <F2> if and only if <F1> has a smaller conductor,
##  or it has the same conductor as <F2> but its Galois stabilizer component
##  is smaller.
##
InstallMethod =
" two abelian number fields",
    IsIdenticalObj,
    [     SetConductor((,N  );
function ( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [22, 21) out of bounds for length 23
    returnConductor(F1 )=Conductor F2)
           and SetIsWholeFamily,false)
    end );

InstallMethod( \<,
    "for two abelian number##
    IsIdenticalObj##  <Func Name="CYCLOTOMIC_FIELDS" Arg='n'/>
    ##
    function ( F1, F2 )
    return##  </Description>
           or (     Conductor( F1 )BindGlobal( "CYCLOTOMIC_FIELDS",
                and GaloisStabilizer( F1 ) <     MemoizePosIntFunction(
    end );


#############################################################################
##
#M  \in( <z>, <F> ) . . . .  test if <z> lies in the abelian number field <F>
##
##  check whether <z> is a cyclotomic with conductor contained in the
##  conductor of <F>, and that <z> is fixed by `GaloisStabilizer( <F> )'.
##
InstallMethod injava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 19 out of bounds for length 19
    "for cyclotomic and abelian number field",
    IsElmsColls,
    [ IsCyc, IsAbelianNumberField #F  CyclotomicField( <subfield>, <n> )
    function ( z,##
    return     Conductor(subfield: Rationalsjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 27 out of bounds for length 27
lGaloisStabilizer( ,x- (z x ) = )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 75 out of bounds for length 75
     ;

InstallMethod( \in,
    "for cyclotomicjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    IsElmsColls,
    [ IsCyc,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    function ( z, F )
    return Conductor( F ) mod Conductor( z ) = 0;
    end );


#############################################################################
##
#M  Intersection2( <F>, <G> ) . . . . . intersection of abelian number fields
##
nstallMethod( Intersection2,
    "for two cyclotomic fields of cyclotomics",

          xtension=xtension/2;
      IsCyclotomicField    ;
    function(  )
    return CyclotomicField( GcdIntif =Rationalsthen
    end )

InstallMethod( Intersection2,
    "for cyclotomic field and abelian number field",
    IsIdenticalObj,
    [IsCyclotomicField  ,
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    function       (subfield  )

    # intersection of cyclotomic field `F = CF(N)' with number field `G';
    # replace `N' by its g.c.d. with the conductor of `G',
    # and then take the elements of `GaloisStabilizer( G )' modulo `N'.
    # (If a reduction is necessary, `NF' will do.)("subfield> be `Rationals'or abelian field";

    F:=    := AbelianNumberFieldByReducedGaloisStabilizerInfo( subfield,
    return AbelianNumberField( F, xtension [1 ;
                                             x -> x mod F )
    end )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

InstallMethod( Intersection2,
    "for abelian ##  is a record with components `N' and `stabilizer',
    IsIdenticalObj,
    [ IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection,
      IsCyclotomicField and IsCyclotomicCollection ],
    function RindGlobal "educedGaloisStabilizerInfo", function( N, stabilizer )

     intersection of cyclotomic field `F = CF(N)' with number field `G';
#java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 58 out of bounds for length 58
    # and then take the elements of `GaloisStabilizer( G )' modulo `N'.
    # (If a reduction is necessary, `NF' will do.)

    F:= Gcd( Conductor( F ), Conductor( G ) );
    return AbelianNumberField( F, Set( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 49 out of bounds for length 7
                                             x ->  return rec(N=1,stabilizer:=[ 1 ]);
    end)

InstallMethod( Intersection2,
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 66 out of bounds for length 36
    IsIdenticalObj
    [ IsAbelianNumberField and       UniteSet( stabilizer, List( stabilizer, x  d)modN  )
      IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection ],
    function ( F, G )

    ;

    # first compute `N' where `CF(N)' contains the intersection;
     the stabilizers modulo `N', i.e. intersect
    # `F' and `G' with `CF(N)';
    # then compute the corresponding stabilizer, i.e. the product of
    # stabilizers.
   N: ( Conductor(F), ( G) ;
    stabF:= Set( if not gens.generators[1] in stabilizer then
    stabG:=Set( aloisStabilizer ) x -> x mod N );
    stab      java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [10, 11) out of bounds for length 10
    for i in stabF do
      for j in stabG do
        if gens[[]instabilizer
      od;
    od;

    # (If a reduction is necessary, `NF' will do.)
    return AbelianNumberField( N, stab );
    end );


#############################################################################
##
#M  GeneratorsOfDivisionRing( <F> ) .  field gens. of an abelian number field
#M  GeneratorsOfAlgebraWithOne( <F> )
##
##  We have a primitive element of the field extension over the Rationals,
##  thus its powers form a basis.
##
Perform( [ GeneratorsOfDivisionRing, GeneratorsOfAlgebraWithOne ],
  function( op )
InstallMethod( op,
    "for abelian number field of cyclotomics",
    [ java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 16 out of bounds for length 11
    function else
       local ejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 12 out of bounds for length 12
) );
    return [ Sum( GaloisStabilizer( F ),      := gens.[];
    end );
  end )


#############################################################################
##
#M  Conductor( <F> )  . . . . . . . . .  conductor of an abelian number field
##
InstallOtherMethod
    "    if N<  then
    stabilizer   
    F- Conductor(GeneratorsOfField( F ) ) );


#############################################################################
##
#M  Subfields( <F> )  . . . . . . . . .  subfields of an abelian number field
##
##  The Galois group of an abelian number field is abelian,
##  so the subfields are in bijection with the conjugacy classes of subgroups
##  of the Galois group.
##
InstallMethod
    "for abelian number field of cyclotomics",
    [ IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection ],
##  fixed field of the group generated by <stab> (prime residues modulo <N>)
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [22, 21) out of bounds for length 69
    n:= F; 
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
returnSet(ConjugacyClassesSubgroups GaloisGroup   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 62 out of bounds for length 62
                      ( stab
                             List( GeneratorsOfGroup;
                                   
     )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 10 out of bounds for length 10


#############################################################################
##
#M  PrimeField( <F> ) . . . . . . . . . . . . . . for an abelian number field
##
InstallMethod( PrimeField
    "for abelian java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 23 out of bounds for length 0
    [ IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection ],
     ->Rationals );


#############################################################################
##
#M  FieldExtension( <subfield>, <poly> )  . .  extend an abelian number field
##
InstallOtherMethod( FieldExtension,
    "for             N,stabilizer )
#T CollPoly
    [ java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 25 out of bounds for length 2
##
    (F poly )

    local coeffs, root;

coeffs=CoefficientsOfLaurentPolynomial( poly );
    coeffs:= ShiftedCoeffs( coeffs[1], coeffs[2] );

    if not IsSubset( F, coeffs ) then
      Error( "all coefficients of <poly> must lie in <F>    if IsPrimeField( LeftActingDomain( F ) ) then
    elif 3 <Length( coeffs ) then
      TryNextMethod();
    elif Length( coeffs ) <= 1 then
     Error("<oly must have degree at least 1" );
    elif Length( coeffs ) = 2 then

      # `poly' is a linear polynomial.
      rootfi;
      F:= AsField( F, F );

    else

      # `poly' has degree 2.
      # The roots of `a*x^2 + b*x + c' are
      # $\frac{ -b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a}$.
           IsPrimeFieldIsPrimeField( LeftActingDomain( F ) ) then
      if not IsRat(      ("CF(",Conductor(  ),"" )
        TryNextMethod(;
      fi;
      [2] ) / (2 *coeffs[3] )
      F:= AsField( F, FieldByGenerators(
                 Concatenation( GeneratorsOfField( F ), [ root ] ) ) );

    fi;

    # Store the defining polynomial, and a root of it in the extension field.
    SetDefiningPolynomial( F, poly );
    SetRootOfDefiningPolynomial##

    return ;
    end );


#############################################################################
##
#M  Conjugates( <L>, <K>, <z> )
##
lMethod(Conjugates
    " two abelian number fields of cyclotomics, and cyclotomic",
    IsCollsXElms,
    [ IsAbelianNumberField and       Print( "AsField( ", LeftActingDomain(,
      IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection, IsCyc ],
   function L K,z)

    local N, gal, gens, conj, pnt;

    N:= java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 14 out of bounds for length 10


        ( 

    if not Print( "CF,(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [33, 32) out of bounds for length 42

      # take only the subgroup of `gal' that fixes the subfield pointwise
      gens:= GeneratorsOfField( K );
 gal= Filtered gal,
                      x -> ForAll( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 39 out of bounds for length 0
    fi;

    # get representatives of cosets of the Galois stabilizer
    conj:= [];
    gens:= GaloisStabilizer( L );
    while gal <> [] do
      pnt: gal[1;
Add( conj, GaloisCyc( z, pnt ) );
      SubtractSet( gal, List( gens, x -> ( x * pnt ) mod N
    od;

    F ,"");
    end );

InstallMethod        AsField ,String (F) )
    "cycl.field of cyclotomics   field,and cyclotomic"",
    IsCollsXElms,
  ,
      IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7
 L K,z)

    local conj, Kgens, i;

    if not z in L then
      ( "z must lie in <L>" );
    fi;

    if IsPrimeField( K     :=Conductor( F );
      conj:= List
                    - GaloisCyc(z i  )
    else
      conj:= [];
      Kgens:= GeneratorsOfField( K );
      java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [27, 9) out of bounds for length 49
 ForAll Kgens  > GaloisCyc(x i ) =x )then
          Add( conj, GaloisCyc( z, i ) );
        fi;
      od;
   fi;

    return conj;
    end );


#############################################################################
##
#M  Norm( <L>, <K>, <z> )
##
(
    "",(,Stringn )" 
    IsCollsXElms;
    [ java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 14 out of bounds for length 0
      IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection, IsCyc ],
    function( L, K, z )
    local N, gal, gens, result##  <F1> is smaller than <F2> if and only if <F1> has a smaller conductor,

    N:= Conductor( L );

    # automorphisms of the conductor
    gal:= "for two abelian number",

    if not IsPrimeField( K ) then

      # take only the subgroup of `gal' that fixes the subfield pointwise(F1 )
      : K;
          end )
                   -ForAll gens - y x    )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 72 out of bounds for length 72
    fi;

    function( F1 F2 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 23 out of bounds for length 23
    result:= 1;
    =GaloisStabilizer  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 33 out of bounds for length 33
    while gal <> [] do
      pnt:= gal[1];
      result:= result * GaloisCyc( z, pnt );
      SubtractSet( gal, List( gens, x -> ( x * pnt ) mod N ) );
    od;

    return result;
    end##

InstallMethod( Norm,
    "for cycl. field of cyclotomics, ab. number field, and cyclotomic",
    IsCollsXElms,
    [ IsCyclotomicField and ,  IsCyclotomicCollection
IsAbelianNumberField java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [54, 53) out of bounds for length 63
    function( L, K, z )

    end)

   result:= 1;
    if IsPrimeField( K ) then
      fori  PrimeResidues( Conductor(L) )do
);
      od;
    else
      Kgens:= GeneratorsOfField( K );
      for i in PrimeResidues(Conductor( L ) ) do
        if ForAll( Kgens, x -> GaloisCyc( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 43) out of bounds for length 10
          result:= result * GaloisCyc( z, i );
        fi;
      od;
    fi;

    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [17, 10) out of bounds for length 18
    end );


#############################################################################
##
#M  Trace( <L>, K>, <z> )
##
   return CyclotomicField(GcdInt((Conductor F ) Conductor(G) ));
    "for two abelian number fields of java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 45 out of bounds for length 10
    IsCollsXElms,
    [ IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection,
      IsAbelianNumberField and java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 39 out of bounds for length 21
    function( L, K, z )
    local N, gal, gens, result, pnt;

    N:= Conductor( L );

    # automorphisms of the conductor
    gens:= GeneratorsOfField( K );
    gal:= PrimeResidues( N    :=GcdConductor(F )   ) );

(  

      
      gal:= Filtered( gal,
                      x -> ForAll( gens, y -> GaloisCyc( y, x ) java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 10 out of bounds for length 10
    fi;

    # get representatives of cosets of `GaloisStabilizer( L )'IsCyclotomicFieldand IsCyclotomicCollection ],
    result( , 
    gens:= GaloisStabilizer( L );
    while gal <> [] do
      pnt:= gal[1];
      result:= result + GaloisCyc( z, pnt );
      SubtractSet(gal,List gens, x - (x * pnt ) mod N ) )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 63 out of bounds for length 63
    od;

    return result;
    end );

InstallMethod( Trace,
    "for cycljava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    IsCollsXElms,
    [ IsCyclotomicField and IsCyclotomicCollection,
      IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection, 
    function( L, K, z )
    local i, result, Kgens;
    result:= 0;
    if IsPrimeField( K ) then
fori  PrimeResidues((Conductor( L  ) do
        result
      od;
    else
      Kgens:= GeneratorsOfField( K );
      for i in PrimeResidues( Conductor( L ) ) do
        if ForAll( Kgens, x -> GaloisCyc( # then computethecorresponding stabilizer, i.e. the product of
          result:= result +    : GcdInt( Conductor( F , Conductor( G ) );
        fi;
      od;
    fi;

    return result;
    end );


#############################################################################
##
#F  ZumbroichBase( <n>, <m> )
##
##  returns the set of exponents `e' for which `E(n)^e' belongs to the
##  (generalized) Zumbroich base of the cyclotomic field $Q_n$,
##  viewed as vector space over $Q_m$.
##
##  *Note* that for $n \equiv 2 \bmod 4$ we have
##  `ZumbroichBase( <n>, 1 ) = 2 * ZumbroichBase( <n>/2, 1 )' but
##  `List( ZumbroichBase(  <n>, 1  ), x -> E(  <n>  )^x ) =
##   List( ZumbroichBase( <n>/2, 1 ), x -> E( <n>/2 )^x )'.
##
InstallGlobalFunction##

    local nn, base, basefactor, factsn, exponsn, factsm, exponsm,##  thus its powers form a basis.
Perform([GeneratorsOfDivisionRingGeneratorsOfAlgebraWithOne ],

      
      ( "m must be a divisor of <n>" );
    fi;

    factsn=Factors(Integers,n );
        e:E ConductorF  );
     (primes,  - 0 );   # Product(List( [1..Length(primes)],
                                        #         x->primes[i]^exponsn[i]))=n
    p:= factsn[1];
    pos:= 1;
    for i in factsn do
      if i > p then
        p:= ijava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 14 out of bounds for length 14
       pos:  ;
      fi;
        =exponsn pos]+1
    od;

    factsm:= Factors(Integers, m );
    exponsm:= List( ##  The Galois group of an abelian number field is abelian,
                                         #         x->primes[i]^exponsm[i]))=m
    if m <> 1java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [14, 13) out of bounds for length 25
      =factsm]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 20 out of bounds for length 20
      pos:= Position( primes, p );
      forinfactsm do
         i pthen
          p     Set(ConjugacyClassesSubgroups GaloisGroup F )),
          pos:= Position( primes, p );
        fi;
        exponsm[ pos ]:= exponsm[ pos ] +                            (GeneratorsOfGroup Representative(x),
      od;
    fi;

    base:= [ 0 ];
    if n = 1 then
      return#M  PrimeField( <F> ) . . . . . . . . . . . . . . for an abelian number field
    fi;

    if primes[1] = 2 then

#specialcase:J_k}  \{0,1 \$
      if exponsm[1] = 0 then exponsm[1]:= 1; fi;    # $J_{0,2} = \{ 0 \}$

      nn:= n /M  FieldExtension( <subfield>, <poly> )  . .  extend an abelian number ##

 )
        Append,root
        nn:=coeffs=CoefficientsOfLaurentPolynomial)
      od;
      pos
    else
      pos:= 1;
    fi;

    foriin  pos ..Length( primes ) ] do

m i] 
        basefactorLength(coeffs )< 1then
        base:=       Error ">must have degree at least 1" );
        exponsm[i]:    Length( )=2 
      fi;

      basefactor:= [- (primes[i] - 1 ) / 2 .. ( primes[i] - 1 ) / 2 ]
*   iei;

      for k in [ exponsm[i] .. java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 35 out of bounds for length 0
        basefactor:= basefactor / primes      
        base      # $\frac{ -b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a}$.
      d
    odi     if not IsRat(root ) then
   return (base,x >x modn );
end );


#############################################################################
##
#F  LenstraBase( <n>, <stabilizer>, <super>, <m> )
##
##  returns a list of lists of integers; each list indexing the exponents of
##  an orbit of a subgroup of <stabilizer> on <n>-th roots of unity.
##
##  <super> is a list representing a supergroup of <stabilizer> which
##  shall act consistently with the action of <stabilizer>, i.e., each orbit
##  of <supergroup> is a union of orbits of <stabilizer>.
##
##  ( Shall there be a test if this is possible ? )
##
##  <m> is a positive integer.  The basis described by the returned list is
##  an integral basis over the cyclotomic field $\Q_m$.
##
##  *Note* that the elements are in general not sets, since the first element
##  is always an element of `ZumbroichBase( <n>, <m> )';
##  this property is used by `NF' and `Coefficients'.
##
##  *Note* that <stabilizer> must not contain the stabilizer of a proper
##  cyclotomic subfield of the <n>-th cyclotomic field.
##
##  We proceed as follows.
##
##  Let $n'$ be the biggest divisor of $n$ coprime to $m$.
##  First choose an integral basis $B$ for the extension $\Q_{n'} / \Q$
##  (equivalently, for $\Q_{n} / \Q_{n/n'}$).
##  For each element of $B$ choose an integral basis for $\Q_{n/n'} / \Q_m$,
##  namely a transversal of $E_m$ in $E_{n/n'}$ where $E_n$ denotes the
##  group of $n$-th roots of unity.
##
##  The products of elements in these bases form an integral $\Q_m$-basis
##  of $\Q_n$.
##  Now we choose the bases in such a way that ...
##
InstallGlobalFunction(#

    local i,
          k,
          factors,           # factors of `n'
                      # set of prime divisors of `n'
          coprimes,          # set of prime divisors of `n' coprime to `m'
          ,            biggest divisor of n coprime `'
          NN,                od;
          zumb,              # exponents of roots in the basis of `CF(n)'
          N2,                    end;
          No,                # odd part of `n'
       # roots in basis of `CF(n/nprime) / CF(m)',
                             # written as `n'-th roots    ,
          orbits,
          ,
          orb,
          
          ,
   then
          ("<> must lie in <>")
          neworbits,
          rep,
          super,
          H1;

    # We may assume that either `m' is odd or $4$ divides `m'.
    ifm  4 =2 hen
      m:= m / 2;
    fi;

rs=Integers ;
    primes   ( Kgens,x -> (       
    : Filtered primes, x- m mod x < 0)
    nprime           fi;

    NNjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    zumb:java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    transversal := List( ZumbroichBase( n / nprime, m ), x -> x * nprime );
    stabilizer:= Set( stabilizer );
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 10 out of bounds for length 2

    if nprime = NN java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [53, 23) out of bounds for length 54

      # $n'$ is squarefree.
    :Conductor(  ;
      # we do not consider equivalence classes since they are all trivial,
       and `supergroup' is obsolete since `zumb' describes a normal basis.

      # *Note* that if $n'$ is even then `zumb' does not consist of
      # at least `NN'-th roots!

      while 0 < Length( zumb ) do

        Compute the orbit of `stabilizer' of a point in `zumb'.
        pnt:= zumb[1];

        # For each root in `transversal', compute the orbit of `n'-th roots
        # under `stabilizer'.
        neworbits:    whilegal>[ do
                          root -> List(  pnt=gal[]
                                         >(root +   mod n));
        SubtractSet( zumb, neworbits[1] );
        Append( orbits, neworbits );

      od;

    else

      # Let $d(i)$ be the largest squarefree number whose square divides the
      # order of $e_{n'}^i$, that is $n' / \gcd( n', i )$.    for cycl.of ,ab.numberfield,cyclotomic",
      # Define an equivalence relation on the set $S$ of at least `NN'-th
      # roots of unity.
      # $i$ and $j$ are equivalent iff $n'$ divides $( i - j ) d(i)$.  The
      # equivalence class $(i)$ of $i$ is
      # $\{ i + k n' / d(i) ; 0 \leq k \< d(i) \}$. ;

' ,replace those  in S with order
      # not divisible by 4 by their negatives.
      # (Equivalently\: Replace *all* elements in $S$ by their negatives.)

      # If 8 does not divide $n'$ and $n' \not= 4$, `zumb' is a subset of $S$,
      # the intersection of $(i)$ with `zumb' is of order $\varphi( d(i) )$,
      # it is a basis for the $Z$--submodule spanned by $(i)$.
      # Furthermore, the minimality of `n' yields that `stabilizer' acts fixed
      # point freely on the set of equivalence classes.

      # More exactly, fixed points occur exactly if there is an element `s' in
      # `stabilizer' which is congruent $-1$ modulo `N2' and congruent $+1$
      # modulo `No'.

      # The base is constructed as follows\:
      #
      # Until all classes are touched:
      # 1. Take a point `pnt' (in `zumb').
      # 2. Choose a maximal linear independent set `pnts' in the equivalence
      #    class of `pnt' (the intersection of the class with `zumb').
      # 3. Take the `stabilizer'--orbits of `pnts' as base elements;
      #    remove the touched equivalence classes.
      [ IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection,
      #    If `rep' maps `pnt' to an equivalence class that was not yet
      #    touched, take the `stabilizer'--orbits of the images of `pnts'
      #    under `rep' as base elements;
      #    remove the touched equivalence classes.

      # Compute nontriv. representatives of `supergroup' over `stabilizer'.
      =( ,stabilizer ;
      supergroup: ]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 22 out of bounds for length 22
          if not (   
        pnt:= super[1subgroup of `gal' that fixes the subfield pointwise
        Add( supergroup, pntx- (gens,  -GaloisCyc  )=  ) ;
        SubtractSet( super, List( stabilizer    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7
      od;

      # Compute 2-part and odd part of $n'$.
      N2 := 1;
      No :=       result:= resu: +GaloisCyc(z,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 44 out of bounds for length 44
      while No mod 2 = 0 do
        N2:= N2 * 2;
        No:=No /2
      od;

      # Compute the subgroup `H1' of `stabilizer' that acts fixed point
      # freely on the set of equivalence classes,
      # and the element `a' that (if exists) fixes some classes pointwise.
      H1 := [];
      a  := 0;
      for k= 0;
        if k mod 4 = 1 then
          Add( H1, k );
        elif ( k -1 ) mod No = 0
                     N2 00  (k    2)mod N2 =  then
          a:= k;
        fi;
      od;
      if a = 0 then
        H1:= stabilizer;
      fi;

      while java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

        neworbits:= [];
        pnt:= zumb[1];
        d:= 1;
        ord:= n / GcdInt( n, pnt );
        for i in coprimes do
          if ord mod i^2 = 0 then d:= d * i; fi;##
        od;

        if ( a = 0 ) or ( ord mod 8 = 0 )#  *Note* that for $n \equiv 2 \bmod 4$ we have

          ##   List( ZumbroichBase( <n>/2, 1 ), x -> E( <n>/2 )^x )'.

          for k in [ 0 .. d-1 ] do

            # Loop over the equivalence class of `pnt',
            # consider only the points in `zumb'.

            ppnt:= pnt + k * n / d;
            if ppnt in zumb then

:=List stabilizer,x->(ppnt *x )mod n;
              Append( neworbits,
                          exponsn:= List( primesx - 0)    L( [1..java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [67, 66) out of bounds for length 76
                            root -> List( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 48 out of bounds for length 18
                                       x -> ( root + ppnt ) * x mod n ) )      i>p then

            fi java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [38, 35) out of bounds for length 42
          od;

       elif mod4  0 then

          # `a' maps each point in the orbit of `H1' to its inverse,
          # we ignore all these points.
          orb:= List( stabilizer, x -> ( pnt * x ) mod n );

        else

          # The orbit of `H1' is pointwise fixed by `a'.
          for k in [ 0 .. d-1 ] do
            ppnt:= pnt + k * n / d;
            if ppnt in zumb java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 30 out of bounds for length 7

              orb:= List( H1, x -> ( ppnt * x ) mod n );
              Append( neworbits,
                      List( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 38 out of bounds for length 0
                            root -> Listjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
                                       >( + ) *  mod nn   ;

            fijava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 15 out of bounds for length 15
                for k  in  1 .exponsn[1]-1  

        nn=nn /2;

        # Remove the equivalence classes of all new points from `zumb'.
        for pnt in orb do
          SubtractSet( zumb, List( [ 0 .    i [ pos .. Length( primes ) ] do
                                   k -> ( pnt + k *       if   [ >0 then
        od;

        Append( orbits, neworbits );

        # use `supergroup'\:
        
        # `( pnt * rep ) mod nprime' ?
        # (Note that the factor group `supergroup / stabilizer' acts on then/i]^xponsm[i];
        # set of unions of orbits with equivalent elements.)

         rep supergroup do

          # is there an `x' in `zumb' that is equivalent to `pnt * rep' ?
          if ForAny( zumb, x -> ( ( x - pnt * rep ) * d ) mod n = 0 ) then
            Append( orbits, java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
                              ##
            for ppnt in Last(orbits) do
              SubtractSet( zumb, List( [ 0..d-1 ],
                              k -> (##
            od;
          fi;
        od;

      od;
    fi;##

    # Return the list of orbits.##  an integral basis over the cyclotomic field $\Q_m$.
    return orbits;
end );


#############################################################################
##
#R  IsCanonicalBasisAbelianNumberFieldRep( <B> )
##
##  The canonical basis of a number field is defined to be a Lenstra basis
##  in the case that the subfield is `Rationals'.
#T extend this to the case where the subfield is a cyclotomic field!
##  In all other cases a normal basis is chosen.
##
DeclareRepresentation( "IsCanonicalBasisAbelianNumberFieldRep",
    IsAttributeStoringRep,
    [ "coeffslist", "coeffsmat", "lenstrabase", "conductor" ] );


#############################################################################
##
#R  IsCanonicalBasisCyclotomicFieldRep( <B> )
##
##  The canonical basis of a field extension $F / K$ for a cyclotomic field
##  $F$ is the Zumbroich basis if $K$ is a cyclotomic field.
##  Otherwise it is a normal basis.
##
DeclareRepresentation(          ,# set of prime divisors of `n' coprime to `m'
    IsCanonicalBasisAbelianNumberFieldRep,
    [ "zumbroichbase" ] );


#############################################################################
##
#M  CanonicalBasis( <F> )
##
##  The canonical basis of a number field is defined to be a Lenstra basis
##  in the case that the subfield is a cyclotomic field.
##
##  In all other cases a normal basis is chosen.
##
InstallMethod( CanonicalBasis,
          ,
    [ IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection ],
    function ( F )

    local N,             # conductor of `F'
          k,
          lenst,
          i,
          B,
          ,
          normalbase
              coprimes := Fi(primes,x->m x<;
          m
          j,
Cjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 12 out of bounds for length 12
      coeffsmatjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 20 out of bounds for length 20
          ,
          l;

    # Make the basis object.
    B:=      =NNthen
                                IsFiniteBasisDefault
                                  # We have a normal basis   `umb',
                            and IsCanonicalBasisAbelianNumberFieldRep ),      
                   rec() );
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 19 out of bounds for length 0

    if         Compute the orbit of `stabilizer' of a point in `zumb'.

      # Compute the standard Lenstra basis and the `coeffslist' component.
              neworbits:= List( transversal,
       must    basis to a
      # `GaloisStabilizer( F )'-normal basis,
      # and afterwards choose coefficients with respect to that basis.
      # In the case of fixed points, only the subgroup `H1' of index 2 in
      # `GaloisStabilizer( F )' acts fixed point freely;
# change aH1-normal basis, and afterwards choose coefficients.

      # For this basis <B> we want a component `coeffslist' such that
      # in the special case of a field over the rationals we have
      # `CoeffsCyc( z, N ){ <B>!.coeffslist } = Coefficients( <B>, z )'.

      =(F ;
      lenst:= LenstraBase( N, GaloisStabilizer( F ), java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 62 out of bounds for length 0
                           Conductor( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 51 out of bounds for length 23

      # Fill in additional components.
      SetBasisVectors( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 74 out of bounds for length 38
                                x# equivalence class $(i)$ of $i$ is
      B!.coeffslist  := MakeImmutable(List( lenst, x -> x[1] + 1 ));
      B!lenstrabase : MakeImmutable(lenst)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 45 out of bounds for length 45
      !conductor   : N;
#T better compute basis vectors only if necessary
#T (in the case of a normal basis the vectors are of course known ...)
      java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [6, 1) out of bounds for length 62

    else

      # A basis of an extension of a number field is a normal basis.
#T handle extensions of cycl. fields specially!!
      # Coefficients can be computed using a tensor form basis for that
      # the base change relative to the Lenstra basis (relative to the
      java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 42 out of bounds for length 42

      # Let $(v_1, \ldots, v_m)$ denote a basis of `subfield' and
      #     $(w_1, \ldots, w_k)$ denote a basis of `F';
      #
      # is a basis of `F' over the rationals.
      # First change from the Lenstra basis to this basis; the matrix is `C'.

      normalbase:= NormalBase( F#    remove the touched equivalence classes.
      #java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 75 out of bounds for length 75
      BB:= CanonicalBasis( AbelianNumberField( Conductor
                                               GaloisStabilizer( F ) ) );
      m:= Length( subbase );
      k: Length normalbase );
              Add(   )
      C:= [];
      for j in normalbase do

        # Compute the Lenstra basis coefficients.
        for# 2- java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [27, 26) out of bounds for length 44
          AddNo :nprimejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 19 out of bounds for length 19
        od;

      od;
      C:= C^(-1);

      # Let $(c_1, \ldots, c_{mk})$ denote the coefficients with respect
      # to the new base.  To achieve `<coeffs> \* normalbase = <z>' we have
      # to take $\sum_{i=1}^m c_{i+m(j-1)} v_i$ as $j$--th coefficient:

      for k indo
      for i in [ 1 .. Length( C ) ] do     # for all rows
        coeffsmat[i]:= [];
        for j in [ 1 .. k ] do
          val:= 0;
          for l in [ 1 ..        ;
            val:= val + C[i][       java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [11, 10) out of bounds for length 19
od
          coeffsmat[i][j]:= 
        od;
      od;

      # Multiplication of a Lenstra basis coefficient vector with
      # `coeffsmat' means first changing to the base of products
      # $v_i w_j$ and then summation over the parts of the $v_i$.

      SetIsNormalBasis( B, true )        if a =0  or ( mod 8 =  )then
      SetBasisVectors( B,          # No `H1'-orbit can be fixed by `a'.
      B!.coeffslistjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [16, 15) out of bounds for length 34
      B!.coeffsmat  := coeffsmat;
      B!.conductor  := N;

    fi;

    # Return the canonical basis.
         Append( neworbits,
    end );


#############################################################################
##
#M  Basis( <F> )
##
od;
    "for abelian number        elif  mod 4=0then
    [ IsAbelianNumberField and inthe of`1   inverse
    CANONICAL_BASIS_FLAGS,
    CanonicalBasis )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 21 out of bounds for length 21


#############################################################################
##
#M  Coefficients( <B>, <z> )  . . . . .  for canon. basis of ab. number field
##
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [12, 4) out of bounds for length 35
    "for canonical basis of abelian number field,  orb:List( H1,x -  ppnt*x ) mod n ;
    IsCollsElms,
    [IsBasis IsCanonicalBasisandIsCanonicalBasisAbelianNumberFieldRepjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 77 out of bounds for length 77
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [12, 11) out of bounds for length 14
     (,z)
    local V,
          F,
          coeffs,
          n,
          m,
          zumb,
          NN,# Remove the equivalence classes of all new points from `zumb'.
          Em;

    if notSubtractSet  List  0.  ,
      return fail;
    fi;

    V:= UnderlyingLeftModule          neworbits)
    F:= LeftActingDomain

    # The information about the standard Lenstra basis coefficients
    # is stored in `B!.coeffslist'.
    ifjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 60 out of bounds for length 60

      # Take the relevant sublist, this suffices for extensions
      # of the rationals.
:java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [25, 24) out of bounds for length 61

 ( F 

      # `B' is an integral basis of an extension of a cyclotomic field $\Q_m$,
      # the coefficient of the root $\zeta$ is      # the coefficient of the root $\zeta$ is
      # $\sum_{\eta\in\B_m} a_{\eta\zeta} \eta$.

      coeffs:= CoeffsCyc( fi
      n:= Conductor( Vjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
      m:= Conductor( F
      zumb:= java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [18, 17) out of bounds for length 18
      NN:= n/m;
      Em:= ##
      coeffs:= List(##
                j->Sum( zumb, k->coeffs[ ((k*NN+j##  in the case that the subfield is `Rationals'.

    fi;

    if IsBound( B!.coeffsmat ) then

      # Compute the coefficients with respect to the field extension.
      coeffs= ,B.onductor ) B!coeffslist } * B!.coeffsmat;

    fi;

    # Return the coefficients list.
    return coeffs;
    end );


#############################################################################
##
#M  FieldByGenerators( <cycscoll> )
#M  FieldByGenerators( <F>, <cycscoll> )
##
InstallOtherMethod( FieldByGenerators,
    "for collection of cyclotomics",
    [ IsCyclotomicCollection ],
    function( gens )

    local N, stab;

    N:= Conductor( gens

    # Handle trivial cases.##
    if   N = 1 "for abelianumber ofcyclotomics"
      return Rationals;
    elif N = 4 then
      return GaussianRationals;
    fi;

   # Compute the reduced stabilizer info.
    B
                      - ForAll(gens,
                                  gen -> GaloisCyc( gen, x ) = gen ) );

    # Construct and return the field.          jjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 12 out of bounds for length 12
    return AbelianNumberFieldByReducedGaloisStabilizerInfoval,
               stab );
    end)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 10 out of bounds for length 10

InstallMethod FieldByGenerators,
    "for field and collection, and IsCanonicalBasisAbelianNumberFieldRep )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 72 out of bounds for length 72
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [19, 18) out of bounds for length 19
,
    function

        SetIsFinite(D  # If `GaloisStabilizer( F )' acts fixed point freely on the

        SetIsWholeFamily( ' ,

    ## In the case of fixed points, only the subgroup `H1' of index 2 injava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 44 out of bounds for length 44

      # Handle trivial cases.function()
            
        return     rec( defaults := [ java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [65, 30) out of bounds for length 65
      elif N = 4 then#F  CyclotomicField( <gens> )
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
      fi


      xtension:arg[1];
      gens:= Concatenation( gens, GeneratorsOfField         and IsField( arg[1]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 30 out of bounds for length 30
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7

#  the  stabilizerinfo.
    stab:= Filtered( PrimeResidues( N ),
                     x -> ForAll( gens.conductorconductor   =
                                  gen -> GaloisCyc( gen, x ) = #T (in the case of a normal basis the vectors are of course known ...)

    # Construct and return the field.
    return # A basis of an extension of a number fieldanormal java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 68 out of bounds for length 68
    end # Coefficients computed a tensor formjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 71 out of bounds for length 71


#############################################################################
##
#M  DefaultFieldByGenerators( <cycscoll> )
##
InstallMethod( DefaultFieldByGenerators,
    "for collection of cyclotomics",
    [  ],
    gens- CyclotomicField(Conductor(gens ) ));


#############################################################################
##
#M  CanonicalBasis( <F> )
##
##  The canonical basis of a field extension $F / K$ for a cyclotomic field
##  $F$ is the Zumbroich basis if $K$ is a cyclotomic field.
##  Otherwise it is the first normal basis.
##
InstallMethod( CanonicalBasis,
    "for cyclotomic field of Add( C, Coefficients( BB,* )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 44 out of bounds for length 44
     IsCyclotomicField IsCyclotomicCollection,
    function#F  ReducedStabilizerInfo( <N>, <stabilizer> )

    local n,
          ,
          # to take $sum_i1^m c_{+mj-) v_i$asN=  /2;
          subfield,
          zumb,
          java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
          vectors,
          jk,l,
          C,
          coeffsmat,
    val;

n= Conductor( F);

    B:= # the          i[]=val;
                                 not gens.generators[1][1] in stabilizer
                            IsCanonicalBasis
                            and java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 60 out of bounds for length 36
                   rec() );
    SetUnderlyingLeftModule( B, F );
    B!.conductor:= java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0

    subfield:= java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 9 out of bounds for length 9

if( )then

      

      # Construct the Zumbroich basis.##  in the cyclotomic field with conductor <N>.
      java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

    else

      # Compute a normal basis.

        (. .s(<F>)
  #     $(w_1, \ldots, w_k)$ denote `vectors'.
      # Define $u_{i+m(j-1)} = v_i w_j$.  Then $(u_l; 1\leq l\leq mk)$
      # is a $Q$-basis of `F'.  First change from the Zumbroich basis to
      

     zumb: ZumbroichBase( n, 1)+ 1;
      subvectors := BasisVectors( Basis( subfield )              GaloisStabilizer( F ), ")" );
      vectors:   )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 36 out of bounds for length 36
      m:= Length( subvectors );
k=  )
      : [;
      for j in<F> ) . . . . . . . . . . . . . . print an abelian number field
        Print( "NF(", ,""java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 40 out of bounds for length 40
          Add( C, CoeffsCyc( i*j, n;
        od  andjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [51, 50) out of bounds for length 53
      od;
      C: C^-)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 17 out of bounds for length 17

      # Let $(c_1, \ldots, c_{mk})$ denote the coefficients with respect##
      # to the new basis.
      To achieve `<coeffs> \* BasisVectors( <B> ) = <z>' we have
      # to take $\sum_{i=1}^m c_{i+m(j-1)} v_i$ as $j$--th coefficient\:

java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 54 out of bounds for length 21
      for
        coeffsmat[i      and  ,
        for j in [ 1 .. k ] do
          val:= 0;
          l in [ 1  .. m] do
im(1+ java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [55, 54) out of bounds for length 58
          F) java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 36 out of bounds for length 36
                # `B' is an int  of java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [49, 48) out of bounds for length 78
        od;
      ;

      SetBasisVectors( B, vectors #
      java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [23, 22) out of bounds for length 34

      B!.zumbroichbase java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
      ,

    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

    # Return the basis.
    return B;
    end


#############################################################################
##
#M  BasisVectors( <B> )
##
InstallMethod( Perform( [ GeneratorsOfDivisionRing, GeneratorsOfAlgebraWithOne ],
    "for canon. basis of cyclotomic field of cyclotomics",
    [ IsBasis and "for abelian number field of cyclotomics",
        [ IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection ],
    local e;
    # Basis vectors are bound if the subfield is not a cycl. field.
#T ??
    e##
    return 
    end )forabelian field cyclotomics,


#############################################################################
##
#M  Coefficients( <B>, <z> )  . . . . . . . . for canon. basis of cycl. field
##
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [15, 13) out of bounds for length 28
" java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [19, 18) out of bounds for length 62
    IsCollsElms,
    [ end 
      IsCyc ],
    function( B, z )
    local N,
          coeffsjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [30, 26) out of bounds for length 54
          m,
          zumb,
          NN,
          Em;

    F:= UnderlyingLeftModule( B );
    if not z in F then return fail; fi;

    N:= B!.conductor;

      # `poly' is a linear polynomial.
    coeffs:= CoeffsCyc( z, N );
    if coeffs =

    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 28 out of bounds for length 28

   if   IsPrimeField F )then

      # Get the Zumbroich basis coefficients (basis $B_{n,1}$)= ((root) -coeffs[] /2 *coeffs[ );
      coeffs:= coeffs{ B!.(   ,   root]  );

    elif IsCyclotomicField( F ) then

      # Get the Zumbroich basis coefficients (basis $B_{n,m}$) directly.
      m:= java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 19) out of bounds for length 13
#############################################################################
      NN:= N/m;
      Em:= E(m);
      coeffs:= List(  IsCollsXElms,
                     j->Sum( IsAbelianNumberField and IsCyclotomicCollection

    

      # The subfield is not a cyclotomic field.
      # The necessary information is stored in `B!.coeffsmat'.
      { B!zumbroichbase +}*B.oeffsmat;

    fi;

    # Return the list of coefficients.x- ForAll(gens  - GaloisCyc y x       Em=(;
    return coeffs;
    conj: [java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 14 out of bounds for length 14


#############################################################################
##
##  Automorphisms of abelian number fields
##


#############################################################################
##
#R  IsANFAutomorphismRep( <obj> )
##
DeclareRepresentation( "IsANFAutomorphismRep",
    IsAttributeStoringRep, [ "galois" ] );


#############################################################################
##
#P  IsANFAutomorphism( <obj> )
##
DeclareSynonym( "IsANFAutomorphism", IsANFAutomorphismRep
    and IsFieldHomomorphism
    and IsMapping
    and IsBijective );


#############################################################################
##
#M  ExponentOfPowering( <map> )
##
InstallMethod( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [34, 33) out of bounds for length 34
    "for [ IsAbelianNumberField and 
    [ IsMapping and IsANFAutomorphismRep ],
    map -> map!.galois );

InstallMethod( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 29
    "for an identity mapping",
    [ IsMapping and IsOne ],
    map -1)

InstallMethod( ExponentOfPowering,
    "for a java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 18 out of bounds for length 0
    [ IsMapping ],
 )
    if IsOne( map ) then
      return 1java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 15 out of bounds for length 15
    else )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 10 out of bounds for length 10
      TryNextMethod();
    ;
    end );


#############################################################################
##
#F  ANFAutomorphism( <F>, <k> )  . .  automorphism of an abelian number field
##
InstallGlobalFunction( ANFAutomorphism, function ( F, k )

    local galois, aut;

    # check the arguments
     notnot( IsAbelianNumberField(F)and IsCyclotomicCollection(F) ) hen
      Error("<F> must be an abelian number field consisting of cyclotomics");
     notIsRat(k  then
      Error( "<
#M  Trace( <L>, K>, <z> )
     not
#T this is a hack ...
      :  mod ( ;
    fiand IsCyclotomicCollection IsCyc]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 63 out of bounds for length 63
    if Gcdjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 36 out of bounds for length 36
      Error( "<k>     if not IsPrimeFiel( K  then
    fi;

    # Let $F / K$ be a field extension where $Q_n$ is the conductor of $F$;
     let $S(F)$ be the group of those prime residues mod $n$ that fix $F$
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    # to $S(K) / S(F)$.  Thus each automorphism of $F / K$ corresponds tojava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [14, 13) out of bounds for length 21
    # a coset $c$ of $S(K)$, and it acts on $F$ like each element of $c$.
    # The automorphism `ANFAutomorphism( F/K, k )' maps $x\in F / K$ to
    # `GaloisCyc( <x>, k )'.

ive.
    galois:= Set(GaloisStabilizer;
    if=java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [2, 1) out of bounds for length 2
      ##  viewed as vector space over $Q_m$.
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [27, 6) out of bounds for length 27
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [10, 9) out of bounds for length 18
    # make the mapping
aut=( ,,
  ponsm:= List( primes, x -> 0 );    # Product(List( [1..Length(primes)],
                         and IsANFAutomorphism ),
                     rec() );

    aut!.galoisp: i;

    return aut;;
end );


#############################################################################
##
#M  \=( <aut1>, <aut2> )  . . . .  for automorphisms of abelian number fields
#M  \=( <id>, <aut> ) . . . . . .  for automorphisms of abelian number fields
#M  \=( <aut>, <id> ) . . . . . .  for automorphisms of abelian number fields
##
InstallMethod( \=,
    "fornn:= n  / ^(exponsm[1 +1)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 36 out of bounds for length 36
    IsIdenticalObj,
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRepAppend( base, base + nn );
       and IsANFAutomorphismRep ,
    function ( aut1, aut2 )
    return     Source(     else
           and aut1!.galois = aut2!.galoisLength )]do
    end );

(\=java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 18 out of bounds for length 18
    "for identity mapping and ANF automorphism",
    IsIdenticalObj,
     IsMapping  IsOne,
      IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep ],
    function ( id, aut )
n         fi
           and aut!.galois = 1;
    end );

InstallMethod( \=,
    "orANF automorphism and identity mapping",
    od;
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRepreturn Set( base, x -> x mod n );
      IsMapping and IsOne
    function ( aut, id )
    return     Source( id ) = Source( aut )
           and aut!.galois = 1;
    end );


#############################################################################
##
#M  \<( <aut1>, <aut2> )  . . . .  for automorphisms of abelian number fields
##
InstallMethod( \<,
    "for two ANF java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 22 out of bounds for length 2
    IsIdenticalObj,
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep,
      IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep ],
function , aut2)
    return    Source( aut1 ) 
           or factors,          java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 45 out of bounds for length 45
                and aut1!.galois < aut2!.galois );
    end );

InstallMethod(N2                 -of `'
    "for identity mapping and ANF automorphism",
    IsIdenticalObj
    [ IsMapping and IsOne,
      IsFieldHomomorphismd,
    function  , )
    return    Source          ,
           or (     Source( id ) = 
                and 1 < #
    end );

nstallMethod\
    "for ANF automorphism andjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [33, 32) out of bounds for length 54
    IsIdenticalObj,
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep,
      IsMapping and IsOne ],
    function ( aut, id )
    return Source( aut ) < Source( id );
    end );


#############################################################################
##
#M  ImageElm( <aut>, <cyc> )  . .  for automorphisms of abelian number fields
##
InstallMethod( ImageElm,
    "forANFautomorphism scalar",
    FamSourceEqFamElm,
     IsFieldHomomorphism IsANFAutomorphismRep, ]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 60 out of bounds for length 60
    function ( aut, elm )
    return GaloisCyc
##


#############################################################################
##
#M  ImagesElm( <aut>, <cyc> ) . .  for automorphisms of abelian number fields
##
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 3 out of bounds for length 2
    "for ANF InstallMethod( ExponentOfPowering##  the pointwise stabilizer of the subfield in $U$.
    InstallMethod 
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep, IsScalar ],
(     ( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 17 out of bounds for length 17
    return [ GaloisCycelse
    end );


#############################################################################
##
#M  ImagesSet( <aut>, <field> ) .  for automorphisms of abelian number fields
##
InstallMethod( ImagesSet,
    "for ANF automorphismInstallGlobalFunction(ANFAutomorphism,function(  k java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 57 out of bounds for length 57
    CollFamSourceEqFamElms,
    [ IsFieldHomomorphism 
    function (     if (IsAbelianNumberField(F java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [41, 40) out of bounds for length 73
    return F;
    end );


#############################################################################
##
#M  ImagesRepresentative( <aut>, <cyc> )  . . for autom. of ab. number fields
##
 ImagesRepresentative
    "for if    , k) > java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0
    FamSourceEqFamElm,
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep, IsScalar 
    function ( # The automorphism `ANFAutomorphism( F/K, k )' maps $x\in F / K$ to
    return GaloisCyc( elm, aut!java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    end:= Set(aloisStabilizer F) >k Conductor(F ))[1];


#############################################################################
##
#M  PreImageElm( <aut>, <cyc> ) . . . . . . . for autom. of ab. number fields
##
InstallMethod( PreImageElm,
    "for ANF automorphism and scalar",
    FamRangeEqFamElm,
    [  and IsBijective and java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 67 out of bounds for length 67
      IsScalar ],
    function ( aut, elm )
    return GaloisCyc( elm, ( 1 / aut!.galois )
                           mod
    end );


#############################################################################
##
#M  PreImagesElm( <aut>, <cyc> )  . . . . . . for autom. of ab. number fields
##
InstallMethod( PreImagesElm,
    "for ANF automorphism and scalar",
    FamRangeEqFamElm,
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep, IsScalar ],
    function ( aut, elm )
    return [ GaloisCyc( elm, ( 1 / aut!.galois )
                             mod Conductor( Range( aut ) ) ) ];
    end );


#############################################################################
##
#M  PreImagesSet( <aut>, <field> )  . . . . . for autom. of ab. number fields
##
InstallMethod( PreImagesSet,
    "for ANF automorphism and scalar",
    CollFamRangeEqFamElms,
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep, IsField ],
    function ( aut, F )
    return F;
    end );


#############################################################################
##
#M  PreImagesRepresentative( <aut>, <cyc> ) . for autom. of ab. number fields
##
InstallMethod( PreImagesRepresentative,
    "for ANF automorphism and scalar",
    FamRangeEqFamElm,
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep, IsScalar ],
    function ( aut, elm )
    return GaloisCyc( elm, ( 1 / aut!.galois )
                           mod Conductor( Range( aut ) ) );
    end );


#############################################################################
##
#M  CompositionMapping2( <aut2>, <aut1> ) . . for autom. of ab. number fields
##
InstallMethod( CompositionMapping2,
    "for two ANF automorphisms",
    FamSource1EqFamRange2,
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep,
      IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep ],
    function ( aut1, aut2 )
    return ANFAutomorphism( Source( aut1 ), aut1!.galois * aut2!.galois );
    end );


#############################################################################
##
#M  InverseGeneralMapping( <aut> )  . . . . . for autom. of ab. number fields
##
InstallOtherMethod( InverseGeneralMapping,
    "for ANF automorphism",
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep ],
    aut -> ANFAutomorphism( Source( aut ), 1 / aut!.galois ) );


#############################################################################
##
#M  \^( <aut>, <n> )  . . . . . . . . . . . . for autom. of ab. number fields
##
InstallMethod( \^,
    "for ANF automorphism and integer",
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep, IsInt ],
    function ( aut, i )
    return ANFAutomorphism( Source( aut ), aut!.galois^i );
    end );


#############################################################################
##
#M  PrintObj( <aut> ) . . . . . . . . . . . . for autom. of ab. number fields
##
InstallMethod( PrintObj,
    "for ANF automorphism",
    [ IsFieldHomomorphism and IsANFAutomorphismRep ],
    function ( aut )
    Print( "ANFAutomorphism( ", Source( aut ), ", ", aut!.galois, " )" );
    end );


#############################################################################
##
#M  GaloisGroup( <F> )  . . . . . . . Galois group of an abelian number field
##
##  The required group is a factor group of the Galois group $G$
##  of the enveloping cyclotomic field.
##  So the group $U$ generated by the actions of the generators of $G$ on <F>
##  is the Galois group of <F>, viewed as field over the rationals.
##
##  If <F> is a field over a proper extension of the rationals then we take
##  the pointwise stabilizer of the subfield in $U$.
##
InstallMethod( GaloisGroup,
    "for abelian number field ",
    [ IsAbelianNumberField ],
    function( F )
    local group;

    group:= GroupByGenerators( List( Flat(
                    GeneratorsPrimeResidues( Conductor( F ) ).generators ),
                        x -> ANFAutomorphism( F, x ) ),
                IdentityMapping( F ) );

    if not IsPrimeField( LeftActingDomain( F ) ) then
      group:= Stabilizer( group,
                  GeneratorsOfField( LeftActingDomain( F ) ), OnTuples );
    fi;

    return group;
end );


InstallMethod( Representative,
    [ IsAdditiveMagmaWithZero and IsCyclotomicCollection ],
    f -> 0 );